奥林匹克数学竞赛试
题
奥林匹克数学竞赛试题(几何部分)Mathematics Olympic test
(geometric part)
1.已知在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=40°,∠C=50°,点
E,F,M,N分别为四条边的中点,求证:BC=EF+MN.【简单】
2.已知在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,P为平
行四边形ABCD外一点,且∠APC=∠BPD=90°,求证:平行四边形ABCD为矩形.【简单】
3.已知在三角形ABC中,AB=AC,CD⊥AB于D,P为BC上一点,
PE⊥AB于E,PF⊥AC于F.求证:PE+PF=CD.【简单】
4.已知在等腰三角形ABC中,AB=AC,CD⊥AB,AH⊥FH,EF⊥AB,求证:EF=CD+FH.【简单】
5.已知三角形ABC和三角形BDE都是等腰直角三角形,连结AD,延长CE交AD与F,求证:CF⊥AD.【简单】
6.已知三角形ABC和三角形BDE都是正三角形,连结AD交BE于F,连结CE交AB于G,连结FG,求证:FG∥CD.【简单】
7.已知三角形ABC为正三角形,内取一点P,向三边作垂线,交AB 于D,BC于E,AC于F,求证:PD+PE+PF=三角形的高.【简单】
8.已知三角形ABC为正三角形,AD为高,取三角形外一点P,向三边(或边的延长线)作垂线,交AB的延长线AE于M,交AC的延长线AF于N,交BC于Q,求证:PM+PN-PQ=AD.【中等】
9.已知在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于O,DE平分∠ADC交AC 于F,若∠BDE=15°,求∠COE的度数.【中等】
10.已知三角形ABC是直角三角形,∠BAC=90°,AD⊥BC,AE平分∠CAD,BF平分∠ABC,交AD于G,交AE于H,连结EG,求证:EG∥AC.【中等】
11.已知三角形ABC和三角形BDE都是正三角形,连结AE,CD,取AE 的中点N,取CD的中点M,连结BM,BN,MN.求证:三角形BMN是等边三角形.【中等】
12.已知在正方形ABCD中,作对角线AC的平行线EG,作BC=CH,连结BE,延长HG交BE于F,连结CF,求证:BC=CF.【中等】
13.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,BC=5,将腰CD绕点D 逆时针旋转90°至DE,连结AE,求三角形ADE的面积.【中等】
14.已知在任意四边形ABCD中,AB=CD,P,Q,R分别为AD,BC,BD的中点,∠ABD=25°,∠BDC=65°,求∠PQR的度数.【中等】
15.已知在梯形ABCD中,AD∥BC,E为AB的中点,求证:S三角形CDE=S三角形ADE+S三角形BCE.【较难】
16.已知矩形ABCD,在CD的延长线上取一点E,在BC的延长线上取一点F,使得∠DAE=∠DAF,AF和CD交于G,求证:S矩形ABCD=S 三角形AEF.【较难】
17.已知在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD=AE,AF⊥BE交BC于F,过F作FG⊥CD交BE的延长线于G,求证:BG=AF+FG. 【很难】【提示:过C点作AC的垂线,延长AF,交垂线于H.】
18.已知在正九边形ABCDEFGHI中,连结AE,AE=1,求AH+AI 的长.【很难】【提示:延长AH使HK=HG,连结KG.】
19.已知正方形ABCD内有一点P,且PB:PC:PD=3:2:1,求证:∠CPD=135°.【超难】【提示:过C作PC的垂线CP’,使
CP=CP’.】
20.已知在任意四边形ABCD中,点E,F分别将AD,BC分成m:n两部
分,AF和BE交于P,CE和DF交于Q,求证:S四边形EPFQ=S三角形CDQ+S三角形ABP.【超难】
(第7题图) B C D G F E (第5题图) 全国初中数学竞赛试题 一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分。以下每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分) 1、在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌;并且从10千米处开始,每隔9千米经过一个速度监控仪。刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( ) A 、36 B 、37 C 、55 D 、90 2、已知21+=m ,21-=n ,且()()876314722=--+-n n a m m ,则a 的值等于( ) A 、5- B 、5 C 、9- D 、9 3、ABC Rt ?的三个顶点A ,B ,C 均在抛物线2x y =上,并且斜边AB 平行于x 轴。若斜边上的高为h ,则( ) A 、1 h B 、1=h C 、21 h D 、2 h 4、一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出 其中一部分,再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去,最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是( ) A 、2004 B 、2005 C 、2006 D 、2007 5、如图,正方形ABCD 内接于⊙O ,点P 在劣弧AB 上,连结DP ,交AC 于点Q .若 QO QP =,则 QA QC 的值为( ) A 、132- B 、32 C 、23+ D 、23+ 二、填空题 (共5小题,每小题6分,满分30分) 6、已知a ,b ,c 为整数,且2006=+b a ,2005=-a c .若b a ,则c b a ++的最大值为 . 7、如图,面积为c b a -的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ,其中a ,
六年级 第1页 六年级 第2页 绝密★启用前 世界少年奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛地方海选赛 选手须知: 1、本卷共三部分,第一部分:填空题,共计50分;第二部分:计算题,共计12分;第三部分:解答题,共计58分。 2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。 3、比赛时不能使用计算工具。 4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。 六年级试题(A卷) (本试卷满分120分 ,考试时间90分钟 ) 一、填空题。(每题5分,共计50分) 1、有甲、乙两个两位数,甲数的 27等于乙数的 2 3 ,这个两位数的差最多是。 2、如果15111111111111111*=++++,242222222222*=+++,33*=3+33+333,那么7*4=。 3、由数字0,2,8(既可全用也可不全用)组成的非零自然数,按照从小到大排列,2008排在第个。 4、如图,正方形的边长是2(a+b ),已知图中阴影部分B 的面积是7平方厘米,则阴影部分A 和C 面积的和是平方厘米。 5、一辆出租车与一辆货车同时从甲地出发,开往乙地出租车4小时到达,货车6小时到达,已知出租车 比货车每小时多行35千米。甲乙两地相距千米 6、一个长方体铁块,被截成两个完全相同的正方体铁块,两个正方体铁块的棱长之和比原来长方体铁块的棱长之和增加了16厘米,则原来长方体铁块的长是。 7、四袋水果共46个,如果第一袋增加1个,第二袋减少2个,第三袋增加1倍,第四袋减少一半,那么四袋水果的个数就相等了,则第四袋水果原先有个。 8、有23个零件,其中有一个次品,不知它比正品轻还是重,用天平最少次可以找出次品。 9、123A5能被55整除,则A=。 10、在一次数学游戏中,每一次都可将黑板上所写的数加倍或者擦去它的末位数,假定一开始写的数是458,那么经过次上述变化得到14. 二、计算题。(每题6分,共计12分) 11、1232001 1 2320012002200220022002 ++++L 12、6328862363278624?-? a +省市 学校 姓名 赛场 参赛证号 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 〇 封 〇 装 〇 订 〇 线 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 封 线 内 不 要 答 题
世界青少年奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛 2017春季省级初赛 考生须知:本卷考试时间60分钟,共100分。 考试期间,不得使用计算工具或手机 七年级试题(A 卷) 一、填空(每题3分,共30分) 1、在△ABC 中,高BD 和CE 所在直线相交于O 点,若△ABC 不是直角三角形,且∠A =60°,则∠BOC =________度. 2、在等腰△ABC 中,AB=AC,一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分,则这个等腰三角形的底边长为___________. 3、凸多边形恰好有三个内角是钝角,这样的多边形边数的最大值是____________. 4、凸n 边形除去一个内角外,其余内角和为2570°,则n 的值是________. 5、已知 是二元一次方程ay x -2=3的一个解,那么a 的值是________. 6、若关于x 、y 的方程组 无解,则a 的值是________. 7、正整数._______,698的最大值是则满足、m mn n m n m +=+ 8、已知关于x 的不等式组 无解,则a 的取值范围是________. 9、 都是正数, 那么N M 、的大小关系是________. 10、若n 为不等式 的解,则n 的最小正整数的值是________. 二、选择题(每题5分,共25分) 11、三元方程 的非负整数解的个数有( ). A.20001999个 B.19992000个 C.2001000个 D.2001999个 12、如图已知 分别 为ABC ?的两个外角的平分线,给出下列结论:①CD CP ⊥; ???-==1 1 y x ???=-=+1293y x y ax ???-≥--1250x a x >, 如果))((),)((,,,200332200421200432200321200421a a a a a a N a a a a a a M a a a ++++++=++++++= 3002006>n 1999 =++z y x CD BD ACB CP ACB A ABC 、,平分,中,∠∠=∠?
2016年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30) 一、选择题(本题满分42分,每小题7分) (本题共有6个小题,每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.) 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数,把[]x x -称为x 的小数部分.已知 t =,a 是t 的小数部分,b 是t -的小数部分,则 11 2b a -= ( ) .A 12 .B .C 1 .D 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元,某学校计划恰好用500元购买上述图书 30本,那么不同的购书方案有 ( ) .A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差,则称这个正整数为“和谐数”.如:333321(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么,不超过2016的正整数中,所有的“和谐数”之和为 ( ) .A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 3(B ).已知二次函数2 1(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限,且过点(1,0).当 a b -为整数时,ab = ( ) .A 0 .B 14 .C 3 4 - .D 2- 4.已知O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ,连接AO 并延长交O 于点E ,若 8,AB =2CD =,则BCE ?的面积为 ( ) .A 12 .B 15 .C 16 .D 18 5.如图,在四边形ABCD 中,0 90BAC BDC ∠=∠=,AB AC ==1CD =,对角 线的交点为M ,则DM = ( ) . A .B . C 2 .D 12 6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( )
应用题 专题简析: 解答应用题时,必须认真审题,理解题意,深入细致地分析题目中数量间的关系,通过对条件进行比较、转化、重新组合等多种手段,找到解题的突破口,从而使问题得以顺利解决。 . 例1:某玩具厂把630件玩具分别装在5个塑料箱和6个纸箱里,1个塑料箱与3个纸箱装的玩具同样多。每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具? 分析:如果玩具全部装在塑料箱或全部装在纸箱里,那么可以求出一个纸箱或一个塑料箱装多少件。因为3个纸箱与一个塑料箱装的同样多,所以6个纸箱与2个塑料箱装的同样多。这样,5个塑料箱装的玩具件数和7个塑料箱装的就同样多。由此,可求出一个塑料箱装多少件。 例2:一桶油,连桶重180千克,用去一半油后,连桶还有100千克。问:油和桶各重多少千克? 分析:原来油和桶共重180千克,用去一半油后,连桶还有100千克,说明用去的一半油的重是180-100=80(千克),一桶油的重量就是80×2=160(千克),油桶的重量就是180-160=20(千克)。 例3:有5盒茶叶,如果从每盒中取出200克,那么5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶的重量相等。原来每盒茶叶有多少克? 分析:由条件“每盒取出200克,5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶重量相等”可以推出,拿出的200×5=1000(克)茶叶正好等于原来的5-4=1(盒)茶叶的重量。 例4:一个木器厂要生产一批课桌。原计划每天生产60张,实际每天比原计划多生产4张,结果提前一天完成任务。原计划要生产多少张课桌? 分析:这道题的关键是要求出工作时间。因为实际比原计划提前1天完成任务,这就相当于把原计划最后1天的任务平均分到前面的几天去做,正好分完。实际比原计划每天多生产4张,所以实际生产的天数是60÷4=15天,原计划生产的天数是15+1=16天。所以原计划要生产60×16=960张。 例5:有两盒图钉,甲盒有72只,乙盒有48只,从甲盒拿出多少只放入乙盒,才能使两盒中的图钉相等?分析:由条件可知,甲盒比乙盒多72-48=24只。要盒两盒中的图钉相等,只要把甲盒比乙盒多的24只图钉平均分成2份,取其中的1份放入乙盒就行了。所以应拿出24÷2=12只。 课后练习 (1)新华小学买了两张桌子和5把椅子,共付款195元。已知每张桌子的价钱是每把椅子的4倍,每张桌子多少元? (2)王叔叔买了3千克荔枝和4千克桂圆,共付款156元。已知5千克荔枝的价钱等于2千克桂圆的价钱。每千克荔枝和每千克桂圆各多少元?
绝密★启用前 世界少年奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛地方海选赛试题 选手须知: 1、本卷共三部分,第一部分:填空题,共计50分;第二部分:计算题,共计12分;第三部分:解答题,共计58分。 2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。 3、比赛时不能使用计算工具。 4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。 三年级试题(A卷) (本试卷满分120分,考试时间90分钟) 一、填空题。(每题5分,共计50分) 1、仔细观察,想一想接着该怎么画。 2、一只猫吃完1条鱼需要6分钟,5只猫同时吃完5条同样大小的鱼需要分钟。 3、国庆阅兵中,15辆坦克排成一队,从前往后数,战士小李驾驶的坦克是第6辆,那么从后往前数这辆坦克是第_______辆。 4、车站里的汽车每隔15分钟一班,小青想搭8:45的一班车去图书馆,但是她到达车站的时间已经是8:47,那么她还要等_______分钟才能搭乘下一班汽车。 5、一只大白兔的重量是2只松鼠的重量,1只松鼠的重量是3只小鸡的重量,1只大白兔的重量等于_______只小鸡的重量。 6、东村到西村有3条路,西村到南庄有4条路。那么从东村经过西村到南庄一共有_______条路可走。 7、学校招收了一批新生。若编成每班55人的班级,还要招收30人。若编成每班50人的班级,还需招收10名新生。这次共招收了名新生。 8、妈妈买来一块豆腐准备做鱼头豆腐汤,让小军动手切8块,小军最少要切刀。 9、王奶奶有两篮桃子,从第一个篮子里拿3个放入第二个篮子里,两个篮子里桃子就一样多,已知第二个篮子里原来有8个桃子,第一个篮子里原来有______个桃子。 10、下图中有个三角形。 二、计算题。(每题6分,共计12分) 11、2015+201+20-15+5 12、1000-9-99-8-98-7-97-6-96-5-95-4-94-3-93-2-92-1-1 三、解答题。(第13题6分,第14题8分,第15题10分,第16题10分,第17题12分,第18题12分,共计58分) 13、一条大鲨鱼,尾长是身长的一半,头长是尾长的一半,已知头长3米,这条大鲨鱼全长有多少米? 14、超市新进6箱足球,连续4天,每天卖出8个。服务员重新整理一下,剩下的足球正好装满2箱。原来每箱有几个足球? 15、小丽和小晴两人比赛爬楼梯,小丽跑到3楼时,小晴恰好跑到2楼,照这样计算,小丽跑到9楼,小晴跑到几楼? 16、三年级(2)班有46人,新学期开学要从A、B、C、D、E五位候选人中选出一位班长,每人只能投一票。投票结束(没人弃权),A得24票,B得选票占第二位,C、D得票同样多,E得票最少只得4票。那B得多少票? 17、有两层书架,共有书173本,从第一层拿走38本后,第二层的书是第一层的2倍还多6本,第二层原有多少本书? 18、小张和小赵两人同时从相距1000米的两地相向而行,小张每分钟行120米,小赵每分钟行80米,如果一只狗与小张同时同向而行,每分钟跑460米,遇到小赵后,立即回头向小张跑去,遇到小张再向小赵跑去,这样不断地来回跑,直到小张和小赵相遇为止,狗共跑了多少米?
2015 年全国高中数学联合竞赛(A 卷) 参考答案及评分标准 一试 说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标冶填空题只设。分和香分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题该分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分. 1.设b a ,为不相等的实数,若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =,则=)2(f 答案:4.解:由己知条件及二次函数图像的轴对称性,可得22 a b a +=-,即20a b +=,所以(2)424f a b =++=. 2.若实数α满足ααtan cos =,则αα 4cos sin 1 +的值为 . 答案:2. 解:由条件知,ααsin cos 2=,反复利用此结论,并注意到1sin cos 2 2=+αα, 得 )cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224 αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα. 3.已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111???=++==+n ni z z z n n ,其中i 为虚数单位,n z 表示 n z 的共轭复数,则=2015z . 答案:2015 + 1007i .解:由己知得,对一切正整数n ,有 211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+?+=+. 4.在矩形ABCD 中,1,2==AD AB ,边DC 上(包含点D 、C )的动点P 与CB 延长线上(包含点B )的动点Q 满足条件BQ DP =,则PQ PA ?的最小值为 . 答案 34 . 解:不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) .设 P 的坐标为(t , l) (其中02t ≤≤),则 由||||DP BQ = 得Q 的坐标为(2,-t ),故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=--- ,因此, 22133()(2)(1)(1)1()244 PA PQ t t t t t t ?=-?-+-?--=-+=-+≥ . 当12t =时,min 3 ()4 PA PQ ?= . 5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为 . 答案: 2 55 .解:设正方体为ABCD-EFGH ,它共有12条棱,从中任意取出3条棱的方法