不定积分(2)
1. 若22()x f x dx x e c =+?,则()f x =( d ).
(a) 22x xe , (b) 222x x e , (c) 2x xe , (d) 22(1)x xe x +.
2. 如果()F x 是()f x 的一个原函数,c 为不等于0和1的任意常数,那么( d )也必是()f x 的原函数。
(a) ()cF x , (b) ()F cx , (c) x F c ??
???
, (d) ()c F x +. 3. 下列哪一个不是sin 2x 的原函数( d ).
(a) c x +-
2cos 2
1, (b) c x +2
sin
,(c) c x +-2
cos
, (d)
c x +2
sin
2
1.
4．设()x f x e '=，则()f x 为（ c ） (a)
12
x
e , (b) 2x
e
, (c) x e c +, (d) 21x e -.
5. 设2()x f x dx e c =+?，则 ()f x =（ a ） (a) 22x e , (b) 2x e , (c)
212x
e
, (d) 2x e c +.
6、设f(x) 的一个原函数为F(x)， 则?
=dx )x 2(f （C ）
(A) F(2x)+ C (B) F(
2 x )+ C (C)
C )x 2(F
2 1+ (D) 2F(
2 x )+ C
7. 若()f x 为可导、可积函数，则（ A ）。
A . ()()f x dx f x '
??=?
?
? B.()(
)d f x dx f x ??=??
? C . ()()f x dx f x '=?
D .()()df x f x =?
8. 设C F(x) dx )x (f +=? ，则 =?
dx )cosx ( f sinx （ C ）
(A)C )sinx ( F + (B) C )sinx ( F +- (C) C )cosx ( F +- (D) sin x ( cos x ) C F +
9.设2x
e
-是()f x 的一个原函数,则()0
2()
lim
x f x x f x x
?→-?-=? ( B )
A ．22x
e
- B ．-28x
e
- C ．22x
e -- D ．24x
e
-
10. 2
1(),()1f x f x x
=-设则的一个原函数为（ D ）
()arcsin ()arctan 1111()ln ()ln 2121A x B x x x C D x x -+???? ? ?
+-????
11. =+-=
?
I x e e I x
x
d 1
1 ，则设（ C ）
c e B c e A x
x +++-)1( ln )( )1( ln )( c x e C x
+-+)1( ln 2)( c e x x D x
++-)1( ln 3)(
12. 设f(x)的一个原函数是F(x) ，则?
+dx b ax f )( ＝（ D ）
(A) F(ax ＋b)＋c (B) aF(ax+b)+c (C)
b
ax b ax F ++)(+c (D)
a 1F(ax+b)+c
13. =-+=??dx x f x c x dx x f )1 ( sin )( 2，则若（ D ） (A)c x +-)1 ( sin 22 (B)c x +--)1 ( sin 22 (C) c x +-)1 ( sin
2 12
(D) c x +--
)1 ( sin
2 12
14. 不定积分：?+
1
x
e dx ＝（ C ）
(A)c e x
++）（ 1 ln (B) c e x
++-）（ 1 ln (C) c e e
x
x ++
1
ln (D) c e x
++
1 1
ln
16()[,][,]()()()()()()()()'()f x a b a b A f x B f x C f x D f x f x 、若在上的某原函数为零，则在上必有____的原函数恒等于零；的不定积分恒等于零；
恒等于零；不恒等于零,但导函数恒为零。
【D 】
1. 设2
1()ln(31)6
f x dx x c =
-+?,则()f x = .
2. 经过点(1,2),且其切线的斜率为2x 的曲线方程为 .
3. 已知()21f x x '=+,且1x =时2y =,则()f x = .
4. 设1()f x x
=
，则()f x dx '=?
5.如果x e -是函数()f x 的一个原函数，则()f x dx =? 答案: 1.
1
32
-x x 2. 12+=x y 3.x x +2
4.
C x
+1 5. C e
x
+-
1. 设曲线通过点(1，2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程． 答案:1: 设所求的曲线方程为y =f (x )，按题设，曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为 d d y x
＝２x ，即f (x )是2x 的
一个原函数．因为
2x ?d x =2
x ＋C ，
故必有某个常数C 使f (x )= 2
x ＋C ，即曲线方程为y =2
x ＋C ．因所求曲线通过点(1，2)，故 2=1+C , C =1． 于是所求曲线方程为 y =2
x ＋１
．1．积分中值定理?-=b
a a
b f dx x f ))(()(ξ，其中（B ）。
(A) ξ是],[b a 内任一点； (B). ξ是],[b a 内必定存在的某一点； (C). ξ是],[b a 内唯一的某一点；
(D). ξ是],[b a 的中点。
2. =-+?-1
1
21)1(dx x x ( A )
（A ）π （B ）
2
π
（C ）π2 （D ）
4
π
3. 设]1,0[C f ∈，且2)(1
=?dx x f ，则=?
20
2
2sin )(cos
π
xdx x f ( A )
（A ）2 （B ）3 （C ）4
（D ）1
4. 设)(x f 在],[b a 上连续，且?=b a
dx x f 0)(，则（C ）。 （A ）在],[b a 的某个子区间上，0)(=x f ； （B ）在],[b a 上，0)(≡x f ；
（C ）在],[b a 内至少有一点c ，0)(=c f ；
（D ）在],[b a 内不一定有x ，使0)(=x f 。
5. dx x x x ?
+-2
2
32=( D)
(A)
)22(15
4+ （B ） )22(15
4+-
（C ）
5
283
24-
(D)5
283
24+
-
6.
?+x
x
dt t dx
d ln 2)1ln(=( A )
(A)
)21ln(2)ln 1ln(1x x x
+-+ （C ）
)21ln()ln 1ln(1x x x
+-+
(B) )21ln()ln 1ln(x x +-+ (D))21ln(2)ln 1ln(x x +-+
7. =+?
-1
1
1dx e
e
x
x ( A )
(A) 1 (B) e
e +-11 (C) e
e -+11 (D) 1-
8．下列等于1的积分是 （ C ）
A ．dx x ?10
B ．dx x ?+1
)1(
C ．dx ?1
1
D ．dx ?
1
2
1
9．dx x |4|1
1
2
?--=（ B ）
A ．
3
21 B ．
3
22 C ．
3
23 D ．
3
25
10．曲线]2
3,0[,cos π∈=x x y 与坐标轴周围成的面积（ D ）
A ．4
B ．2
C ．
2
5 D ．3
11．dx e e x x ?-+1
)(=（ D ）
A ．e
e 1+
B ．2e
C ．
e
2 D ．e
e 1-
12.若1
x
m e dx =
?
，1
1e
n dx x
=
?
，则m 与n 的大小关系是（ A ）
A ．m n >
B ．m n <
C ．m n =
D ．无法确定
13．由曲线21y x =-和x 轴围成图形的面积等于S ．给出下列结果： ①1
2
1
(1)x dx --?；②1
2
1
(1)x dx --?；③1
2
2(1)x dx -?；④0
21
2(1)x dx --?．
则S 等于（ D ） A ．①③ B ．③④ C ．②③ D ．②④
*14.0
(sin cos sin )x
y t t t dt =+?
，则y 的最大值是（ B ）
A ．1
B ．2
C ．72
-
D ．0
*15. 若()f x 是一次函数，且1
()5f x dx =?，1
17()6
xf x dx =
?，那么2
1
()f x dx x
?
的值是
2ln 34+．(提示：设b ax x f +=)(，根据已知定积分求出b a ,，再求所给积分)
16．???????=≠?=0
,0,)()(2
x c
x x dt t tf x F x
,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续，则
=c （ A ）。
(A)0=c ; (B)1=c ; (C) c 不存在 (D)1-=c .
17．设??
??
?
π<≤π=其余0x 3
x
sin )x (f ，则=?
π
2cos )(xdx x f ( B )
（A ）
4
3 （B ）4
3- （C ）1 （D ）－1
18．
?
2
2
sin π
dx x dx
d =___0_____
2. 微分方程2
y xy x '''''=+的通解中含有任意常数的个数为（ ）.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3. 用待定系数法求方程22x y y y x e '''-+=的特解*y 时，下列特解的设法正确的是（ ）. A. *2()x y ax bx c e =++ B. *2()x y x ax bx c e =++
4．设22123,,x x x x x x x y xe e y xe e y xe e e --=+=+=++为某一常系数二阶非齐次方程的三个解，则此方程为 .
5．用待定系数法求方程2x y y y xe '''-+=的特解*y 时，下列特解的设法正确的是（ ）.
A. *2()x y ax bx c e =++
B. *2()x y x ax bx c e =++
C. *2()x y x ax b e =+
D. *22()x y x ax bx c e =++
6．若y=y 1(x )，y=y 2(x )是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ．
7．用待定系数法求方程22(2)x y y y x x e '''-+=+的特解*y 时，下列特解的设法正确的是（ ）.
A. *2()x y ax bx c e =++
B. *2()x y x ax bx c e =++
C. *2()x y x ax b e =+
D. *22()x y x ax bx c e =++
8 在下列函数中是微分方程0''=+y y 的解的函数是( c ).
(A) 1=y (B)x y = (C) x y sin = (D)x e y = 9 方程x e y y x
==-''的一个特解*y 形如( D ). (A)b ae
x
= (B)bx axe x
+ (C)c bx ae
x
++ (D)c bx axe
x
++
10 微分方程01=-y x
dx
dy 的通解是( B ).
(A) x
c y =
(B) cx y = (C)c x
y +=
1 (D)c x y +=
11 方程032
=+?
?
?
??dx dy dx dy 的通解是( ). (A)x
e
C C 321+ (B) x
e
C x C 321-+ (C)x
e
C C 321-+ (D)x
e
C 32-
12. 微分方程x
x
e
xe y y y 326'5"+=+-的特解形式为x
x
cxe e b ax x y 32)(*++=.
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定积分的性质与计算方法
定积分的性质与计算方法 摘要: 定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常 丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。 关键词:定积分 性质 计算方法 定积分的定义 设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n 个子区间[x 0,x 1], (x 1,x 2], (x 2,x 3], …, (x n-1,x n ]，其中x 0=a ，x n =b 。可知各区间的长度依次是：△x 1=x 1-x 0, △x 2=x 2-x 1, …, △x n =x n -x n-1。在每个子区间(x i-1,x i ]中任取一点i ξ（1,2,...,n ），作和式1()n i i f x ι=ξ?∑。设λ=max{△x 1, △x 2, …, △x n }（即λ是 最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为: ()b a f x dx ?。 其中：a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。 对于定积分，有这样一个重要问题：函数()f x 在[a,b]上满足怎样的条件， ()f x 在[a,b]上一定可积？下面给出两个充分条件： 定理1： 设()f x 在区间[a,b]上连续，则()f x 在[a,b]上可积。 定理2： 设()f x 在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则 ()f x 在[a,b]上可积。 例：利用定义计算定积分1 20x dx ?. 解：因为被积函数2()f x x =在积分区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关。因此，为了 便于计算，不妨把区间[0,1]分成n 等份，分点为i i x n = ，1,2,,1i n =?-;这样，
定积分的方法总结
定积分的方法总结 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1、求 s i n b a x d x ? ， （b a <） 解:因为函数s i n x 在],[b a 上连续，所以函数sin x 在],[b a 上可积，采用特殊的 方法作积分和．取h = n a b -，将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ?=+<<+<+高二定积分的计算
一、教学目标： 1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：? b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义： （1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分 ? b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下. ? b a dx x f )(的几何意义是介 于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=? ，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=? ，在图（3）中：dx )x (f b a ? 表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于? b a dx x f )(，仅 当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于 ? b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）?? ?±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）?? =b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3） ?? ?+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ，b ］上，? ≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论：（1）若在区间［a ，b ］上，? ?≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 （2）?? ≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| （3）若f （x ）是偶函数，则 ?? =-a a a dx x f dx x f 0 )(2)(，若f （x ）是奇函数，则 0)(=? -a a dx x f
定积分计算公式和性质
第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续，并且设x 为上的任一点， 于是， 在区间 上的定积分为 这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 如果上限x 在区 间上任意变动，则对 于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在 上定义了一个以x 为自变量的函数，我们把 称为函数 在区间 上 变上限函数 记为 从几何上看，也很显然。因为X 是上一个动点， 从而以线段 为底的曲边梯形的面积，必然随着底数 端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图5-10） 图 5-10
定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s 为 另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数，那么物体 从t=a 到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11） 即 由导数的物理意义可知：即 是 一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数 的原函数 ， 再求 在区间 上的增量 即可。 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般 方法： 设函数在闭区间上连续， 是 的一个原函数， 即 ，则 图 5-11
这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为是的一个原函数所以 例 2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成图形面积A(5-12) 解 这个图形的面积为 二、定积分的性质 设 、 在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以 得到定积分以下几个简单性质： 图 5-12
换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 1.第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 1.1不定积分中第一换元法的定理形式 定理1若，且的原函数容易求出，记 ， 则 . 证明若，令，于是有 因而 得证。 1.2定积分中第一换元法的定理形式 定理2若连续，在上一阶连续可导，且，在构成的区间上连续，其中，则 . 证明令，由于在构成的区间上连续，记，则 得证。 1.3 第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 区别：第一换元法在定积分中对未知量给出了定义范围，要求换元函数在该定义域内一阶连续可导即可，对积分要求变弱。
联系：不定积分的实质是求一个函数的原函数组成的集合，部分定积分的计算可以利用不定积分的第一换元法求出简单函数的任意一个原函数，再用原函数在定义域的上下限的函数值取差值。 例1求. 解因为 即有一个原函数，所以 例2 计算积分. 解由于 于是 2.第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 2.1不定积分中第二换元法的定理形式 定理3设连续，及都连续，的反函数存在且连续，并且 ，（1）则 （2）
证明将（2）式右端求导同时注意到（1）式，得 ， 这便证明了（2）式。 2.2定积分中第二换元法的定理形式 定理 4 设在连续，作代换，其中在构成的区间上有连续导数，且，则 证明设是的一个原函数，则是的一个原函数。于是 ， 定理得证。 2.3 第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 区别：由不定积分中第二换元法的证明过程可知，不定积分中第二换元法要求变换的反函数存在且连续，并且。而在定积分的第二换元法则不这样要求，它通过换元法写出关于新变量的被积函数与新变量的积分上下限后可以直接求职，不像不定积分的计算最终需要对变量进行还原。 例3用第二换元法求解 解令，则
定积分计算例题
第5章 定积分及其应用 （一）、单项选择题 1．函数()x f 在区间[a ，b]上连续是()x f 在[a ，b]上可积的（ ）。 A ．必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（ ）。 A ． ()()x f dx x f dx d b a =??????? B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C. ()()x f dx x f dx d x a =??????? D. ()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 3．? ?→x x x tdt tdt sin lim 的值等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 4．设x x x f +=3 )(，则 ? -2 2 )(dx x f 的值等于（ ）。 A ．0 B.8 C. ? 2 )(dx x f D. ?2 )(2dx x f 5．设广义积分 ? +∞ 1 dx x α收敛，则必定有（ ）。 A.1-<α B. 1->α C. 1<α D. 1>α 6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。 A.［0，2e ］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A.dy y ? 2 1 ln B. dy e e x ? 2 C.dy y ? 2 ln 1ln D. ()d x e x ?-2 1 2 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）。 A. ()[]dy y y ?--1 1 B. ()[]dx x x ? -+-21 1 C. ()[]dy y y ? --210 1 D.()[]dx x x ? +--1 1 9．由e x x y x y e ===,log ,ln 1围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为 （ ）。 A.dx x x e ???? ? ? +1 log ln B.dy x x e ???? ? ?+1log ln C.dx x x e ???? ? ?-1log ln D.dy x x e ??? ? ? ?-1log ln 10．由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为（ ）。 A. ? -1 1 2dx x B. ? 1 2dx x C. ? 1 dy y D.? 1 2 dy y
定积分计算的总结论文
定积分计算的总结 闫佳丽 摘 要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法. 关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元. 1前言 17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分. 2正文 那么，究竟什么是定积分呢？我们给定积分下一个定义：设函数()f x 在[],a b 有定义，任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=，有积分和 1 (,)()n k k k T f x σξξ==?∑，若当()0l T →时，积分和(,)T σξ存在有限极限，设 ()0 ()0 1 lim (,)lim ()n k k l T l T k T f x I σξξ→→==?=∑，且数I 与分法T 无关，也与k ξ在[] 1,k k x x -的取法无关，即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ?>?>?
[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]
高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:
樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分
分析: 1-3 ? - IK ）-忑.旦r x 二）祝成）；网＞＜可久切 二2氐化如（長）寸 a 花不直押、朱 J 、 解： 2少弋協“尤十C__
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p o r t v 卩 J (r 4 5*〉J" 卩?对渎 t-k )+c p T + T d ? g T + c m -辿」
当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
?复习1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。 ?引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算 问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。 ?讲授新课 第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法 一基本积分公式 由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：
以函 数的的形式。 求函数的不定积分的方法叫积分法。 例1?求下列不定积分.（1） AdX （ 2） XdX _ 1 丄+ 彳 解：（1 ） . 2 dx = x'dx C=-1C X -2 1 X 3 2 5 （2 ）.XXdX = χ2 dx = 2 X 2 C J 5 此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为 数的积分公式求积分。 不定积分的基本运算法则 X 〉的形式，然后应用幕函
法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即 [f (X) — g (x)]dx = f (x)dx — g (x)dx 法则1对于有限多个函数的和也成立的. 法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即 kf (x)dx = k f (x)dx ( k = O ) 3 X 例 2 求(2x 1 -e )dx 解 (2x 3 1-e" )d )=2 x 3dx + dx - e x dx 1 4 X =X X —e C 。 2 注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数， 但是这里并不需要在每一项后面加上 一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和 C 写在末尾，以后仿此。 注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例 由于(-X 4 ^e X C) = 2X 3 ^e X ,所以结果是正确的。 2 三直接积分法 在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果(如上例)但有时，被 积函数常需要经过适当的恒等变形(包括代数和三角的恒等变形)再利用积分的性质和公式求出结 果，这样的积分方法叫直接积分法。 例3 求下列不定积分 解： (1)首先把被积函数^x - I 1 化为和式，然后再逐项积分得 VX 1 √X (1)J (V Σ+1)( X -^^=)dx (2)J x 2 dx )dx
c语言用六种方法求定积分
C语言实验报告 求定积分 班级10信息与计算科学一班姓名戴良伟 学号 21
1. 描述问题 利用①左矩形公式，②中矩形公式，③右矩形公式 ，④梯形公式，⑤simpson 公式，⑥Gauss 积分公式求解定积分。 2. 分析问题 定积分 定积分的定义 定积分就是求函数()f x 在区间[],a b 中图线下包围的面积。即()0,,,y x a x b y f x ====所包围的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边梯形。如下图： （图1） 设一元函数()y f x =,在区间[],a b 内有定义。将区间[],a b 分成n 个小区间[][][][]00112,,,,,......,i a x x x x x x b 。设1i i i x x x -?=-，取区间i x ?中曲线上任意一点记做()i f ξ，作和式： ()1lim n n i f i xi ξ→+∞=??? ??? ∑ 若记λ为这些小区间中的最长者。当0λ→时，若此和式的极限存在，则称这个和式是函数()f x 在区间[],a b 上的定积分。 记作：()b a f x dx ? 其中称a 为积分下限， b 为积分上限，()f x 为被积函数，()f x dx 为被积式，∫ 为积分号。 之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。 定积分的几何意义[1] 它是介于x 轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a ，x=b 之间的各个部分面积的代数和。在x 轴上方的面积取正号；在x 轴下方的面积取负号。如图 言实现定积分计算的算法 利用复合梯形公式实现定积分的计算
定积分计算公式和性质
定积分计算公式和性质第二节 一、变上限函数 上的任一点，于是，x在区间设函数为在区间上连续，并且设 上的定积分为 这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 在区x如果上限间上任意变动，则对于每一个取定的 上定义了一个以xx为自变量的函值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在 上变上限函数在区间数，我们把称为函数 记为图 5-10
上一个动点，从而以线段为底的曲边梯是从几何上看，也很显然。因为X形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x的函数（见图5-10） 定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 作直线运动，那么在时间区间我们知道：如果物体以速度上所经过的 s为路程5-11 图 的函数，那么物体从t=at到t=b另一方面，如果物体经过的路程s是时间 5-11）所经过的路程应该是（见图 即 为了求出定积分即是由导数的物理意义可知：一个原函数，因此，
上的增量，再求应先求出被积函数在区间的原函数，即可。 的一般方法：如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分 ，在闭区间上连续，是的一个原函数，即设函数则 这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。为了使用方便，将公式写成 莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函牛顿-提供它揭示了定积分和不定积分的内在联系，数的原函数在积分上、下限处函数值之差。了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 的一个原函数所以因为是
所围成y=0及x=、x=0和直线求曲线2 例 A(5-12)
不定积分换元法例题
【不定积分的第一类换元法】 已知 ()()f u du F u C =+? 求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????= =? ?? 【凑微分】 ()()f u du F u C = =+? 【做变换，令()u x ?=，再积分】 (())F x C ?=+ 【变量还原，()u x ?=】 【求不定积分()g x dx ? 的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ??=?? （2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ????= =??? （3）作变量代换()u x ?=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ????==? ??()u f u d =? （4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+?求出原函数： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()d u u C f u F ==+? （5）将()u x ?=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()f u du F u C ==+?(())F x C ?=+ 【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ?=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。 __________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9 9 9 9 (57)(57)(5711(57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?= +?++? ? ? ? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2x x x d C x C =?=+=+? 【注】111 (ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x ===?? 3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x x --= ===? ???? cos ln |cos |c ln |co s |o s x x d C x C x =-=-+=-+?
定积分计算例题
定积分计算例题
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2
1 / 7 第5章 定积分及其应用 （一）、单项选择题 1．函数()x f 在区间[a ，b]上连续是()x f 在[a ，b]上可积的（ ）。 A ．必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（ ）。 A ．()()x f dx x f dx d b a =??????? B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C. ()()x f dx x f dx d x a =??????? D. ()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 3．? ?→x x x tdt tdt sin lim 的值等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 4．设x x x f +=3 )(，则 ? -2 2 )(dx x f 的值等于（ ）。 A ．0 B.8 C. ? 2 )(dx x f D. ?2 )(2dx x f 5．设广义积分 ? +∞ 1 dx x α收敛，则必定有（ ）。 A.1-<α B. 1->α C. 1<α D. 1>α 6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。 A.［0，2e ］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A.dy y ? 2 1 ln B. dy e e x ? 2 C.dy y ? 2 ln 1 ln D. ()d x e x ?-2 1 2 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）。 A. ()[]dy y y ?--1 1 B.()[]dx x x ? -+-21 1 C. ()[]dy y y ? --210 1 D.()[]dx x x ? +--1 1 9．由e x x y x y e ===,log ,ln 1围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为 （ ）。 A.dx x x e ???? ? ? +1 log ln B.dy x x e ???? ? ?+1log ln C.dx x x e ???? ? ?-1log ln D.dy x x e ??? ? ? ?-1log ln 10．由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为（ ）。
定积分计算公式和性质
第二节定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续，并且设x为上的任一点，于是，在区间上的定积分为 这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 如果上限x在区间上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在上定义了一个以x为自变量的函数，我们把称为函数 在区间上变上限函数 记为 图 5-10
从几何上看，也很显然。因为X是上一个动点，从而以线段为底的曲边梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x的函数（见图5-10） 定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s为 图 5-11 另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数，那么物体从t=a到t=b所经过的路程应该是（见图5-11）
即 由导数的物理意义可知：即是一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数的原函数，再求在区间上的增量即可。 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般方法： 设函数在闭区间上连续，是的一个原函数，即，则 这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简
便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为是的一个原函数所以 例 2 求曲线和直线x=0、x=及y=0所围成图形面积A(5-12) 解这个图形的面积为 图 5-12 二、定积分的性质 设、在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个简单性质： 性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即
不定积分第一类换元法
不定积分第一类换元法（凑微分法）
一、 方法简介
设 f (x) 具有原函数 F(u) ，即 F'(u) f (u) ， f (u)du F(u) C ，如果U 是
中间变量， u (x) ，且设(x) 可微，那么根据复合函数微分法，有
dF[(x)] f [(x)]'(x)dx 从而根据不定积分的定义得
则有定理：
f [(x)]'(x)dx F[(x)] C [ f (u)du]u(x) .
设 f (u) 具有原函数， u (x) 可导，则有换元公式
f [(x)]'(x)dx [ f (u)du]u(x)
由此定理可见，虽然
f
[ ( x)] ' ( x)dx
是一个整体的记号，但如用导数记号
dy dx
中的 dx 及 dy 可看作微分，被积表达式中的 dx 也可当做变量 x 的微分来对待，从
而微分等式'(x)dx du 可以方便地应用到被积表达式中。 几大类常见的凑微分形式：
○1
f
(ax
b)dx
1 a
f
(ax
b)d (ax
b)
(a 0) ；
○2 f (sin x) cosxdx f (sin x)d sin x ， f (cosx)sin xdx f (cosx)d cosx ，
f
(tan x)
dx cos2
x
f
(tan x)d
tan
x，
f
(c ot x)
dx sin 2
x
f
(c ot x)d
cot x ；
○3
f
(ln
x)
1 x
dx
f
(ln
x)d
ln
x，
f
(ex )exdx
f
(ex )dex
；
○ 4
f (xn )xn1dx 1 f (xn )dxn (n 0) ， n
f
(1) x
dx x2
f (1)d(1) xx
，
f(
x)
dx x
2
f
(
x )d (
x)；
○5 f (arcsin x)
dx 1 x2
f (arcsin x)d arcsin x ；
定积分的简单运算与应用
3.4专题 定积分与微积分基本定理 【一】基础知识 【1】定积分的定义 【2】定积分的几何意义 当()0f x ≥时，定积分()b a f x dx ?表示由直线,x a x b ==和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积. 【3】定积分的基本性质 （1） ()()b b a a kf x dx k f x =?? （2） ()()()()1212b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx +=+??? （3）()()() b c b a a c f x dx f x dx f x dx =+??? 【4】微积分基本定理 如果函数()f x 是区间[],a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么 ()()()b a f x dx F b F a =-?.
【二】例题分析 【模块1】利用微积分基本定理求定积分 【例1】计算下列定积分的值： （1）3 2dx =? .（2）46cos 2xdx ππ=? . 【例2】计算定积分 ()121sin x x dx -+=? . 【例3】计算定积分 ()11cos x e x dx -+=? . 【例4】计算定积分 2211x x dx x ??-+= ???? . 【例5】 201x dx -=? .
【例6】 3201x dx -=? . 【例7】若函数()3sin ,112,12 x x x f x x ?+-≤≤=?<≤?，则()21f x dx -=? . 【模块2】利用定积分求平面图形的面积 【例1】由直线,,033x x y ππ=- ==与曲线cos y x =所围成的封闭图像的面积为 . 【例2】由直线,,022x x y ππ=- ==与曲线sin y x =所围成的封闭图像的面积为 . 【例3】由曲线23,y x y x ==所围成的封闭图形的面积为 .
定积分计算方法总结
定积分计算方法总结 导读：导语：学习需要总结，只有总结，才能真正学有所成。以下是定积分计算方法总结，供各位阅读和参考。 一、定积分的计算方法 1. 利用函数奇偶性 2. 利用函数周期性 3. 参考不定积分计算方法 二、定积分与极限 1. 积和式极限 2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限 3. 洛必达法则 4. 等价无穷小 三、定积分的估值及其不等式的应用 1. 不计算积分，比较积分值的大小 1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有 f(x)>=g(x),则 >= ()dx 2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a) b) 当0 2. 估计具体函数定积分的'值 积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则 M(b-a) 3. 具体函数的定积分不等式证法
1) 积分估值定理 2) 放缩法 3) 柯西积分不等式 ≤ % 4. 抽象函数的定积分不等式的证法 1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性 2) 积分中值定理 3) 常数变易法 4) 利用泰勒公式展开法 四、不定积分计算方法 1. 凑微分法 2. 裂项法 3. 变量代换法 1) 三角代换 2) 根幂代换 3) 倒代换 4. 配方后积分 5. 有理化 6. 和差化积法 7. 分部积分法（反、对、幂、指、三） 8. 降幂法
【定积分计算方法总结】 1.定积分的计算方法总结 2.不定积分知识点总结 3.高中定积分的概念课件 4.不定积分的方法总结 5.定积分证明题方法总结六篇 6.高中化学计算方法总结 7.极限的计算方法总结 8.数学计算方法课件 上文是关于定积分计算方法总结，感谢您的阅读，希望对您有帮助，谢谢
几种定积分的数值计算方法
几种定积分的数值计算方法 摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明. 关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形 Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals Abstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods. Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid
1. 引言 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数 )(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况: (1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx e x ?-1 02 , ? 1 0sin dx x x 等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。 (2)函数)(x f 使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。 (3)函数)(x f 的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用. 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较． 2.几何意义上的数值算法 s 在几何上表示以],[b a 为底,以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积A ,因此,计 算s 的近似值也就是A 的近似值,如图1所示.沿着积分区间],[b a ,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设],[b a 上等分n 的小区间 ,x 1-i h x i +=b x a x n ==,0,其中n a b h -= 表示小区间的长度. 2.1矩形法 矩形法就是用小矩形面积近似代替各个小曲边梯形面积,从面积得到S 的近似值.若 取小区间左端点的函数值为小矩形的高,如图1中所示,则∑=-=n i i x f n a b A 1 ).(
定积分的计算方法
定积分的计算方法 摘要 定积分是积分学中的一个基本问题，计算方法有很多，常用的计算方法有四种：（1） 定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分 法。以及其他特殊方法和技巧。本论文通过经典例题分析探讨定积分计算方法，并在系 统总结中简化计算方法！并注重在解题中用的方法和技巧。 关键字：定积分，定义法，莱布尼茨公式，换元法 Calculation method of definite integral Abstract the integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of, (1)definition method, (2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute method.This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system of simplified, summarized the approximate calculation method! And pay attention to problem in using the methods and skills. Key words:definite integral ,definition method, Newton - Leibniz, substitute method
高二定积分的计算(理科)
年 级 高二学科数学 内容标 题 定积分的计算 编稿老 师 胡居化 一、教学目标： 1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数) (x f在区间［a，b］上的定积分表示为：?b a dx x f) ( 2. 定积分的几何意义： （1）当函数f（x）在区间[a，b]上恒为正时，定积分?b a dx x f) (的
几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x= b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=?，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=? ，在图 （3）中：dx )x (f b a ?表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x= b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于 ? b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）??=b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3）???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ，b ］上，?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论：（1）若在区间［a ，b ］上，??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则