双曲函数求导(绝对正确)

双曲正弦函数：(sinhx)'=coshx

双曲余弦函数：(coshx)'=sinhx

双曲正切函数：[tanh(x)]'=1-[tanh(x)]^2

反双曲正弦函数：(arcsinhx)'=(x^2+1)^-0.5

反双曲余弦函数：(arccoshx)'=(x^2-1)^-0.5

反双曲正切函数：(arctanh x) ' = 1/(1-x^2)

PS：自己手推证明上式正确，百度知道里的答案有对有错

反函数和复合函数的求导法则

二、反函数的导数法则 定理1：设)(x f y =为)(y x ?=的反函数，若)(y ?在0y 的某邻域内连续，严格单调，且0)(0≠'y ?，则)(x f 在0x （即)(0y f 点有导数），且) (1 )(00y x f ?'= '。 证明：0 0000)()(1 lim )()(lim )()(lim 000 y y y y y y y y x x x f x f y y y y x x --=--=--→→→???? )(1 )()(lim 100 00y y y y y y y ???'=--= → 所以 ) (1 )(00y x f ?'='。 注1：00 y y x x →? →，因为)(y ?在0y 点附近连续，严格单调； 2：若视0x 为任意，并用x 代替，使得)(1)(y x f ?'= '或)(1 dy dx dx dy =，其中dy dx dx dy , 均为整体记号，各代表不同的意义； 3：)(x f '和)(y ?'的“′”均表示求导，但意义不同； 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。 【例1】 求x y arcsin =的导数， 解：由于]1,1[,arcsin -∈=x x y ，是]2 ,2[,sin π π- ∈=y y x 的反函数，由定理1 得： 2211 sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin x y y y x -= -=='='。 注1：同理可证：2 22 11 )tan (,11)(arctan ,11)(arccos x x arcc x x x x +-='+= '-- ='；

隐函数的求导方法总结

河北地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日

摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)

摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(=οοy x F ，0),(≠οοy x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(οοx f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x

隐函数求导公式

第5节：隐函数的求导公式 教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数。 教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法。 教学难点：隐函数的高阶导函数的计算。 教学方法：讲授为主，互动为辅 教学课时：2 教学内容： 一、一个方程的情形 在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经显化直接由方程 ),(y x f =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式. 隐函数存在定理 1 设函数),(y x F 在点 ),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00=y x F ，, 0),(00≠y x F y ，则方程),(y x F =0在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有 y x F F dx dy -= （2） 公式（2）就是隐函数的求导公式 这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。 将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入，得恒等式 0))(,(≡x f x F , 其左端可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得 ,0=??+??dx dy y F x F

由于y F 连续，且0),(00≠y x F y ，所以存在(x 0,y 0)的一个邻域，在这个邻域内0≠y F ，于是得 .y x F F dx dy -= 如果),(y x F 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x 的复合函数而再一次求导，即得 dx dy F F y F F x dx y d y x y x ???? ??-??+???? ??-??= 22 .23 2222y x yy y x xy y xx y x y x yy y xy y x yz y xx F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F +--=???? ??-----= 例 1 验证方程012 2 =-+y x 在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =，并求这函数的一阶和二阶导数在x =0的值。 解 设=),(y x F 12 2-+y x ，则y F x F y x 2,2==,02)1,0(,0)1,0(≠==y F F .因此 由定理1可知，方程012 2 =-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =。 下面求这函数的一阶和二阶导数 y x F F dx dy -==y x -， 00 ==x dx dy ; 22dx y d =,1) (3 32222y y x y y y x x y y y x y -=+-=---='-- 10 2 2-==x dx y d 。 隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函

反角函数求导公式的证明

反三角函数求导公式的证明 §2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则 一、反函数的导数 设)(y x ?=是直接函数，)(x f y =是它的反函数，假定)(y x ?=在I y 内单调、可 导，而且0)(≠'y ?，则反函数)(x f y =在间},)(|{y x I y y x x I ∈==?内也是单调、可 导的，而且 )(1 )(y x f ?'=' (1) 证明： ?∈x I x ，给x 以增量x ?),0(x I x x x ∈?+≠? 由 )(x f y = 在 I x 上的单调性可知 0)()(≠-?+=?x f x x f y 于是 y x x y ??=??1因直接函数)(y x ?=在I y 上单调、可导，故它是连续的，且反函数)(x f y =在I x 上也是连续的，当0→?x 时，必有0→?y )(11lim lim 00y y x x y y x ?'=??=??→?→?即：)(1)(y x f ?'=' 【例1】试证明下列基本导数公式 ().(arcsin )().()().(log )ln 11 1211312 2 x x arctgx x a x a x '=-'=+'=

证1、设y x sin =为直接函数，x y arcsin =是它的反函数 函数 y x sin =在 )2,2(ππ-=y I 上单调、可导，且 '=≠x y cos 0 因此，在 )1,1(-=x I 上， 有 y x cos 1)arcsin (= ' 注意到，当)2,2(π π-∈y 时，0cos >y ，221sin 1cos x y y -=-= 因此， 211)arcsin (x x -= ' 证2 设x tgy =，)2,2(ππ-=y I 则y arctgx =，I x =-∞+∞(,) tgy x = 在 I y 上单调、可导且 0cos 12>='y x 故 2221111cos )(1)(x y tg y tgy arctgx +=+=='= ' 证3 a x a a a a y y x ln 1ln 1)(1)log (=='= ' 类似地，我们可以证明下列导数公式：

反函数的导数

反函数的导数 首先证明反函数的求导公式： 定理：设)(x f y =为)(y x ?=的反函数，若)y （?在点y 0的某邻域内连续，严格单 调且()0' 0≠y ?，则()x f 在点()()00y x x ?=可导，且()() 00'1 'y x f ?= 证：设()()00y y y x ??-?+=?，()()00x f x x f y -?+=?因为?在0y 的某邻域内连续且 严格单调，故1-=?f 在0x 的某邻域内连续且严格单调，从而当且仅当0=?y 时0=?x ， 并 且 当 且仅当 →?y 时 0→?x ，由()0'0≠y ?，可得 ()()00000'1 lim 1lim lim 'y y x x y x y x f y y x ?= ??=??=??=→?→?→?。 例6 证明： （i ）(a a a x x ln )'(=其中） 1.0(≠>a a 特别地()x x e e =' . (ii) )arcsin ' (x = x 2 -11； ()x arccos '=— x 2 -11 (iii) () x arctan ' = x 2 11 +；() x arc cot ' =— x 2 11 + 证 （i ）由于R x y a x ∈= .为对数函数 ，y x a log = .),0(+∞∈y 的反函数，故由公 式（6）得到 ()a x '=) (log ' 1 y a = e y a log = a a x ln . （ii ）由于)1,1(,arcsin -∈=x x y 是) 2.2(,sin π π-∈=y y x 的反函数，故由公式（6）得到 ()x arcsin ' = () y sin ' 1 = y cos 1 = y sin 2 -11= )1,1(.-112 -∈x x 同理可 证:()x arccos ' =—)1,1(.-11 2 -∈x x

隐函数的求导方法总结

百度文库- 让每个人平等地提升自我 河北地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日

摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)

摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x

反函数求导法则

反函数求导法则 刘云 （天水师范学院数学与统计学院数学与应用数学11级六班 甘肃天水 741000） 摘 要：主要叙述了反函数求导定理，基本初等函数的导数和微分公式，求导定理的推广以及在实际例题中的应用。 关键词：反函数；基本初等函数；求导 引 言 除了少数几个最简单的函数之外，可以直接用定义较方便地求出导数的函数实在是微乎其微，因而就有必要对一般的函数导出一系列的求导运算法则，故本节主要讨论反函数的求导法则以及应用。 1. 反函数求导定理 若函数)(x f y =在()b a ,上连续、严格单调、可导并且0)(≠'x f ,记α))(),(min(-+=b f a f ,))(),(max(-+=b f a f β,则它的反函数)(y f x '=在()b a ,上可导，且有 [])(1)(1x f y f '='-. 证明： 因为函数)(x f y =在()b a ,上连续且严格单调，由反函数连续定理，它的反函数)(1y f x -=在),(βα上存在、连续、且严格单调，这时0)()(≠-?+=?x f x x f y 等价于0)()(11≠-?+=?--y f y y f x ，并且当0→?y 时有0→?x 。 因此

[]y y f y y f y f y ?-?+='--→?-)()(lim )(1101 )()(lim 0x f x x f x x -?+?=→? )(1)()(lim 10x f x x f x x f x '=?-?+=→?. 2.基本初等函数的导数和微分公式： 0)(='C 0*0)(==dx C d 1)(-='a a ax x dx ax x d a a 1)(-= x x cos )(sin =' xdx x d cos )(sin = x x sin )(cos -=' xdx x d sin )(cos -= x x 2sec )(tan =' xdx x d 2sec )(tan = x x 2csc )(cot -=' xdx x d 2csc )(cot -= x x x sec tan )(sec =' xdx x x d sec tan )(sec = x x x csc cot )(csc -=' xdx x x d csc cot )(csc -= 3.求导定理的推广 (1)多个函数线性组合的导函数 ∑∑=='='?? ????n i i i n i i i x f c x f c 11)()(， 其中),,3,2,1(n i c i =为常数。 （2）多个函数乘积的导函数 ∑∏∏=≠==?? ????????'='??????n j n j i i i j n i i x f x f x f 111)()()(.

反函数的求导法则辨析

昨天的文章中提到过反函数的求导法则。反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。这话听起来很简单，不过很多人因此犯了迷糊： y=x3的导数是y'=3x2，其反函数是y=x1/3，其导数为y'=1/3x-2/3.这两个压根就不是互为倒数嘛！ 出现这样的疑问，其实是对反函数的概念未能充分理解，反函数是说，将f(x)的自变量当成因变量，因变量当成自变量，得到的新函数x=f(y)就是原函数的反函数。所以y=x3的反函数严格来说应该是x=1/3y-2/3，只不过为了符合习惯，经常将x写成y，y写成x而已，这一点，因为在中学的时候没怎么强调，所以到了大学就有些不适应。因此： y=x1/3的导函数应该这样求y‘=1/(y3)'=1/(3y2) (因为y的反函数是x=y3)， =1/(3x2/3)=1/3x-2/3.(将y=x1/3带入即可) 实际上反函数求导法则是根据下面的原则 所以反函数求导法则的意思是说，反函数的导数，等于x对y求导的倒数。我们再以反三角函数来作为例子，希望学到这点的朋友能够真正理解他。 例题：求y=arcsinx的导函数。首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以：y‘=1/sin’y=1/cosy 因为x=siny，所以cosy=√1-x2；(那个啥，这个符号输入有点蛋疼，不过各位应该能看懂) 所以y‘=1/√1-x2。

同理大家可以求其他几个反三角函数的导数。所以以后在求涉及到反函数的导数时，先将反函数求出来，只是这里的反函数是以x为因变量，y为自变量，这个要和我们平时的区分开。最后将y想法设法换成x即可。 相信大家对这一点应该有所明白的吧！大家可以试着求y=arctanx的导函数，然后与结果进行对照。

隐函数地求导方法总结材料

地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日

摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)

摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间确定 了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域具有连续偏导数， 且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x 故 1=x dx dy = ) 1,(!y x =1

反函数的导数复合函数的求导法则

§2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则 一、反函数的导数 设)(y x ?=是直接函数，)(x f y =是它的反函数，假定)(y x ?=在I y 内单调、 可导，而且0)(≠'y ?，则反函数)(x f y =在间} ,)(|{y x I y y x x I ∈==?内也是单 调、可导的，而且 )(1 )(y x f ?'= ' (1) 证明：?∈x I x ，给x 以增量x ?),0(x I x x x ∈?+≠? 由 )(x f y = 在 I x 上的单调性可知 0)()(≠-?+=?x f x x f y 于是 y x x y ??=??1 因直接函数)(y x ?=在 I y 上单调、可导，故它是连续的，且反函数 )(x f y =在I x 上也是连续的，当0→?x 时，必有0→?y ) (11lim lim 00y y x x y y x ?'= ??=??→?→? 即： )(1)(y x f ?'= ' 【例1】试证明下列基本导数公式 ().(arcsin )().()().(log )ln 11 121 131 22x x arctgx x a x a x '= -'= +'=

证1、设y x sin =为直接函数，x y arcsin =是它的反函数 函数 y x sin =在 ) 2,2(π π-=y I 上单调、可导，且 '=≠x y cos 0 因此，在 )1,1(-=x I 上， 有 y x cos 1 )arcsin (= ' 注意到，当)2,2(π π-∈y 时，0cos >y ，2 21sin 1cos x y y -=-= 因此， 211)arcsin (x x -= ' 证2 设x tgy = ，)2,2(π π-=y I 则y arctgx =，I x =-∞+∞(,) tgy x = 在 I y 上单调、可导且 0cos 1 2>= 'y x 故 22211 11cos )(1)(x y tg y tgy arctgx +=+=='= ' 证3 a x a a a a y y x ln 1ln 1)(1)log (= ='= ' 类似地，我们可以证明下列导数公式： (arccos )()(ln )x x arcctgx x x x '=- -'=- +'= 1 11 11 22 二、复合函数的求导法则

显函数.隐函数.参数方程求导总结

显函数.隐函数.参数方程求导总结 我在大学以前的函数求导的学习中，学到的都是显函数的求导。显函数这种函数的表达方式的特点是：等号的左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。在这些显函数的求导时，我们都是利用公式。 如：()sin cos x x '=` ()x x e e ' =` ()2 1arcsin 1x x '= -等等。刚开始的时候是一 些很明显的函数。如：sin y x =. 2 455y x x =++ x y e =等。而后来的我 们又学习了一些复合函数。如 x y e = 1 sin y x =等。这时我们就必须 设()y f u =，而()u x ?=则复合函数()y f x ?=????的导数为dy dy du dx du dx =，或()( )()y x f u x ? '''=。 等到了大学我们就碰到了像 3 10x y +-= 这样的，而当变量x 和y 满足一个方程(),y f x y =这种形式时称为隐函数。而对于隐函数的求导一种方法是化成显函数，也就是隐函数的显化。这样就可以用显函 数的求导方法了。例如310x y =-=可以化为3 1y x =-。但实际问题中， 有时需要计算隐函数的导数，因此，我们学习了不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来，下面通过具体例子来说明这种方法： 例 方程0y e xy e +-=所确定的隐函数的导数dy dx 。 解 方程两边分别对x 求导

( )()0y d e xy e dx '+-= y dy dy e y x dx dx ++= 从而y dy y dx x e =-+ y x e +=() 例 方程1sin 02x y y -==所确定的隐函数的二阶导数22 d y dx 。 解 方程两边对x 求导 ()1cos 02x y y '??' -+= ??? 11cos 02dy dy y dx dx -+= 22cos dy dx y = - 方程两边再对x 求导 ()()223 22sin 4sin 2cos 2cos dy dx d y y y dx y y --== -- 之后我们又学习了参数方程，而参数方程的解法不同于显函数隐函数。但也有相同的地方，下面通过具体例子来说明这种方法： 例 已知参数方程为sin cos x t y t =?? =?（t 为参数），求dy dx 。 解 由公式()()cos sin cos sin dy dt t dx dt t t dy dy dt t dx dt dx t t '=== =- ' 例 已知参数方程2 21t x y t ?=?=-?（t 为参数），求2 2 d y dx 。 解 由公式 ()()2 2 11dy dt dx t dt t dy dy dt dx dt dx t '-====- '

反函数的导数的几何直观解释.

反函数的导数的几何直观解释 高一数学组彭晶晶 反函数的导数的概念比较难理解，如果用几何直观方法将有利于我们理解它的意义,下面我们从几何直观法来探讨它． 设函数() y f x =的反函数存在，我们把() f x反函数1() x f y - =记为() x g y =，同时还要满足以下条件： (i)'()0 f x≠， (ii)1() x f y - =的导数存在． 于是,在同一坐标系中,函数() y f x =与它的反函数1() x f y - =的图像重合,如图9所示． 图9 我们已经知道结论: 1 dx dx dy dy =． 它的严格推导过程较复杂,且我们不容易理解, 如果用几何直观方法作辅助,将有利于我们理解它,下面我们就利用几何直观法来分析说明． 我们已经了解了函数() y f x =在点x处的导数为'() f x，它的几何意义是：曲线() y f x =在点(,) x y处的切线斜率，若α表示这条切线l与x轴正向的夹角，如图10所示，则

'()tan f x α=， 所以 '()tan dy f x dx α==． 图10 同理，我们可以知道，函数1()x f y -=在相应的点y 处的导数为'()g y ，'()g y 是曲线()x g y = 在点(,)x y 处的切线斜率．若θ表示切线l 与y 轴正向的夹角，则'()tan g y θ=，则有 '()tan dx g y dy θ==． 由图10可以得到 2ππθπα-+-= ， 即32παθ+=，所以3tan tan 2πθα??=- ??? ，则 1tan tan θα =． 由以上分析,我们这样描述反函数的导数的几何意义: 函数1()x f y -=在相应的点y 处的导数为'()g y ，'()g y 是曲线()x g y =在点(,)x y 处的切线斜率．若α表示这条切线l 与x 轴正向的夹角,θ表示切线l 与y 轴正向的夹角,则 1tan tan θα =． 由于函数()y f x =可以是满足条件(i)，(ii)的任意函数，所以以上结论具

隐函数求导的简单方法

·1· 数学中不等式的证明方法 王贵保 一、利用拉格朗日中值定理 1．拉格朗日中值定理：设)(x f 满足：（1）在闭区间[a , b ]上连续；（2）在开区间（a , b ）内可导，则有一点∈ξ（a , b ），使得 )()()(ξf a b a f b f '=-- 2．从上式可以看出，如果能确定了)(ξf '介于某两个数m 与M 之间，则有如下形式的不等式： m ≤a b a f b f --)()(≤M 因此，欲证形如a b a f b f --)()(或构造成为a b a f b f --)()(形式的不等式，可用该方法。 例1：证明，当x ＞0时，有1-x e ＞x . 证明：由原不等式，因为x ＞0，可改写为x e x 1-＞1的形式，或改写为00--x e e x ＞1的形式，这里t e t f =)(，区间为[0, x ]，于是可用拉格朗日中值定理证明。 令t e t f =)(，∈t [0, x ]，则)(t f 满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在∈ξ[0, x ]有 0--x e e x ＝ξe ＞1 所以，有不等式1-x e ＞x . 例2：证明不等式x +11＜x x ln )1ln(-+＜x 1 （x ＞0） 证明：x x ln )1ln(-+＝x x x x -+-+)1(ln )1ln(这里x b +=1，x a =，于是可对t t f ln )(=在［x , 1+x ］上应用拉格朗日中值定理. 令t t f ln )(= ]1,[x x t +∈ （x ＞0），则)(t f 在［x , 1+x ］上满足中值定理的条件，于是有]1,[x x +∈ξ，即x ＜ξ＜x +1，使得

隐函数的求导方法总结

河北地质大学 课程设计（论文） 题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日

摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)

摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确定了一个隐函数。例如，方程013=-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-，内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2 x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2 x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2 x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x 故 1=x dx dy =) 1,(!y x =1

人教版高中数学(理科)选修几种常见函数的导数

几种常见函数的导数 教学目的 1．通过复习提问使学生巩固反函数的概念； 2．使学生掌握反函数求导法则及其推导方法； 3．使学生会用反函数求导公式推导并熟练掌握四个反三角函数的求导公式． 教学重点和难点 反函数的求导法则和四个反三角函数的求导公式是本节课的重点．本节课的难点是反函数的求导． 教学过程 一、复习提问 1．什么叫函数 y＝f(x)的反函数？ (请一名学生回答．因为反函数是高中一年级所学内容，学生已经生疏，可能答得不好，可由其他学生补充或纠正，最后教师应准确地给学生讲述反函数概念．另外，上一节课应布置学生预先复习反函数概念．) 如果给定函数y＝f(x)的对应关系f是一一对应，那么f的逆对应f-1所确定的函数x＝ f-1(y)就叫做函数y＝f(x)的反函数． 强调指出：这里所说的函数关系f应是一一对应，否则就没有逆对应f-1，也就不可能有反函数x＝f-1(y)． 2．下列函数有反函数吗？若有请写出它的反函数表示式： (1)y＝2x－3；(2)y＝x n(n为正整数)． (请一名学生板演．) n为偶数时，函数关系不是一一对应，故没有反函数． 二、引入新课

为求反函数的导数，自然会想到互为反函数的两个函数的导数之间有无关系，如果有，其规律是什么？为此，我们先就提问第2题的两个实例进行探讨． (1)求y＝2x－3的导数． y x'＝2． (2)求函数y＝x n(n为奇数)的导数 y x'＝nx n-1． 观察：由(1)可见 那么(2)是否也有同样的规律呢？不妨试一试： 讲解新课

如果Δy≠0，上等式显然成立． 事实上，当Δx≠0时，一定有Δy≠0(为什么？请学生思考并回答)．否则不等 至此，我们可以肯定上面所提出的反函数的求导法则如下： 或记作

隐函数的求导方法汇总

隐函数的求导方法汇总

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河北地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日

摘要 (6) 一．隐函数的概念 (6) 二．隐函数求偏导 (6) 1.隐函数存在定理1 (6) 2.隐函数存在定理2 (7) 3.隐函数存在定理3 (8) 三. 隐函数求偏导的方法 (9) 1.公式法 (9) 2.直接法 (10) 3.全微分法 (10) 参考文献 (12)

摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(=οοy x F ，0),(≠οοy x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(οοx f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数 dx dy 在x=1处的值。

反三角函数求导公式的证明

反三角函数求导公式的证明 § 反函数的导数，复合函数的求导法则 一、反函数的导数 设)(y x ?=是直接函数，)(x f y =是它的反函数，假定)(y x ?=在I y 内单调、可 导，而且0)(≠'y ?，则反函数)(x f y =在间},)(|{y x I y y x x I ∈==?内也是单调、可 导的，而且 )(1 )(y x f ?'=' (1) 证明： ?∈x I x ，给x 以增量x ?),0(x I x x x ∈?+≠? 由 )(x f y = 在 I x 上的单调性可知 0)()(≠-?+=?x f x x f y 于是 y x x y ??=??1因直接函数)(y x ?=在I y 上单调、可导，故它是连续的，且反函数)(x f y =在I x 上也是连续的，当0→?x 时，必有0→?y )(11lim lim 00y y x x y y x ?'=??=??→?→?即：)(1)(y x f ?'=' 【例1】试证明下列基本导数公式

().(arcsin )().()().(log )ln 11 1211312 2 x x arctgx x a x a x '=-'=+'= 证1、设y x sin =为直接函数，x y arcsin =是它的反函数 函数 y x sin =在 )2,2(ππ-=y I 上单调、可导，且 '=≠x y cos 0 因此，在 )1,1(-=x I 上， 有 y x cos 1)arcsin (= ' 注意到，当)2,2(ππ-∈y 时，0cos >y ，221sin 1cos x y y -=-= 因此， 211 )arcsin (x x -=' 证2 设x tgy = ，)2,2(ππ-=y I 则y arctgx =，I x =-∞+∞(,) tgy x = 在 I y 上单调、可导且 0cos 12>='y x 故 2221111cos )(1)(x y tg y tgy arctgx +=+=='= '

学法心得

在前一阶段的学习中，我主要是从法律的历史渊源以及总体框架入手，了解了中国的法律体系的相关知识，下面我对我这一阶段学习的情况做一个总结，重点说说自己学法的一些心得体会，不当之处请各位领导和同事批评指正。 首先第一点，简单说一下我国法律发展的历史。 我国的法律历史源远流长，最早的一部法律可以追溯到夏朝，距今已有四千多年的历史，由于处于奴隶社会，所以当时的法律神权色彩极为强烈，到后来的封建社会，重刑、严刑思想占了法律体系的主导地位，法律逐步走向残酷，例如我们都知道的中国历史上最严酷的死刑－凌迟，就出现在这一时期的宋朝，到清末变法，标志着中国近代法律的开始，这一阶段的法律主要体现了废除旧法，提倡男女平等的思想。而在我们所处的当代，我们所说的法律，用通俗的话讲就是为了维护正常的社会秩序，保障正常的人身权利、自由，保护公民、法人或者其他组织的合法权益而制定的一种约束性的、规范性的、惩戒性的条文。由此可见，法律与我们的日常生活是息息相关的。 第二点，简单介绍一下我国现行的法律情况。 改革开放以来，随着我国与世界交往的日益频繁，加上我国自主择业以及流动人口的激增，矛盾的发生与日俱增，不可避免的出现了各种因矛盾而导致的纠纷、损害和诉讼，要合理的、合程序的、合乎规范的来解决各种各样的的问题，就必须依靠法律手段来实现。 为解决社会中出现的一系列问题，也为了更好地维护社会稳定，自九届全国人大以来，全国人大及其常委会共制定了近60件法律和有关法律问题的决定，其中构成有中国特色社会主义法律体系的7个法律部门中基本的、主要的法律大多已制定出来。这7个法律部门是：宪法及宪法相关法、民法商法、行政法、经济法、社会法、刑法、诉讼与非诉讼程序法。可以说我国现行法律体系主要就是有这七种部门的法律构成，但是在谈到对我国法律体系所应包含的具体内容时，社会上却存在分歧，主要有以下两种观点： 一种观点认为，我国的法律体系应该只包括宪法和法律，不包括其它规范性文件，也就是说法律体系只应当是由法律规范所构成的体系。另一种观点认为：我国的法律体系不仅包括宪法和法律、行政法规，还包括地方性法规、民族自治地方的自治条例和单行条例等规范性文件。 我国的立法法对这个问题作了合理的解释：他的主要意思就是说，法律的制定是为了创设权利义务规范，而行政法规的制定则是为实现法律所创设的规范服务。由此可以看出，我国的法律体系，只能是由法律规范所构成，一般意义上的行政法规、地方性法规、自治条例和单行条例等规范，不能看作是国家法律体系的组成部分。 第三点说说我的心得体会。通过近期的学习，我收获很多，能够对我国法律制度建设的现状有一个客观清醒的认识。体会主要有以下几点， 第一：我觉得对法律知识的学习贵在坚持，我们应该注意时时刻刻学习法律，不要等要用法律的时候才意识到自己法律知识不足，出现那种书到用时方恨少的尴尬局面。 第二：我们学法的目的是为了懂法，而懂法的目的就是为了学会用法。这就需要我们领会法的实质，理解法的内涵精髓。我觉得在学习法律的时候，完全可以联系自身实际，结合自身体会，加以通读、领会和贯穿。虽然有些法律条文不需要一字不落的背下来，但是个中脉络要领会清楚。同时还需要我们日常生活中多听多看、多观察、多积累。

隐函数的求导方法总结

河北地质大学课程设计（论文） 题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日

摘要 .......................................................................... 错误!未指定书签。 一．隐函数的概念 .................................................. 错误!未指定书签。 二．隐函数求偏导 .................................................. 错误!未指定书签。 1.隐函数存在定理1 ................................................ 错误!未指定书签。 2.隐函数存在定理2 ................................................ 错误!未指定书签。 3.隐函数存在定理3 ................................................ 错误!未指定书签。 三.隐函数求偏导的方法 .......................................... 错误!未指定书签。 1.公式法 ................................................................... 错误!未指定书签。 2.直接法 ................................................................... 错误!未指定书签。 3.全微分法 ............................................................... 错误!未指定书签。 参考文献 .................................................................. 错误!未指定书签。 摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数偏导数方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确定了一