二次根式经典讲义
1.二次根式具有以下性质：
（1）()a a =2（0≥a ）（2）a a =2
2.常用二次根式运算法则：
（1）ab b a =?（0≥a ，0≥b ）（2）
b a b a =（0≥a ，0>b ） 类型一 二次根式的“双重非负性”
例1（1）要使代数式x
x 1+有意义，x 的取值范围是（ ）． A ．1-≠x B ．0≠x C ．1->x 且0≠x D ．1-≥x 且0≠x
（2）要使代数式34232+---x x x 有意义，那么x 的取值范围是 ．
【变式题组】1.二次根式42+-x 有意义，则实数x 的取值范围是（ ）．
A ．2-≥x
B ．2->x
C ．2 D ．2≤x 2.若代数式3-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）． A ．3-≥x B ．3>x C ．3≥x D ．3≤x 3.函数x x y 2-=中自变量x 的取值范围是（ ）． A ．0≠x B ．2≥x C ．2>x 且0≠x D ．2≥x 且0≠x 4.无论x 取何实数，代数式m x x +-62都有意义，则x 的取值范围为 ． 5.要使代数式211 3----x x 有意义，实数x 的取值范围是 ． 例2 （1）已知2+-+= x x y ，求x y 的值． （2）已知2244x x y -+-=，求y x +得值． （3）若4342-=-+-b a a ，则=-b a 22 ． 【变式题组】6.若02=++-y y x ，则x 、y 的值分别为 ． 7.已知x 、y 为实数，且49922+---=x x y ，则=-y x ． 8.若实数x 、y 满足084=-+-y x ，则以x 、y 的值为边长的等腰三角形的周长为 ． 9.已知实数a 满足a a a =-+-20152014，那么=-22014a ． 类型二 最简二次根式与同类二次根式 例3 （1）下列二次根式a 45，30，2 12 ，240b ，54，()2217b a +中，为最简二次根式的是 ． （2）在下列二次根式中，与a 是同类二次根式的是（ ） A ．a 2 B ．23a C ．3a D ．4a 【变式题组】10.在下列根式a 54，32a ，6，x 8中，最简二次根式有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个[来源:学§科§网] 11.下列四组根式中，是同类二次根式的一组是（ ） A ． 2.5和0.52 B ．a a 3和b b 3 C ．b a 2和2ab D ．3 abc 和ab c 3 类型三 利用二次根式的性质化简 例4 如果式子()212-+-x x 化简的结果为32-x ，则x 的取值范围是（ ）． A ．1≤x B ．2≥x C ．21≤≤x D ．0>x 【变式题组】12.若代数式 ()()2231a a -+-的值是常数2，则a 的取值范围是 ． 13.若x x +=-11，则 ()=-21x ． 14.若a a -=，则=-22a a （ ）． A ．a B ．a - C ．a 3 D ．a 3- 类型四 简单的二次根式的化简与求值[来源:学科网] 例5 （1）计算：()5313532 0-??? ??-+----π （2）计算：??? ? ??-+483137512 （3）把()a b b a --1根号外的因式移到根号内结果为（ ）． A ．b a - B ．a b - C ．a b -- D ．b a -- 【变式题组】15.计算： 5022 145.0821+-- 16.计算：()1 03131312-??? ??--+-- 17.（1）化简： x x x x 1246932-+，并将自己喜欢的x 的值代入化简结果进行计算． （2）代数式a a 1-化简为（ ）． A ．a - B ．a -- C ．a D ．a -[来源:学科网ZXXK] （3）化简22x x x --?的结果为（ ）． A ．2--x B ．2+x C ．2+-x D ．2---x 例6 （1）先化简，再求值：??? ? ??+-÷+-ab b a ab b a b a 2122222 2，其中32+=a ，32-=b （2）已知正实数a ，b 满足：1=+b a ，且 41111-=+---+--+-a b a b a b a b ，则=b a ． 【变式题组】18.（1）已知13+=x ，13-=y ，则=-22y x ． （2）先化简，再求值：1221132+--÷??? ??---x x x x x ，其中2-=x 19.已知??? ??-=n n x 20071200721，n 是大于1的自然数，那么() n x x 21+-的值是（ ）． A ．20071 B ．20071- C ．()200711n - D ．()2007 11n -- 20.设0>m ，m x x =--+13，则代数式13-++x x 的值是 （用m 表示）． 课外练习 1.函数11 --=x x y 自变量x 的取值范围是 ． 2.若代数式()231 -+x x 有意义，则实数x 的取值范围是（ ）． A ．1-≥x B ．1-≥x 且3≠x C ．1->x D ．1->x 且3≠x 3.计算：9182132 --+??? ??-- 4.先化简，再求值：??? ? ??-÷-x y y x 111，其中23+=x ，23-=y 5.若11 =-a a ，则a a +1 的值为（ ）． 6.把 m m 1-根号外的因式移到根号内，得（ ）． A ．m B ．m - C ．m -- D ．m - 7.若41=+a (0 -= ． 8.＜0)得（ ） A B C D 9.已知实数x ，y 满足40x -，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A ． 20或16 B ． 20 C ．16 D ．以上答案均不对 10.若0＜x ＜1 ） A x 2 B －x 2 C －2x D 2x 11.，则＝＿＿＿＿＿ 12.把根号外的因式移到根号内： （1）() a a --111 ； （2）()0,0< y x 13.已知y ＝2x －5＋5－2x －3，则2xy 的值为 14.已知a ＝5＋2，b ＝5－2，则a 2＋b 2＋7的值为 ． 15.把（2－x ）1x －2 的根号外的（2－x ）移入根号内得 ． 16.阅读下面的解题过程： 化简：4＋23＋4－23。 解法一： 原式＝3＋23＋1＋3－23＋1 ＝（3）2＋23＋1＋（3）2－23＋1 ＝（3＋1）2＋（3－1）2 ＝3＋1＋3－1 ＝2 3 解法二： 设x ＝4＋23＋4－23，则x ＞0， 则有x 2＝4＋23＋24＋23·4－23＋4－2 3 ＝8＋4 ＝12 所以x ＝2 3 请你用上面的方法（任选一种），解答下列的问题： 化简：2＋3＋2－3。 2210b b -+=22 1||a b a +- 二次根式知识清单及典型题型练习 姓名________ 1.二次根式：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。 ) )00x x ><中，二次根式有 个 二次根式有意义的条件： ①当__________时， 1 1 m +有意义；②当__________ x 有（ ）个．A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数 变式：已知x,y 都是实数,且满足5.011+-+-< x x y ,化简 1 1--y y =_________. 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 练．下列式子为最简二次根式的是( ) 3.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2 ） 利用二次根式的性质化简：①．若0x <，则x = ；②．若0,0a b <>，则 = ；2 = ；④若0xy ≠，=-成立的条件是 ；⑤若01x <<等于 ． ⑥= ；⑦3y =，x +y 的平方根=_____. 4.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 练：下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ） A ．2112与 B ．2718与 C ．3 13与 D ．5445与 变式：若最简二次根式____,____a b ==。 5.二次根式的运算： （1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． a （a ＞0） ==a a 2 a -（a ＜0） 0 （a =0）； （2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a = （a>0，b≥0） （特别应注意a 、b 的取值） 练：①使等式 ()()1111x x x x +-= -+g 成立的条件是 。 ②当x __________时， 22 x x x x =--有意义； ③计算： ( ) 483273_____________-÷=；33 23121418÷???? ? ?++-= 6、二次根式的大小比较（通常采用平方法，作差法，求倒法） 比较大小：①23- 32- ②53- 23+ ③76- 65- 变式：设25,3223-=-=-= c ，b a ,则a 、b 、c 的大小关系 7、在实数范围内分解因式 在实数范围内分解因式。（1）4x 2－3= ；（2）9y 4－4= 8、规律性问题 练：观察下列各式及其验证过程： ， 验证：； 验证:. （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4 4 15 =_________； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验证过程. 变式： 已知，则a _________ 巩固练习： 1、下列根式中，最简二次根式为：（ ） A 0.2b B ．x 2 4- C ． x 4 D ．()x +42 二次根式拓展提高（讲义） 一、知识点睛 1． 理解二次根式的双重非负性，辨识四类典型形式． (1)若20x y z ++=，则_____x y _____z _____，，．=== (2)若出现2x -或x -，则x _____=． (3)若x 和x -同时存在，则x _____=． (4)2_______x =；2()=_______x ． 2． 根据数轴和线段的几何特征建等式． c b a C B A 如图，数轴上三点A ，B ，C 对应的实数分别为a ，b ，c ，若点A 与点B 关于点C 对称（即C 是线段AB 的中点），则线段AC =_______，BC =_______，因为AC =BC ，所以a ，b ，c 的数量关系是______________. 3． 完全平方公式在二次根式化简中的应用． (1)222_________a ab b ±+=； (2)若00m n ＞ ，＞，则 ()()22 22m mn n m mn n ++=++()2_________.m n =+= 4． 实数比较大小． (1)作差法 (2)形似法 (3)乘方法 (4)分母有理化 二、精讲精练 1．若x ，y 为实数，且220x y ++-=，则2013x y ?? ???的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2 2．已知212102 x y y ++++=，则y x =___________． 3．一个数的平方根是22+a b 和4a -6b +13，求这个数． 4．若a ，b 为实数，且满足()1110a b b +---=，则 20132012a b -=________． 5．若21--x 有意义，则x 的值为________． 6．化简()2 241121711a a a a +--+----=________． 7．若223y x x =-+--，则y x =________． 8．若224412-+-+=-x x y x ，则3x +4y =________． 9．当1<<4x 时，化简：2212816．x x x x -++-+ 10．实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示： a b c 0 化简：()()323a c b a b a c +--++ -． 11．化简：()2 244123x x x -+- -． 第五章二次根式 【知识网络】 知识点一：二次根式的概念 形如…（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被幵方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是J为二次根式的前提条件，如J，& I,二「’等是二次根式，而J ，丿厂■等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a± 0时，" 有意义，是 二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被幵方数大于 或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a< 0时, ■■ 没有 意义。 知识点三：二次根式二（』匚）的非负性 ^:）表示a的算术平方根，也就是说，门（二/ ）是一个非负数， 即Z 10 （“ _「）。 注：因为二次根式二）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数, 0的算术平方根是0,所以非负数（）的算术平方根是非负数，即「上 0 （），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类 似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0 ;若八」，则a=0,b=0 ;若“、-，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（厂）：的性质 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式）是逆用平方根的定义得出的结论。 上面的公式也可以反过来应用：若心：，则如：—w. 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1化简爲「时，一定要弄明白被幵方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0,则等于a本身，即&二；若a是负数，则等于a的相反数-a, 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，='一定有意义； 3、化简勺丁时，先将它化成’，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：、'与打的异同点 1不同点：二八与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而“'表示一个实数a的平方的算术平方根；在中^ ：|，而中a可以是正实数，0,负实数。但-、宀与都是非负数，即'，&兰°。因而它的运算的结果是有差别的，(亦尸，而 2、相同点：当被幵方数都是非负数，即时，―' 二扛；-「时，无 意义，而八 '. 知识点七：二次根式的运算 1. 二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母 中不含根号. (2) 注意知道每一步运算的算理； (3) 乘法公式的推广： 2. 二次根式的加减运算 先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质； 3. 二次根式的混合运算 二次根式的概念与性质1 一．选择题（共30小题） 1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥， 其中一定是二次根式的有（） A．5个B．4个C．3个D．2个 2．下列判断正确的是（） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 3．下列各式中①；②；③；④；⑤一定是二次根式的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．下列各式中，二次根式有（） ①②③④ A．1个B．2个C．3个D．4个 5．下列各式中：①；②；③；④．其中，二次根式的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个 6．在式子，，，，（x≤0）中，一定是二次根式的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 7．x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（） A．B．C．D． 8．若有意义，则x满足条件是（） A．x≥﹣3且x≠1B．x＞﹣3且x≠1C．x≥1D．x≥﹣3 9．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x＜2B．x≥2C．x=2D．x＜﹣2 10．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（） A．x≠3B．x＜3C．x＞3D．x≥3 11．使二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围在数轴上表示为（）A．B． C．D． 12．二次根式中，字母a的取值范围是（） A．a B．a C．a D．a 13．使式子+成立的x的取值范围是（） A．x≥﹣2B．x＞﹣2C．x＞﹣2，且x≠2D．x≥﹣2，且x≠2 14．若式子有意义，则实数m的取值范围是（） A．m＞﹣2B．m＞﹣2且m≠1C．m≥﹣2D．m≥﹣2且m≠1 15．代数式+中x的取值范围在数轴上表示为（） A．B． C．D． 16．下列说法正确的个数有（） ①代数式的意义是a除以b的商与1的和； ②要使y=有意义，则x应该满足0＜x≤3； ③当2x﹣1=0时，整式2xy﹣8x2y+8x3y的值是0； ④地球上的陆地面积约为14900万km2，用科学计数法表示为1.49×108km2． A．1个B．2个C．3个D．4个 17．使代数式有意义的整数x有（） 专题一二次根式【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如.a _0（a 一0）的式子叫做二次根式。二次根式的实质是一个非负数数a的算数平方根。 【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。 例 1 下列各式1）L；,2）.飞,3） - -X22,4）、一4,5）L（-；）2,6）.,口,7）, a2—2a 1， 其中是二次根式的是_________ （填序号）. 例2使，x +“ ；x-2有意义的x的取值范围是（） A ,x > 0 B ,x 丰 2 C.x>2 D ,x > 0 且 2.[来源：学*科* 网Z*X*X*K]例 3 若y= .、X -5 + _ 5 -X +2009，则x+y= ______________ 练习1使代数式有意义的x的取值范围是（） x —4 A 、x>3 B x> 3 C x>4 D、x >3 且x丰4 练习2若x —1 - .1—x = （x y），则x —y 的值为（） A. —1 B . 1 C . 2 D . 3 例 4 若a—2|+5/^5 =0,贝U a2—b= ____________________ 。 例5 在实数的范围内分解因式：X4 - 4X 2 + 4= ________ ___________ 例6 若a、b为正实数，下列等式中一定成立的是（）： A、诟+ 品=^a2+b2; B、寸（a2+b2）2=a2+b2； C、（ .a + . b ）2= a2+b2; D、. （a—b）2=a—b; 【知识点2】二次根式的性质：（1）二次根式的非负性，■. a 一0（a 一0）的最小值是0;也就是说=（「：—?）是一个非负数，即二二0 注：因为二次根式=（，二I）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正 二次根式的概念与性质 编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨 一、目标认知 1.学习目标： 理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论： ，，，并利用它们进行计算和化简．2.重点： ；，及其运用． 3.难点： 利用，，解决具体问题. 二、知识要点梳理 知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 知识点二：二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 要点诠释： 二次根式(a≥0)的值是非负数，其性质可以正用亦可逆用，正用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有利于在实数范围内进行因式分解. 知识点三：代数式 形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包 括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子 为代数式(algebraic expression). 三、规律方法指导 1.如何判断一个式子是否是二次根式？ (1)必须含有二次根号，即根指数为2； (2)被开方数可以是数也可以是代数式但必须是非负的，否则在实数范围内无意义. 2.如何确定二次根式在实数范围内有意义？ 要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为非负数.要确定被开方数中所含字母的取值范围，可根据题意列出不等式，通过解不等式确定字母的取值范围.当二次根式 作为分母时要注意分母不能为零. 经典例题透析 类型一：二次根式的概念 1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)； 不是二次根式的有：、、、． 2、当x是多少时，在实数范围内有意义？ 思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥时，在实数范围内有意义． 第十六章二次根式 16. 1 二次根式 第1课时 二次根式的概念和性质 ：?< 1. 二次根式的概念和应用. 2. 二次根式的非负性. 重点 二次根式的概念. 难点 二次根式的非负性. 一、情景导入 师：(多媒体展示)请同学们看屏幕 电视节目信号的传播半径 r/km 与电视塔高h/km 之间有近似关系r = yj 2Rh(R 为地球半径).如 果两个电视塔的高分别为 h i km , h 2 km ,那么它们的传播半径之比为多少？同学们能化简这个式 子吗？ 由学生计算、讨论后得出结果 ，并提问. 生：半径之比为亠2Rh ；,暂时我们还不会对它进行化简. 师：那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简.如何进行二次根式的运算？如 何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容. 二、新课教授 活动1：知识迁移，归纳概念 (1) 17的算术平方根是 __________ ； (2) 如图，要做一个两条直角边长分别为 7 cm 和4 cm 的三角形，斜边长应为 ____________ c m ； 2 (3) —个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m ,则它的宽为 _________________ m ; (4) 面积为3的正方形的边长为 ____________ ,面积为a 的正方形的边长为 ___________________ ; (5) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t(单位：s)与开始落下时的高度 h(单位: m)满足关系h = 5『.如果用含有h 的式子表示t ,则t= ______________ . 【答案】(1).17 (2) 65 (3).65 (4) 3 a ⑸- ；'5 活动2:二次根式的非负性 (多媒体展示) _ (1) 式子.a 表示的实际意义是什么？被开方数 a 满足什么条件时，式子."a 才有意义？ (2) 当a >0时，百 ___________ 0；当a = 0时，需 ___________ 0；二次根式是一个 ____________ . 【答案】(1)a 的算术平方根，被开方数a 必须是非负数 (2) > = 非负数 老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性. 当a >0时，，a 表示a 的算术平方根，因此a > 0; 当a = 0时，，a 表示0的算术平方根，因此,-/a = 0. 也就是说，当a > 0时，? a 》0. ,这是东方明珠电视塔. (多媒体演示)用含根号的式子填空. 6 8 1 2 24 a + 1 a +1 2 3 5 6 6 2 3 3 3 75 8 32 二次根式加减运算（讲义） ? 课前预习 1. 有理数混合运算的操作步骤： ①观察 ，划 ； ②有序操作，依 ； ③ ． 2. 两大公式： ①平方差公式 ； ②完全平方公式 ． 3. 数轴上 A ，B 两点对应的实数分别为 1，3，点 B 关于点 A 的 对称点为 C ，若点 C 表示的数为 x ，则 x = ． ? 知识点睛 1. 同类二次根式： ． 2. 二次根式的加减法则： ① ；② ． 3. 实数混合运算顺序： 先算 ，再算 ，最后算 ．如果有括号， 先算括号里面的． ? 精讲精练 1. 下列各式与 是同类二次根式的是（ ） A. B ． C ． D ． 2. 与最简二次根式5 是同类二次根式，则 a = ． 3. 已知最简二次根式2 与则 a = ． 的和是一个二次根式， 4. 下列计算正确的是（ ） A ． + = B ． + = 6 C ． 2 + = 2 5. 计算： D ． 2 - = （1） 3 + ； （2） 3 - 5 ； 解：原式= 解：原式= 3 12 4 - 2a 2 3 24 2 3 18 8 9 2 3 1 10 10 24 1 2 2 28 700 1 3 48 32 8 49 2 1 8 2 （3） - 9 ； （4） - ； 解：原式= 解：原式= （5） - ； （6） -10 + ； 解：原式= 解：原式= （7） + - 54 ； （8） - 3 + ； 解：原式= 解：原式= （9） - + ； （10） 2 - 6 + 3 ． 解：原式= 解：原式= 6. 计算： （1） 50 ? ÷ - ；（2）( 45 + ? 18) - 2 ? - 20 ； ? ? ? 解：原式= 解：原式= （3） 1 ( + 3) - 3 ( + 27) ； 2 4 解：原式= 3 2 40 25 6 32 1 7 12 2 二次根式的概念及性质练习题 班级 姓名 一．判断题（对的打“∨”，错的打“×”） （1x 的取值范围是x<0 （ ） （2中字母x 的取值范围是x ≤3 4 （ ） （3）当x=-1 （ ） （4）当a=-4（ ） （5）2= —12 （ ）;（6—1 2 （ ） （7）2= —1 2 （ ）;（8）（2 =2×1 2=1 （ ） 二、填空题： 1．b ≥3）s ≥0）a （0≥a ）的代 数式，叫做_______． 2．当x______ 时， 3 x 的取值范围是_______ ． 4． （7） 2 =________；（8 +（ 2=________． （10 ． 5．当x=-2 _______． 6．当a取______ 时， 7．当x取______ 8．当m=-2 值为________． 9、若直角三角形的两直角边分别是2cm 和acm，则直角三角形的斜边长是_______ 10、若正方形的面积是（b-3）cm2,则正方形的边长是_________。 三、选择题： 1．下列各式中，哪一个是二次根式（） A ． ( ( ()( () ( ()( 2 2 3 1_____,2______,3_____, 4_____,5____,6____. === === 2 ．使代数式2 x +有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≠-2; B ．x ≤12且x ≠-2; C ．x<12 且x ≠-2; D ．x ≥1 2且x ≠-2 3．下列各式中一定成立的是（ ） A =3+4=7 B C ．（ 2 D =1-13=2 3 四、求下列二次根式中字母的取值范围： 五、计算：（1 -（12）2; （2） （ 3） 4时x 的值． ( )( )( )123( 4 二次根式 【知识要点】 必杀技:要注意二次根式中字母的取值范围： 被开方数必须是非负数． 1． 二次根式的主要性质： ①???<-≥==002a a a a a a ; ②()a a =2(),0≥a ; ③()0,0≥≥?=b a b a ab ④()0,0>≥==b a b ab b a b a ； ⑤()()b a b a b a b a b a b a --=-+-=+1 ; ⑥b a b a b a -+=-1. A 、最简二次根式：被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式,像这样的二次根式成为最简二次根式 最简二次根式的条件： ①根号内不含有开的尽方的因数或因式 ②根号内不含有分母 ③分母不含有根号 B 、同类二次根式:被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式 C 、乘法公式:)0,0______(≥≥=?b a b a ；反之:)0,0_______(≥≥=b a ab D 、除法公式：)0,0______(>≥=b a b a ;反之：)0,0______(>≥= b a b a E 、合并同类二次根式：__________________;=-=+a n a m a n a m 【典型例题】 例1.x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？ （1）1+x ； （2)23-x ； (３） 123+x ; (4)x 231-. 例２．若a a ---33有意义,则a 的值为＿______＿__＿_＿＿． 例3．若22)2()2(-=-x x ，则x 的取值范围是＿＿_＿＿_＿___＿＿_＿_＿. 例４.已知2<ｘ<3，化简:3)2(2 -+-x x ． 例5.数ａ、b 在数轴上的位置如图所示，化简222)()1()1(b a b a ---++. 例1、乘法运算 (1）)169()25(-?- (2）1527? （3）2 28n m (4）a a 122532?- 例2:除法运算 （1）354- (2）531513÷ (3）921.150 04.0?? （ 4)2294a b 例３：加减混合运算 （1）4832 31531 1312--+ 《二次根式和它的性质》教案1 教学内容 二次根式的概念及其运用． 教学目标 a≥0)的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键 1 a≥0)的式子叫做二次根式的概念． 2 a≥0)”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 (学生活动)请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3 x ，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是 ___________． 问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是______ ____． A C 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． 老师点评： 问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x 求点的坐标 ． 问题2：由勾股定理得AB 问题3：由方差的概念得S 二、探索新知 a ≥0)的式子叫做二次根 式， (学生活动)议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a <0 下列式子，哪些是二次根式，、1x x >0、 -1x y +x ≥0，y ≥0)． ；第二，被开方数是正数或0． x >0)、(x ≥0，y ≥0)；不是二次根 1x 1x y +． 例题解析 例1 当x 在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x -1≥0才能有意义． 解：由3x -1≥0，得：x ≥13 当x ≥13在实数范围内有意义． 例2 计算 （1）；）（215 （2）；）-（2830. （3）. 223）-（ 三、应用拓展 当x 11x +在实数范围内有意义？ 11x +在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和 第一讲、二次根式的概念和性质 第一部分、 教学目标： 1、理解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的判定方法。 2、利用0≥a 的性质解决问题。 第二部分、 教学重点和难点： 1、掌握二次根式的双重非负性性质，并利用0≥a 解决化简问题。 2、利用二次根式的性质进行式子的化简。 第三部分、 教学过程： 例题讲解： 例1、在式子)0(2 >x x ，2，y x x x x y y ++<--=+，，，1,3)0(2)2(123中，二次根式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 【分析】根据二次根式的定义对各数分析判断即可得解． 【解答】解：根据二次根式的定义，y ＝﹣2时，y +1＝﹣2+1＝﹣1， 所以二次根式有 1),0(2,2),0(22+<->x x x x x 共4个． 故选：C ． 练1.1、下列的式子一定是二次根式的是（ ） A ．2--x B ．x C ．22+x D ．22-x 【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如 （a ≥0）的式子叫做二次根式可得答案． 【解答】解：根据二次根式的定义可得 中得被开方数无论x 为何值都是非负数， 故选：C ． 练1.2、下列代数式中，属于二次根式的为（ ） A ．4- B ．3x - C ．1-a （a ≥1） D ．2-- 【分析】根据二次根式的定义得出形如：（a ≥0）是二次根式，进而判断即可． 【解答】解：A 、 ，﹣4＜0，故不是二次根式，故此选项错误； B 、 ，是三次根式，故不是二次根式，故此选项错误； C 、 （a ≥1），则a ﹣1≥0，故是二次根式，故此选项正确； D 、﹣，﹣2＜0，故不是二次根式，故此选项错误； 故选：C ． 例2、使二次根式3-x 有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≠3 B ．x ＞3 C ．x ≥3 D ．x ≤3 【分析】二次根式的被开方数是非负数，即x ﹣3≥0． 【解答】解：依题意得：x ﹣3≥0． 解得x ≥3． 故选：C ． 练2.1、若式子 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x 且x ≠1 B ．x ≠1 C ．x 且x ≠1 D ．x 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，2x ﹣1≥0且x ﹣1≠0， 解得x ≥﹣且x ≠1． 故选：A ． 练2.2、要使1213-+ -x x 有意义，则x 应满足（ ） A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．2 1＜x ≤3 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得， ， 解不等式①得，x ≤3， 解不等式②的，x ＞， 所以，＜x ≤3． 二次根式及其性质（2） 鄌郚镇中学 郑全河 教学目标： 1. 会根据 ，以及 进行化简。 2. 知道什么是最简二次根式，会辨别最简二次根式。 3. 掌握二次根式乘、除法运算法则，会熟练进行计算，并将结果写为最简二次根式。 重点、二次根式的性质及运算法则 难点、（1） 化简的分类讨论。 （2）熟练进行二次根式的乘、除法运算及将二次根式化为最简二次根式。 教学过程： 一、观察与思考： 当a ≥0时，a 2的算术平方根是多少？由此你能得到一个怎样的等式? 当a ≥0时, =a 例3 化简： （1）16， （2）2)5(- 解：16＝4 2)5(-＝5 想一想，当a ≥0时, 表示a 的算术平方根，因此有 ， 二、交流与发现： 计算下列各式，观察结果，你有什么发现？ ［1］ 94? 94? ［2］ 2516? 2516? ［3］ 4936? 4936? ［4］ 8164? 8164? ［5］ 121100? 121100? 这就是说，积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积［注：在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数。］ 探一探 用你发现的规律填空［判断是否相等］： ab a b a 0b 0=≥≥（ ，） 32?____________ 6 52?____________ 10 例4 化简 8116? ； 324b a 解：8116?= 324b a = 三、二次根式的性质 的化简： （1） 对于 的化简，注意对被开方数 ，需考察它的正负数，若a 为非负数，即 ，则 ；若a 为负数，则 。显然这和绝对值的化 简是一致的，所以对这一性质，也可以记出中间过程 。 （2）公式 与公式 的比较 ①公式 的左边是对a 先进行开平方再平方，a 是被开方数，所以必须有 的条件，否则 在实数范围内无意义；而公式 的左边 是对a 先平方再开平方， 是被开方数，所以a 取任何实数，总有 ，因此公式 在实数范围内总有意义。 ②只有在 时， 四、交流与发现： 计算下列各式，观察结果，你有什么发现？ 小结：一般的， 这就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 例5 化简 解：（让同学上黑板演示） 跟踪练习： 阶段小结：（1）怎样形式才算是最简二次根式？ ②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。 注：对最简二次根式可作如下理解： ①被开方数不含分母。 ()()2925210031y x 972)1()2 81(2)025x x > 一、选择题 1．下列式子为最简二次根式的是（ ） A B C D 2．下列运算中，正确的是 ( ) A ． 3 B ．×=6 C ． 3 D ． 3．已知2a =，2b =的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4． ） A ．－3 B ．3或－3 C ．9 D ．3 5．在函数y=3 x -中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≥－2且x≠3 B ．x≤2且x≠3 C ．x≠3 D ．x≤－2 6．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）. A ． B C D 7．下列各式计算正确的是（ ） A += B ．26=（ C 4= D = 8．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A B C D 9．下列运算中正确的是（ ） A ．= B === C 3 === D 1== 10．已知，5x y +=-，3xy =则的结果是（ ） A ． B ．- C ． D ．-二、填空题 11．3 =，且01x <<=______． 12．实数a ，b +|a +b |的结果是 _____． 13．已知()230m m --≤，若整数a 满足52m a +=，则a =__________． 14．已知72 x =-，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，则a-b=_______ 15．已知m=1+ 2，n=1﹣2，则代数式22m n mn +-的值________． 16．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则3a b -=______. 17．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()222a b a b -+-＝_____． 18．4x -x 的取值范围是_____ 19．已知23x =243x x --的值为_______． 20．12a 1-能合并成一项，则a =______． 三、解答题 21．计算： 22322343341009999100 +++++【答案】 910 【解析】 【分析】 先对代数式的每一部分分母有理化，然后再进行运算 【详解】 2232234334 1009999100++++++ =2232234334100999910026129900 -++++ =223349910012233499100- +-+-++- =1001100- =1110- =910 【点睛】 二次根式的有关概念及性质 一、二次根式的有关概念： 1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而，，5，都是最简二次根式。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。 二、二次根式的性质： 1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)； 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=·（a≥0,b≥0）。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a≥0,b>0）。 三、例题：例1.x为何值时，下列各式在实数围才有意义： （1）（2）（3） （4）+（5）（6）+分析：这是一组考察二次根式基本概念的问题，要弄清每一个数学表达式的含义，根据分式和根式成立的条件去解，即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于零。 解：（1）∵ 6-x≥0,∴x≤6时原式有意义。 （2）∵ x2≥0, ∴ x2+3>0, ∴ x取任意实数原式都有意义。 （3） ∵∴∴当x<3且x≠-3时，原式有意义。 （4） ∵∴∴当-≤x<时，原式有意义。 （5） ∴∴当x≥0且x≠1时，原式有意义。 （6） ∵∴∴ x=2 ∴当x=2时，原式有意义。 例2.写出下列各等式成立的条件： 数学二次根式(讲义及答案)含答案 一、选择题 1．5﹣x ，则x 的取值范围是（ ） A ．为任意实数 B ．0≤x≤5 C ．x≥5 D ．x≤5 2．下列式子为最简二次根式的是（ ） A B C D 3．下列各式成立的是（ ） A 3= B 3= C ．22(3 =- D ．2-= 4．下列各式计算正确的是（ ） A = B = C ．23= D 2=- 5．下列各式计算正确的是（ ） A = B 6= C ．3+= D 2=- 6．下列各式中正确的是（ ） A 6 B 2=- C 4 D ．2(＝7 7．若a ，b ＝，则a b 的值为（ ） A ． 1 2 B ． 14 C ． 3 21 + D 8．下列各式计算正确的是（ ） A += B ．2 6=（ C 4= D = 9．若|x 2﹣4x+4|x+y 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．9 10．设0a >，0b >=的值是 （ ） A ．2 B ． 14 C ． 12 D ． 3158 11．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ） A B C D 12．2 30x -=成立的x 的值为（ ） A ．-2 B ．3 C ．-2或3 D ．以上都不对 二、填空题 13．比较实数的大小:(1)5?-______3- ；（2）51 -_______12 14．已知实数,x y 满足()( ) 2 22008 20082008x x y y ----=，则 2232332007x y x y -+--的值为______. 15．计算（π-3）02-2 11(223)-4 --22 --（） 的结果为_____． 16．把31 a a - 根号外的因式移入根号内，得________ 17．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“ ”表示算数平 方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为： 22164?a x a x +=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________. 18．化简：3222＝_____． 19．函数y ＝ 42 x x --中，自变量x 的取值范围是____________． 20．28n n 为________． 三、解答题 21．计算： 2232234334 1009999100 + ++++【答案】 910 【解析】 【分析】 先对代数式的每一部分分母有理化，然后再进行运算 一、选择题 1．下列计算，正确的是（ ） A ．= B ．= C ．0= D ．10= 2．下列运算中，正确的是 ( ) A ． 3 B ．×=6 C ． 3 D ．3．下列各式计算正确的是（ ） A = B 6= C ．3+= D 2=- 4．已知m 、n m ，n ）为（ ） A ．（2，5） B ．（8，20） C ．（2，5），（8，20） D ．以上都不是 5．1在3和4中x 的取值范围是1x ≥-； ③3；④5=-5 8 >．其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．下列运算中错误的是（ ） A = B = C 2÷= D ．2 (3= 7．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A B C D 8．如果实数x ，y =-(),x y 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第一象限或坐标轴上 D ．第二象限或坐标 轴上 9．下列运算正确的是（ ） A = B 2= C = D 9= 10．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记 2 a b c p ++= ，那么三角形的面积为S =ABC ?中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别记为a ，b ，c ，若5a =，6b =，7c =，则ABC ?的面积为（ ） A ．66 B ．3 C ．18 D ． 192 二、填空题 11．使函数21 122y x x x =-+有意义的自变量x 的取值范围为_____________ 12．计算（π-3）02-2 11(223)-4 -22 --（） 的结果为_____． 13．若a ，b ，c 是实数，且21416210a b c a b c ++=---，则 2b c +=________． 14．3x x =，且01x <<2691x x x =+-______． 15．若实数x ，y ，m 满足等式 ()2 3532322x y m x y m x y x y +--+-=+---m+4的算术平方根为 ________． 161262_____． 17．若实数23 a =-，则代数式244a a -+的值为___. 18．函数y 4x -中，自变量x 的取值范围是____________． 19．下列各式：2521+n 2b 0.1y 是最简二次根式的是:_____（填序号） 20．4 x -x 的取值范围是_____． 三、解答题 21．阅读下面问题： 阅读理解： 2221(21)(21) ==++-1； 32 3232(32)(32) ==++- 二次根式的化简与计算（讲义） ? 课前预习 1. 回顾实数的相关概念，并完成下列各题． （1）二次根式： ①定义：一般地，形如___________的式子叫做二次根式． ②性质： 2=_______（a ≥0=_______（a ≥0）． =_______（a ≥0，b ≥0=______（a ≥0，b ＞0）． ③乘除法则： =_____（a ≥0，b ≥0=_____（a ≥0，b ＞0）． ④加减法则： 先化成最简二次根式，再合并_______________． （2）实数混合运算顺序： 先算__________，再算______，最后算______．同级运算，从左向右进行．如果有括号，先算括号里面的． 2. 成立的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥1 B ．x ≥2 C ．1≤x ≤2 D ．x ≤2 ? 知识点睛 1. 二次根式的双重非负性： a ____00． 2. 二次根式双重非负性的常见应用： （120b c +=，则a =______，b =______，c =_____． （2a =______． 3. 实数混合运算处理方法： ①观察________，划________； ②有序操作，依________； ③每步推进一点点． 做运算时往往需要估计工作量 ．．．．．，观察式子结构，巧用公式，可以大大简化运算．4.二次根式与数形结合： 被开方数中出现平方形式，可通过构造直角三角形借助勾股定理 ．．．．．．．．．．．．．解决问题． ?精讲精练 1.若x，y 为实数，且满足10 x-=，则xy=______． 2.若x，y，z 2 (3)20 y x z -++= ，则 =_______． 3.若实数x，y 2210 y y ++=，则x y=_______． 4.若实数a，b (0 b-=，则a2+2b的平方根为________． 5.若实数x，y 满足3 y=，则2xy=________． 6.若实数x，y 满足1 y= =____． 7.已知a，b为一等腰三角形的两边长，且a，b 满足等式4 b =-，则此等腰三角形的周长为______． 8.计算： （1 2 1 3 - ? ? ---+ ? ??? 新人教版数学八年级下册二次根式课时练习 一、单选题（共15小题） 1．已知3+x =0，则x 为（ ） >3 <－3 C. x=－3 D. x 的值不能确定 2．化简：2 1a -+的结果为（ ） A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4 3．如果一个三角形的三边长分别为1、k 、3，化简|32|8136472-++--k k k 结果是（ ） A 、4k —5 B 、1 C 、13 D 、19—4k 4．下列命题中，错误．． 的是（ ） A =5，则x=5; B ．若a （a ≥0 C π-3 D 5 5．若式子ab a 1+-有意义，则点P （a ， b ）在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．当a ≥0时，2a 、2)(a -、2 a -，比较他们的结果，下面四个选项中正确的是（ ） A.2a =2)(a -≥2a - B.2a >2)(a ->2 a - C. 2a <2)(a -<2a - D.2a ->2a =2 )(a - 7．等式33-=-x x x x 成立的条件是（ ） A ．x ≠3 B ．x ≥0 C ．x ≥0且x ≠3 D ．x>3 8.若01=++-y x x ，则20052006y x +的值为： （ ） A ．0 B ．1 C ． -1 D ．2 9. 如果x --35 是二次根式，那么x 应适合的条件是（ ） A ．x ≥3 B ．x ≤3 C ．x ＞3 D ．x ＜3 10. 使代数式8a a -+有意义的a 的范围是（ ） A ．0>a B ．0人教版八年级下册 第十六章 二次根式知识清单及典型题型练习 讲义(无答案)
二次根式拓展提高讲义及答案
八年级二次根式教师讲义带答案
二次根式的概念与性质1
最新二次根式的讲义汇总
二次根式的概念与性质
二次根式的概念及性质
二次根式加减运算(讲义及答案).
二次根式的概念及性质练习题
二次根式讲义(初次、基础版)
青岛版数学八年级下册9.1《二次根式和它的性质》教案
第一讲二次根式的概念和性质
二次根式及其性质
八年级初二数学二次根式(讲义及答案)及答案
二次根式的有关概念及性质
数学二次根式(讲义及答案)含答案
八年级初二数学二次根式(讲义及答案)附解析
二次根式的化简与计算(讲义及答案)
人教16.1二次根式的概念性质练习题