2018年山东泰安中考数学试卷(含解析)
2018年山东省泰安市初中毕业、升学考试
数 学
（满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内． 1． （2018山东省泰安市，1，3）计算：0
(2)(2)--+-的结果是（ ）
A ．-3
B ．0
C ．-1
D ．3 【答案】D
【解析】根据有理数的运算法则进行计算，原式=2+1=3，故选D. 【知识点】有理数的加法和零指数.
2． （2018山东省泰安市，2，3）下列运算正确的是（ ）
A ．3
3
6
23y y y += B ．2
3
6
y y y ?= C ．23
6
(3)9y y = D ．3
2
5y y y -÷=
【答案】D
【解析】根据整式的加减运算法则和幂的运算法则进行；
A 、3
3
3
23y y y +=，此选项错误；B 、235
y y y ?=，此选项错误；
C 、 236(3)27y y =，此选项错误；
D 、32
5y y
y -÷=，此选项正确；
故选：D ．
【知识点】整式的加法、同底数幂的乘除法、幂的乘方.
3． （2018山东省泰安市，3，3）如图是下列哪个几何体的主视图与俯视图（ ）
【答案】C
【解析】此题主要考查了几何体的三视图；根据定义可知：主视图是从正面观看到的图形
形状，俯视图是从上面看到的图形形状；从主视图是半圆来看，A 是错误的，从俯视图是矩形来看，A 、B 、D 是错误的，故选C.
【知识点】三视图中的主视图、俯视图.
4． （2018山东省泰安市，4，3）如图，将一张含有30o
角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若244∠=o
，则1∠的大小为（ ） A ．14o B ．16o
C ．90α-o
D ．44α-o
【答案】A
【解析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质。 解：∵AB ∥CD ∠1=44° ∴ ∠2=∠3=44° ∵∠3是ECD ?的外角 ∴∠3=30°+∠1 ∴∠1=4430=14-??o
.
【知识点】平行线的性质、三角形的外角性质.
5． （2018山东省泰安市，5，3）.某中学九年级二班六级的8名同学在一次排球垫球测试中的成绩如下（单位：个）
35 38 42 44 40 47 45 45 则这组数据的中位数、平均数分别是（ ）
A ．42、42
B ．43、42
C ．43、43
D ．44、43 【答案】B
【解析】本题考查了平均数与中位数的概念，先将这组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，中间的这个数字就是这组数据的中位数，由平均数的定义求得这组数据的平均数即可.
解：将这组数据按照由小到大的顺序排列：35、38、40、42、44、45、45、47，中间两个数字的平均数为43，故中位数为43，平均数=1+++++++=8
?（3538404244454547）42；故选B
【知识点】中位数、平均数
6． （2018山东省泰安市，6，3）夏季来临，某超市试销A 、B 两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，A 型风扇每台200元，B 型风扇每台150元，问A 、B 两种型号的风扇分别销售了多少 台？若设A 型风扇销售了x 台，B 型风扇销售了y 台，则根据题意列出方程组为（ ）
A ．530020015030x y x y +=??
+=? B ．5300
15020030x y x y +=??+=?
C ．302001505300x y x y +=??
+=? D ．30
1502005300
x y x y +=??+=?
【答案】C
【解析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系．由等量关系列出二元一次方程组．本题的相等关系一：、 两种型号的风扇，两周内共销售30台；相等关系二：销售的A 、B 两种型号D 的30台共收
入5300元，由此可列出方程组．
解：设A 型风扇销售了x 台，B 型风扇销售了y 台，由题意，得30
2001505300
x y x y +=??+=?．故选择C ．
【知识点】二元一次方程组的实际应用——销售、利润问题.
7． （2018山东省泰安市，7，3）二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数
a
y x
=
与一次函数y ax b =+在同一坐标系内的大致图象是（ ）
【答案】C
【解析】先由二次函数的图象确定a 、b 的符号，再根据a 、b 的符号来确定一次函数与反比例函数的图象的位置. 解：∵二次函数的图象开口向上，∴ a >0．∴反比例函数a
y x
=位于一、三象限， ∵抛物线的对称轴y 轴左侧，∴02b
a
-
< ∴ b >0． ∴直线y ax b =+位于一、二、三象限，故选C.
【知识点】二次函数的图像及性质；一次函数的图像及性质；反比函数的图像及性质.
8． （2018山东省泰安市，8，3）不等式组11
132
4(1)2()
x x x x a -?-<-?
??-≤-?有3个整数解，则a 的取值范围是（ ） A ．65a -≤<- B ．65a -<≤- C ．65a -<<- D ．65a -≤≤-
【答案】B
【解析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a 的范围. 解：解①得：4x >， 解②得：2x a ≤-． 则不等式组的解集是42x a <≤-．
∵不等式组有3个整数解， ∴ 728a ≤-<，解得：65a -<≤-，故选B ． 【知识点】一元一次不等式（组）的应用---与整数解有关的问题
9． （2018山东省泰安市，9，3）如图，BM 与O e 相切于点B ，若140MBA ∠=o
，则ACB ∠的度数为（ ）
A ．40o
B ．50o
C ．60o
D ．70o
【答案】A 【解析】（1）根据圆的切线性质可知：∠OBM=90°从而求得∠ABO=50°；（2）连接OA 、OB ，可求得∠AOB 的度数；（3）根据圆周角性质定理可得结论. 解：连接OA 、OB ，
∵BM 与O e 相切 ∴∠OBM=90° ∵140MBA ∠=o
∴∠ABO=50° ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO =50° ∴∠AO B=80° ∴ACB ∠=40o
【知识点】圆的切线的性质，圆周角性质定理，等腰三角形性质
10．（2018山东省泰安市，10，3）一元二次方程(1)(3)25x x x +-=-根的情况是（ ） A ．无实数根 B ．有一个正根，一个负根
C ．有两个正根，且都小于3
D ．有两个正根，且有一根大于3 【答案】D
【解析】一是可以利用一元二次方程的求根公式进行计算，再根据结果进行各项判断；二是可以利用一元二次方程与二次函数的图象关系进行判断。
解法一：整理得：2
4+20x x -=，解得：12=2+222x x =- ；，故选D.
解法二：设12(1)(3);25y x x y x =+-=- ，画出草图（如右图）：二次函数与一次函数的交点所对应的横坐标即为方程的根，故选D
【知识点】一元二次方程的解法；二次函数与一元二次方程的关系. 11．（2018山东省泰安市，11，3）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，ABC ?经过平移后得到111A B C ?，若AC 上一点(1.2,1.4)P 平移后对应点为1P ，点1P 绕原点顺时针旋转
180o ，对应点为2P ，则点2P 的坐标为（ ）
A ．(2.8,3.6)
B ．( 2.8, 3.6)--
C ．(3.8,2.6)
D ．( 3.8, 2.6)--
【答案】A
【解析】解法不唯一，首先根据ABC ?经过平移后得到111A B C ?的找到坐标的平移规律，根据规律确定1P 的坐标，再根据1P 旋转180o
的坐标变化规律确定2P 的坐标。 解：由图象可知：点C 的为（3,5），点1C 的坐标为（-1，0），
∴ABC ?经过平移后得到111A B C ?的规律是：横坐标减4，纵坐标减5，
∴(1.2,1.4)P 平移后点1P 的坐标是（-2.8，-3.6），
∴点1P 绕原点顺时针旋转180o
后点2P 的坐标是(2.8,3.6)，故选A. 【知识点】图形平移的特征；图形旋转的特征.
12．（2018山东省泰安市，12，3）如图，M e 的半径为2，圆心M 的坐标为(3,4)，点P 是M e 上的任意一点，PA PB ⊥，且PA 、PB 与x 轴分别交于A 、B 两点，若点A 、点B 关于原点O 对称，则AB 的最小值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．6
D ．8
【答案】C
【思路分析】AB 是Rt PAB ?的斜边，连接OP ，则OP 是Rt PAB ?斜边的中线，求AB 的最小值的问题就转化为求OP 最小值的问题，连接OM 交M e 于点P ，此时OP 取得最小值.
【解题过程】解;连接MO ，交M e 于点P ，则点P 就是所求的点，过点P 作
过点M 作MN AB N ⊥于，
∵M 的坐标为(3,4) ∴3,4ON MN == ∴由勾股定理得; 5,OM = 又∵2,3PM OP =∴=
又∵OP 是Rt PAB ?的中线 ∴ 6.AB =
【知识点】直角三角形性质，相似三角形性质，两点之间线段最短
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上． 13．（2018山东省泰安市，13，3）一个铁原子的质量是0.000000000000000000000000093kg ，
将这个数据用科学记数法表示为 kg 【答案】26
9.310
-?
【解析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n
a -?，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个
不为零的数字前面的0的所有个数所决定．
解：26
0.000000000000000000000000093=9.310-?
【知识点】科学计数法
14．（2018山东省泰安市，14，3）如图，O e 是ABC ?的外接圆，45A ∠=o
，4BC =，则O e 的直径．．
为 ．
【答案】42
【解析】（1）构造以直径BD 为斜边的Rt BDC ?，根据圆周角∠A 和圆周角∠D 之间的关系推出BDC ?是等腰
直角三角形，从而可求出直径的长。（2）连接OB 、OC ，根据圆心角∠O 和圆周角∠A 之间的关系推出OBC ?是等腰直角三角形，先求出半径OB 或OC 的长，从而再求出直径的长. 解法一：如图1，过点B 作直径BD ，连接DC ，则∠BCD =90° ∵45A ∠=o
∴45D ∠=o
∴BDC ?是等腰直角三角形 ∵4BC =， ∴ 根据勾股定理得：42BD =直径 解法二：如图2，连接OB 、OC
∵45A ∠=o
∴90O ∠=o
∴OBC ?是等腰直角三角形
∵4BC =， ∴ 根据勾股定理得：22OB =半径 ∴ 42O =e 直径
【知识点】圆周角性质，等腰三角形性质，勾股定理.
15．（2018山东省泰安市，15，3）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，10BC =，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在'A 处，若'EA 的延长线恰好过点C ，则sin ABE ∠的值为 ．
【答案】
1010
【解析】根据折叠的性质得到Rt △AEB ≌Rt △A’E B ，即可得到结论AE A E '=，AB A B '=，90A BA E '∠=∠=?，在Rt △CB A’中利用勾股定理求得：8A C '=，
在Rt △CDE 中，设10AE x DE x ==-，则，根据勾股定理得到关于x 的方程
222(8)(10)6x x +=-+，解方程求出x ．在Rt △ABE 中，利用勾股定理求出BE 的长，从而求出sin ABE ∠的
值
【解答过程】
解：∵矩形ABCD 沿沿BE 折叠，使点A 落在'A 处，∴Rt △AEB ≌Rt △A’E B ∴AE A E '=，6AB A B '==，90A BA E '∠=∠=?
在Rt △CB A’中，由勾股定理求得：2222=1068A C BC A B ''-=-= ∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD ＝BC ＝10，CD ＝AB ＝6，
在Rt △CDE 中，设AE ＝x ，则EC ＝8+x ，ED ＝10﹣x ，
在Rt △CDE 中，CE 2＝CD 2+DE 2，即2
2
2
(8)(10)6x x +=-+，解得x ＝2， 在Rt △AEB 中，2222BE=64210AB AE +=+= ∴210sin 10
210AE ABE BE
∠==
=
故答案是：1010
【知识点】翻折变换(折叠问题)；矩形的性质；直角三角形的性质；三角函数.
16．（2018山东省泰安市，16，3）.观察“田”字中各数之间的关系：
，则c 的值为 ．
【答案】270（或8214+）
【解析】观察探索“田”字中各数之间的关系，首先观察出左上角格子中的顺序规律为21n -，左下角格子中的顺序规律为2n ，右下角格子中的顺序规律为2(21)n
n +-，左上角格子中的顺序规律为2(22)n
n +-
解：通过观察可知：首先观察出左上角格子中的顺序规律为21n -，左下角格子中的顺序规律为2n ，右下角格子中的顺序规律为2(21)n
n +-，左上角格子中的顺序规律为2(22)n
n +-；由21=15n -；解得：=8n ∴8
8
2(282)214270c =+?-=+= 故答案是：270（或8
214+）
【知识点】规律探究；一元一次方程；有理数的运算.
17．（2018山东省泰安市，17，3）如图，在ABC ?中，6AC =，10BC =，3
tan 4
C =
，点D 是AC 边上的动点（不与点C 重合），过D 作DE BC ⊥，垂足为E ，点F 是BD 的中点，连接EF ，设CD x =，DEF ?的面积为S ，则S 与x 之间的函数关系式为 ．
【答案】233252
S x x =-
+ 【解析】，由3
tan 4
C =可以知道线段DE 、EC 的数量关系， C
D x =，则由勾股定理，可以将D
E 、EC 用含x
的代数式来表示，由点F 是BD 的中点，则1
=2
DEF BDE S S ??,从而列出S 与x 之间关系式.
解：∵3
tan 4
C = ∴设3,4.DE k EC k ==，由勾股定理得：5DC k =.
∵CD x =，∴34,.55DE k EC k == ∴4
10.5
BE k =-
∵点F 是BD 的中点 ∴21113433
===(10)22255252
DEF BDE S S S x x x x ????-=-
+ 故答案是：233252
S x x =-+ 【知识点】三角函数，勾股定理，三角形中线性质，二次函数.
18．（2018山东省泰安市，18，3）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：
“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”
用今天的话说，大意是：如图，DEFG 是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H 位于GD 的中点，南门K 位于ED 的中点，出东门15步的A 处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A 处的树木（即点D 在直线AC 上）？请你计算KC 的长为 步．
【答案】
2000
3
【思路分析】本题主要是考查学生建模思想，图中是两三角形相似中的基本图形，运用相似三角形的对应边成比例可求KC 的长．
【解题过程】解：∵DEFG 是正方形，∴DG ∥KC ， ∴ △AHD ∽△AOC ，
∴
AH HD AO OC = 即1510015100100KC =
++ 解得： 2000
3
KC = 故答案是：2000
3
【知识点】相似三角形判定及性质
三、解答题（本大题共7小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（2018山东省泰安市，19，6）先化简，再求值
2443
(1)11
m m m m m -+÷----，其中22m =-.
【思路分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是正确进行分式的化简整理，然后再代入数值计算.
【解题过程】.解：原式22(2)31
11m m m m --+=÷--
2分
2(2)(2)(2)
11m m m m m -+-=÷--
2(2)11(2)(2)m m m m m --=?-+-22m m
-=+.
5分
当22m =
-时， 原式22242
2212222
-+-=
==-+-.
6分
【知识点】因式分解；分式的化简求值；二次根式的化简.
20．（2018山东省泰安市，20，9）文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售.甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本. （1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？
（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才
能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完.）
【思路分析】本题考查了分式方程、一次函数及一元一次不等式的的实际应用，解题的关键是找出数量关系列出方程、一次函数和不等式．首先根据甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍来设未知数，根据用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本来列方程。在第（2）中，根据利润=甲种图书单件利润?数量+乙种图书单件利润?数量来列一次函数；根据书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书来列不等式确定函数自变量的取值范围，根据函数的增减性质，在取值范围内确定最值. 【解题过程】解：（1）设乙种图书售价每本x 元，则甲种图书售价为每本1.4x 元.
由题意得：
14001600
101.4x x
-=，
2分 解得：20x =.经检验，20x =是原方程的解. 4分 所以，甲种图书售价为每本1.42028?=元，
答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元. 5分
（2）设甲种图书进货a 本，总利润w 元，则
(28203)(20142)(1200)w a a =--+---
4800a =+.
6分
又∵2014(1200)20000a a +?-≤， 解得1600
3
a ≤
， 8分
∵w 随a 的增大而增大， ∴当a 最大时w 最大， ∴当533a =本时w 最大，
此时，乙种图书进货本数为1200533667-=（本）.
答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大. 9分 【知识点】分式方程的应用；一次函数的应用；一元一次不等式的应用.
21．（2018山东省泰安市，21，8）为增强学生的安全意识，我市某中学组织初三年级1000名学生参加了“校园安全知识竞赛”，随机抽取了一个班学生的成绩进行整理，分为A ，B ，C ，D 四个等级，并把结果整理绘制成条形统计图与扇形统计图（部分），请依据如图提供的信息，完成下列问题：
（1）请估计本校初三年级等级为A 的学生人数；
（2）学校决定从得满分的3名女生和2名男生中随机抽取3人参加市级比赛，请求出恰好抽到2名女生和1名男生的概率.
【思路分析】本题综合考查了统计与概率知识，解题的关键是学会识图、用图，以及利用列举法或画树状图求事件的概率．利用双图的公共部分入手，先用8÷40%求出样本容量，再求A 等级的频数，最后用样本的百分比估计初三学生等级A 的人数． 【解题过程】解：（1）由题意得，所抽取班级的人数为：820%40÷=（人）， 该班等级为A 的人数为：40258240355---=-=（人）， 该校初三年级等级为A 的学生人数约为：51
10001000125408
?
=?=（人）. 3分
答：估计该校初三等级为A 的学生人数约为125人.
（2）设两位满分男生为1m ，2m ，三位满分女生为1g ，2g ，3g .
从这5名同学中选3名同学的所有可能结果为：121(,,)m m g ，122(,,)m m g ，123(,,)m m g ，112(,,)m g g ，
113(,,)m g g ，123(,,)m g g ，212(,,)m g g ，213(,,)m g g ，223(,,)m g g ，123(,,)g g g ，共10种情况.
6分
其中，恰好有2名女生，1名男生的结果为：112(,,)m g g ，113(,,)m g g ，123(,,)m g g ，212(,,)m g g ，213(,,)m g g ，223(,,)m g g ，共6种情况.
7分
所以恰有2名女生，1名男生的概率为
63
105
=. 8分
【知识点】条形统计图；扇形统计图；用样本估计总体；用画树状图或列举法求等可能条件下事件的概率.
22．（2018山东省泰安市，22，9）如图，矩形ABCD 的两边AD 、AB 的长分别为3、8，E 是DC 的中点，反比例函数m
y x
=
的图象经过点E ，与AB 交于点F . （1）若点B 坐标为(6,0)-，求m 的值及图象经过A 、E 两点的一次函数的表达式； （2）若2AF AE -=，求反比例函数的表达式.
【思路分析】（1）利用矩形的性质可以点E 、A 的坐标，利用待定系数法求出m 的值及直线AE 的关系式；（2）利用勾股定理求出AE 的长，从而求出AF 、BF 的长，明确点E 、F 的纵坐标，用字母a 表示点E 、F 的横坐标，利用点E 、F 在同一反比例函数图象上列方程，求出它们的坐标，最终求出反比例函数的表达式. 【解题过程】解：（1）∵(6,0)B -，3AD =，8AB =，E 为CD 的中点， ∴(3,4)E -，(6,8)A -， ∵反比例函数图象过点(3,4)E -，∴3412m =-?=-. 2分
设图象经过A 、E 两点的一次函数表达式为：y kx b =+，
∴
68
34
k b
k b
-+=
?
?
-+=
?
，解得
4
3
k
x
b
?
=-
?
?
?=
?
，∴
4
3
y x
=-. 4分
（2）∵3
AD=，4
DE=，∴5
AE=，
∵2
AF AE
-=，∴7
AF=，∴1
BF=.
设E点坐标为(,4)
a，则点F坐标为(3,1)
a-，6分
∵E，F两点在
m
y
x
=图象上，∴
43
a a
=-，解得1
a=-，8分
∴(1,4)
E-，∴4
m=-，∴
4
y
x
=-9分
【知识点】矩形性质；待定系数法求反比例函数及一次函数关系式，勾股定理；反比例函数k的意义.
23．（2018山东省泰安市，12，11）如图，ABC
?中，D是AB上一点，DE AC
⊥于点E，F是AD的中点，FG BC
⊥
于点G，与DE交于点H，若FG AF
=，AG平分CAB
∠，连接GE，GD.
（1）求证：ECG GHD
???；
（2）小亮同学经过探究发现：AD AC EC
=+.请你帮助小亮同学证明这一结论.
（3）若30
B
∠=o，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由.
【思路分析】（1）利用等腰三角形性质和角平分线定义推出∠CAG=∠FGA，从而推出AC∥FG;结合垂直条件，推出DE∥BC，从而推得AC BC
⊥，得到∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED；
再由点F是中点，推出FG时线段ED的中垂线，推出GE=GD，从而推出∠CGE=∠GDE；得到ECG GHD
???. （2）由30
B
∠=o推出∠ADE=30°，推出AE AF FG
==，结合（1）知：//
AE FG，得到AEGF是菱形.【解题过程】（1）证明：∵AF FG
=，∴FAG FGA
∠=∠，
∵AG平分CAB
∠，∴CAG FAG
∠=∠，∴CAG FGA
∠=∠，∴//
AC FG. 1分
∵DE AC
⊥，∴FG DE
⊥，
∵FG BC
⊥，∴//
DE BC，∴AC BC
⊥，
∴90
C DHG
∠=∠=o，CGE GED
∠=∠，3分
∵F 是AD 的中点，//FG AE ， ∴H 是ED 的中点，
∴FG 是线段ED 的垂直平分线， ∴GE GD =，GDE GED ∠=∠， ∴CGE GDE ∠=∠， ∴ECG GHD ???. 5分 （2）证明：过点G 作GP AB ⊥于点P ， ∴GC GP =，∴CAG PAG ???， ∴AC AP =. 7分 由（1）得EG DG =， ∴Rt ECG Rt GPD ???， ∴EC PD =， 8分 ∴AD AP PD AC EC =+=+. 9分 （3）四边形AEGF 是菱形，理由如下： ∵30B ∠=o
， ∴30ADE ∠=o
， ∴1
2
AE AD =
， ∴AE AF FG ==. 10分
由（1）得//AE FG ， ∴四边形AEGF 是菱形.
11分
【知识点】平行线的性质及判定；等腰三角形及直角三角形的性质；线段垂直平分线；三角形全等的判定，菱形的判定.
24．（2018山东省泰安市， 24，11）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2
y ax bx c =++交x 轴于点
(4,0)A -、(2,0)B ，交y 轴于点(0,6)C ，在y 轴上有一点(0,2)E -，连接AE .
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ?面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ?为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.
【思路分析】本题考查了二次函数表达式的确定，利用函数求三角形面积的最大值以及直角三角形的判定. （1）
直接将A 、B 、C 三个点的坐标代入2y ax bx c =++即可；（2）先求出直线AE 的表达式，过点D 作DN 与y 轴平行，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH DF ⊥，垂足为H ，因为D 、F 的纵坐标相同，利用同一字母表示它们的坐标，DF 为竖直高，ADE ADF EDF S S S ???=+，列出面积与0x 的函数关系式，利用配方法求最值；（3）分为∠P AE =90°、∠APE =90°和∠AEP =90°三种情况进行讨论，利用相似或勾股定理进行解答．
【解题过程】解：（1）由题意可得
16404206a b c a b c c -+=??
++=??=?
， 1分
解得34326a b c ?=-??
?
=-??=???
，
所以二次函数的解析式为233
642
y x x =-
-+. 3分
（2）由(4,0)A -，(0,2)E -， 可求得AE 所在直线解析式为1
22
y x =-
-. 4分
过点D 作DN 与y 轴平行，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH DF ⊥，垂足为H ，
设D 点坐标为200033(,6)42x x x --+，则F 点坐标为001
(,2)2
x x --， 则20033642DF x x =--+2
00013(2)824
x x x ---=--+， 5分
又ADE ADF EDF S S S ???=+，
∴1122ADE S DF AG DF EH ?=
??+?142DF =??2003
2(8)4x x =?--+ 203250
()233
x =-++.
7分 ∴当023x =-时，ADE ?的面积取得最大值50
3
. 8分
（3）P 点的坐标为(1,1)-，(1,11)-±，(1,219)--±.
11分
【知识点】二次函数的表达式，待定系数法，二次函数求最值，勾股定理；分类讨论思想；数形结合思想；存在性问题.
25．（2018山东省泰安市，25，12）如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是BD 上一点，//EF AB ，EAB EBA ∠=∠,过点B 作DA 的垂线，交DA 的延长线于点G .
（1）DEF ∠和AEF ∠是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由； （2）找出图中与AGB ?相似的三角形，并证明；
（3）BF 的延长线交CD 的延长线于点H ，交AC 于点M .
求证：2
BM MF MH =?.
【思路分析】（1）由//EF AB 和已知条件可知DEF ∠和AEF ∠都与EAB ∠相等，得到结论；（2）利用菱形性质易证2GAB ABE ADB ABE ∠=∠+∠=∠，由（1）的结论得2AEO ABE BAE ABE ∠=∠+∠=∠，由菱形对角线的性质和已知BG DG ⊥得90AGB AOE ∠=∠=o
，从而 判断EOA AGB ??:.（3）2
BM MF MH =?中的线段不在能够推得相似的两个三角形中，连接DM ，利用菱形的对称性，容易得BM=DM ，转化为证明
2DM MF MH =?，转化为证明MFD MDH ??:，而这对三角形有公共角，继而转化为证明ADM H ∠=∠，
这对相等的角利用菱形的对称性容易得到. 【解题过程】解：（1）DEF AEF ∠=∠，理由如下： ∵//EF AB ， ∴DEF EBA ∠=∠，AEF EAB ∠=∠，
又∵EAB EBA ∠=∠， ∴DEF AEF ∠=∠. 2分 （2）EOA AGB ??:，证明如下：
∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB AD =，AC BD ⊥， ∴2GAB ABE ADB ABE ∠=∠+∠=∠. 4分 又∵2AEO ABE BAE ABE ∠=∠+∠=∠，∴GAB AEO ∠=∠， 6分 又90AGB AOE ∠=∠=o
，∴EOA AGB ??:. 7分
（3）连接DM .
∵四边形ABCD 是菱形，由对称性可知
BM DM =，ADM ABM ∠=∠，
9分
∵//AB CH ， ∴ABM H ∠=∠， ∴ADM H ∠=∠，
又∵DMH FMD ∠=∠， ∴MFD MDH ??:， 11分
∴
DM MF MH DM
=
， ∴2
DM MF MH =?， ∴2
BM MF MH =?.
12分
【知识点】平行线的性质；相似三角形的性质及判定，菱形的性质.