二次函数与分段函数
第六讲：分段函数与二次函数
第一部分：分段函数
6． 设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝
?
????
g (x )＋x ＋4，x 4 ，0]∪(2，＋∞) 1．(2014·山西四校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝? ????log 2（8－x ），x ≤0， f （x －1）－f （x －2），x ＞0，则 f (3)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－3 2.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝? ????1＋log 2（2－x ），x ＜1， 2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A.3 B.6 C.9 D.12 3．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝?????e x －1 ，x ＜1，x 1 3，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是 ________．(－∞，8] 4．(2014·上海卷)设f (x )＝???? ?（x －a ）2 ，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1，2] B ．[－1，0] C ．[1，2] D ．[0，2] 5.(2015·福建卷)若函数f (x )＝? ????－x ＋6，x ≤2， 3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________.(1，2] 6．(2014·浙江卷)设函数f (x )＝? ????x 2 ＋x ，x ＜0， －x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是 ________．(－∞，2] 7.(2015·山东卷)设函数f (x )＝???? ?3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1， 则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 取值范围是( ) A.??? ?23，1 B.[0，1] C.????2 3，＋∞ D.[1，＋∞) 8.【2015高考北京，理14】设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ?- =?--?? ???≥ ①若1a =，则()f x 的最小值为 ；1 ②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ． 1 12 a ≤<或2a ≥. 9，则函数1)]([-=x f f y 的零点个数是 .7. 10．已知函数222 (1)(0) ()4(3)(0) x k a x f x x x a x ?+-≥=?-+- 11．已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是________.(－∞，1] 第二部分：二次函数 1．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由． 解 令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2 －4(a －1)＝9a 2 －16a ＋8＝9????a －892 ＋8 9 ＞0恒成立， 即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可． f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－1 5或a ≥1. 检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1. (2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －6 5＝0， 解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠－1 5. 综上所述，a 的取值范围是? ???－∞，－1 5∪(1，＋∞)． 2．已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．则有f (1)＜0，(－2，1) 7． 设函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c (a >0，a ，c ∈R )． (1)设a >c >0.若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，求c 的取值范围； (2)函数f (x )在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？ 解 (1)因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴为x ＝a ＋c 3a ，由条件a >c >0， 得2a >a ＋c ，故a ＋c 3a <2a 3a ＝2 3<1，即二次函数f (x )的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛 物线开口向上，故f (x )在[1，＋∞)内是增函数． 若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，则f (x )min ＝f (1)>c 2－2c ＋a ，即a －c >c 2－2c ＋a ， 得c 2－c <0，所以0 则c <0，或a 因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴是x ＝a ＋c 3a . 而f ????a ＋c 3a ＝－a 2 ＋c 2 －ac 3a <0， 所以函数f (x )在区间? ????0，a ＋c 3a 和? ?? ?? a ＋c 3a ，1内各有一个零点，故函数f (x )在区间(0,1) 内有两个零点． 3．若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围． 解 法一 (换元法)设t ＝2x (t >0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根．令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1. ①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2，则???? ?Δ＝a 2 －4（a ＋1）≥0，t 1＋t 2＝－a >0，t 1·t 2＝a ＋1>0， 解得－1 ②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f (0)＝a ＋1<0，解得a <－1；③当a ＝－1时，t ＝1，x ＝0符合题意． 综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]． 法二 (分离变量法)由方程，解得a ＝－22x ＋1 2x ＋1，设t ＝2x (t >0)， 则a ＝－t 2＋1 t ＋1 ＝－????t ＋2t ＋1－1＝2－????（t ＋1）＋2t ＋1，其中t ＋1>1， 由基本不等式，得(t ＋1)＋2 t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2. 综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]． 4．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点． 解 ∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0.当Δ＝0，即m 2－4＝0， ∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)，∴2x ＝1，x ＝0符合题意． 当Δ>0，即m >2或m <－2时，t 2＋mt ＋1＝0有两正根或两负根， 即f (x )有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知，m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0. 5．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围． 解 f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a . ①当－12a ≤－1，即0≤a ≤1 2时， 须使????? f (－1)≤0，f (1)≥0，即????? a ≤5，a ≥1， ∴a 的解集为?. ②当－1<－12a <0，即a >1 2时， 须使????? f (－12a )≤0，f (1)≥0， 即??? ?? －12a －3－a ≤0， a ≥1， 解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)． 第三部分：解答题 1 （1）若对于区间()0,+∞内的任意x ，总有()0f x ≥成立，求实数k 的取值范围； （2）若函数()f x 在区间()2,0内有两个不同的零点21,x x ，求： ①实数k 的取值范围； 试题解析：（1 ，易知()g x 在上(] 0,1递增，在 ()1,+∞上递减，∴()max ()11g x g ==-，∴1k ≥-即可 （2）①ⅰ）10≤ =-+kx x 而其中 ，故0)(=x f 在区间()2,1内至多有一解 综合ⅰ）ⅱ）可知，0≠k ， 且10≤ 解， 令，得 ，所以实数k 的取值范围是 9分 ②方程0)(=x f 的两解分别为 2．设函数）且10()1()(≠>--=-a a a k a x f x x 是定义域为R 的奇函数． （Ⅱ）且)(2)(22x mf a a x g x x -+=-在[)+∞,1上的最小值为2-，求m 的值． 解析：（Ⅰ）由题意，对任意R x ∈，，)()(x f x f -=-，即x x x x a k a a k a ---+-=--)1()1(， 0))(2(=+ --x x a a k 因为x 为任意实数 所以2=k ． （Ⅱ）由（1）x x a a x f --=)(，因所解得2=a 故x x x f --=22)(，)22(2 22)(22x x x x m x g ----+=，令x x t --=22， 则由[)+∞∈,1x ，得 2 222)(22)()(m m t mt t t h x g -+-=+-== ， 时，)( t h 在时，则2)(-=m f ，222 -=-m ， 解得2=m ，或2-=m （舍去）． 4．(2015·雅安模拟)已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，且f (0)·f (1)>0. (1)求证：－2 a <－1；(2)若x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个实根，求|x 1－x 2|的取值范围． (1)证明 当a ＝0时，f (0)＝c ，f (1)＝2b ＋c ，又b ＋c ＝0，则f (0)·f (1)＝c (2b ＋c )＝－c 2<0与已知矛盾，因而a ≠0，则f (0)·f (1)＝c (3a ＋2b ＋c )＝－(a ＋b )(2a ＋b )>0 即????b a ＋1????b a ＋2<0，从而－2 a <－1. (2)解 x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个实根，则x 1＋x 2＝－2b 3a ，x 1x 2＝－a ＋b 3a ， 那么(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝????－2b 3a 2＋4×a ＋b 3a ＝49·????b a 2＋4b 3a ＋43＝49????b a ＋322＋13. ∵－2 3. 5，其中a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若不等式()416f x ≤≤在[]1,2x ∈上恒成立，求a 的取值范围． 解析：（1）故当0a ≥时，()f x 在(),a -∞和(),a +∞上递增， 又∵()2 f a a =，∴()f x 在R 上递增， 当0a <时，()f x 在(),a -∞和 （2）由题意只需()()min max 4,16f x f x ≥≤，首先，由（1）可知，()f x 在[]1,2x ∈上恒 第六讲：分段函数与二次函数 第一部分：分段函数 6． 设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝ ? ???? g (x )＋x ＋4，x 二次函数（分段函数） 一、根据文字表达式获取分段函数信息 例1 在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售．试建立销售价y 与周次x 之间的函数关系式． 分析：本题要善于从文字信息中提炼出函数关系，可先采用列表法找出周次x 和销售 解：依题意，可建立的函数关系式为： () ()()()()?????≤≤--≤≤≤≤-+=16121123011630 611220x x x x x y ；即() ()() ?? ???≤≤+-≤≤≤≤+=161252211630 6118 2x x x x x y 二、根据已知分段函数解析式求解 例2 心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态， 随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y 随时间t 的变化规律有如下关系式： ?? ? ??≤+-≤≤++-=)4020(3807) 2010(240)100(100242t t t t t t y （1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 解：（1）当x=5时，代入y=－t 2+24t+100中，得y=195；当x=25时，代入y=－7t+24t+100中，得y=205．∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中． （2）当0＜t≤10时，令y=－t 2+24t+100=180，得t=4；当10＜t≤20时，y=240；当20＜t≤40时，y=－7t+380=180，得t=28.57． 所以学生注意力在180以上的持续时间为28.57-4=24.57（分钟）． ∴老师可以经过适当安排，能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 4一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从五月一日起的50天内，它的市场售价y 1与上市时间x 的关系可用图1的一条线段表示： 它的种植成本y 2与上市时间x 的关系，可用图2中抛物线的一部分来表示。 (1)求出图1中表示的市场售价y 1与上市时间x 的函数关系式。 二次函数与分段函数知识点梳理 二次函数 一、基础知识 1、 二次函数的解析式 （1） 一般式： （2） 顶点式： （3） 双根式： 求二次函数解析式的方法： ○ 1已知 时，宜用一般式 ○ 2已知 时，常使用顶点式 ○3已知 时，用双根式更方便 2、 二次函数的图像和性质 二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f 的图像是一条抛物线，对称轴的方程为 顶点坐标是（ ） 。 （1）当0>a 时，抛物线的开口 ，函数在 上递减，在 上递增，当a b x 2- =时，函数有最 值为 （2）当0x f ， 当 时，恒有 ()0. 1、月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．） （1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式； （2）求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值． （3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s（万元）取 得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这 种电子产品每件的销售价格x（元）定在8元以上（x＞8），当第 二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s（万元）与销售 价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范 围． 2、某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y (万件)关于售价x (元/件)的函数解析式为： ???? ≤≤+-<≤+-=)7060(80),6040(1402x x x x y (1) 若企业销售该产品获得的利润为W(万元)，请直接写出年利润W(万元)关于售价x(元/件)的函数解析式； (2)当该产品的售价x (元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大?最大年利润是多少? (3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x (元/件)的取值范围（10分） 二次函数分段函数专项 练习题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 1、月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．） （1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式； （2）求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值． （3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s（万元）取 得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将 这种电子产品每件的销售价格x（元）定在8元以上（x＞8），当 第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s（万元）与销 售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值 范围． 2、某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数解析式为： (1)若企业销售该产品获得的利润为W(万元)，请直接写出年利润W(万元)关于售价x(元/件)的函数解析式； (2)当该产品的售价x(元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大最大年利润是多少 (3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围（10分） 3、某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在20千克～60千克之间（含20千克和60千克）时，每千克批发价是5元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于300元． （1）根据题意，填写如表： 蔬菜的批发量 …25607590… （千克） 所付的金额 …125______300______… （元） 第二章函数概念及基本初等函数 第九节函数模型及其应用 考点1 一次、二次函数模型及分段函数模型的应用 （2018·全国Ⅱ卷（文））下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图． 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2，…，17）建立模型①：y?＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2，…，7）建立模型②：y?＝99＋17.5t. （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 【解析】（1）利用模型①，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y?＝－30.4＋13.5×19＝226.1（亿元）． 利用模型②，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y?＝99＋17.5×9＝256.5（亿元）． （2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下： （ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋 势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y?＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠． （ⅱ）从（1）的计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而由模型②得到的预测值256.5亿元的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值 函数的概念和性质 考点 分段函数 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的围, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0]; ()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 2．求分段函数的函数值 例2．已知函数2 |1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()]f f . 3．求分段函数的最值 例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 226(12) .()3(24) x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 5．作分段函数的图像 分段函数 1.已知函数f （x ）＝232,1, ,1,x x x ax x +?=?≤?，则1(())9f f = A.4 B. 14 C.-4 D-14 【答案】B 【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211(())(2)294 f f f -=-==， 所以B 正确. 3.定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ???>---≤-0 ),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2 【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-, (2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=, (4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=, 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C. 4.设函数2()2()g x x x R =-∈， ()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是 （A ）9,0(1,)4??-?+∞???? （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4??-?+∞???? 【答案】D 【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难 题。 依题意知22222(4),2()2,2x x x x f x x x x x ?-++<-??--≥-??， 222,12()2,12 x x x f x x x x ?+<->??---≤≤??或 5.若函数f(x)=212 log ,0,log (),0x x x x >???-f(-a),则实数a 的取值范围是 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 二次函数与一次函数（分段函数）利润销售问题 1.九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表： 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y 元[ （1）求出y与x的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果. 2.在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数 关系式为(年获利＝年销售收入－生产成本－投资成本) (1)当销售单价定为28元时司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？ （2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？ 3.一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本），若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份，为了便于结算，每份套餐的售价X（元）取整数，用Y（元）表示该店日净收入，（日净收入=每天的销售额—套餐成本—每天固定支出）（1）求Y与X之间的函数关系式；（2）若每分套餐的售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份售价最少不低于多少元？（3）该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入。按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日净收入为多少？ 二次函数与一次函数（分段函数）利润销售问题 1.九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x （1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表： 时间x(天) 1≦x﹤50 50≦x≦90 售价（元、件）X+40 90 每天销量（件）200-2x 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y 元[ （1）求出y与x的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果. 2.在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关 系式为(年获利＝年销售收入－生产成本－投资成本) (1)当销售单价定为28元时司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？ （2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？ 3.一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本），若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份，为了便于结算，每份套餐的售价X（元）取整数，用Y（元）表示该店日净收入，（日净收入=每天的销售额—套餐成本—每天固定支出）（1）求Y与X之间的函数关系式；（2）若每分套餐的售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份售价最少不低于多少元？（3）该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入。按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日净收入为多少？ 二次函数与实际问题 类型一用二次函数解决“抛物线型”问题 方法技巧：利用二次函数解决抛物线问题通常有以下几种：拱桥问题、导弹问题、投抛 球问题、喷泉喷水问题、跳台跳水问题、荡秋千问题等。解决此类问题常常要建立平面直角坐标系，通过建立图象模型，构造二次函数关系式解决实际问题。 1、如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边 AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16米,AE=8米,抛物线的顶点C到ED的距离是 11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。 (1)求抛物线的解析式； (2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时) 的变化满足函数关系h=-1/128(t-19)2+8(0?t?40)，且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行? 2、如图,庄子大桥有一段抛物线形的拱梁,抛物线的表达式为y=ax2+bx,小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需( )秒 类型二用二次函数解决方案设计中最优化的问题 方法技巧：方案最优化问题实际就是求函数的最大（小）值，如利润最大，效益最好， 材料最省，根据题意列出二次函数关系式，通过配方转化为顶点式后，求最值。 1、为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策：由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担。张刚按照相关政 策投资销售本市生产的一种新型节能灯。已知这种节能灯的成本价为每件10元,出厂价为每件12元,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y=-10x+500. (1)张刚在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价 为多少元? (2)设张刚获得的利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润? (3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元。如果张刚想要每月获得的利润 不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元? 沁乐教育沁心学习乐在其中 2015年秋季九年级数学辅导资料第二讲函数图像性质及应用 学校：姓名： 二次函数的图象与基本性质 （一）、知识点回顾 【知识点一：二次函数的基本性质】 【知识点二：抛物线的图像与a、b、c关系】 （1）a决定抛物线的开口方向：a>0，开口向________ ；a<0，开口向________ （2）c决定抛物线与________的位置：c>0，图像与y轴的交点在___________； c=0，图像与y 轴的交点在___________；c<0，图像与y 轴的交点在___________； （3）a ，b 决定抛物线对称轴的位置，我们总结简称为：___________； （4）△＝b 2－4ac 决定抛物线与________交点情况： △＝b 2－4ac ?? ? ??<=>轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点与x x x 000 【知识点三：二次函数的平移】 设0,0>>n m ，将二次函数2 ax y =向右平移m 个单位得到___________；向左平移m 个 单位得到___________；向上平移n 个单位得到___________；向下平移n 个单位得到___________。简单总结为___________，___________。 （注意：要用以上方法对二次函数图象进行平移，要先化成顶点式再操作） 【知识点四：二次函数与一元二次方程的关系】 二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y ，当0=y 时，即变为一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax ，从图象上来说，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的 交点的横坐标x 的值就是方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根。 【知识点五：二次函数解析式的求法】 （1） 知抛物线三点，可以选用一般式：c bx ax y ++=2，把三点代入表达式列三元一次 方程组求解； （2） 知抛物线顶点或对称轴、最大（小）值可选用顶点式：k h x a y +-=2 )(；其中抛 物线顶点是),(k h ； （3） 知抛物线与x 轴的交点坐标为)0,(),0,(21x x 可选用交点式： 二次函数专题复习之分段函数与动态交点问题 目标：1.进一步巩固二次函数的图像性质 2.了解分段函数及图像的画法 3.会运用二次函数的知识解决动态交点问题 4.培养综合分析问题的能力、动态观察分析能力、 画图能力及分类讨论的意识 重点：运用二次函数的知识解决动态交点问题 难点：动态图形的观察与分析 活动一：热身练习 例1：如图，已知抛物线2 y ax bx =+经过点A （3，0），B （4，4）两点， 将直线OB 向下平移m 个单位长度得到 直线l.（1）若直线l 与抛物线只有 一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐 标。 （2）若直线l 与抛物线至少有一个 公共点，直接写出m 的取值范围. 活动二：小试牛刀 例2： 已知抛物线C 1：y ＝－x 2＋4x －3，把抛物线C 1先向右平移3个单位 长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线C 2，将抛物线C 1和抛物线C 2这两个图象在x 轴及其上方的部分记作图象M ．若直线21+=kx y 与图象M 至少有2个不同的交点，则k 的取值范围是__________ 活动三：学以致用 练习1.将函数22y x x =--的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折至其上方后，所得的图形是函数22y x x =--的图象.已知经过点D (0, 4)的直线4y kx =+恰好与22y x x =--的图象只有三个交点，则k 的值是 活动四：勇攀高峰 例3：我们把b a ,两个数中较大的数记作{}b a D ,，直线 12y kx =+ 与函数{}21,1y D x x =-+的图像有且只有两个交点，则k 的取值范围是 。 活动五：超越自我 练习2．我们把 a ，b ，c 三个数的中位数记作 Z {},,a b c ，直线 y ＝kx ＋12 （k ＞0）与函数 y ＝Z {}21,1,1x x x -+-+的图象有且只有2个交点，则k 的取值为__________． 作业:认真完成学案，要求写出解析过程。 沁乐教育 沁心学习乐在其中 2015年秋季九年级数学辅导资料 第二讲函数图像性质及应用 学校：姓名： 二次函数的图象与基本性质 （一）、知识点回顾 【知识点一：二次函数的基本性质】 【知识点二：抛物线的图像与a 、b 、c 关系】 （1） a 决定抛物线的开口方向：a>0，开口向 ________ ；a<0，开口向 ________ （2） c 决定抛物线与 ________的位置：c>0，图像与y 轴的交点在___________； c=0，图像与y 轴的交点在___________；c<0，图像与y 轴的交点在___________； （3）a ，b 决定抛物线对称轴的位置，我们总结简称为：___________； （4）△＝b 2－4ac 决定抛物线与________交点情况： △＝b 2－4ac ?? ? ??<=>轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点与x x x 000 【知识点三：二次函数的平移】 设0,0>>n m ，将二次函数2 ax y =向右平移m 个单位得到___________；向左平移m 个单位得到___________；向上平移n 个单位得到___________；向下平移n 个单位得到___________。简单总结为___________，___________。 （注意：要用以上方法对二次函数图象进行平移，要先化成顶点式再操作） 【知识点四：二次函数与一元二次方程的关系】 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，当0=y 时，即变为一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax ，从图象上来说，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的 交点的横坐标x 的值就是方程)0(02≠=++a c bx ax 的根。 【知识点五：二次函数解析式的求法】 （1） 知抛物线三点，可以选用一般式：c bx ax y ++=2，把三点代入表达式列三元一次 方程组求解； （2） 知抛物线顶点或对称轴、最大（小）值可选用顶点式：k h x a y +-=2 )(；其中抛 物线顶点是),(k h ； （3） 知抛物线与x 轴的交点坐标为)0,(),0,(21x x 可选用交点式： ) )((21x x x x a y --=，特别：此时抛物线的对称轴为直线 )(2 1 21x x x += （二）、感悟与实践 例1：（1）求二次函数y ＝x 2－4x ＋1的顶点坐标和对称轴. （2）已知二次函数y ＝－2x 2－8x －6，当___________时，y 随x 的增大而增大；当x ＝________时，y 有_________值是___________． 变式练习1-1：二次函数y ＝－x 2＋mx 中，当x ＝3时，函数值最大，求其最大值． 初中数学二次函数复习 〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向 〖大纲要求〗 1．理解二次函数的概念； 2．会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象； 3．会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想； 4．会用待定系数法求二次函数的解析式； 5．利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的 交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。 内容 （1）二次函数及其图象 如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0),那么，y 叫做x 的二次函数。 二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。 （2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向 抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是a b x 2-=，当a>0时， 抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。 抛物线y=a （x+h ）2+k(a ≠0)的顶点是（-h ，k ），对称轴是x=-h. 〖考查重点与常见题型〗 1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x 为自变量的二次函数y ＝(m －2)x 2＋m 2－m －2额图像经过原点， 则m 的值是 2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数y ＝kx ＋b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y ＝kx 2＋bx －1的图像大致是（ ） 3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x ＝5 3 ，求这条抛物线的解析式。 K月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售.已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y （万件）与销售价格x （元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分?设公司销售这种电子产品的年利润为s （万元）.（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本?） （1）请求出y （万件）与x （元/件）之间的函数关系式； （2）求出第一年这种电子产品的年利润s （万元）与x （元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值. （3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s （万元）取7 得 最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这40 种电 子产品每件的销售价格x （元）定在8元以上（x>8）,当第30 20 二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s （万元）与销售 10 价格X （元/件）的函数示意图，求销售价格X （元/件）的取值范 围. 2、某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品.已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量以万件）关于售价"（元/件）的函数解析式为：-2.r + 140 （40 < .￥ < 60）, y~[ -x + 80 （60 第九课时 分段函数 【学习导航】 知识网络 分段函数?????分段函数图象分段函数定义域值域 分段函数定义 学习要求 1、了解分数函数的定义； 2、学会求分段函数定义域、值域； 3、学会运用函数图象来研究分段函数； 自学评价： 1、分段函数的定义 在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数； 2、分段函数定义域，值域； 分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”) 3、分段函数图象 画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象； 【精典范例】 一、含有绝对值的解析式 例1、已知函数y=|x －1|+|x+2| (1)作出函数的图象。 (2)写出函数的定义域和值域。 【解】： (1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x=1，第二个绝对值的分段点x=－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，+∞) 所以已知函数可写为分段函数形式： y=|x －1|+|x+2|=?? ???>+≤<--≤--)1(12)12(3) 2(12x x x x x 在相应的x 取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象。（图 象略） (2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R ，值域为[3，+∞） 二、实际生活中函数解析式问题 例2、某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4千米的速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中，离甲地的距离S(千米)和时间t(小时)的函数关系式，并作出函数图象。 【解】： 先考虑由甲地到乙地的过程： 0≤t ≤2时， y=6t 再考虑在乙地耽搁的情况： 2 分段函数 1．设f(x)= 1232,2,log (1),2, x e x x x -?2的解集为 (A)（1，2）?（3，+∞）(B)（10，+∞）(C)（1，2）? （10 ，+∞）(D)（1，2） 2．函数 |ln ||1|x y e x =--的图像大致是（ ） 3.函数1 222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈- ??=-∈??∈+∞? 的定义域为________、值域为________ . 4．设,0.(),0. x e x g x lnx x ?≤=?>?则1(())2g g =__________ 5．已知sin (0),()(1)1(0). x x f x f x x π?则1111()()66f f -+的值为 . 6.设函数812(,1]()log (1,) x x f x x x -?∈-∞=?∈+∞?, 则满足方程1()4f x =的x 的值为 7．已知函数()2,166,1x x f x x x x ?≤?=?+->?? ，则()2f f -=???? ，()f x 的最小值是 ． 8.设函数?? ???>-≤++=0,0,22)(22x x x x x x f ，若2))((=a f f ，则=a . 9．已知函数221,1()lg(1),1x x f x x x x ?+-≥?=??+ 二次函数应用题归类 【基本思想】 一、转化思想————实际问题中的最优化问题转化为求二次函数的最值问题。 1、方案设计最优问题：费用最低？利润最大？储量最大？等等。 2、面积最优化问题：全面观察几何图形的结构特征，挖掘出相应的内在联系，列出包含函数，自变量在内的等式，转化为函数解析式，求最值问题。 二、建模思想————从实际问题中发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程。 1、建立图像模型：自主建立平面直角坐标系，构造二次函数关系式解决实际问题。 2、方程模型和不等式模型：根据实际问题中的数量关系，列出方程或不等式转化为二次函数解决问题。 3、根据实际问题情境抽象出二次函数模型。 三、运动思想————图像上的动点问题及几何图形的形状的确定。 四、分类讨论的思想————二次函数与其他知识的综合题时经常用到。 【最值的确定方法】 1．二次函数在没有范围条件下的最值： 二次函数的一般式c bx ax y ++=2 (0≠a )化成顶点式2 24()24b ac b y a x a a -=+ +，如果自变量的取 值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）． 2．二次函数在有范围条件下的最值： 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当 2b x a =- ，2 44ac b y a -=最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减 性 〖2012年中考第23题分类汇总分析〗 一、分段函数型 1.【2010四月调考】某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为x 元，每个月的销售量为y 件. （1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围； （2）设每月的销售利润为W ，请直接写出与的函数关系式； （3）每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 初三数学思维训练二：二次函数 〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向 〖大纲要求〗 1． 理解二次函数的概念； 2． 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向， 会用描点法画二次函数的图象； 3． 会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，了 解特殊与一般相互联系和转化的思想； 4． 会用待定系数法求二次函数的解析式； 5． 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的 交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。 内容 （1）二次函数及其图象 如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0),那么，y 叫做x 的二次函数。 二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。 （2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向 抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的顶点是)44, 2(2a b ac a b --，对称轴是a b x 2-=，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。 抛物线y=a （x+h ）2+k(a ≠0)的顶点是（-h ，k ），对称轴是x=-h. 〖考查重点与常见题型〗 1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x 为自变量的二次函数y ＝(m －2)x 2＋m 2－m －2额图像经过原点， 则m 的值是 2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一 直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数y ＝kx ＋b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y ＝kx 2＋bx －1的图像大致是（ ） 3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型 有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x ＝5 3 ，求这条抛物线的解析式。 4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解 答题，如： 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y 轴交点的纵二次函数与分段函数
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