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抛物线的性质D

一、抛物线的定义

1、已知抛物线x y 22=的焦点为F ，定点)2,3(A ，在x y 22=上取动点P ，则PF PA +取最小值时，P 点坐标为( ) A. )2,2(-

B. )2,

1( C . )2,2( D. )2,1(-

2、抛物线2x y =上有A 、B 、C 三点横坐标依次为1-, 2 , 3在y 轴一点D 纵坐标为6，则四边形ABCD 为( )

A. 正方形 B . 菱形 C. 平行四边形 D. 任意四边形 3、等边ABC ?内接于抛物线x y 22=，)0,0(A ，则=?ABC S ( ) A. 3

B. 33

C . 312

D. 无法判断

4、已知A 、B 是抛物线)0(22>=p px y 上两点，0为原点，若OB OA =且OAB ?的重心恰为抛物线的焦点，则AB 的直线方程为( ) A. p x =

B. p x 3=

C. p x 23=

D. p x 4

= 5、抛物线)0(1

2>=

a y a

x 与直线b kx y +=交于两点它们横坐标为1x 、2x ，直线与x 轴交点为),(33y x 则1x ,2x ,3x 关系为( ) A. 213x x x += B. 2

131

1x x x +

C. 323121x x x x x x +=

D. 213231x x x x x x += 6、已知动点),(y x P 满足1243)2()1(52

++=-+-y x y x 则P 点轨迹为( ) A. 抛物线

B. 直线

C. 双曲线

D. 椭圆

7、两定点)1,2(--A ，)1,2(-B 动点P 在抛物线2x y =上移动。则PAB ?重心G 的轨迹方程为( )

A. 312

=x y B. 3

232

-=x y

C. 3222

=x y D. 4

1212+=x y ( D )8、已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若

，则 ( D ) A.

B. C. D. ( A )9、设抛物线=2x 的焦点为F ，过点

0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的

准线相交于C ，=2，则BCF 与ACF 的面积之比=

(A) (B)(C) (D)( C )10、过点A(0，1)且与抛物线y 2=4x 有唯一公共点的直线的条数为 A.1 B.2 C.3 D.4

11、是否存在正方形ABCD ，它的对角线AC 在直线x+y-2=0上，顶点B 、D 在抛物线y 2=4x 上?若存在，试求出正方形的边长；若不存在，试说明理由.

解：设存在满足题意的正方形.则BD ：y=x+b,代入抛物线方程得x 2+(2b-4)x+b 2=0,∴△=(2b-4)2-4b 2=16-16b ＞0,∴b ＜1, ①，设B(x 1,y 1),D(x 2,y 2),BD 中点M(x 0,y 0),则x 1+x 2=4-2b,∴x 0=2-b,y 0=x 0+b=2,∵M 在AC 直线上，∴(2-b)+2-2=0，∴b=2与①相矛盾，故不存在满足要求的正方形.

()()20y k x k =+>2

:8C y x =A B 、F C ||2||FA FB =k =132332y BF ??BCF ACF

S ??45234712

二、抛物线的焦点弦的性质

1.抛物线22(0)y px p =>的焦点弦(过焦点的弦) 为1122,(,),(,)AB A x y B x y ，则有如下结论：

(1)12||AB x x p =++ (2)2

1212,,4

p y y p x x =-= (3)p

BF AF 2||1||1=+； (4)以AB 为直径的圆与准线相切； (5)以AF (或BF )为直径的圆与y 轴相切； (6)连接A 1 F 、B 1F 则 A 1F ⊥B 1F

(7)AM 1⊥BM 1 (8)M 1F ⊥AB (9)BF AF F

M ?=2

(10)、A O 、B 1 三点共线，B ，O ，A 1 三点共线

(11)设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴

(12)若AB 的倾斜角为α，则2

2sin p

AB α=；α

sin 22p S AOB =?； (13)过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB 、CD ，则1112AB CD p

+= 2.抛物线y 2=2px(p>0)内接直角三角形OAB (OA ⊥OB )的性质： (1)2212214,4P y y P x x -==； (2)AB l 恒过定点)0,2(p ； 12、过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若25

,,12

AB AF BF =<则AF = . 【答案】

5 13、过抛物线2

4y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若||3AF =，则||BF =______。【答案】

14、设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )

B. C. 6332 D. 94

法二：利用αsin 22

p S AOB =

【答案】 D

15、设抛物线C ：y 2 =2px ( p > 0)的焦点为F ，点M 在C 上，| MF |=5，若以MF 为直径的圆过点(0, 2)，则C 的方程为

(A)y 2 = 4x 或y 2 = 8x (B)y 2 = 2x 或y 2 = 8x (C)y 2 = 4x 或y 2 = 16x (D)y 2 = 2x 或y 2 = 16x 答案：C 四、中点弦

1.抛物线22(0)y px p =>上两点1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点为00(,)M x y 则有如下结论：

1202AB p p

k y y y =

1.抛物线22(0)y px p =>上两点1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点为00(,)M x y 则有如下结论：

122AB x x x k p p +=

16、已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为答案：B (A) (B) (C) (D)

17、如图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点是坐标原点，点)2,1(P 、),(11y x A 、),(22y x B 均在抛物线上。⑴写出该抛物线的方程及其准线方程；

⑵当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求21y y +的值及直线AB 的斜率。解：(10由已知设抛物线方程为22(0)y px p =>

又)2,1(P 在此抛物线上故

所求抛物线的方程为24y x =，其准线方程为x=-1 (21121112241214PA y y k y x y --=

==-+- 22222222412

PB y y k y x y --===-+- 当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时PA PB k k =-1144

y y ∴=-

++124y y ∴+= 121222121212

144

AB y y y y k y y x x y y --∴====--+-

18、已知点()()1,0,1,0,B C P -是平面上一动点，且满足||||PC BC PB CB ?=?

(1)求点P 的轨迹C 对应的方程；(2)已知点(,2)A m 在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD AE ⊥，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.

【解】(1)设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-?=?化简得得代入

).2,1(,14)2,()2(2的坐标为点得代入将A m x y m A ∴== ,044,422=--=+=t mt y x y t my x DE 得代入的方程为设直线

）

（（，则设*016)44,4),(),,(221212211>+-=?-=?=+t m t y y m y y y x E y x D 4)(21)()2)(2()1)(1(212121212121++-?+++-=--+--=?∴y y y y x x x x y y x x

5)(2)44(4421212

2212221++-?++-?=y y y y y y y y 5)(242)(16)(212121221221++-?+?-+-?=y y y y y y y y y y

m m t t m t t m t 845605)4(2)4(4

)4(2)4(16)4(2222+=+-=+--+----=化简得

)1(23)1(434849622

22+±=-∴+=-++=+-m t m t m m t t ）即（即 0*,1252>?+-=+=∴）式检验均满足代入（或m t m t 1)2(5)2(+-=++=∴y m x y m x DE 或的方程为直线）不满足题意，定点（（过定点直线21).2,5(-∴DE )

2(0)y px p =>A B AB 1x =1x =-2x =2x =-

方法2：112222121122222244

,1212

1144AD AE y y y y k k y y x y x y ----=

=====-+-+-- 由AD AE ⊥得12121244

12()20022

y y y y y y ?=-∴+++=++，48200n m ∴--+=25

n m ∴=+25*0n m ∴=+?>代入（）式检验均满足(2)5DE x m y ∴=++直线的方程为 (5,2).

DE ∴-直线过定点 19、已知抛物线y 2=2px 上两点A 、B ，BC ⊥x 轴交抛物线于C ，AC 交x 轴于E ，BA 延长交x 轴于D ，求证：O 为DE 中点.

分析只需证出D 、E 两点的横坐标互为相反数即可，设A(2pt 21,2pt 1)，B(2pt 22,2pt 2)则 C(2pt 22,-2pt 2) AC ：y-2pt 1=

t t -(x-2pt 21) 令y=0,得x D =2pt 1t 2 BA ：y-2pt 1=

t t + (x-2pt 21) 令y=0,得x E =-2pt 1t 2 ∴x D +x E =0

即O 为DE 中点.

(整理)抛物线的概念性质几何意义

抛物线的概念、性质、几何意义【教学内容】抛物线的概念、性质、几何意义及其直线与抛物线的位置关系、抛物线的应用等。【教学目标】 1、掌握抛物线的定义，动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，则动点的轨迹是抛物线。熟练掌握顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线的四种标准形式：y 2=2px 、y 2=－2px 、x 2=2py 、x 2=－2py （p ＞0）及其它们的焦点坐标、对称轴方程。 2、焦参数p （p ＞0）的几何意义为抛物线的焦点到其准线的距离。若已知了抛物线顶点在顶点，焦点在x 轴上，则可设抛物线的方程为y 2=2ax （a ≠0）；若抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，则可设抛物线的方程为x 2=2ay （a ≠0），再由另外一个条件就可以求出抛物线标准方程了。若顶点在原点，焦点在坐标上，则就要分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情况来设抛物线的方程。 3、抛物线标准方程中，判别焦点在哪个轴上的方法是看方程的一次项，若一次项的变量为x ，则焦点在x 轴上；若一次项的变量为y ，则焦点在y 轴上。另外，对于抛物线y 2=2ax （a ≠0），焦点坐标为（2a ，0），准线方程为2a x -=；对于抛物线x 2=2ay （a ≠0）焦点坐标为（0，2a ），准线方程为2 a y -=。这一结论对a ＞0及a ＜0均成立。 4、在抛物线中，抛物线上的动点到焦点的距离我们常常转化为动点到准线的距离来处理，这一思想方法在抛物线中有着广泛的应用。我们在学习时要引起重视。【知识讲解】例1、求经过定点A （－3，2）的抛物线的坐标准方程。解：抛物线过第二象限内的点A （－3，2），应考虑开口向上及向左两种情形。（1）若开口向左，设抛物线方程为y 2=－2px ，因为抛物线过点A （－3， 2），∴22=－2p(－3)即342=p ，则抛物线方程为x y 3 4 2-=。（2）若开口向上，设其方程为x 2=2py ，因为抛物线过点A （－3，2）， ∴22)3(2?=-p ，即292=p 综上所述，抛物线的方程为x y 342-=

抛物线及其性质知识点及题型归纳总结

抛物线及其性质知识点及题型归纳总结知识点精讲一、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线)(l F l ?的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线. 注若在定义中有l F ∈，则动点的轨迹为l 的垂线，垂足为点F . 二、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：)0(2,2,2,22 2 2 2 >-==-==p py x py x px y px y ，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表10-3所示） 1. 点),(00y x P 与抛物线)0(22 >=p px y 的关系（1）P 在抛物线内（含焦点）02 02px y ?. 2. 焦半径抛物线上的点),(00y x P 与焦点F 的距离称为焦半径，若)0(22 >=p px y ，则焦半径2 0p x PF + =，2 max p PF = . 3. )0(>p p 的几何意义

p 为焦点F 到准线l 的距离，即焦准距，p 越大，抛物线开口越大. 4. 焦点弦若AB 为抛物线)0(22 >=p px y 的焦点弦，),(11y x A ，),(22y x B ，则有以下结论：（1）4 2 21p x x =. （2）2 21p y y -=. （3）焦点弦长公式1：p x x AB ++=21，p x x x x =≥+21212，当21x x =时，焦点弦取最小值 p 2，即所有焦点弦中通径最短，其长度为p 2. 焦点弦长公式2：α 2sin 2p AB = （α为直线AB 与对称轴的夹角）. （4）AOB ?的面积公式：α sin 22 p S AOB =?（α为直线AB 与对称轴的夹角）. 5.抛物线的弦若AB 为抛物线2 2(p 0)y px => 的任意一条弦，1122(x ,y ),B(x ,y )A ，弦的中点为 000(x ,y )(y 0)M ≠ ，则（1）弦长公式：1212(k k 0)AB AB x y y =-=-=≠ （2） 0 AB p k y = （3）直线AB 的方程为000 (x x )p y y y -= - （4）线段AB 的垂直平分线方程为0 00(x x )y y y p -=- - 6．求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（4 A 法）（1）2 (A 0),y Ax =≠ 焦点为(,0)4A ，准线为4 A x =- (2) 2 (A 0),x Ay =≠ 焦点为(0,)4 A ，准线为4A y =- 如24y x =，即2 4y x =，焦点为1(0,)16 ，准线方程为116 y =- 7．参数方程

抛物线知识点与性质大全

抛物线与方程【知识讲解】 1、定义平面，到定点的距离与到定直线距离相等的点的轨迹（定点不在定直线上）.其中定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线. 【注】若定点在直线上，则轨迹为过该点垂直于直线的一条直线. 2、抛物线的方程及其简单性质 3、通径过抛物线的焦点F 作直线⊥l x 轴，交抛物线22y px =于,A B 两点，弦长2=AB p ，此时的弦长称为通径，此为所有的焦点弦中最短的弦. 4、焦点弦的性质（1）过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，则 ①12p AF x =+，22p BF x =+；②12x x ?=定值2 4 p ，12y y ?=定值2 p -； ③ 11||||FA FB +=定值2p ；④()1221122 p x y x y y y +=-+. （2）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作倾斜角为θ（斜率为k ）的直线交抛物线于,A B （A 在B 上方）两点，则 ①1cos p A F θ= -上；②1cos p B F θ=+下；③22 22s 1i 1n p k AB p θ? ?+ =??? =. （3）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线 l 的垂线，垂足分别为,P Q ，设AB 中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则

①AN BN ⊥；②PF QF ⊥；③NF AB ⊥； ④PF AN ⊥；⑤QF BN ⊥； ⑥以AB 为直径的圆与准线相切，切点即为N ； ⑦以()AF BF 为直径的圆与y 轴相切； ⑧2 4PQ AF BF =； 2 4PQF APF BQF S S S ???=?； ⑨2 32sin ABQP p S θ =四边形. （4）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线 l 的垂线，垂足分别为,P Q ，准线l 与x 轴交于H 点，O ①AHF BHF ∠=∠； ②,,A O Q 三点共线； ③,,B O P 三点共线；（5）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于E 点，则 1 2 EF AB = . （6）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于,A B 两点，G 为准线上的一动点，且直线GA 、GF 、GB 的斜率均存在，则直线GA 、GF 、GB 的斜率成等差数列，即2GA GB GF k k k +=. 5、过点()(),00M m m >的直线交抛物线()220y px p =>于()()1122,,,A x y B x y 两点，则 ①12x x ?=定值2m ；②12y y ?=定值2pm -； ③2OA OB m p ⊥?=；④m p =时， 2211||||MA MB += 定值2 1 p . 6、设点是抛物线()220y px p =>的焦点，12,,,n P P P 是抛物线上的n 个不同的点，若 120n FP FP FP ++ +=，则12n FP FP FP np ++ +=.

抛物线及其性质知识点大全

抛物线及其性质 1 .抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线. 2.抛物线四种标准方程的几何性质： 3 ?抛物线寸 2 px( p 0)的几何性质： (1)范围：因为p>0,由方程可知x> 0,所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大,

说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.

y kx b y 2 2px k 2x 2 2(kb p)x b 2 (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向. ⑶顶点(0，0)，离心率： e 1，焦点F(E,0)，准线x —，焦准距p. 2 2 2 ⑷ 焦点弦：抛物线 y 2px(p 0)的焦点弦 AB , A(x i , yj , B(X 2,y 2),则 | AB | X i X 2 p . 弦长|AB|=x 1+X 2+P ，当X i =X 2时，通径最短为 2p 。 4.焦点弦的相关性质: 焦点弦AB , A(x i ，y i ), B(x 2,y 2)，焦点F(-,0) 2 2 (1)若AB 是抛物线y 2 2pXp 0)的焦点弦(过焦点的弦)，且A^,%) , B(x 2, y 2)，则：xp 2 —, 4 2 yy 2 p 。焦点弦中通径最短长为 2p 。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径. (5)两个相切：①以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切 ?②过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线, 以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 5 ?弦长公式：A(x 1, y 1) , B( x 2, y 2)是抛物线上两点，则 AB .(X 1 X 2)2 (y 1 y 2)2 、1 k 2 |x 1 X 2 | . 1 1 I y 1 y 2 I 6. 直线与抛物线的位置关系直线」-，抛物线? 丫一：", 厂 y -kx￥b ，消 y 得.E +2礙宀 0 (1) 当k=0时，直线I 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； (2) 当k 工0时， △ > 0,直线I 与抛物线相交，两个不同交点； △ =0，直线l 与抛物线相切，一个切点； △ v 0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 (3) 若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不一定) 7. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线 l : y kx b 抛物线- / ， (p 0) ①联立方程法：若AB 是抛物线寸 2p"p 0)的焦点弦，且直线 AB 的倾斜角为a,贝U AB 已知直线AB 是过抛物线y 2 2px(p 0)焦点F ,丄 AF 1 BF AF BF AF ?BF 2 P (aM 0)。 sin 2 AB 2 AF ?BF p

抛物线常用性质总结

结论一：若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则： 2 124 p x x =，212y y p =-。结论二：已知直线AB 是过抛物线2 2(0)y px p =>焦点F ，求证：112=AF BF p + 。结论三：（1）若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则 22sin P AB α = （α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。结论四：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

证明结论二：例：已知直线AB 是过抛物线2 2(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF +为定值。证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+ ，22 p BF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2 124 p x x =。则：212 121211()()()2224AF BF AB AB p p AF BF AF BF x x x x x x ++===?+++++ =22 2()424 AB p p p p AB p =+-+（常数证明：结论四：已知AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 (2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 切。证明：(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 作垂线，垂足分别为M 、P 、N ，连结AP 、BP 。由抛物线定义：AM AF =，BN BF =， ∴111 ()()222 QP AM BN AF BF AB = +=+=， ∴以AB 为直径为圆与准线l 相切（2）作图如（1），取MN 中点P ，连结PF 、MF 、NF ， ∵AM AF =，AM ∥OF ，∴∠AMF=∠AFM ，∠AMF=∠MFO ∴∠AFM=∠MFO 。同理，∠BFN=∠NFO ， ∴∠MFN= 1 2 （∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO ）=90°， ∴1 2 MP NP FP MN ===， ∴∠PFM=∠FMP ∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP ⊥AB

抛物线及其性质知识点大全

3．抛物线) 0(22 >=p px y 的几何性质： (1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2p x -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线) 0(22 >=p px y 的焦点弦AB ， ) ,(11y x A ,),(2 2 y x B ,则p x x AB ++=21 ||．弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。

4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，),(1 1 y x A ,),(2 2 y x B ，焦点(,0)2 p F (1) 若AB 是抛物线2 2(0) y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且1 1 (,)A x y ，2 2 (,)B x y ，则： 2 124 p x x = ，2 12 y y p =-。 (2) 若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α =（α≠0）。 (3) 已知直线AB 是过抛物线 22(0) y px p =>焦点 F ,112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p ++===?? (4) 焦点弦中通径最短长为2p 。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径． (5) 两个相切：○1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 5．弦长公式：),(1 1 y x A ,),(2 2 y x B 是抛物线上两点，则 221212()()AB x x y y =-+-||1 1||12 12 2 12 y y k x x k -+=-+= 6.直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0，直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 7.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法

(完整版)抛物线的性质归纳及证明

抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦. 性质及证明过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的弦两端点为),(11y x A ,),(22y x B ,倾斜角为α,中点为C(x 0,y 0), 分别过A 、B 、C 作抛物线准线的垂线，垂足为A ’、B ’、C ’. 1.求证：①焦半径αcos 12||1-= + =p p x AF ；②焦半径α cos 12||2+=+=p p x BF ; ③1| AF |＋1| BF |＝2p ； ④弦长| AB |＝x 1＋x 2＋p =α 2sin 2p ；特别地，当x 1=x 2(α=90?)时，弦长|AB|最短，称为通径，长为2p ；⑤△AOB 的面积S △OAB ＝α sin 22 p . 证明：根据抛物线的定义，| AF |＝| AD |＝x 1＋p 2，| BF |＝| BC |＝x 2＋p 2 ， | AB |＝| AF |＋| BF |＝x 1＋x 2＋p 如图2，过A 、B 引x 轴的垂线AA 1、BB 1，垂足为 A 1、B 1，那么| RF |＝| AD |－| FA 1 |＝| AF |－| AF |cos θ， ∴| AF |＝ | RF |1－cos θ＝p 1－cos θ 同理，| BF |＝| RF |1＋cos θ＝p 1＋cos θ ∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝ p 1－cos θ＋p 1＋cos θ＝2p sin 2θ . S △OAB ＝S △OAF ＋S △OBF ＝12| OF || y 1 |＋12| OF || y 1 |＝12·p 2·(| y 1 |＋| y 1 |) ∵y 1y 2＝－p 2，则y 1、y 2异号，因此，| y 1 |＋| y 1 |＝| y 1－y 2 | ∴S △OAB ＝p 4| y 1－y 2 |＝p 4(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝p 44m 2p 2＋4p 2＝p 221＋m 2 ＝p 2 2sin θ .

抛物线的性质

?抛物线的性质（见下表）: 抛物线的焦点弦的性质：

?关于抛物线的几个重要结论： (1)弦长公式同椭圆． (2)对于抛物线y2=2px(p>0)，我们有P(x0，y0)在抛物线内部P(x0，y0)在抛物线外部 (3)抛物线y2=2px上的点P（x1，y1）的切线方程是抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是y=kx+ (4)抛物线y2=2px外一点P(x0，y0)的切点弦方程是 (5)过抛物线y2=2px上两点的两条切线交于点M(x0，y0)，则 (6)自抛物线外一点P作两条切线，切点为A,B，若焦点为 F,又若切线PA⊥PB，则AB必过抛物线焦点F．利用抛物线的几何性质解题的方法：

根据抛物线定义得出抛物线一个非常重要的几何性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．利用抛物线的几何性质，可以进行求值、图形的判断及有关证明．抛物线中定点问题的解决方法：在高考中一般以填空题或选择题的形式考查抛物线的定义、标准方程以及几何性质等基础知识，在解答题中常常将解析几何中的方法、技巧与思想集于一身，与其他圆锥曲线或其他章节的内容相结合，考查综合分析问题的能力，而与抛物线有关的定值及最值问题是一个很好的切人点，充分利用点在抛物线上及抛物线方程的特点是解决此类题型的关键，在求最值时经常运用基本不等式、判别式以及转化为函数最值等方法。利用焦点弦求值：利用抛物线及焦半径的定义，结合焦点弦的表示，进行有关的计算或求值。抛物线中的几何证明方法：利用抛物线的定义及几何性质、焦点弦等进行有关的几何证明是抛物线中的一种常见题型，证明时注意利用好图形，并做好转化代换。

(完整版)抛物线及其性质知识点大全

抛物线及其性质 1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔. 开口方向右左上下标准方程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =-> 焦点位置 X 正 X 负 Y 正 Y 负焦点坐标 (,0)2 p (,0)2p - (0,)2p (0,)2p - 准线方程 2 p x =- 2p x = 2 p y =- 2 p y = 范围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ 0,y x R ≥∈ 0,y x R ≤∈ 对称轴 X 轴 X 轴 Y 轴 Y 轴顶点坐标（0,0）离心率 1e = 通径 2p 焦半径11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ 焦点弦长AB 12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++ 焦点弦长AB 的补充 11(,)A x y 22(,)B x y 以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，2 2sin p AB α = 若AB 的倾斜角为α，则22cos p AB α = 2 124 p x x = 212y y p =- 112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p ++===?? 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质： (1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．

抛物线的几何性质

抛物线一、抛物线22(0)y px p =>的简单几何性质 1、范围：因为0p >，由方程22y px =可知，这条抛物线上任意一点M 的坐标(),x y 满足不等式0x ≥，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右. 2、对称性：以y -代y ，方程22(0)y px p =>不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴 3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程22(0)y px p =>中，当 0y =时，0x =，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点. 4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e 表示.按照抛物线的定义，1e = 知识剖析：抛物线的通径：过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点12,M M ，线段12M M 叫作抛物线的通径，将02 p x =代入22y px =得y p =±，故抛物线22y px =的通径长为2p 例1、已知点(),M x y 在抛物线28y x =上，则()22,129f x y x y x =-++的取值范围？分析：本题的实质是将(),f x y 转化为关于x 的二次函数，求二次函数在区间[)0,+∞上的最值. ()()2 2,812925f x y x x x x =-++=++，又[)0,x ∈+∞，所以当0x =时，(),f x y 取得最小值9，当[)0,x ∈+∞时，()()2 ,25f x y x =++，无最大值.故()22,129f x y x y x =-++的取值范围为 [)9,+∞ 答案：[)9,+∞

抛物线及其性质知识点大全和经典例题及解析

抛物线及其性质【考纲说明】 1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。 2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。【知识梳理】 1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔. 开口方向右左上下标准方程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =-> 焦点位置 X 正 X 负 Y 正 Y 负焦点坐标 (,0)2 p (,0)2p - (0,)2p (0,)2p - 准线方程 2p x =- 2p x = 2p y =- 2p y = 范围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ 0,y x R ≥∈ 0,y x R ≤∈ 对称轴 X 轴 X 轴 Y 轴 Y 轴顶点坐标（0,0）离心率 1e = 通径 2p 焦半径11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ 焦点弦长AB 12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++ 焦点弦长AB 以AB 为直径的圆必与准线l 相切

3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质： (1)范围因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点( ,0)2p F ，准线2 p x -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22 >=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||．弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。 4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ，焦点( ,0)2 p F (1) 若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：21 24 p x x =，2 12y y p =-。 (2) 若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α =（α≠0）。 (3) 已知直线AB 是过抛物线2 2(0)y px p =>焦点F , 112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p ++===?? (4) 焦点弦中通径最短长为2p 。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径． (5) 两个相切：○1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 5．弦长公式：),(11y x A ,),(22y x B 是抛物线上两点，则 AB =||1 1||1212212y y k x x k -+ =-+= 【经典例题】（1）抛物线——二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.

高中数学抛物线经典性质的总结

抛物线

焦点弦长 AB 12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++ 焦点弦 AB 的几条性质 11(,) A x y 22(,) B x y 以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α= 若AB 的倾斜角为α ，则22cos p AB α = 2 124 p x x = 212y y p =- 112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p ++===?? 切线方程 00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+ 直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0，直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）（4） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l ：b kx y += 抛物线，)0(φp ① 联立方程法： o x ()22,B x y F y ()11,A x y

???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+， 2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=2 1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 12 12px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+- 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--，即0 y p k AB = ，同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点

抛物线的性质

抛物线的性质（见下表）: 抛物线的焦点弦的性质：

关于抛物线的几个重要结论： (1)弦长公式同椭圆． (2)对于抛物线y2=2px(p>0)，我们有P(x0，y0)在抛物线内部P(x0，y0)在抛物线外部 (3)抛物线y2=2px上的点P（x1，y1）的切线方程是抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是y=kx+ (4)抛物线y2=2px外一点P(x0，y0)的切点弦方程是 (5)过抛物线y2=2px上两点的两条切线交于点M(x0，y0)，则 (6)自抛物线外一点P作两条切线，切点为A,B，若焦点为F,

又若切线PA⊥PB，则AB必过抛物线焦点F．利用抛物线的几何性质解题的方法：根据抛物线定义得出抛物线一个非常重要的几何性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．利用抛物线的几何性质，可以进行求值、图形的判断及有关证明．抛物线中定点问题的解决方法：在高考中一般以填空题或选择题的形式考查抛物线的定义、标准方程以及几何性质等基础知识，在解答题中常常将解析几何中的方法、技巧与思想集于一身，与其他圆锥曲线或其他章节的内容相结合，考查综合分析问题的能力，而与抛物线有关的定值及最值问题是一个很好的切人点，充分利用点在抛物线上及抛物线方程的特点是解决此类题型的关键，在求最值时经常运用基本不等式、判别式以及转化为函数最值等方法。利用焦点弦求值：利用抛物线及焦半径的定义，结合焦点弦的表示，进行有关的计算或求值。抛物线中的几何证明方法：

利用抛物线的定义及几何性质、焦点弦等进行有关的几何证明是抛物线中的一种常见题型，证明时注意利用好图形，并做好转化代换。

抛物线的简单几何性质练习题

课时作业(十三) [学业水平层次] 一、选择题 1．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于( ) A ．2 B ．1 C ．4 D ．8 【解析】抛物线y 2 ＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以点P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p 2＝8，所以p ＝4，即焦点F 到抛物线的距离等于4，故选 C. 【答案】 C 2．(2014·成都高二检测)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( ) A ．2 3 B ．4 C ．6 D ．4 3 【解析】据题意知，△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |＝|FM |， ∴PM ⊥抛物线的准线．设P ? ????m 24，m ，则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m 24，又由F (1,0)，|PM |＝|FM |，得1＋m 24＝(1＋1)2＋m 2，得m ＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为43，故选D. 【答案】 D 3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的

准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2 【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得：????? y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ② ①－②得， (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2)．又∵y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p 4＝p 2 ＝k ＝1，∴p ＝2. ∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1. 【答案】 B 4．(2014·课标Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.303 B ．6 C ．12 D ．7 3 【解析】焦点F 的坐标为? ?? ??34，0，直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33? ?? ??x －34，即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0，

抛物线的标准方程及性质

抛物线的标准方程及性质2018/11/25 题型一、抛物线的标准方程：例题： 1、顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 _______ 2、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为 3、以抛物线y 2＝2px (p >0)的焦半径|PF |为直径的圆与y 轴的位置关系为 4、点M 与点F (4,0)的距离比它到直线:50x +=的距离小1,则点M 的轨迹方程是 _______ 5、抛物线x y =2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 _______ 练习： 1、抛物线的顶点在原点,对称轴是x 轴,点(－到焦点距离是6,则抛物线的方程为 _______ 2、顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线3x-4y =12上的抛物线方程是 _______ 3、已知圆07622=--+x y x ，与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则=p ________ 4、若点A 的坐标是（3，2），F 为抛物线y 2=2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MA |+|MF |取最小值的M 的坐标为 _______ 题型二、抛物线性质：例题： 1、抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于 2、抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0交于两点A 与B ，F 是抛物线的焦点，则|FA |＋|FB |＝________ 3、如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322 --=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围是 4、已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2+y 2=4相交的公共弦长等于23，则这抛物线的方程是练习： 1、过A （－1，1），且与抛物线22y x =+有一个公共点的直线方程为 2、边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，则以O 为顶点，且过A 、B 的抛物线方程是________ 3、若直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，且线段AB 中点的横坐标为2，则线段AB 的长 4、过点Q (4,1)的抛物线y 2＝8x 的弦AB 恰被点Q 平分，则AB 所在直线方程是题型三、抛物线的应用例题： 1、已知圆2290x y x +-=与顶点原点O ，焦点在x 轴上的抛物线交于A 、B 两点，△AOB 的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线C 的方程。

抛物线常用性质总结

结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ， 22(,)B x y ，则：2 124 p x x =，212y y p =-。结论二：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：1 12=AF BF p + 。结论三：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α=（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。结论四：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直

径端点的圆与焦点弦相切。证明结论二：例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF +为定值。证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+，22 p BF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2 124 p x x =。则：212121211()()()2224AF BF AB AB p p AF BF AF BF x x x x x x ++===?+++++ =222()424 AB p p p p AB p = +-+（常数

证明：结论四：已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 (2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N 径的圆与直线AB 相切。证明：(1)设 AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 垂足分别为M 、P 、N ，连结AP 、BP 。由抛物线定义：AM AF =，BN BF =， ∴111()()222QP AM BN AF BF AB =+=+= ， ∴以AB 为直径为圆与准线l 相切（2）作图如（1），取MN 中点P ，连结PF 、MF 、∵AM AF =，AM ∥OF ，∴∠AMF=∠AFM ，∠AMF=∴∠AFM=∠MFO 。同理，∠BFN=∠NFO ， ∴∠MFN=12（∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO ）=90°， ∴12MP NP FP MN ===，

抛物线的焦点弦-经典性质及其证明过程

有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22 =(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21 p x x p x p x BF AF AB ++=+++ =+=2121)2 ()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2p AB = 证: (1)若2 π θ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2 (2)若2 π θ≠ 时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y - =即2 cot p y x +?=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-?-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-= 由弦长公式得θ θθ2 2212 sin 2)cot 1(2cot 1p p y y AB = +=-+= 结论3：过焦点的弦中通径长最小 p p 2sin 21sin 2 2≥∴ ≤θ θΘ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(8 3 2为定值p AB S oAB =? ()8 sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 2 1 sin 21322 20P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB = ∴=???=??=+?=??+??= +=????θθθθθ?θ

结论5： (1) 2 21p y y -= (2) x 1x 2=4 2 p 证44)(,2,22 2 221212 22211P P y y x x p y x p y x ==∴==Θ 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1，过B 点作准线的垂线BB 1，过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 2 2 2 1 11AB BF AF BB AA MM = += += 故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F FA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=ΘΘ 同理?=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF F M ?=2 1 （4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆（5）2 1212 1 4M M B M AM =+ 证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1 Θ11FB A ?为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点 1 11111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴Θ ?=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA Θ ?=∠+∠∴90111FM A AFA ∴M 1F ⊥AB BF AF F M ?=∴2 1 Θ AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥?=∠∴Θ又B AM ?=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，2 212 1 AB B M AM =+ ()()()2 12 12 11 2 42MM MM BB AA BF AF ==+=+= 结论9：（1）、A O 、B 1 三点共线（2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p p y y x y k oB oA 22121 11122,221-=-==== ，而221p y y -= 所以122 2 22oB oA k p y y p p k =-=-= 所以三点共线。同理可征（2）（3）（4）结论10： p FB FA 211=+