概率论与数理统计期末复习20题及解答
概率论与数理统计期末复习20题及解答
【第一章】 随机事件与概率
1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.
2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率．
3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1，且输出结果为原字符的概率为)10(<<αα. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“101”
，“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率.
4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为85.0．（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．
【第二章】 随机变量及其分布
5、设连续随机变量X 的分布函数为
+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．
（1）求系数A 及B ；（2）求X 落在区间)1,1(-内的概率；（3）求X 的概率密度．
6、设随机变量X 的概率密度为
?
??≤≤=其它,0,10,)(x ax x f ，
求：（1）常数a ；（2）)5.15.0(< 7、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为 ?? ?<<+=., 0; 1,1),1(),(其它y x xy A y x f 求：（1）系数A ；（2）X 的边缘概率密度)(x f X ；（3）概率)(2 X Y P ≤． 8、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ?? ?<<<<=.,0; 20,10,1),(其它x y x y x f 求：（1）),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ，)(y f Y ；（2）概率)1,2 1 (≤≤Y X P ；（3）判断X ,Y 是否相互 独立. 9、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，]2.0,0[~U X ，Y 的概率密度函数为 ? ??≤>=-.0,0, 0,5)(5y y e y f y Y （1）求X 和Y 的联合概率密度),(y x f ；（2）求概率)(X Y P ≤． 【第三章】数字特征 10、设随机变量X 的概率密度为 ??? ??≤<-≤≤+-=,,0 ,21,)2(,10,)()(其它x x a x b x b a x f ， 已知2 1 )(= X E ，求：（1）b a ,的值；（2）)32(+X E ． 11、设随机变量X 的概率密度为 ? ? ?≤>=-.0,0, 0,)(2x x Ae x f x 求：（1）常数A ；（2）)(X E 和)(X D ． 12、设),(Y X 的联合概率分布如下： X Y 1 104/14 /12 /10 （1）求Y X ,的数学期望)(X E ,)(Y E ，方差)(X D ，)(Y D ．（2）求Y X ,的协方差),cov(Y X 与相 关系数),(Y X R ． 【第四章】正态分布 13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X （百分制）近似服从正态分布，已知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2.3%.（1）试估计本次考试的不及格率（低于60分为不及格）；（2）试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例. [已知9332.0)5.1(,8413.0)1(≈≈ΦΦ，9772.0)2(=Φ] 14、两台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X （单位：mm ）表示轴的直径，随机变量Y （单位：mm ）表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2 N X ，)4.0,52(~2 N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴 衬的内径与轴的直径之差在3~1mm 之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．[已知9772.0)2(≈Φ] 【第五章】 数理统计基本知识 15、设总体)1,0(~N X ，521,,,X X X Λ是来自该总体的简单随机样本，求常数0>k 使 )3(~)2(25 24 23 21t X X X X X k T +++= ． 16、设总体)5 ,40(~2 N X ，从该总体中抽取容量为64的样本，求概率)1|40(|<-X P ． 【第六章】参数估计 17、设总体X 的概率密度为 ? ??≥=--,,0, 2,);()2(其它x e x f x λλλ 其中参数0>λ．设n X X X ,,,21Λ是取自该总体的一组简单随机样本，n x x x ,,,21Λ为样本观测值. （1）求参数λ的矩估计量． （2）求参数λ的最大似然估计量． 18、设总体X 的概率密度为 ??? ??≤>=-, 0, 0;0, e 1);(2x x x x f x λλλ 其中参数0>λ．设n X X X ,,,21Λ是取自该总体的一组简单随机样本, n x x x ,,,21Λ为样本观测值. （1）求参数λ的最大似然估计量. （2）你得到的估计量是不是参数λ的无偏估计，请说明理由. 【第七章】假设检验 19、矩形的宽与长之比为618.0（黄金分割）时将给人们视觉上的和谐美感. 某工艺品厂生产矩形裱画专用框架. 根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为618.00=μ的正态分布. 现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品，测得其宽与长之比的平均值为,646.0=x 样本标准差为093.0=s . 试问在显著性水平05.0=α水平上能否认为这批产品是合格品？ 20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用. 临床统计表明，在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为220=μ（单位:mmHg ,毫米汞柱）的正态分布. 现在研制了一种新的替代药品，并对一批志愿者进行了临床试验. 现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值，计算得到样本均值)mmHg (5.19=x ，样本标准差)mmHg (2.5=s . 试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论 （取显著性水平05.0=α）. 解答部分 【第一章】 随机事件与概率 1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率. 【解】设A 表示“从甲袋移往乙袋的是白球”，B 表示“从乙袋返还甲袋的是黑球”，C 表示“经此换球过程后甲袋中黑球数增加”，则 AB C =， 又2 1 63)(,74)(=== A B P A P ，于是由概率乘法定理得所求概率为 )()(AB P C P =)()(A B P A P ==7 2 2174=?. 2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电 话的概率． 【解】 设i A 表示“此人第i 次拨号能拨通所需电话” )2,1(=i ，A 表示“此人拨号不超过两次而接通所需电话”，则 211A A A A +=， 由概率加法定理与乘法定理得所求概率为 )()()()(211211A A P A P A A A P A P +=+= )()()(1211A A P A P A P +=2.09 1 109101=?+=. 3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1，且输出结果为原字符的概率为)10(<<αα. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“101” ，“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率. 【解】设:1A 输入的是“101”，:2A 输入的是“010”，:B 输出的是“000”，则 2/1)(1=A P ，2/1)(2=A P ，αα21)1()(-=A B P ，)1()(22αα-=A B P ， 从而由全概率公式得 )()()()()(2211A B P A P A B P A P B P += )1(2 1)1(2122αααα-+-=)1(21 αα-=. 4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为85.0．（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率． 【解】设A 表示“该考生会解这道题”，B 表示“该考生选出正确答案”，则 85.0)(=A P ，2.0)(=A P ，1)(=A B P ，25.0)(=A B P ． （1）由全概率公式得 )()()()()(A B P A P A B P A P B P += 25.02.0185.0?+?=9.0=． （2）由贝叶斯公式得 944.018 17 9.0185.0)()()()(≈=?== B P A B P A P B A P ． 【第二章】 随机变量及其分布 5、设连续随机变量X 的分布函数为 +∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(． （1）求系数A 及B ；（2）求X 落在区间)1,1(-内的概率；（3）求X 的概率密度． 【解】（1）由分布函数的性质可知 0)2 ()(lim )(=- ?+==-∞-∞ →π B A x F F x ， 12 )(lim )(=? +==+∞+∞ →π B A x F F x ， 由此解得 π 1 ,21== B A ． （2）X 的分布函数为 )(arctan 1 21)(+∞<<-∞+= x x x F π ， 于是所求概率为 2 1 ))1arctan(121()1arctan 121()1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F X P ． （3）X 的概率密度为 ) 1(1 )()(2x x F x f +='=π． 6、设随机变量X 的概率密度为 ???≤≤=其它, 0,10,)(x ax x f ， 求：（1）常数a ；（2）)5.15.0(< 【解】（1）由概率密度的性质可知 ? ∞+∞ -dx x f )(12 1 == =?a axdx ， 由此得 2=a ． （2） )5.15.0(< /12 2 /31 1 2 /1=+=+=? ? x dx xdx . （3）当0 00)(==?∞ -x dx x F ； 当10<≤x 时，有 20 020)(x xdx dx x F x =+=??∞ -； 当1≥x 时，有 1020)(1 10 0=++=???∞ -x dx xdx dx x F . 所以，X 的分布函数为 ?????≥<≤<=.1, 1,10,,0, 0)(2 x x x x x F 7、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为 ?? ?<<+=., 0; 1,1),1(),(其它y x xy A y x f 求：（1）系数A ；（2）X 的边缘概率密度)(x f X ；（3）概率)(2 X Y P ≤． 【解】（1）由联合概率密度的性质可知 = ?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f ),(14)1(1 1 1 1 ==+?? --A dy xy A dx ， 由此得 4 1 = A ． （2）当11<<-x 时，有 = )(x f X = ? +∞ ∞ -dy y x f ),(2 1 411 1=+?-dy xy ； 当1-≤x 或1≥x 时，显然有 0)(=x f X ． 所以X 的边缘概率密度 ?? ?<<-=. , 0;11, 2/1)(其它x x f X （3） )(2 X Y P ≤??≤=2 ),(x y dxdy y x f dy xy dx x ??--+=2 11 141dx x x x )1221(412511+-+=?-32 =． 8、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ?? ?<<<<=.,0; 20,10,1),(其它x y x y x f 求：（1）),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ，)(y f Y ；（2）概率)1,2 1 (≤≤Y X P ；（3）判断X ,Y 是否相互 独立. 【解】（1）当10< x dy dy y x f x f x X 2),()(20 ??===+∞ ∞ -； 当0≤x 或1≥x 时，显然有 0)(=x f X . 于是X 的边缘概率密度为 ? ? ?<<=.,0; 10,2)(其它x x x f X 当20< ?? - == = +∞ ∞ -1 2 2 1),()(y Y y dx dx y x f y f ； 当0≤y 或2≥y 时，显然有 0)(=y f Y . 于是Y 的边缘概率密度为 ????? <<-=. , 0;20, 2 1)(其它y y y f Y （2）????===≤≤∞-∞2/12/102/11-4 1 ),()}1,21{(y dx dy dx y x f dy Y X P . （3）容易验证)()(),(y f x f y x f Y X ≠,故X 与Y 不独立. 9、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，]2.0,0[~U X ，Y 的概率密度函数为 ? ??≤>=-.0,0, 0,5)(5y y e y f y Y （2）求X 和Y 的联合概率密度),(y x f ；（2）求概率)(X Y P ≤． 【解】（1）由题意知，X 的概率密度函数为 ???<<=., 0;2.00, 5)(其它x x f X 因为X 和Y 相互独立，故X 和Y 的联合概率密度 ? ??><<==-.,0; 0,2.00,25)()(),(5其它y x e y f x f y x f y Y X （2） 12.00 50 52.00 )1(525),()(---≤=-=== ≤? ?? ??e dx e dy e dx dxdy y x f X Y P x x y x y ． 【第三章】数字特征 10、设随机变量X 的概率密度为 ??? ??≤<-≤≤+-=,,0 ,21,)2(,10,)()(其它x x a x b x b a x f ， 已知2 1 )(= X E ，求：（1）b a ,的值；（2）)32(+X E ． 【解】（1）由概率密度的性质可知 = ? ∞+∞ -dx x f )(12 )2(])[(2 1 10 =+ =-++-?? b a dx x a dx b x b a ； 又 dx x xf X E ? ∞+∞ -=)()(.216)2(])[(2 1 10 =+ =-++-=??b a dx x x a xdx b x b a 联立方程组 ?? ???=+=+, 216,12b a b a 解得 41= a ，2 3=b ． （2） 由数学期望的性质，有 432 1 23)(2)32(=+? =+=+X E X E ． 11、设随机变量X 的概率密度为 ? ? ?≤>=-.0,0, 0,)(2x x Ae x f x 求：（1）常数A ；（2）)(X E 和)(X D ． 【解】（1）由概率密度的性质可知 = ? ∞+∞ -dx x f )(12 2== ? ∞ +-A dx Ae x ， 由此得 2=A ． （2）由数学期望公式得 ? ?∞ ++∞-=-= ?=0 022212)(dt te dx e x X E t t x x 2 1 )2(Γ21==. 由于 ? ∞ +-?=0 222 2)(dx e x X E x dt e t t t x ?+∞-== 0224 121 !241)3(Γ41=?==， 故利用方差计算公式得 4 1 )21(21)]([)()(222=-= -=X E X E X D . 12、设),(Y X 的联合概率分布如下： X Y 1 104/14 /12 /10 （1）求Y X ,的数学期望)(X E ,)(Y E ，方差)(X D ，)(Y D ．（2）求Y X ,的协方差),cov(Y X 与相 关系数),(Y X R ． 【解】 由),(Y X 的联合概率分布知Y X ,服从"10"-分布： 4/1)0(==X P ，4/3)1(==X P ， 2/1)0(==Y P ，2/1)1(==Y P ， 由"10"-分布的期望与方差公式得 16/3)4/11(4/3)(,4/3)(=-?==X D X E ， 4/1)2/11(2/1)(,2/1)(=-?==Y D Y E ， 由),(Y X 的联合概率分布知 2/14/1114/1010104/100)(=??+??+??+??=XY E , 从而 8/12/14/32/1)()()(),cov(=?-=-=Y E X E XY E Y X ， = ),(Y X R 3 34 /116/38/1) ()(),cov(= = Y D X D Y X ． 【第四章】正态分布 13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X （百分制）近似服从正态分布，已知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2.3%.（1）试估计本次考试的不及格率（低于60分为不及格）；（2）试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例. [已知9332.0)5.1(,8413.0)1(≈≈ΦΦ，9772.0)2(=Φ] 【解】 由题意，可设X 近似服从正态分布),75(2 σN .已知%3.2)95(=≥X P ，即 %3.2)20 ( 1)75 95( 1)95(1)95(=-=--=<-=≥σ Φσ ΦX P X P ， 由此得977.0)20 (=σ Φ，于是 220 ≈σ ，10≈σ，从而近似有)10,75(~2N X . （1） 0668.09332.01)5.1(1)5.1()10 75 60( )60(=-≈-=-=-=<ΦΦΦX P ， 由此可知，本次考试的不及格率约为%68.6. （2） )10 75 65()107585( )8565(---=≤≤ΦΦX P 6826.018413.021)1(2)1()1(=-?≈-=--=ΦΦΦ， 由此可知，成绩在65分至85分之间的考生人数约占考生总数的%26.68. 14、两台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X （单位：mm ）表示轴的直径，随机变量Y （单位：mm ）表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2 N X ，)4.0,52(~2 N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴 衬的内径与轴的直径之差在3~1mm 之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．[已知9772.0)2(≈Φ] 【解】 设X Y Z -=，由X 与Y 的独立性及独立正态变量的线性组合的性质可知， )4.03.0,5052(~22+--=N X Y Z ， 即)5.0,2(~2 N Z ．于是所求概率为 )2()2()5 .02 1()5.023( )31(--=---=≤≤ΦΦΦΦZ P .9544.019772.021)2(2=-?≈-=Φ 【第五章】 数理统计基本知识 15、设总体)1,0(~N X ，521,,,X X X Λ是来自该总体的简单随机样本，求常数0>k 使 )3(~)2(25 24 23 21t X X X X X k T +++= ． 【解】 由)1,0(~N X 知)5,0(~221N X X +，于是 )1,0(~5 22 1N X X +， 又由2 χ分布的定义知 )3(~2252 423χX X X ++， 所以 )3(~253 3 /)(5 /)2(25 242321252 42321t X X X X X X X X X X T +++?= +++= ， 比较可得5 3 = k ． 16、设总体)5 ,40(~2 N X ，从该总体中抽取容量为64的样本，求概率)1|40(|<-X P ． 【解】 由题设40=μ，5=σ，64=n ，于是 )1,0(~8 540 N X n X u -= -= σμ 从而 )58 |8/540(| )1|40(|<-=<-X P X P .8904.019452.021)6.1(2)5 8 |(|=-?≈-=<=Φu P 【第六章】参数估计 17、设总体X 的概率密度为 ? ??≥=--,,0, 2,);()2(其它x e x f x λλλ 其中参数0>λ．设n X X X ,,,21Λ是取自该总体的一组简单随机样本，n x x x ,,,21Λ为样本观测值. （1）求参数λ的矩估计量． （2）求参数λ的最大似然估计量． 【解】（1）21 )2(),()(0 2) 2(2 += +=== -+∞ =---+∞ +∞ ∞ -??? λ λλλλλdt e t dx e x dx x xf X E t t x x ， 令)(X E X =，即21 += λ X ，解得参数λ的矩估计量为 2 1 -= ∧ X λ． （2）样本似然函数为 ∑====--=--=∏∏n i i i n x n n i x n i i e e x f L 1 ) 2( 1 ) 2(1 ),()(λλλλλλ， 上式两边取对数得 ∑--==n i i n X n L 1 )2(ln )(ln λλλ， 上式两边对λ求导并令导数为零得 =λλd L d )(ln 0)2(1 =∑--=n i i n x n λ， 解得2 1 21 -= ∑-= =x n x n n i i λ，从而参数λ的最大似然估计量为 2 1 -= ∧ X λ． 18、设总体X 的概率密度为 ??? ??≤>=-, 0, 0;0, e 1);(2x x x x f x λλλ 其中参数0>λ．设n X X X ,,,21Λ是取自该总体的一组简单随机样本, n x x x ,,,21Λ为样本观测值. （1）求参数λ的最大似然估计量. （2）你得到的估计量是不是参数λ的无偏估计，请说明理由. 【解】（1）样本似然函数为 ,e 1 e 1 ),()(1 1 21 2 1 1 ∏∏ ∏=-=- =∑?= ===n i x i n n i x i n i i n i i i x x x f L λλ λλλλ 上式两边取对数得 ∑∑==- +-=n i i n i i x x n L 1 11 ln ln 2)(ln λ λλ， 求导数得 ∑=+-=n i i x n L d d 1 212)(ln λλλλ， 令0)(ln =λλL d d 解得2211 x x n n i i ==∑=λ，于是参数λ的极大似然估计量为 2 21?1X X n n i i ==∑=λ. （2）dx x X E x λλ /20 2 e 1)(-+∞?=dx x x λ λ /20 e )(-+∞?=dx t t t x -∞ +=?=e 0 2λλλΓλ2)3(==， λλλ =?====22 1)(21)(21)2()?(X E X E X E E ， 于是221?1 X X n n i i ==∑=λ是λ的无偏估计. 【第七章】假设检验 19、矩形的宽与长之比为618.0（黄金分割）时将给人们视觉上的和谐美感. 某工艺品厂生产矩形裱画专用框架. 根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为618.00=μ的正态分布. 现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品，测得其宽与长之比的平均值为,646.0=x 样本标准差为093.0=s . 试问在显著性水平05.0=α水平上能否认为这批产品是合格品？ 【解】由题意，待检验的假设为 0H ： 618.00==μμ； 1H ： 618.0≠μ． 因为σ未知，所以检验统计量为 )24(~) 618.0(525/618.0/0t S X S X n S X t -=-=-= μ， 关于0H 的拒绝域为 06.2)24()1(||025.02/==->t n t t α． 现在646.0=x ，093.0=s ，所以统计量t 的观测值为 505.1093 .0) 618.0646.0(5=-= t ． 因为)24(06.2505.1||025.0t t =<=，即t 的观测值不在拒绝域内，从而接受．．原假设，即可以认为这批产品是合格品． 20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用. 临床统计表明，在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为220=μ（单位:mmHg ,毫米汞柱）的正态分布. 现在研制了一种新的替代药品，并对一批志愿者进行了临床试验. 现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值，计算得到样本均值)mmHg (5.19=x ，样本标准差)mmHg (2.5=s . 试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论 （取显著性水平05.0=α）. 【解】由题意，待检验的假设为 0H ： 220==μμ； 1H ： 22<μ． 因为σ未知，所以取统计量 )15(~) 22(4/0t S X n S X t -=-= μ， 且关于0H 的拒绝域为 753.1)15()1(05.0-=-=-- 现在5.19=x ，2.5=s ，所以统计量t 的观测值为 923.12 .5) 225.19(4-≈-= t ． 因为)15(753.1923.105.0t t -=-<-≈，即t 的观测值在拒绝域内，从而拒绝．． 原假设，即认为这次试验支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论. 一、单项选择题(每题2分，共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0P A B P A ?==则 ()P B = ( A A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-??( p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...) ! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...) ! n e P X n n n -== = 3．下列命题 不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ，则一定有?+∞ ∞-=1 )(dx x f ； (B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率； 4．若()()() E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立 ； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+； 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数 为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥= * 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P 概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020 一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为 华东师范大学期末试卷 概率论与数理统计 一． 选择题（20分，每题2分） 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为： A ．)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命，设:事件A={该器件的寿命为200小时}，事件B={该器件的寿 命为300小时}，则： A ． B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3．设A,B 都是事件，且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P （） A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容，则=)(B A P （） B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P , A, B 互不相容，则=)(B A P （） B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容，则它们相互独立 C ．若A,B 相互独立，则它们互不相容 D ．若6.0)()(==B P A P ，则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ，且}3{}2{===X P X P ，则)(),(X D X E 的值分别为： A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8．总体X ~),(2 σμN ，μ未知，4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本，下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量：、 A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量： A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，记 ∑==n i i X n X 1 1， 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=， 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=， 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ，21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ，则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y p ，且+∞<<)(0X D ，则Y X , 第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题 您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题 您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题 您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． 概率论与数理统计必考大题解题索引 编制：王健 审核： 题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有： 贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地： 当n 2时，有： 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求： （1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件 表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工 厂生产的”（i =123，，）。 则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得 （1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?= 第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生； （4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++== 《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计. 习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%, 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已 知 , 2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地 抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒， 从中随机地取一个球，求取到红球的概率。 §1 .7 贝叶斯公式 1． 某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂， 求（1）该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。 2． 将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02， B 被误收作A 的概率为0.01，信息A 与信息B 传递的频繁程度为3 : 2，若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少？ §1 .8 随机事件的独立性 1. 电路如图，其中A,B,C,D 为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L 与R 为通路（用T 表示）的概率。 A B L R C D 3. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中， 概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】概率论与数理统计期末试卷+答案
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