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高考调研三角函数解答题专题练习作业2含答案

三角大题专练·作业(二十四)

1.(2014·武汉调研)(本小题满分12分)

已知函数f (x )=sin 2

x -3sin x cos x -12. (1)求函数f (x )在[0,3π2]上的单调递增区间;

(2)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,A 为锐角,

若f (A )+sin(2A -π6)=12,b +c =7,△ABC 的面积为23,求a 的值.

解析 (1)由题意得f (x )=sin 2

x -3sin x cos x -12=1-cos2x 2-32sin2x -12=-sin(2x +π6),(3分)

由2k π+π2≤2x +π6≤2k π+3π2,k ∈Z ,

解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z .(4分)

因为x ∈[0,3π2],所以π6≤x ≤2π3或7π6≤x ≤3π2.

所以函数f (x )在[0,3π2]上的单调递增区间为[π6,2π3],[7π6,3π2].(6

分)

(2)由f (A )+sin(2A -π6)=12,得-sin(2A +π6)+sin(2A -π6)=12.

化简得cos2A =-12.(8分)

又0

由题意知,S △ABC =12bc sin A =23,解得bc =8.(10分)

又b +c =7,所以a 2=b 2+c 2-2bc cos A =(b +c )2-2bc (1+cos A )

=49-2×8×(1+12)=25.(11分)

故所求a 的值为5.(12分)

2.(2014·绵阳二次诊断)(本题满分12分)

已知向量a =(sin x,2cos x ),b =(2sin x ,sin x ),设函数f (x )=a ·b .

(1)求f (x )的单调递增区间;

(2)若将f (x )的图像向左平移π6个单位,得到函数g (x )的图像,求

函数g (x )在区间[π12,7π12]上的最大值和最小值.

解析 (1)f (x )=a ·b =2sin 2x +2sin x cos x

=2×1-cos2x 2+sin2x =2sin(2x -π4)+1,(3分)

由-π2+2k π≤2x -π4≤π2+2k π,k ∈Z ,得-π8+k π≤x ≤3π8+k π,k ∈Z .

∴f (x )的单调递增区间是[-π8+k π,3π8+k π](k ∈Z ).(6分)

(2)由题意g (x )=2sin[2(x +π6)-π4]+1=2sin(2x +π12)+1,(9分)

由π12≤x ≤7π12,得π4≤2x +π12≤5π4.

∴0≤g (x )≤2+1,即g (x )的最大值为2+1,g (x )的最小值为0.(12分)

3.(2014·杭州调研)(本小题满分14分)

已知在锐角三角形ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足2sin A cos B =2sin C -sin B .

(1)若cos B =5314,求sin C 的值;

(2)若b =5,AC →·CB

→=-5,求△ABC 的内切圆的面积. 解析 (1)由2sin A cos B =2sin C -sin B 及三角形内角和公式,可得2sin A cos B =2sin(A +B )-sin B =2sin A cos B +2cos A sin B -sin B ,所以2cos A sin B -sin B =0.

又0

所以cos A =12,由0

因为cos B =5314,所以sin B =1114.(5分)

所以sin C =sin(2π3-B )=32cos B +12sin B =1314.(7分)

(2)AC →·CB →=AC →·(AB →-AC →)=AC →·AB →-AC →2=|AC →|·|AB →|·cos A -|AC →|2=12bc -b 2=-5,

由b =5,得c =8.(10分)

由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,解得a =7.(12分)

设△ABC 的内切圆的半径为r ,

则S △ABC =12bc sin A =12(a +b +c )r ,

所以r =3,即内切圆面积S =3π.(14分)

4.(2014·南通调研)(本小题满分12分)

已知向量m =(cos x ,-1),n =(3sin x ,-12),函数f (x )=(m +

n )·m .

(1)求函数f (x )的最小正周期;

(2)已知a ,b ,c 分别是△ABC 内角A ,B ,C 的对边,a =1,c

=3,且f (A )恰为函数f (x )在[0,π2]上的最大值,求b 的值.

解析 (1)f (x )=(m +n )·m =cos 2

x +3sin x cos x +32=1+cos2x 2+32sin2x +32=12cos2x +32sin2x +2=sin(2x +π

6)+2.(4分)

因为ω=2,所以函数f (x )的最小正周期T =2π2=π.(6分)

(2)由(1)知f (x )=sin(2x +π6)+2,

当x ∈[0,π2]时,π6≤2x +π6≤7π6,

由正弦函数图像易知,当2x +π6=π2时,f (x )取得最大值,

所以2A +π6=π2,A =π6.(9分)

由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得1=b 2+3-2×3×b ×cos π6.

所以b =1或b =2,经检验均符合题意.(12分)

5.(2014·合肥调研)(本小题满分12分)

已知函数f (x )=3sin 2x +23sin x cos x +5cos 2x .

(1)若f (α)=5,求tan α的值;

(2)设△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且(2a -c )cos B =b cos C ,求f (x )在(0,B ]上的值域.

解析 (1)由f (α)=5,得3sin 2α+23sin αcos α+5cos 2α=5.

∴3×1-cos2α2+3sin2α+5×1+cos2α2

=5. ∴3sin2α+cos2α=1.(3分)

即3sin2α=1-cos2α,∴23sin αcos α=2sin 2α.

∴sin α=0或tan α=3,即tan α=0或tan α= 3.(6分)

(2)∵(2a -c )cos B =b cos C ,

∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C .∴

2sin A cos B =sin(B +C )=sin A .

∵sin A ≠0,∴cos B =12,即B =π3.(9分)

f (x )=3sin 2x +23sin x cos x +5cos 2x =3sin2x +cos2x +4=2sin(2x +π6)+4,

由0

故5≤f (x )≤6,即所求值域是[5,6].(12分)

6.(2013·江苏)

高考调研三角函数解答题专题练习作业2含答案

如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行

到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min 后,乙从A 乘缆车匀速直线运行的速度

为130 m/min ,山路AC 长为1 260 m ,经测量,cos A =1213,cos C =35.

(1)求索道AB 的长;

(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?

解析 (1)在△ABC 中,因为cos A =1213,cos C =35,

所以sin A =513,sin C =45.

从而sin B =sin[π-(A +C )]=sin(A +C )

=sin A cos C +cos A sin C

=513×35+1213×45=6365.

由AB sin C =AC sin B ,得

AB =AC sin B ×sin C =1 2606365

×45=1 040(m).

所以索道AB 的长为1 040 m.

(2)设乙出发t 分钟后,甲、乙两游客距离为d ,此时,甲行走了(100+50t ) m ,乙距离A 处130t m ,所以由余弦定理得

d 2=(100+50t )2+(130t )2

-2×130t ×(100+50t )×1213=200(37t 2-70t +50),

因0≤t ≤1 040130,即0≤t ≤8,故当t =3537(min)时,甲、乙两游客

距离最短.

(3)由BC sin A =AC sin B ,得

BC =AC sin B ×sin A =1 2606365

×513=500(m).

乙从B 出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C .

设乙步行的速度为v m/min ,由题意得-3≤500v -71050≤3,解得

1 25043≤v ≤62514,所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3

1 250 43,625

14](单位:m/min)范围内.

分钟,乙步行的速度应控制在[