活跃在高考中的“绝对值”

含绝对值函数的最值问题

专题三: 含绝对值函数的最值问题 1. 已知函数2()2||f x x x a =-- (0>a ),若对任意的[0,)x ∈+∞,不等式(1)2()f x f x -≥恒成立,求实数a 的取值范围、 不等式()()12f x f x -≥化为()2 212124x x a x x a ----≥-- 即:()242121x a x a x x ---+≤+-(*)对任意的[)0,x ∈+∞恒成立因为0a >,所以分如下情况讨论: ①当0x a ≤≤时,不等式(*)24120[0,]x x a x a ++-≥?∈对恒成立 ②当1a x a <≤+时,不等式(*)即24160(,1]x x a x a a -++≥?∈+对恒成立 由①知102 a <≤,2()416(,1]h x x x a a a ∴=-+++在上单调递减 2662a a ∴≤--≥-或 11626222 a -<∴-≤≤Q 2、已知函数f (x )＝|x －a |,g (x )＝x 2＋2ax ＋1(a 为正数),且函数f (x )与g (x )的图象在y 轴上的截距相等.(1)求a 的值;(2)求函数f (x )＋g (x )的最值. 【解析】(1)由题意f (0)＝g (0),∴|a |＝1、又∵a >0,∴a ＝1、 (2)由题意f (x )＋g (x )＝|x －1|＋x 2＋2x ＋1、 当x ≥1时,f (x )＋g (x )＝x 2＋3x 在[1,＋∞)上单调递增, 当x <1时,f (x )＋g (x )＝x 2＋x ＋2在????? ???－121上单调递增,在(－∞,12-]上单调递减. 因此,函数f (x )＋g (x )在(－∞,12-]上单调递减,在????? ???－12＋∞上单调递增. 2min ()4120[0,]()(0)120 1 02 g x x x a a g x g a a =++-≥∴==-≥∴<≤Q 在上单调递增只需2min ()(1)420h x h a a a ∴=+=+-≥只需

绝对值函数最值问题(含答案修改版)

绝对值函数最值问题 一、准备在两个小区所在街道上建一所医院，使得两个小区到医院的距离之和最小，问医院应该建在何处？ 先来证明一个引理： 引理：||||||y x y x +≥+……（1），当且仅当0≥xy 时等号成立 要证（1）式成立，只需证xy xy xy y x xy y x ≥++≥++||,2||22 2 2 2 也即是，上式显然成立，故原命题得证。 将上式的y y -换成可得 ||||||y x y x -≥+……（2），当且仅当0≤xy 时等号成立 定理：对于任意123,,a a a ……,n a 如果123a a a ≤≤≤……1n n a a -≤， 当n 为奇数时 ()12 3||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 等于123,,a a a ……n a 的中位 数时取到，即12 n x a +=时有最小值， 即是()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+ (112) ||||n n n x a x a f a -+??+-+-≥ ?? ? 当n 为偶数时 ()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 属于123,,a a a ……n a 的中间 两个数的范围时取到，即1 22,n n x a a +?? ∈???? 时有最小值。此时 ()123 ||||||f x x a x a x a =-+-+-+ (11) 22||||n n n n x a x a f a o r f a -+?? ??+-+-≥ ? ??? ?? 该定理的证明，只需最小的与最大的结合，在中位数时同时取到最小值。 二、求下列函数的最小值： 1、()|2||1|-+-=x x x f

高中一轮复习__含绝对值的函数

学案17 含绝对值的函数 一、课前准备： 【自主梳理】含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究，主要有以下3类： 1．形如)(x f y =的函数，由于0 )(0)()()()(<≥???-==x f x f x f x f x f y ，因此研究此类函数往往结合函数图像，可以看成由)(x f y =的图像在x 轴上方部分不变，下方部分关于x 轴对称得到； 2．形如)(x f y =的函数，此类函数是偶函数，因此可以先研究0≥x 的情况，0”之一）． （2）函数2ln -=x y 的图像与函数1=y 的图像的所有交点的横坐标之和为________． （3）函数x y 21log =的定义域为],[b a ，值域为[0,2]，则b -a 的最小值为_______．

探究绝对值函数最值的求法

探究绝对值函数最值的求法

探究绝对值函数最值的求法及应用 2011年陕西省理科高考试题第14题。题目是：植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁 边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 米。该题考查了求绝对值函数的最小值问题，转化为求函数y=|x-10|+|x-20|+|x-30|+|x -200|g g g ——的最小值问题。另外2009年上海高考有一道数学试题；其题目是：某地街道呈现东—西、南—北向的网络格状，相邻街距都为1。两街道相交的点称为格点。若以互相垂直一两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）（6，6）为报刊零售点，请确定一个格点（除零售点外） 为发行站，使6个零售点沿街道发行站之同路程的和最短。该题也需要转化为求绝对值函数 z=2|x+2|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|+|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|的最小值问题。 那么如何求这种多个绝对值和的函数的最小值问题呢？对此，笔者运用以下方法进行了探索研究，得出了解决这种问题的基本方法，以此与各位同仁商榷。 一、 利用函数图象研究这类函数的值域，从而达到求函数的最值：由于含绝对值函数可以等价化为分段函数，因此运用函数的图象求函数的最值。 例1求函数y=|2x-1|的最小值。 解：由于函数 12x-1x 2y=|2x-1|=1-2x+1x<)2 ? ≥??? ???（）（， 作出其图象如右图：由图象可知其当12 x =时，

高考数学提分专练绝对值函数最值问题(含答案)

绝对值函数最值问题 一、准备在两个小区所在街道上建一所医院，使得两个小区到医院的 距离之和最小，问医院应该建 在何处？ 来证明一个引理： 引理：||||||y x y x +≥+……（1），当且仅当0≥xy 时等号成立 要证（1）式成立，只需证xy xy xy y x xy y x ≥++≥++||,2||22222也即是，上式显然成立，故原命题得证。 将上式的y y -换成可得 ||||||y x y x -≥+……（2），当且仅当0≤xy 时等号成立 定理：对于任意123,,a a a ……,n a 如果123a a a ≤≤≤……1n n a a -≤， 当n 为奇数时 ()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 等 于123,,a a a ……n a 的中位数时取到，即12 n x a +=时有最小值， 即是()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+ (112) ||||n n n x a x a f a -+??+-+-≥ ?? ? 当n 为偶数时 ()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 属

于123,,a a a ……n a 的中间两个数的范围时取到，即1 2 2 ,n n x a a +??∈??? ? 时有最 小值。此时 ()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+…… 1122||||n n n n x a x a f a or f a -+???? +-+-≥ ? ????? 该定理的证明，只需最小的与最大的结合，在中位数时同时取到最小值。 二、求下列函数的最小值： 1、()|2||1|-+-=x x x f ()()1|21||2||1|=---≥-+-x x x x ，当且仅当()(),021等号成立≤--x x 也即是[]2,1∈x 时等号成立。 1)(≥∴x f 2、()|3||2||1|-+-+-=x x x x f ()()[]时等号成立。 当且仅当时等号成立当2,0|2|3,1,2|31||3||1|=≥-∈=---≥-+-x x x x x x x ()()时等号成立当且仅当22=≥∴x x f 2.1、求x 的范围使得函数|1||||2|)(-+++=x x x x f 为增函数（12年北约自招试题） 对于绝对值函数（也称“折线函数”）问题，主要有两种解决思路：1、利用绝对值的几何意义（求最值时非常方便），2、找零点直接去绝对值，转化为分段函数。

探求绝对值函数最值的求法

探究绝对值函数最值的求法及应用 陕西省西乡县第二中学：王仕林 邮编：723500 2011年陕西省理科高考试题第14题。题目是：植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 米。该题考查了求绝对值函数的最小值问题，转化为求函数 的最小值问题。另外2009年上海高考有一道数学试题；其题 y=|x-10|+|x-20|+|x-30|+|x -200|A A A ——目是：某地街道呈现东—西、南—北向的网络格状，相邻街距都为1。两街道相交的点称为格点。若以互相垂直一两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）（6，6）为报刊零售点，请确定一个格点（除零售点外） 为发行站，使6个零售点沿街道发行站之同路程的和最短。该题也需要转化为求绝对值函数 的最小值问题。那么如何求这种多 z=2|x+2|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|+|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|个绝对值和的函数的最小值问题呢？对此，笔者运用以下方法进行了探索研究，得出了解决这种问题的基本方法，以此与各位同仁商榷。 一、利用函数图象研究这类函数的值域，从而达到求函数的最值：由于含绝对值函数可以等价 化为分段函数，因此运用函数的图象求函数的最值。 例1求函数的最小值。 y=|2x-1|解：由于函数， 12x-1x 2 y=|2x-1|=1-2x+1x<2 ? ≥??????（（（作出其图象如右图：由图象可知其当时， 1 2 x =原绝对值函数的最小值为0。例2求函数的最小值。 |21||22|y x x =-++解：由于该函数 ，作出|21||22|y x x =-++14x+1(x 2 1 1=3(-

多个绝对值求和型函数最值问题的求解方法

多个绝对值求和型函数最值问题的求解方法 命题设a 1≤a 2 ≤a 3 ≤…≤a n , Y＝︱x－a 1︱＋︱x－a 2 ︱＋︱x－a 3 ︱＋…＋︱x－a n ︱,求y达到最小值的条件： （1）当n＝2k时，x∈﹝a k,,a k＋1 ﹞,y值达到最小； （2）当n＝2k－1时，x＝a k 时，y值达到最小。 利用绝对值的几何意义，可以方便的证明。(思考：穿根法思想试试？) 证明：（1）当n＝2k时 若a k＜a k＋1 ︱x－a1︱＋︱x－a2k︱≥a2k－a1, 当且仅当x∈﹝a1,,a2k﹞时等号成立， ︱x－a2︱＋︱x－a2k-1︱≥a2k-1－a2,当且仅当x∈﹝a2,,a2k-1﹞时等号成立， … ︱x－a k︱＋︱x－a k+1︱≥a k+1－a k, 当且仅当x∈﹝a k,a k+1﹞时等号成立； 因为﹝a k,a k+1﹞是以上各区间的公共的子区间， 所以当且仅当x∈﹝a k,a k+1﹞时，以上各式的等号能同时成立,y才能达到最小。 若a k＝a k＋1时，当且仅当x＝a k＝a k+1时，以上各式的等号能同时成立,y才能达到最小。（2）当n＝2k－1时， ︱x－a1︱＋︱x－a2k-1︱≥a2k-1－a1,当且仅当x∈﹝a1,a2k-1﹞时等号成立， ︱x－a2︱＋︱x－a2k-2︱≥a2k-2－a2,当且仅当x∈﹝a2,a2k-2﹞时等号成立， … ︱x－a k-1︱＋︱x－a k+1︱≥a k+1－a k-1,当且仅当x∈﹝a k-1,a k+1﹞时等号成立； ︱x－a k︱≥0，当且仅当x＝a k时等号成立 因为x＝a k是以上各区间唯一公共的元素， 所以当且仅当x＝a k时，以上各式的等号能同时成立，y才能达到最小。 例1 y＝︱x－1︱＋︱x－2︱＋︱x－3︱＋…＋︱x－19︱,求y的最小值。 解析:共19项，中项为10，由以上定理知，当且仅当x＝10时，y值达到最小。 代人x＝10，y min ＝90. 例2（第19届“希望杯”高二2试） 如果对于任意实数x,都有 y＝︱x－1︱＋︱x－2︱＋︱x－3︱＋…＋︱x－2008︱≥m成立,那么m的最大值是：（A）1003×1004 （B）10042（C）1003×1005 （D）1004×1005 解析:m的最大值，即是y的最小值。 绝对值和式共2008项，中间两项分别是1004和1005， 当且仅当x∈﹝1004,1005﹞时，y能达到最小， 取x＝1004或x＝1005代人，y min ＝10042,故选（B）. 例3 y＝︱x－1︱＋︱x－2︱＋︱x－3︱＋︱x－4︱＞4，求x的解集。 解析:共4项，中间两项分别是2和3，当且仅当x∈﹝2,3﹞时，y min ＝4。 所以原不等式的解集是｛x︱x＜2或x＞3｝.

探究绝对值函数最值的求法

探究绝对值函数最值的 求法 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

探究绝对值函数最值的求法及应用 2011年陕西省理科高考试题第14题。题目是：植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑 旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为米。该题考查了求绝对值函数的最小值问题，转化为求函数y=|x-10|+|x-20|+|x-30|+|x-200| ——的最小值问题。另外2009年上海高考有一道数学试题；其题目是：某地街道呈现东—西、南—北向的网络格状，相邻街距都为1。两街道相交的点称为格点。若以互相垂直一两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）（6，6）为报刊零售点，请确定一个格点（除零售点外）为发行站， 使6个零售点沿街道发行站之同路程的和最短。该题也需要转化为求绝对值函数 z=2|x+2|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|+|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|的最小值问题。那么如何求这种 多个绝对值和的函数的最小值问题呢对此，笔者运用以下方法进行了探索研究，得出了解决这种问题的基本方法，以此与各位同仁商榷。 一、利用函数图象研究这类函数的值域，从而达到求函数的最值：由于含绝对值函数可 以等价化为分段函数，因此运用函数的图象求函数的最值。 例1求函数y=|2x-1|的最小值。 解：由于函数 1 2x-1x 2 y=|2x-1|= 1 -2x+1x<) 2 ? ≥ ?? ? ? ?? （） （ ， 1 2 x=时， 作出其图象如右图：由图象可知其当 原绝对值函数的最小值为0。 例2求函数|21||22| y x x =-++的最小值。解：由于该函数

专题 与绝对值函数有关的参数最值)

专题 与绝对值函数有关的参数最值及范围问题 类型一 常数项含参数 1.已知函数f （x ）=x 2﹣5|x ﹣a|+2a （Ⅰ）若0＜a ＜3，x ∈[a ，3]，求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）若a≥0，且存在实数x 1，x 2满足（x 1﹣a ）（x 2﹣a ）≤0，f （x 1）=f （x 2）=k ．设|x 1﹣x 2|的最大值为h （k ），求h （k ）的取值范围（用a 表示）． 2已知0a ≥ ，函数2()5||2f x x x a a =--+ （Ⅰ）若函数()f x 在[0,3]上单调，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若存在实数12,x x ，满足12()()0x a x a --≤ 且12()()f x f x =，求当a 变化时，12x x +的取值范围. 3. 已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，2()2f x x x =+. （1）若函数1()()22 h x f x x x a =---有四个不同零点，求实数a 的取值范围 （2）如果对于任意x R ∈，不等式()()1g x c f x x +≤--恒成立，求实数c 的取值范围

5．已知函数2()|1|f x x x a =++-，其中a 为实常数． （1）判断()f x 的奇偶性； （2）判断在上的单调性； （3）若对任意x R ∈，使不等式()2||f x x a ≤-恒成立，求a 的取值范围． 6.已知函数2()2||f x x x a =--.（1）若函数()y f x =为偶函数，求a 的值； （2，求函数()y f x =的单调递增区间； （3）0>a 时，对任意的[0,)x ∈+∞，(1)2()f x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围. 7.已知函数 ，， （1）若 ，试判断并用定义证明函数的单调性； （2）当时，求函数 的最大值的表达式； （3）是否存在实数 ，使得有且仅有3个不等实根，且它们成等差数列，若存在，求出所有 的值，若不存在，说明理由. ()f x 11[,]22-

探究绝对值函数最值的求法

探究绝对值函数最值的求法及应用 2011年陕西省理科高考试题第14题。题目是：植树节某班20名同学在一段直线公路 一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边， 使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 米。该题考查了求绝对值函数的最小值问题，转化为求函数y=|x-10|+|x-20|+|x-30|+|x-200| ——的最小值问题。另外2009年上海高考有一道数学试题；其题目是：某地街道呈现东—西、南—北向的网络格状，相邻街距都为1。两街道相交的点称为格点。若以互相垂直一两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）（6，6）为报刊零售点，请确定一个格点（除零售点外） 为发行站，使6个零售点沿街道发行站之同路程的和最短。该题也需要转化为求绝对值函数 z=2|x+2|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|+|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|的最小值问题。 那么如何求这种多个绝对值和的函数的最小值问题呢？对此，笔者运用以下方法进行了探索研究，得出了解决这种问题的基本方法，以此与各位同仁商榷。 一、利用函数图象研究这类函数的值域，从而达到求函数的最值：由于含绝对值函数可以等价化为分段函数，因此运用函数的图象求函数的最值。 例1求函数y=|2x-1|的最小值。 解：由于函数12x-1x 2y=|2x-1|=1-2x+1x<)2 ?≥??????（）（， 作出其图象如右图：由图象可知其当12 x = 时， 原绝对值函数的最小值为0。 例2求函数|21||22|y x x =-++的最小值。 解：由于该函数 |21||22|y x x =-++14x+1(x 211=3(-

含绝对值函数的最值问题.docx

专题三：含绝对值函数的最值问题 1.已矢II函a f(x) = x2-2\x-a\ ( a>0 ),若对任意的兀w［0,+oo),不等式/(x-l)>2/(x)恒成立，求 实数d的取值范围. 不等式 / (兀_ 1) n 2/(兀)化为(x —1) —2 x — \ — ci n 2兀2 _ 4 x _ G 即：4 x-a -2 x-(l + ?)| < x2 +2%-1 (*)对任意的xw［0,+oo)恒成立因为d〉0,所 以分如下情况讨论： ①当00X^Vxe［O,a］恒成立 ???g(兀)=/ +牡+1 _2G n 0在［0,町上单调递增 ???只需g(兀)mb = g(0) = 1 - 2a A 0 0 V Q W — 2 ②当acxSa + l 时，不等式(*)即x2 -4x + l + 66t>0对\/xw(a,d + l］恒成立 由①知0 < a W ,二/?(x) = x2 -4x + l + 6d在(d,a4-1］上单调递减 /.只需"(x)min =力(1 +。)= a? + 4G— 2 ? 0 /. a —2 —或a n V6 — 2 vV6-2<- A V6-2a + l时，不等式(*)化为即H + 2a-3巴0对V"(a+,+8)恒成立 a 兰-2 - 或a 工- 2

2.己知函数f［x)=\x—a\y g(x)=x+2ax+\(a为正数)，且函数/(x)与g(x)的图象在y轴上的截 距相等.⑴求a的值；(2)求函数⑴的最值. 【解析］⑴由题意/(0) = g(0),???圈=1.又?.?a>0, .S I. ⑵由题意几￥)+ g(x) = |x - 11 + x2 3 + 2x + 1. 当兀2 1时，/(x) + g(Q = / + 3兀在［1, +oo)上单调递增， 当*1时，/W + g(x)=/ +兀+ 2在-* 1)上单调递增，在(-co, 3 7 所以，当乳=——时，函数fix) + g(x)的最小值为一；函数无最大值. 一丄］上单调递减. 2 因此，函数./(X)+ ￡(/)在(- 00,-丄］上单调递减，在-* 2 L - + 00 上单调递增.

多个绝对值求和型函数最值问题的求解方法

多个绝对值求和型函数最值问题的求解方法命题设a1≤a2≤a3≤…≤a n, Y＝︱x－a1︱＋︱x－a2︱＋︱x－a3︱＋…＋︱x－a n︱,求y达到最小值的条件：（1）当n＝2k时，x∈﹝a k,,a k＋1﹞,y值达到最小； （2）当n＝2k－1时，x＝a k时，y值达到最小。 利用绝对值的几何意义，可以方便的证明。(思考：穿根法思想试试) 、 证明：（1）当n＝2k时 若a k＜a k＋1 ︱x－a1︱＋︱x－a2k︱≥a2k－a1, 当且仅当x∈﹝a1,,a2k﹞时等号成立， ︱x－a2︱＋︱x－a2k-1︱≥a2k-1－a2,当且仅当x∈﹝a2,,a2k-1﹞时等号成立， … ︱x－a k︱＋︱x－a k+1︱≥a k+1－a k, 当且仅当x∈﹝a k,a k+1﹞时等号成立； 因为﹝a k,a k+1﹞是以上各区间的公共的子区间， 所以当且仅当x∈﹝a k,a k+1﹞时，以上各式的等号能同时成立,y才能达到最小。 若a k＝a k＋1时，当且仅当x＝a k＝a k+1时，以上各式的等号能同时成立,y才能达到最小。 （2）当n＝2k－1时， ， ︱x－a1︱＋︱x－a2k-1︱≥a2k-1－a1,当且仅当x∈﹝a1,a2k-1﹞时等号成立， ︱x－a2︱＋︱x－a2k-2︱≥a2k-2－a2,当且仅当x∈﹝a2,a2k-2﹞时等号成立， … ︱x－a k-1︱＋︱x－a k+1︱≥a k+1－a k-1,当且仅当x∈﹝a k-1,a k+1﹞时等号成立； ︱x－a k︱≥0，当且仅当x＝a k时等号成立 因为x＝a k是以上各区间唯一公共的元素， 所以当且仅当x＝a k时，以上各式的等号能同时成立，y才能达到最小。 例1 y＝︱x－1︱＋︱x－2︱＋︱x－3︱＋…＋︱x－19︱,求y的最小值。 解析:共19项，中项为10，由以上定理知，当且仅当x＝10时，y值达到最小。 > 代人x＝10，y min＝90. 例2（第19届“希望杯”高二2试） 如果对于任意实数x,都有 y＝︱x－1︱＋︱x－2︱＋︱x－3︱＋…＋︱x－2008︱≥m成立,那么m的最大值是：（A）1003×1004 （B）10042（C）1003×1005 （D）1004×1005 解析:m的最大值，即是y的最小值。 绝对值和式共2008项，中间两项分别是1004和1005， 当且仅当x∈﹝1004,1005﹞时，y能达到最小， 。 取x＝1004或x＝1005代人，y min＝10042,故选（B）.