导数计算练习题答案
1 用导数的定义求函数2
12y x =-在点1x =处的导数。
解:22
1111()(1)12(1)22(1)lim
lim lim 2lim14111
x x x x f x f x x f x x x x →→→→-----'====-+=---- 2 一物体的运动方程为3
10s t =+,求该物体在3t =时的瞬时速度。 解:233
(3)327t t v s t
=='===
3 求在抛物线2
y x =上横坐标为3的点的切线方程。 解:3(3)26x k f x ='===,切点为(3,9),
所求切线方程为96(3)y x -=-,即690x y --= 4
求曲线y =
上点(1,1)处的切线方程与法线方程。
解:切线斜率1
3
1
22(1)3
3
x k f x -='===
, 法线斜率为32
-
所求切线方程为2
1(1)3
y x -=
-,即2310x y -+= 所求法线方程为3
1(1)2
y x -=-
-,即3250x y +-= 5自变量x 取哪些值时,曲线2
y x =与3
y x =的切线平行 解:由已知,2
23x x =,解出0x =或23
x =
6讨论函数y x x =在点0x =处的可导性。 解:0
0()(0)0
(0)lim =lim 000x x f x f xx f x x -
-
-→→---'==-- 0
0()(0)0(0)lim =lim 00
0x x f x f xx f x x +
++→→--'==--
(0)(0)f f -+''=,所以函数y x x =在点0x =处的可导,且(0)0f '=。
7函数21
01()31
1x x f x x x
?+≤<=?
-≤?在点1x =处是否可导
解: 221111()(1)(1)21
(1)lim lim lim lim 12111
x x x x f x f x x f x x x x ----
-→→→→-+--'====+=--- 1
11()(1)(31)233
(1)lim lim lim 3111
x x x f x f x x f x x x +
+-
+→→→----'====--- (1)(1)
f f -+''=,
所以函数()f x 在点1x =处不可导。
8函数2
1sin 0()0
x x f x x
x ?≠?
=??=?在点0x =处是否连续是否可导
解:2
1
lim ()lim sin
0(0)x x f x x f x
→→===, 所以函数()f x 在点0x =处连续。
0()(0)1
(0)lim
lim sin 00x x f x f f x x x
→→-'===- 所以函数()f x 在点0x =处可导,且(0)0f '=。 9 求下列各函数的导数(其中a,b 为常数) (1) 2
35y x x =-+ 解:61y x '=-
(2)
1
y x =+
解:2211()y x x '=
-
=+ (3) 222
2x y x
=
+ 解:3314(2)2(2)2y x x x x
-'=
+-=-
(4) 3
y
=
解:153
22y x x
-==-
332215()22
y x x -'=--
(5) 1)y
=-
解:1)y
=-=3122111
)
22y x x x --'=--=+
(6) (y x =+
解:3
122
()y x x x =+=
+
1122312()1)
22y x x x -'=+=+
(7) ()()y x a x b =--
解:2
()()()y x a x b x a b x ab =--=-++
2()y x a b '=-+
10 求下列各函数的导数(其中a,b,c,n 为常数) (1)ln y x x =
解:1
ln (ln )ln ln 1y x x x x x x x x
'''=+=+?=+ (2)ln n
y x x =
解:11
1()ln (ln )ln (ln 1)n n n n n y x x x x nx x x x n x x
--'''=+=+?=+
(3)log a
y =
解:1
1
log 2
2ln a y x y x a
'=
=
(4)11x y x +=
-
解:222
(1)(1)(1)(1)(1)(1)2
(1)(1)(1)
x x x x x x y x x x ''+--+---+'=
==---- (5)2
51x
y x
=
+ 解:2222222222
(5)(1)(5)(1)5(1)(5)(2)5(1)
(1)(1)(1)x x x x x x x x y x x x ''+-++--'===+++
(6)232x y x x
=-
- 解:222
(2)(2)(2)(2)2(2)(2)(1)4
333(2)(2)(2)x x x x x x y x x x ''------'=-
=-=-
--- 11求下列各函数的导数 (1)sin cos y x x x =+
解:sin cos sin cos y x x x x x x '=+-=
(2)1cos x
y x =
-
解:22
(1cos )(1cos )1cos sin (1cos )(1cos )
x x x x x x
y x x '-----'=
=-- (3)tan tan y x x x =-
解:222sec tan sec (1)sec tan y x x x x x x x '=--=-- (4)5sin 1cos x y x
=
+
解:2
(5cos )(1cos )5sin (1cos )(1cos )x x x x y x '
+-+'=
+ 22
(5cos )(1cos )5sin (sin )5cos 55
(1cos )(1cos )1cos x x x x x x x x
+--+=
==+++
12 求下列各函数的导数(其中a,n 为常数) (1)25
(1)y x =+
解:24
2
24
24
5(1)(1)5(1)(2)10(1)y x x x x x x ''=++=+=+ (2
)2(23y x =+
解:22
26(236(23y x x '=+=+
23
3
=
=
(3
)y
解:22y ''=
=
=
(4) y =
解:y '
'=
=
==
(5) 2
log (1)a y x =+
解:222(1)2(1)ln (1)ln x x
y x a x a
'+'==++
(6) y =
解:22
1ln()2
y a x =-,222222()2()a x x y a x a x '--'==--
(7) y =
解:ln(1ln(1y =--
y '''=
==
(8) sin y nx =
解:cos ()cos y nx nx n nx ''== (9) sin n
y x = 解:1
cos ()cos n
n
n n y x x nx x -''==
(10) sin n y x = 解:11sin
(sin )cos sin n n y n x x n x x --''==
(11) ln tan 2
x y = 解:21
11(tan )(sec )()(tan )2222tan tan tan 222x x x x y x x x ''''=
==211111sec 222sin tan sin cos 222
x x x x x === (12)2
1sin
y x x =
解:222111111112sin
cos ()2sin cos ()2sin cos y x x x x x x x x x x x x x
''=+=+-=-
(13) lg(y x =
解:y '
'===(14) 1
cos n
y x
=
解:1
1[(cos )]()(cos )(cos )sin (cos )n
n n y x n x x n x x -----'''==-=
13求下列各函数的导数: (1) arcsin
2
x
y =
解:()2x y ''=
==
(2)22arctan
1x y x =-
解:222222222
22212(1)2(1)2(2)
arctan ()211(1)(1)1()1x x x x x x y y x x x x x x
----''===--+-+- 22222(1)2(1)(1)
x x x +==++ (3) 2
(arcsin )2
x y =
解:2(arcsin )(arcsin )2(arcsin ()2(arcsin 222
22x x x x x y '''===
2(arcsin 2x =(4)
sin y arc x =
解:2y x ''===
=(5)
sin(cos )y x =
解:)cos(cos )(cos )y x x x ''''=+
cos(cos )(sin )x x =+
+-
(6) 2
2
tan (12)y x =+
解:222tan(12)[tan(12)]y x x ''=++2222
2tan(12)sec (12)(12)x x x '=+++
2222tan(12)sec (12)4x x x =++222
8tan(12)sec (12)x x x =++ 14 下列各题中的方程均确定y 是x 的函数,求x y '(其中a,b 为常数) (1)2
2
1x y xy +-=
解:方程两边对x 求导,有220x yy y xy ''+--=即 (2)2y x y y x '-=- ,
解出22y x
y y x
-'=
-
(2)2
20y axy b -+=
解:方程两边对x 求导,有2220yy ay axy ''--=即 (22)2y ax y ay '-= , 解出ay
y y ax
'=
- (3)ln y x y =+ 解:方程两边对x 求导,有1y y y ''=+
即 1
(1)1y y
'-= , 解出1
y
y y '=
- (4)1y
y xe =+
解:方程两边对x 求导,有y
y
y e xe y ''=+即 (1)y
y
xe y e '-= ,
解出1y
y
e y xe '=-
15 求曲线3
2
2y y x +=在点(1,1)处的切线方程和法线方程。 解:点(1,1)在曲线上即(1,1)为切点,切线斜率为1x y =',
方程两边对x 求导,有2
322y y yy ''+= ,解出22
32y y y
'=
+
于是得点(1,1)处切线斜率为(1,1)25
y '=
, 得切线方程为2
1(1)5
y x -=
-,即2530x y -+= 法线方程为5
1(1)2
y x -=-
-,即5270x y +-= 16利用取对数求导法求下列函数的导数(其中12,,
,n a a a n 为常数):
(1)y =
解:方程两边取自然对数,1
ln ln (ln(1)ln(1))2
y x x x =+
--+ , 方程两边对x 求导,
11111[()]211y y x x x
-'=+--+ 得1
11
()
2(1)2(1)y y x x x '=+
--+
(2)21x y x =-
解:方程两边取自然对数,12
ln 2ln ln(1)ln(3)ln(3)33
y x x x x =--+--
+ , 方程两边对x 求导,
1111121213333y y x x x x --'=-+---+
得2
112()13(3)3(3)
y y x x x x '=-+---+
(3)tan (sin )x y x =
解:方程两边取自然对数,ln tan ln(sin )y x x = , 方程两边对x 求导,
221cos sec ln(sin )tan sec ln(sin )1sin x y x x x x x y x
'=+=+ 得2
[sec ln(sin )1]y y x x '=+
17求下列各函数的导数(其中f 可导)
(1)()
()x f x y f e e =,求x y '
, 解:()()()()()()[()()()]x x f x x f x f x x x x y f e e e f e e f x e f e e f x f e '''''=+=+
(2)()x e
y f e x =+,求x y ',
解:1()()x e x e y f e x e ex -''=++
(3)2
2
(sin )(cos )y f x f x =+,求x
y '
解:22(sin )2sin cos (cos )2cos ()y f x x x f x x sinx '''=+-
22sin 2[(sin )(cos )]x f x f x ''=-
18求下列函数的导数:
(1)2
323x t t y t t
?=-??=-??,求dy dx 解:2333(1)222t t
y dy t t dx x t '-+==='- (2) sin 3cos sin 3sin x a y a θθθθ=??=? , (其中a 为常数),求3
dy
dx πθ= 解:(3cos3sin sin 3cos )3cos3sin sin 3cos (3cos3cos sin 3sin )3cos3cos sin 3sin t t
y dy a dx x a θθθθθθθθ
θθθθθθθθ'++==='--
3
3(213(1)
2dy dx π
θ=-=-=
19设有函数2
1
0()010x x x f x k
x kxe x +?==??+>?
,试分析在点0x =处,k 为何值时,()f x 有极限; k 为何值时,()f x 连续,k 为何值时,()f x 可导。
解:(1)0
lim ()lim(1)1x x f x x --
→→=+= 0
lim ()lim(1)1x x x f x kxe ++
→→=+= 所以k 为任意实数时,0
lim ()1x f x →=。 (2)而2
(0)f k =,
所以2
1,1k k ==±即时,函数()f x 在0x =处连续。
(3)2
00()(0)()(0)lim lim 0x x f x f f x k f x x →→--'==-
2
01(0)lim x x k f x --→+-'=
2
0(1)(0)lim x x kxe k f x
++→+-'=
由连续的条件,2
1k =,
因此200111
(0)lim lim 1x x x k x f x x
--
-→→+-+-'===
2000(1)(1)1(0)lim lim lim x x x
x x x kxe k kxe kxe f k x x x ++++→→→+-+-'====
所以1k =函数()f x 在点1x =处可导。
20设21
1()1
x x f x ax b
x ?-≤=?
+>?在点1x =处可导,求,a b 的值。
解:函数()f x 在点1x =处可导,必先在该点连续,
2
1
1
lim ()lim(1)0x x f x x --
→→=-= 11
lim ()lim()x x f x ax b a b +
+
→→=+=+ (1)0f =
所以0a b +=时,函数()f x 在点1x =处连续,
1
1()(1)()
(1)lim
lim
11x x f x f f x f x x →→-'==--
2111
(1)lim lim(1)21x x x f x x --
-→→-'==+=-
1
1(1)lim lim 11
x x ax b ax a
f a x x +
++→→+-'===-- 所以2,2a b ==-函数()f x 在点1x =处可导。
21 求下列各函数的二阶导数: (1)2
ln(1)y x =+
解:221x y x
'=+ ,2222222(1)222(1)
(1)(1)x x x x y x x +--''==++ (2)2
(1)arctan y x x =+
解:
2
2
1
2arctan (1)2arctan 11y x x x x x x
'=++=++ 2
22arctan 1x
y x x
''=+
+ 22 设2
()y f x b =+,其中b 为常数,f 存在二阶导数,求y ''。 解:2
2()y xf x b ''=+
222222()2()22()4()y f x b xf x b x f x b x f x b ''''''''=+++=+++
23 验证:sin x
y e x =满足关系式220y y y '''-+=
解:sin cos x x y e x e x '=+
sin cos cos sin 2cos x x x x x y e x e x e x e x e x ''=++-=
222cos 2(sin cos )2(sin )0x x x x y y y e x e x e x e x '''-+=-++=
24求下列各函数的微分:
(1)y = 解:
y '=
,dy =
(2)21x y x =
-
解:2222221(2)1(1)(1)x x x x y x x ---+'==--, 2
22
1(1)
x dy dx x +=-
(3)y =
解:
y '=
=,dy = (4)2
()x
x y e e -=+
解:2()()x x x x y e e e e --'=+-, 22[2()()]2()x x x x x
x dy e e e e dx e e dx ---=+-=-
25求隐函数x y
xy e
+=的微分dy 。
解:方程两边对x 求导(1)x y
y xy e
y +''+=+,x y x y e y
y x e
++-'=-,
x y x y e y dy dx x e ++-=-
导数概念与计算 1.若函数42()f x ax bx c =++,满足'(1)2f =,则'(1)f -=( ) A .1- B .2- C .2 D .0 2.已知点P 在曲线4()f x x x =-上,曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=,则点P 的坐标为( ) A .(0,0) B .(1,1) C .(0,1) D .(1,0) 3.已知()ln f x x x =,若0'()2f x =,则0x =( ) A .2e B .e C . ln 2 2 D .ln 2 4.曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为( ) A .1 B .2 C .e D .1e 5.设0()s i n f x x =,10()'()f x f x =,21()'()f x f x =,…,1()'()n n f x f x +=,n N ∈,则2013()f x = 等于( ) A .sin x B .sin x - C .cos x D .cos x - 6.已知函数()f x 的导函数为'()f x ,且满足()2'(1)ln f x xf x =+,则'(1)f =( ) A .e - B .1- C .1 D .e 7.曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________. 8.过原点作曲线x y e =的切线,则切点的坐标为________,切线的斜率为____________. 9.求下列函数的导数,并尽量把导数变形为因式的积或商的形式: (1)1 ()2ln f x ax x x =-- (2)2 ()1x e f x ax =+ (3)21 ()ln(1)2 f x x ax x =--+ (4)cos sin y x x x =- (5)1cos x y xe -= (6)1 1 x x e y e +=-
导数的运算练习 一、常用的导数公式 (1)'C = (C 为常数); (2)()'n x = ; (3)(sin )'x = ; (4)(cos )'x = ; (5)()'x a = ; (6)()'x e = ; (7)_____________; (8)_____________; 二、导数的运算法则 1、(1) ; (2) ; (3)______________________________________; (4) =___________________________________;(C 为常数) 2、复合函数的导数 设 . 三、练习 1、已知()2f x x =,则()3f '等于( ) A .0 B .2x C .6 D .9 2、()0f x =的导数是( ) A .0 B .1 C .不存在 D .不确定 3、32y x 的导数是( ) A .23x B .213x C .12- D 33x
4、曲线n y x =在2x =处的导数是12,则n 等于( ) A .1 B .2 C .3 D .4 5、若()f x =()1f '等于( ) A .0 B .13- C .3 D .13 6、2y x =的斜率等于2的切线方程是( ) A .210x y -+= B .210x y -+=或210x y --= C .210x y --= D .20x y -= 7、在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4 π的点是( ) A .()0,0 B .()2,4 C .11,416?? ??? D .11,24?? ??? 8、设()sin y f x =是可导函数,则x y '等于( ) A .()sin f x ' B .()sin cos f x x '? C .()sin sin f x x '? D .()cos cos f x x '? 9、函数()2 2423y x x =-+的导数是( ) A .()2823x x -+ B .()2 216x -+ C .()()282361x x x -+- D .()()242361x x x -+- 10、曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是( ) A .74y x =+ B .72y x =+ C .4y x =- D .2y x =- 11、点P 在曲线323y x x =-+ 上移动,设点P 处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是( ) A .0,2π?????? B .30,,24πππ????????????U C .3,4ππ?????? D .3,24ππ?? ???
基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题(附答案) 选修2-21.2.2第2课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则 一、选择题 1 .函数y = (x+ 1)2(x—1)在x= 1处的导数等于() A.1B.2 C. 3 D. 4 答案]D 解析]y = (x+1)2]'—x1 )+(x+ 1)2(x—1)' =2(x + 1)?(x—1) + (x+ 1)2= 3x2 + 2x—1, y‘ =1= 4. 2.若对任意x€ R, f‘ =)4x3, f(1) = —1,则f(x)=() A. x4 B. x4— 2 C. 4x3—5 D. x4+ 2 答案]B 解析]丁f‘(=4x3.f(x) = x4+c,又f(1) = — 1 ? ? ? 1 + c= — 1 ,? ? ? c= —2,—f(x) = x4 — 2. 3 .设函数f(x) = xm + ax 的导数为f‘ =)2x+1,则数列{1f(n)}(n € N*) 的前n 项和是() A.nn+1 B.n+2n+1 C.nn—1 D.n+1n 答案]A 解析]T f(x) = xm+ ax 的导数为f‘(x)2x + 1,
/. m = 2, a= 1,二f(x) = x2+ x, 即f(n) = n2+n=n(n+ 1), 二数列{1f(n)}(n € N*)的前n项和为: Sn= 11 X2 12X3 13 x+…+ 1n(n+ 1) =1 —12+ 12—13+…+ 1n —1n + 1 =1 —1n+ 1= nn+ 1, 故选 A. 4.二次函数y = f(x)的图象过原点,且它的导函数y= f‘的)图象是过第 一、二、三象限的一条直线,贝卩函数y= f(x)的图象的顶点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案]C 解析]由题意可设f(x)= ax2 + bx, f' (=2ax + b,由于f‘(的图象是过第一、二、三象限的一条直线,故2a>0, b>0,则f(x) = ax+ b2a2—b24a, 顶点—b2a,—b24a 在第三象限,故选 C. 5 .函数y = (2 + x3)2的导数为() A. 6x5+ 12x2 B. 4+ 2x3 C. 2(2+ x3)2 D. 2(2+ x3)?3x 答案]A 解析]t y= (2+ x3)2= 4+ 4x3+ x6, /. y = 6x5 + 12x2.
欢迎阅读 导数计算练习题 1、已知()2f x x =,则()3f '等于() A .0 B .2x C .6 D .9 2、()0f x =的导数是() A .0 B .1 C .不存在 D .不确定 3、 y A .3x 4A .15、若 A .06、y A .2C .27A .(8A .()sin f x 'B .()sin cos f x x '? C .()sin sin f x x '? D .()cos cos f x x '? 9、(理科)函数()2 2423y x x =-+的导数是() A .()2823x x -+B .()2 216x -+ C .()()282361x x x -+- D .()()242361x x x -+-
10、曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是() A .74y x =+ B .72y x =+ C .4y x =- D .2y x =- 11、点P 在曲线323y x x =-+ 上移动,设点P 处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是() A .0,2π??????B .30,,24πππ????????????C .3,4ππ??????D .3,24ππ?? ??? 122 131415(5)y =(6)y =(7)y =16(1)(2)(3)(4)(5)2 1x +(6)232x y x x =- - 17、求下列各函数的导数 (1)sin cos y x x x =+ (2)1cos x y x =-
(3)tan tan y x x x =- (4)5sin 1cos x y x =+ 18、(理科)求下列各函数的导数 (1)25(1)y x =+ (2)2(23y x =+ (3)(4)y (5)y =(6)y =(7)y =(8)y =(9)y =(10)y (11)y
导数及其应用高考题精选 1.(2010·海南高考·理科T3)曲线2 x y x = +在点()1,1--处的切线方程为() (A )21y x =+(B )21y x =-(C )23y x =--(D )22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义,以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数,解出斜率,然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22 (2) y x '= +,所以,在点()1,1--处的切线斜率12 2 2(12)x k y =-' == =-+,所以,切线方程为12(1)y x +=+,即21y x =+,故选A. 2.(2010·山东高考文科·T8)已知某生产厂家的年利润y (单位:万元) 与年产量x (单位:万件)的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-,则使该生产厂 家获得最大年利润的年产量为() (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题,考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ,2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-(舍去),当9x <时'0y >;当9x >时'0y <,故当9x =时函数有极大值,也是最大值,故选C. 3.(2010·山东高考理科·T7)由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为() (A ) 1 12 (B)14 (C)13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识,由定积分求曲线围成封闭图形的
导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题: 1 已知32()32f x ax x =++,若(1)4f '-=,则a 的值等于 A 193 B 103 C 16 3 D 133 2 已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点(1,3),则b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数2y x a a =+2()(x-)的导数为 A 222()x a - B 223()x a + C 223()x a - D 222()x a + 4 曲线313y x x =+在点4 (1,)3 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 1 9 B 29 C 13 D 2 3 5 已知二次函数2y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>,对于任意实数x ,有()0f x ≥,则(1) (0) f f '的最小值为 A 3 B 52 C 2 D 32 6 已知函数()f x 在1x =处的导数为3,则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B ()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =- D ()1f x x =- 7 下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x '+=+ B 21 (log )ln 2 x x '= C 3(3)3log x x e '=? D 2 (cos )2sin x x x x '=- 8 曲线3 2153 y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A 6 π B 34π C 4π D 3 π 9 曲线3 2 31y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 A 34y x =- B 32y x =-+ C 43y x =-+ D 45y x =- 10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ,若()k g x =,则函数()k g x =的图像大致为
3.1.1平均变化率 课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题. 1.函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为____________.习惯上用Δx表示________,即__________,可把Δx看作是相对于x1的一个“__________”,可用__________代替x2;类似地,Δy=__________,因此,函数f(x)的平均变化率可以表示为________. 2.函数y=f(x)的平均变化率Δy Δx= f(x2)-f(x1) x2-x1 的几何意义是:表示连接函数y=f(x)图象 上两点(x1,f(x1))、(x2,f(x2))的割线的________. 一、填空题 1.当自变量从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________.(填序号) ①在[x0,x1]上的平均变化率; ②在x0处的变化率; ③在x1处的变化率; ④以上都不对. 2.设函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+Δx时,函数的增量Δy=______________. 3.已知函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,f(1+Δx)),则Δy Δx= ________. 4.某物体做运动规律是s=s(t),则该物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是______________. 5.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是________. 6.已知函数y=f(x)=x2+1,在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为________. 7.过曲线y=2x上两点(0,1),(1,2)的割线的斜率为______. 8.若一质点M按规律s(t)=8+t2运动,则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________. 二、解答题 9.已知函数f(x)=x2-2x,分别计算函数在区间[-3,-1],[2,4]上的平均变化率.10.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.1时割线的斜率.
【巩固练习】 一、选择题 1.设函数 f (x) (1 2x 3 )10 ,则 f '(1) ( ) A .0 B .―1 C .― 60 D . 60 2.( 2014 江西校级一模)若 f (x) 2ln x x 2 ,则 f ' ( x) 0 的解集为( ) A.(0,1) B. , 1 U 0,1 C. 1,0 U 1, D. 1, 3.( 2014 春 永寿县校级期中)下列式子不正确的是( ) A. 3x 2 ' 6x sin x B. ln x 2 x ' 1 x ln 2 cos x 2 x ' sin x ' x cos x sin x C. 2sin 2x 2cos2x D. x x 2 4.函数 y x 4 5 的导数是( ) 3x 8 A . 5 B .0 C . 5(4 x 3 3) D . 5(4 x 3 3) 4x 3 3 ( x 4 3x 8) 2 (x 4 3x 8) 2 5 .( 2015 安 徽 四 模 ) 已 知 函 数 f ( x) 的 导 函 数 为 f ' ( x) , 且 满 足 关 系 式 f ( x) x 2 3xf ' (2) ln x ,则 f '(2) 的值等于( ) A. 2 C. 9 D. 9 4 4 x 1 ( x 6.设曲线 y 1) 在点( 3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a=( ) x 1 A .2 B . 1 C .―1 D .―2 2 2 7. y log 3 cos 2 x (cos x 0) 的导数是( ) A . 2log 3 e tan x B . 2log 3 e cot x C . 2log 3 e cos x D . log 2 e cos 2 x 二、填空题 8.曲线 y=sin x 在点 ,1 处的切线方程为 ________。 2 9.设 y=(2x+a) 2,且 y ' |x 2 20 ,则 a=________。 . x 3 1 ____________, 2x sin 2x 5 ____________。 10 sin x 11.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在曲线 C :y=x 3― 10x+3 上,且在第二象限内,已知曲
导数高考试题精选 一.选择题(共16小题) 1.(2013?河东区二模)已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为() A. 3 B.2 C. 1D. 2.(2012?汕头一模)设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行,则a=() A.1B.C. D.﹣1 3.(2011?烟台一模)设曲线在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=() A. 2B.C.D.﹣2 4.(2010?泸州二模)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为() A. B. C.D. 5.(2010?辽宁)已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是() A. [0,) B.C. D. 6.(2010?江西模拟)曲线y=x3﹣2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为() A. 30° B. 45°C.60°D.120°7.(2009?辽宁)曲线y=在点(1,﹣1)处的切线方程为() A. y=x﹣2 B. y=﹣3x+2C. y=2x﹣3 D. y=﹣2x+1 8.(2009?江西)若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和都相切,则a等于() A. ﹣1或B. ﹣1或 C. 或 D. 或7 9.(2006?四川)曲线y=4x﹣x3在点(﹣1,﹣3)处的切线方程是() A.y=7x+4 B. y=7x+2 C.y=x﹣4 D.y=x﹣2 10.(2012?海口模拟)已知f(x)=alnx+x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有 >2恒成立,则a的取值范围是() A. (0,1]B.(1,+∞) C. (0,1) D.[1,+∞)
导数练习题 班级 姓名 一、选择题 1.当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A .在区间[x 0,x 1]上的平均变化率 B .在x 0处的变化率 C .在x 1处的变化量 D .在区间[x 0,x 1]上的导数 2.已知函数y =f (x )=x 2+1,则在x =2,Δx =0.1时,Δy 的值为( ) A .0.40 B .0.41 C .0.43 D .0.44 3.函数f (x )=2x 2 -1在区间(1,1+Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A .4 B .4+2Δx C .4 +2(Δx )2 D .4x 4.如果质点M 按照规律s =3t 2运动,则在t =3 时的瞬时速度为( ) A .6 B .18 C .54 D .81 5.已知f (x )=-x 2 +10,则f (x )在x =32处的瞬时变化率是( ) A .3 B .-3 C .2 D .-2 6.设f ′(x 0)=0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线( ) A .不存在 B .与x 轴平行或重合 C .与x 轴垂直 D .与x 轴相交但不垂直 7.曲线y =-1 x 在点(1,-1)处的切线方程为( ) A .y =x -2 B .y =x C .y =x +2 D .y = -x -2 8.已知曲线y =2x 2上一点A (2,8),则A 处的切 线斜率为( ) A .4 B .16 C .8 D .2 9.下列点中,在曲线y =x 2上,且在该点处的 切线倾斜角为 π 4 的是( ) A .(0,0) B .(2,4) C .(1 4 ,116) D .(1 2 ,1 4 ) 10.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线 方程是x -y +1=0,则( ) A .a =1,b =1 B .a =-1,b =1 C .a =1,b =-1 D .a =-1,b =-1 11.已知f (x )=x 2,则f ′(3)=( ) A .0 B .2x C .6 D .9 12.已知函数f (x )=1x ,则f ′(-3)=( ) A .4 B.19 C .-1 4 D .-1 9 13.函数y =x 2 x +3 的导数是( ) A.x 2+6x x +32 B.x 2+6x x +3 C.-2x x +32 D.3x 2 +6x x +32 14.若函数f (x )=12f ′(-1)x 2-2x +3,则f ′(-1)的值为( ) A .0 B .-1 C .1 D .2 15.命题甲:对任意x ∈(a ,b ),有f ′(x )>0;命题乙:f (x )在(a ,b )内是单调递增的.则甲是乙的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 16.函数f (x )=(x -3)e x 的单调递增区间是( ) A .(-∞,2) B .(0,3)
导数的运算 一、单选题(共33题;共66分) 1.f′(x)是函数f(x)=x3+2x+1的导函数,则f′(-1)的值为() A. 0 B. 3 C. 4 D. - 2.函数的导数为() A. B. C. D. 3.设函数,若,则等于() A. B. C. D. 4.设则等于( ) A. B. C. D. 5.已知函数的导函数,且满足,则=( ) A. B. C. 1 D. 6.已知函数的导函数为,且,则() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7.下列求导运算的正确是() A. 为常数 B. C. D. 8.已知函数的值为() A. B. C. D. 9.下列求导运算正确的是() A. B. C. D. 10.已知函数f(x)=sinx-cosx,则f'()=() A. B. C. D. 11.若函数f(x)=2+xcos2x,则f'(x)=() A. cos 2x-xsin 2x B. x-sin 2x C. 1-2sin 2x D. cos2x-2sin2x 12.函数的导数为() A. =2 B. = C. =2 D. = 13.设函数的导函数为,且,则=( ) A. 0 B. -4 C. -2 D. 2
14.设,若,则() A. B. C. D. 15.已知函数,则其导数() A. B. C. D. 16.若函数,则的值为() A. 0 B. 2 C. 1 D. -1 17.已知函数,且,则的值为() A. B. C. D. 18.已知函数,为的导函数,则的值为() A. B. C. D. 19.下列求导运算正确的是() A. B. C. D. 20.已知函数的导函数为,且满足,则() A. B. C. D. 21.若,则函数的导函数() A. B. C. D. 22.函数的导数为() A. B. C. D. 23.下列导数式子正确的是() A. B. C. D. 24.已知,则等于() A. -2 B. 0 C. 2 D. 4 25.已知函数,则() A. B. C. D. 26.已知,则() A. B. C. D. 27.设,,则x0=( ) A. e2 B. e C. D. ln 2 28.下列求导数运算正确的是()
1.设a 为实数,函数R x a x e x f x ∈+-=,22)(。 (Ⅰ)求)(x f 的单调区间与极值; (Ⅱ)求证:当12ln ->a 且0>x 时,122 +->ax x e x 。 2. 已知 函数f(x)=))(6(3)4(2 3 R x n mx x m x ∈-+--+的图像关于原点对称,其中m,n 为实常数。 (1) 求n m ,的值; (2) 试用单调性的定义证明:f (x) 在区间[-2, 2] 上是单调函数; (3) 当-2≤x ≤2 时,不等式)log ()(a n x f m -≥恒成立,求实数a 的取值范围。 解(1)由于f(x)图象关于原点对称,则f(x)是奇函数, f(-x)=-f(x) 恒成立,)6(3)4()6(3)4(2323--+---=-++-+-n mx x m x n mx x m x []()()()()()(), ,0, 012022) 12)(()12()12(,2,2,,12)()1()2(.6,40)6()4(2121222121212122212121232131212 12132x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x f n m n x m >>-<-++<-≤<≤--++-=---=-<-∈-====-+-即从而,知,由且任取可知由恒成立,必有即
∴f(x)在[-2,2]上是减函数。 (3)由(2)知f(x)在[-2,2]上是减函数,则-22≤≤x 时,()().162-=≥f x f 故-2时,2≤≤x 不等式f(x)a a n m m log )log (-≥恒成立 .4161 08 log 2log 0)2)(log 8(log log )log 6(168444444≥≤ ≥-≤?≥+-?-≥-?a a a a a a a a 或或 3.设定函数)0(3 )(23 >+++=a d cx bx x a x f , 且方程09)('=-x x f 的两个根分别为1,4。 (Ⅰ)当a=3且曲线)(x f y =过原点时,求)(x f 的解析式; (Ⅱ)若)(x f 在),(+∞-∞无极值点,求a 的取值范围
第二章 导数与微分 (A) 1.设函数()x f y =,当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时,相应函数的改变量 =?y ( ) A .()x x f ?+0 B .()x x f ?+0 C .()()00x f x x f -?+ D .()x x f ?0 2.设()x f 在0x 处可,则()() =?-?-→?x x f x x f x 000 lim ( ) A .()0x f '- B .()0x f -' C .()0x f ' D .()02x f ' 3.函数()x f 在点0x 连续,是()x f 在点0x 可导的 ( ) A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 4.设函数()u f y =是可导的,且2x u =,则 =dx dy ( ) A .()2x f ' B .()2x f x ' C .()22x f x ' D .()22x f x 5.若函数()x f 在点a 连续,则()x f 在点a ( ) A .左导数存在; B .右导数存在; C .左右导数都存在 D .有定义 6.()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A .1 B .0 C .-1 D .不存在 7.曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A .8 B .12 C .-6 D .6 8.设()x f e y =且()x f 二阶可导,则=''y ( ) A . ()x f e B .()()x f e x f '' C .()()()[]x f x f e x f ''' D .()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9.若()???≥+<=0,2sin 0 ,x x b x e x f ax 在0=x 处可导,则a ,b 的值应为( ) A .2=a ,1=b B . 1=a ,2=b C .2-=a ,1=b D .2=a ,1-=b
一、基本初等函数的导数公式: (1)f(x)=C (C 为常数),则f ’(x)=_______ (2)f(x)=)(Q a x a ∈,则f ’(x)=_______ (3)f(x)=sinx ,则f ’(x)=_______ (4)f(x)=cosx ,则f ’(x)=_______ (5)f(x)=x a ,则f ’(x)=_______ (6)f(x)=x e ,则f ’(x)=_______ (7)f(x)=x a log ,则f ’(x)=_______ (8)f(x)=x ln ,则f ’(x)=_______ 二、导数的运算法则: 已知)(),(x g x f 的导数存在,则: (1)_______________])()([='±x g x f (2)__________________])()([='?x g x f (3)=']) ()([x g x f ____________________ 导数计算练习题 1、已知()2f x x =,则()3f '等于( ) A .0 B .2x C .6 D .9 2、()0f x =的导数是( ) A .0 B .1 C .不存在 D .不确定 3、y 的导数是( ) A .23x B .21 3 x C .12 - D 4、曲线n y x =在2x =处的导数是12,则n 等于( ) A .1 B .2 C .3 D .4 5、若()f x =()1f '等于( )
A .0 B .13- C .3 D .13 7、函数()2 2423y x x =-+的导数是( ) A .()2823x x -+ B .()2 216x -+ C .()()282361x x x -+- D .()()242361x x x -+- 8、求函数212y x =-在点1x =处的导数。 9、求下列各函数的导数 (1) 235y x x =-+ (2) 1y x =+(3) 222 2x y x =+ (4) 3 y = (5) 1)y = (6) (y x =+ (7) ()()y x a x b =--
1.已知f (x )=x ln x -ax ,g (x )=-x 2-2, (Ⅰ)对一切x ∈(0,+∞),f (x )≥g (x )恒成立,求实数a 的取值范围;(Ⅱ)当a =-1时,求 函数f (x )在[m ,m +3](m >0)上的最值;(Ⅲ)证明:对一切x ∈(0,+∞),都有ln x +1>ex e x 2 1- 成立. 2、已知函数2 ()ln 2(0)f x a x a x = +->.(Ⅰ)若曲线y =f (x )在点P (1,f (1))处的切线与直线y =x +2垂直,求函数y =f (x )的单调区间;(Ⅱ)若对于(0,)x ?∈+∞都有f (x )>2(a ―1)成立,试求a 的取值范围;(Ⅲ)记g (x )=f (x )+x ―b (b ∈R ).当a =1时,函数g (x )在区 间[e ― 1,e]上有两个零点,求实数b 的取值范围. 3. 设函数f (x )=ln x +(x -a )2,a ∈R .(Ⅰ)若a =0,求函数f (x )在[1,e]上的最小值; (Ⅱ)若函数f (x )在1 [,2]2 上存在单调递增区间,试求实数a 的取值范围; (Ⅲ)求函数f (x )的极值点. 4、已知函数2 1()(21)2ln ()2 f x ax a x x a = -++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行,求a 的值;(Ⅱ)求()f x 的单调区间;(Ⅲ)设2 ()2g x x x =-,若对任意1(0,2]x ∈,均存在2(0,2]x ∈,使得 12()()f x g x <,求a 的取值范围. 5、已知函数())0(2ln 2 >-+= a x a x x f (Ⅰ)若曲线y =f (x )在点P (1,f (1))处的切线与直线y =x +2垂直,求函数y =f (x )的单 调区间; (Ⅱ)若对于任意()())1(2,0->+∞∈a x f x 都有成立,试求a 的取值范围; (Ⅲ)记g (x )=f (x )+x -b (b ∈R ).当a =1时,函数g (x )在区间[ ] e ,e 1 -上有两个零点, 求实数b 的取值范围. 6、已知函数1ln ()x f x x += . (1)若函数在区间1 (,)2 a a + (其中0a >)上存在极值,求实数a 的取值范围; (2)如果当1x ≥时,不等式()1 k f x x ≥+恒成立,求实数k 的取值范围.
函数与导数经典例题-高考压轴 1. 已知函数32()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈,其中t R ∈. (Ⅰ)当1t =时,求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)当0t ≠时,求()f x 的单调区间; (Ⅲ)证明:对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点. 2. 已知函数21 ()32 f x x = +,()h x = (Ⅰ)设函数F (x )=18f (x )-x 2[h (x )]2,求F (x )的单调区间与极值; (Ⅱ)设a ∈R ,解关于x 的方程33 lg[(1)]2lg ()2lg (4)24 f x h a x h x --=---; (Ⅲ)设*n ∈N ,证明:1 ()()[(1)(2)()]6 f n h n h h h n -+++≥ . 3. 设函数ax x x a x f +-=2 2ln )(,0>a (Ⅰ)求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)求所有实数a ,使2 )(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立. 注:e 为自然对数的底数. 4. 设2 1)(ax e x f x +=,其中a 为正实数. (Ⅰ)当3 4 = a 时,求()f x 的极值点;(Ⅱ)若()f x 为R 上的单调函数,求a 的取值范围. 5. 已知a , b 为常数,且a ≠0,函数f (x )=-ax+b+axlnx ,f (e )=2(e=2.71828…是自然对数 的底数)。 (I )求实数b 的值; (II )求函数f (x )的单调区间; (III )当a=1时,是否同时存在实数m 和M (m 导数计算练习题 Prepared on 24 November 2020 导数计算练习题 1、已知()2f x x =,则()3f '等于( ) A .0 B .2x C .6 D .9 2、()0f x =的导数是( ) A .0 B .1 C .不存在 D .不确定 3、y =的导数是( ) A .23x B .21 3x C .12- D 4、曲线n y x =在2x =处的导数是12,则n 等于( ) A .1 B .2 C .3 D . 4 5、若()f x =()1f '等于( ) A .0 B .13- C .3 D .1 3 6、2y x =的斜率等于2的切线方程是( ) A .210x y -+= B .210x y -+=或210x y --= C .210x y --= D .20x y -= 7、在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π 的点是( ) A .()0,0 B .()2,4 C .11,416?? ??? D .11,24?? ??? 8、(理科)设()sin y f x =是可导函数,则x y '等于( ) A .()sin f x ' B .()sin cos f x x '? C .()sin sin f x x '? D .()cos cos f x x '? 9、(理科)函数()22423y x x =-+的导数是( ) A .()2823x x -+ B .()2216x -+ C .()()282361x x x -+- D .()()242361x x x -+- 10、曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是( ) A .74y x =+ B .72y x =+ C .4y x =- D .2y x =- 11、点P 在曲线323 y x x =-+上移动,设点P 处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是( ) A .0,2π?????? B .30,,24ππ π??? ????????? C .3,4ππ?? ???? D . 3,24ππ?? ??? 12、求函数212y x =-在点1x =处的导数。 13、求在抛物线2y x =上横坐标为3的点的切线方程。 14、求曲线y =上点(1,1)处的切线方程。 15、求下列各函数的导数 (1) 235y x x =-+ (2) 1 y x =+(3) 2 22 2x y x =+ (4) 3 y = (5) 1)y =- (6) (y x =+(7) ()()y x a x b =-- 16、求下列各函数的导数 (1)ln y x x = (2)ln n y x x = 导数计算练习题Last revision on 21 December 2020 导数计算练习题 1、已知()2f x x =,则()3f '等于( ) A .0 B .2x C .6 D .9 2、()0f x =的导数是( ) A .0 B .1 C .不存在 D .不确定 3、y 的导数是( ) A .23x B .21 3x C .1 2- D 4、曲线n y x =在2x =处的导数是12,则n 等于( ) A .1 B .2 C .3 D .4 5、若()f x =()1f '等于( ) A .0 B .13- C .3 D .1 3 6、2y x =的斜率等于2的切线方程是( ) A .210x y -+= B .210x y -+=或210x y --= C .210x y --= D .20x y -= 7、在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π 的点是( ) A .()0,0 B .()2,4 C .11,416?? ??? D . 11,24?? ??? 8、(理科)设()sin y f x =是可导函数,则x y '等于( ) A .()sin f x ' B .()sin cos f x x '? C .()sin sin f x x '? D .()cos cos f x x '? 9、(理科)函数()22423y x x =-+的导数是( ) A .()2823x x -+ B .()2216x -+ C .()()282361x x x -+- D .()()242361x x x -+- 10、曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是( ) A .74y x =+ B .72y x =+ C .4y x =- D .2y x =- 11、点P 在曲线323y x x =-+ 上移动,设点P 处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是( ) A .0,2π?????? B .30,,24πππ???????????? C .3,4ππ?????? D .3,24ππ?? ??? 12、求函数212y x =-在点1x =处的导数。 13、求在抛物线2y x =上横坐标为3的点的切线方程。 14、求曲线y =(1,1)处的切线方程。 15、求下列各函数的导数 (5) 1)y =- (6) (y x =+ (7) ()()y x a x b =-- 16、求下列各函数的导数 (1)ln y x x = (2)ln n y x x = (3)log a y =(4)1 1x y x +=- (5)251x y x =+ (6)232x y x x =-- 17、求下列各函数的导数 高中数学导数的计算精选题目(附答案) (1)基本初等函数的导数公式 (2)导数运算法则 ①[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x ); ②[f (x )·g (x )]′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x ); 当g (x )=c 时,[cf (x )]′=cf ′(x ). ③?????? f (x ) g (x )′=f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0). (3)复合导数 复合函数y =f (g (x ))的导数和函数y =f (u ),u =g (x )的导数间的关系为y x ′=y u ′·u x ′,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 1.求下列函数的导数: (1)y =10x ; (2)y =lg x ; (3)y =log 1 2x ; (4)y =4 x 3; (5)y =? ????sin x 2+cos x 22-1. 2.求下列函数的导数: (1)y =? ????1e x ; (2)y =? ????110x ; (3)y =lg 5; (4)y =3lg 3 x ; (5)y =2co S 2x 2-1. 3.(1)y =x 3·e x ; (2)y =x -S i n x 2co S x 2; (3)y =x 2+log 3x; (4)y =e x +1e x -1 . 4.求下列函数的导数: (1)y =cos x x ; (2)y =xS i n x +x ; (3)y = 1+x 1-x +1-x 1+x ; (4)y =lg x -1 x 2. 5.点P 是曲线y =e x 上任意一点,求点P 到直线y =x 的最小距离. 6.求过曲线y =co S x 上点P ? ???? π3,12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方 程. 7.求下列函数的导数. (1)y =1-2x 2; (2)y =e S i n x ;导数计算练习题
导数计算练习题
高中数学导数的计算精选题目(附答案)