图着色问题的回溯算法

●图着色问题的回溯算法：(非递归算法，求一个解)

非递归算法：

算法m-COLORING

输入：正整数m, n和含n个顶点的无向连通图G的邻接矩阵graph。

输出: 图G的m着色问题的一个解x[1..n],若无解，则输出no。solution。

flag=false //用flag标记问题是否有解。

k=1 ; x[1]=0

while k>=1 and not flag

while x[k]

x[k]=x[k]+1 //试将第k个顶点着下一种颜色。

if color(k) then //第k个顶点的当前颜色合法。

if k=n then flag=true //x[1..n]是一个解

else //x[1..k]是部分解

k=k+1 //准备对下一个顶点着色。

x[k]=0

end if

end if //否则，剪枝

end while

k=k-1//回溯

end while

if flag then output x //输出一个解

else output “no solution”//输出无解

end m-COLORING

过程color (k)

//在前k-1个顶点已着色的情况下，判断第k个

顶点是否可

//着颜色x[k], 是则返回true, 否则返回false。

j=1

while j

if graph[k, j]*x[k]=x[j] then

return false

else j=j+1

end while

return true

end color

递归算法：

算法m-COLORING

输入：正整数m, n和含n个顶点的无向连通图G的邻接矩阵graph。

输出: 图G的m着色问题的一个解x[1..n],若无解，则输出no。

flag=coloring( 1 )

if flag then output x //输出一个解

else output “No solution”//输出无解

end NQUEENREC1

过程coloring(k)

//在前k-1个顶点已着色且满足着色条件的情况

下，求图的

// m着色问题的一个解，有解则返回true, 否则返

回false。

for i=1 to m

x[k]=i //试将第k个顶点着第i种颜色。

if color(k) then //第k个顶点的当前颜色合法。

if k=n then return true //x[1..n]是一个解

else //x[1..k]是部分解

t=coloring(k+1) //递归

if t then return true

end if

end if

end for

return false //无解

end coloring

回溯法论文-回溯法的分析与应用

沈阳理工大学算法实践与创新论文

摘要 对于计算机科学来说，算法的概念是至关重要的，算法是一系列解决问题的清晰指令，也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。为了更加的了解算法，本篇论文中，我们先研究一个算法---回溯法。 回溯法是一种常用的重要的基本设计方法。它的基本做法是在可能的范围之内搜索，适于解一些组合数相当大的问题。圆排列描述的是在给定n个大小不等的圆 C1,C2,…,Cn,现要将这n个圆排进一个矩形框中，且要求各圆与矩形框的底边相切。圆排列问题要求从n个圆的所有排列中找出有最小长度的圆排列。图着色问题用数学定义就是给定一个无向图G=（V, E），其中V为顶点集合，E为边集合，图着色问题即为将V分为K个颜色组，每个组形成一个独立集，即其中没有相邻的顶点。其优化版本是希望获得最小的 K值。符号三角形问题要求对于给定的n，计算有多少个不同的符号三角形，使其所含的“+”和“-”的个数相同。 在本篇论文中，我们将运用回溯法来解决着图的着色问题，符号三角形问题，图排列问题，将此三个问题进行深入的探讨。 关键词: 回溯法图的着色问题符号三角形问题图排列问 题

目录 第1章引言 (1) 第2章回溯法的背景 (2) 第3章图的着色问题 (4) 3.1 问题描述 (4) 3.2 四色猜想 (4) 3.3 算法设计 (5) 3.4 源代码 (6) 3.5 运行结果图 (10) 第4章符号三角形问题 (11) 4.1 问题描述 (11) 4.2 算法设计 (11) 4.3 源代码 (12) 4.4 运行结果图 (16) 第5章圆的排列问题 (17) 5.1 问题描述 (17) 5.2 问题分析 (17) 5.3 源代码 (18) 5.4 运行结果图 (22) 结论 (23) 参考文献 (24)

图着色

算法设计课程设计 题目图着色问题 姓名学号 专业年级 指导教师职称 2014年 12月 4日

图的m着色问题 1 摘要 (3) 2 图的着色问题 (4) 2.1 图的着色问题的来源 (4) 2.2 图的着色问题的描述 (4) 3算法的基本思想 (4) 3.1 求极小覆盖法----布尔代数法 (4) 3.2 穷举法－Welch Powell着色法 (4) 3.3 回溯法 (4) 3.4 贪心法 (4) 3.5 蚁群算法 (5) 4算法步骤 (5) 4.1 求极小覆盖法----布尔代数法 (4) 4.2 穷举法－Welch Powell着色法 (4) 4.3 回溯法 (4) 4.4 贪心法 (4) 4.5 蚁群法 (4) 5 理论分析（复杂度比较）、实验性能比较 (7) 5.1 复杂度分析 (4) 5.2 实验性能比较 (4) 6 心得体会 (8) 7参考文献 (8) 8 附录 (8)

摘要 图论是近年来发展迅速而又应用广泛的一门新兴学科，已广泛应用于运筹学、网络理论、信息论、控制论、博奕论以及计算机科学等各个领域。一般说来，图的着色问题最早起源于著名的“四色问题”，染色问题不但有着重要的理论价值，而且，它和很多实际问题有着密切联系，例如通讯系统的频道分配问题，更有着广泛的应用背景. 本文首先讨论了人工智能的状态搜索方法在图着色中的具体应用，并用可视化方法展示了低维的着色空间和约束的具体意义。 关键词：图着色 c++代码 2、图的着色问题 2.1图的着色问题的来源 1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里(Francis Guthrie)在一家科研单位从事地图着色工作时，发现“任何一张地图似乎只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。” 用数学语言来表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这就是源于地图着色的四色猜想问题。这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共边界。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。 用四种颜色着色的世界地图： 采用四种颜色着色的美国地图： 2.2图的着色问题的描述 （一）图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的：用m种颜色为地图着色，使得地图上的每一个区域着一种颜色，且相邻区域颜色不同。 （二）通常所说的着色问题是指下述两类问题：

算法设计与分析复习题目及答案(1)

分治法1、二分搜索算法是利用（分治策略）实现的算法。 9. 实现循环赛日程表利用的算法是（分治策略） 27、Strassen矩阵乘法是利用（分治策略）实现的算法。 34．实现合并排序利用的算法是（分治策略）。 实现大整数的乘法是利用的算法（分治策略）。 17．实现棋盘覆盖算法利用的算法是（分治法）。 29、使用分治法求解不需要满足的条件是（子问题必须是一样的）。 不可以使用分治法求解的是（0/1背包问题）。 动态规划 下列不是动态规划算法基本步骤的是（构造最优解） 下列是动态规划算法基本要素的是（子问题重叠性质）。 下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（动态规划法） 备忘录方法是那种算法的变形。（动态规划法） 最长公共子序列算法利用的算法是（动态规划法）。 矩阵连乘问题的算法可由（动态规划算法B）设计实现。 实现最大子段和利用的算法是（动态规划法）。 贪心算法 能解决的问题：单源最短路径问题，最小花费生成树问题，背包问题，活动安排问题， 不能解决的问题：N皇后问题，0/1背包问题 是贪心算法的基本要素的是（贪心选择性质和最优子结构性质）。 回溯法 回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是（排列树）。 剪枝函数是回溯法中为避免无效搜索采取的策略 回溯法的效率不依赖于下列哪些因素（确定解空间的时间） 分支限界法 最大效益优先是（分支界限法）的一搜索方式。 分支限界法解最大团问题时，活结点表的组织形式是（最大堆）。 分支限界法解旅行售货员问题时，活结点表的组织形式是（最小堆） 优先队列式分支限界法选取扩展结点的原则是（结点的优先级） 在对问题的解空间树进行搜索的方法中,一个活结点最多有一次机会成为活结点的是( 分支限界法).

回溯法实验(最大团问题)

算法分析与设计实验报告第七次附加实验

} } 测试结果 当输入图如下时： 当输入图如下时： 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

当输入图如下时： 1 2 3 4 5

附录： 完整代码（回溯法） //最大团问题回溯法求解 #include using namespace std; class Clique { friend void MaxClique(int **,int *,int ); private: void Backtrack(int i); int **a; //图的邻接矩阵 int n; //图的顶点数 int *x; //当前解 int *bestx; //当前最优解 int cn; //当前顶点数 int bestn; //当前最大顶点数 }; void Clique::Backtrack(int i) { //计算最大团 if(i>n) //到达叶子节点 { for(int j=1;j<=n;j++) bestx[j]=x[j]; bestn=cn;

cout<<"最大团：（"; for(int i=1;i=bestn) { //修改一下上界函数的条件，可以得到 x[i]=0; //相同点数时的解 Backtrack(i+1); } } void MaxClique(int **a,int *v,int n) { //初始化Y Clique Y; Y.x=new int[n+1]; Y.a=a; Y.n=n; https://www.wendangku.net/doc/f314249175.html,=0; Y.bestn=0; Y.bestx=v; Y.Backtrack(1); delete [] Y.x; cout<<"最大团的顶点数："<

用回溯法求解图的m着色问题

实验二用回溯法求解图的m着色问题 一、实验目的 1 2、使用回溯法编程求解图的m着色问题。 二、实验原理 回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。回溯法在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任何一个结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解，如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树搜索。否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。 回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可结束。 回溯法从开始结点(根结点)出发，以深度优先搜索的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前的扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动(回溯)至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。 三、问题描述 给定一个无向连通图G和m种不同的颜色。用这些颜色为图G的各顶点着色，每个顶点着一种颜色。若一个图最少需要m种颜色才能使图中任何一条边连接的2个顶点着有不同的颜色，则称这个数m为该图的色数。求一个图的色数m的问题称为图的m可着色优化问题。设计一个算法，找出用m种颜色对一个图进行着色的不同方案。 四、算法设计与分析 用邻接矩阵a来表示一个无向连通图G=(V,E)。用整数1,2,…,m来表示m种不同的颜色。x[i]表示顶点i所着的颜色来，则问题的解向量可以表示为n元组x[1:n]。问题的解空间可表示一棵高度为n+1的完全m叉树。解空间树的第i层中每一结点都有m个儿子，每个儿子相应于x[i]的m个可能的着色之一，第n+1层结点均为叶结点。 在回溯算法Backtrack中，当i>n时，表示算法已搜索至一个叶结点，得到一个新的m着色方案，因此当前已找到的可m着色方案数sum增1。当i≤n时，当前扩展结点Z是解空间树中的一个内部结点。该结点有x[i]=1,2,…,m。对当前扩展结点Z的每一个儿子结点,由函数Ok检查其可行性，并以深度优先的方式递归地对可行子树进行搜索，或剪去不可行子树。 五、实验结果 源程序： #include using namespace std;

算法设计与分析复习题目及答案doc

分治法 1、二分搜索算法是利用（分治策略）实现的算法。 9. 实现循环赛日程表利用的算法是（分治策略） 27、Strassen矩阵乘法是利用（分治策略）实现的算法。 34．实现合并排序利用的算法是（分治策略）。 实现大整数的乘法是利用的算法（分治策略）。 17．实现棋盘覆盖算法利用的算法是（分治法）。 29、使用分治法求解不需要满足的条件是（子问题必须是一样的）。 不可以使用分治法求解的是（0/1背包问题）。 动态规划 下列不是动态规划算法基本步骤的是（构造最优解） 下列是动态规划算法基本要素的是（子问题重叠性质）。 下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（动态规划法） 备忘录方法是那种算法的变形。（动态规划法） 最长公共子序列算法利用的算法是（动态规划法）。 矩阵连乘问题的算法可由（动态规划算法B）设计实现。 实现最大子段和利用的算法是（动态规划法）。 贪心算法 能解决的问题：单源最短路径问题，最小花费生成树问题，背包问题，活动安排问题， 不能解决的问题：N皇后问题，0/1背包问题 是贪心算法的基本要素的是（贪心选择性质和最优子结构性质）。 回溯法 回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是（排列树）。 剪枝函数是回溯法中为避免无效搜索采取的策略 回溯法的效率不依赖于下列哪些因素（确定解空间的时间）

分支限界法 最大效益优先是（分支界限法）的一搜索方式。 分支限界法解最大团问题时，活结点表的组织形式是（最大堆）。 分支限界法解旅行售货员问题时，活结点表的组织形式是（最小堆） 优先队列式分支限界法选取扩展结点的原则是（结点的优先级） 在对问题的解空间树进行搜索的方法中,一个活结点最多有一次机会成为活结点的是( 分支限界法 ). 从活结点表中选择下一个扩展结点的不同方式将导致不同的分支限界法,以下除( 栈式分支限界法 )之外都是最常见的方式. （1）队列式(FIFO)分支限界法：按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩展节点。 （2）优先队列式分支限界法：按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。 （最优子结构性质）是贪心算法与动态规划算法的共同点。 贪心算法与动态规划算法的主要区别是（贪心选择性质）。 回溯算法和分支限界法的问题的解空间树不会是( 无序树 ). 14．哈弗曼编码的贪心算法所需的计算时间为（ B ）。 A、O（n2n） B、O（nlogn） C、O（2n） D、O（n） 21、下面关于NP问题说法正确的是（B ） A NP问题都是不可能解决的问题 B P类问题包含在NP类问题中 C NP完全问题是P类问题的子集 D NP类问题包含在P类问题中 40、背包问题的贪心算法所需的计算时间为（ B ）

用回溯法分析着色问题

算法设计与分析课程设计 题目：用回溯法分析着色问题 学院：理学院 专业：信息与计算科学 班级：09信科二班 姓名：蔡秀玉 学号: 200910010207

用回溯法分析着色问题 目录 1 回溯法 (3) 1.1回溯法的概述 (3) 1.2 回溯法的基本思想 (3) 1.3 回溯法的一般步骤 (3) 2 图的m着色问题 (3) 2.1图的着色问题的来源 (3) 2.2通常所说的着色问题 (3) 2.3图的着色问题描述 (3) 2.4回溯法求解图着色问题 (5) 2.5图的m可着色问题的回溯算法描述 (6) 2.5.1回溯算法 (6) 2.5.2 m着色回溯法递归 (8) 2.5.3 m着色回溯法迭代 (9) 2.5.4例题利用回溯法给图着色 (11) 2.6复杂度分析着色回溯法迭代 (12)

§1 回溯法 1.1回溯法的概述 回溯法是一种系统地搜索问题解的搜索算法。它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。 1.2回溯法的基本思想 回溯法的基本思想是，在确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。换句话说，这个结点不再是一个活结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。 1.3回溯法的一般步骤 用回溯法解题的一般步骤： （1）针对所给问题，定义问题的解空间； （2）确定易于搜索的解空间结构； （3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。 §2 图的m着色问题 2.1图的着色问题的来源 图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的：用m种颜色为地图着色，使得

回溯法

第8章回溯法 (1) 8.1概述 (1) 8.1.1 问题的解空间树 (1) 8.1.2 回溯法的设计思想 (2) 8.1.3 回溯法的时间性能 (3) 8.1.4 一个简单的例子——素数环问题 (4) 8.2图问题中的回溯法 (5) 8.2.1 图着色问题 (5) 8.2.2 哈密顿回路问题 (8) 8.3组合问题中的回溯法 (10) 8.3.1 八皇后问题 (10) 8.3.2 批处理作业调度问题 (13) 习题8 (16)

第8章回溯法 教学重点回溯法的设计思想；各种经典问题的回溯思想教学难点批处理作业调度问题的回溯算法 教学内容 和 教学目标 知识点 教学要求 了解理解掌握熟练掌握问题的解空间树√ 回溯法的设计思想√ 回溯法的时间性能√ 图着色问题√ 哈密顿回路问题√ 八皇后问题√ 批处理作业调度问题√ 8.1 概述 回溯法（back track method）在包含问题的所有可能解的解空间树中，从根结点出发，按照深度优先的策略进行搜索，对于解空间树的某个结点，如果该结点满足问题的约束条件，则进入该子树继续进行搜索，否则将以该结点为根结点的子树进行剪枝。回溯法常常可以避免搜索所有的可能解，所以，适用于求解组合数较大的问题。 8.1.1 问题的解空间树 复杂问题常常有很多的可能解，这些可能解构成了问题的解空间（solution space），并且可能解的表示方式隐含了解空间及其大小。用回溯法求解一个具有n个输入的问题，一般情况下，将问题的可能解表示为满足某个约束条件的等长向量X=(x1, x2, …, x n)，其中分量x i（1≤i≤n）的取值范围是某个有限集合S i={a i,1, a i,2, …, a i,r i }，所有可能的解向量构成了问题的解空间。例如，对于有n个物品的0/1背包问题，其可能解由一个等长向量{x1, x2, …, x n}组成，其中x i=1（1≤i≤n）表示物品i装入背包，x i=0表示物品i没有装入背包，则解空间由长度为n的0/1向量组成。当n=3时，其解空间是：

图的m着色问题回溯法

图的m着色问题 1．问题描述 给定无向量图G顶点和m种不同的颜色。用这些颜色为图G的各顶点着色，每个顶点着一种颜色。是否有一种着色法使G图中每条边的两个顶点着不同的颜色。这个问题是图的m 可着色判定问题。若一个图最少需要m种颜色才能使图中每条边连接的两个顶点着不同的颜色，则称这个数m为该图的色数。求一个图的色数m的问题称为图的m可着色问题。2．算法设计 一般连通图的可着色法问题并不仅限于平面图。给定图G=（V，E）和m种颜色，果这个图不是m可着色，给出否定回答，如果这个图是m的可着色的，找出所有不同的着色法。 下面根据回朔法的递归描述框架backtrack设计图的m着色算法。用图的邻接矩阵a表示无向量连通图G=（V，E）。若（i，j）属于图G=（V，E）的边集E，则a[i][j]=1，否则a[i][j]=0。整数1，2，…，m用来表示m种不同颜色。顶点i所有颜色用x[i]表示，数组x[1：n]是问题的解向量。问题的解空间可表示为一棵高度为n+1的完全m叉树。解空间树的第I （1<=i<=n）层中每一结点都有m个儿子，每个儿子相应于x[i]的m个可能的着色之一。第n+1层结点均为叶结点。 在算法backtrack中，当i>n时，算法搜索至叶结点，得到新的m着色方案，当前找到的m着色方案数sum增1。 当I

太原理工大学软件学院算法设计与分析复习题目及答案

一、选择题 1、二分搜索算法是利用（A ）实现的算法。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 2、下列不是动态规划算法基本步骤的是（A ）。 A、找出最优解的性质 B、构造最优解 C、算出最优解 D、定义最优解 3、最大效益优先是（A ）的搜索方式。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 4. 回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是（B）。 A、子集树 B、排列树 C、深度优先生成树 D、广度优先生成树5．下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（B ）。 A、备忘录法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 6、衡量一个算法好坏的标准是（C ）。 A 运行速度快 B 占用空间少 C 时间复杂度低 D 代码短 7、以下不可以使用分治法求解的是（D ）。 A 棋盘覆盖问题 B 选择问题 C 归并排序 D 0/1背包问题 8. 实现循环赛日程表利用的算法是（A ）。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法9．下面不是分支界限法搜索方式的是（D ）。 A、广度优先 B、最小耗费优先 C、最大效益优先 D、深度优先10．下列算法中通常以深度优先方式系统搜索问题解的是（D ）。 A、备忘录法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 11.备忘录方法是那种算法的变形。（ B ） A、分治法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 12．最长公共子序列算法利用的算法是（B ）。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 13．实现棋盘覆盖算法利用的算法是（A ）。 A、分治法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 14.下面是贪心算法的基本要素的是（C ）。 A、重叠子问题 B、构造最优解 C、贪心选择性质 D、定义最优解

m着色问题

图的m着色问题 问题描述： 给定无向连通图G和m种不同的颜色。用这些颜色为图G的各顶点着色，每个顶点着一种颜色。如果有一种着色法使G中每条边的2个顶点着不同颜色，则称这个图是m 可着色的。图的m着色问题是对于给定图G和m种颜色，找出所有不同的着色法。 编程任务： 对于给定的无向连通图G和m种不同的颜色，编程计算图的所有不同的着色法。 数据输入： 由文件input.txt给出输入数据。第1行有3个正整数n，k和m，表示给定的图G 有n 个顶点和k条边，m种颜色。顶点编号为1，2，…，n。接下来的k行中，每行有2个正整数u,v，表示图G的一条边(u,v)。 结果输出: 程序运行结束时，将计算出的不同的着色方案数输出到文件output.txt中。 输入文件示例输出文件示例 input.txt output.txt 58448 12 13 14 23 24 25 34 45

/*图的m着色问题求解程序（回溯算法）*/ #include #include #include class color {private: int n,//图的顶点个数 m,//可用颜色数 **a,//图的邻接矩阵，用来表示一个无向连通图G *x;//当前解 long sum;//当前已找到的可m着色方案数 public: color(); int ok(int k); void backtrack(int t); void op(); ~color(); }; /*构造函数的定义*/ color::color() {int k;//边数 int i,j; int v1,v2;//构成边的两顶点 ifstream fin("input.txt",ios::nocreate); if(!fin) {cerr<<"文件不存在"; exit(0);} fin>>n>>k>>m;//读入顶点数、颜色数和边数if(!(a=new int*[n+1])) {cerr<<"insufficient memory!"<>v1>>v2; a[v1][v2]=a[v2][v1]=1;//对有连接的两个顶点v1,v2表示的边a[v1][v2]或a[v2][v1]赋值 } if(!(x=new int[n+1])) {cerr<<"insufficient memory!"<

图节点着色问题中的禁忌搜索算法

图节点着色问题中的禁忌搜索算法 09-03-25 作者：编辑：校方人员 图节点着色问题是组合最优化中典型的非确定多项式(NP)完全问题，也是图论中研究得最久的一类问题。目前解决该问题的算法很多，如回溯算法、分支界定法、Welsh-Powell算法、神经网络、遗传算法以及模拟退火算法等。综合比较各种算法，前两种算法是精确算法，但时间复杂性太大；后三种属于近似算法，虽然时间复杂性可接受，能够得到较好的近似解，但算法本身过于复杂，算法效率难以保证。 本文采用禁忌搜索算法，它同时拥有高效性和鲁棒性。禁忌搜索是一种全局逐步寻优的人工智能算法，它常能有效的应用于一些典型NP问题，如TSP。但禁忌搜索存在一些参数较难设置，这也是应用于通信系统时研究的热点。本文提出针对着色问题的禁忌搜索的具体设计方案，较好的设置了参数，并优化了数据结构，通过实验比较得到了较好的效果。最后提出通过领域简单的变化，禁忌搜索能较好的用于一般算法难以实现的List着色问题。 1图节点着色问题 图的着色问题可分为边着色、顶点着色、List着色和全着色，其中最主要的

给定一个无向图G=(V,E)，其中V是节点集V={1,2,…n}，E是边集，其中(i,j)表示有连接(i,j)的一条边。若，且V i内部的任何两个节点没有E中的边直接相连，则称(V1,V2,…,V n)为V的一个划分。图的节点着色问题可以描述为：求一个最小的k，使得(V1,V2,…,V n)为V的一个划分。 通常的解决着色问题的算法采用蛮力法、贪婪法、深度优先或广度优先等思想可以得到最优解，但时间复杂性太大，如回溯法，其计算时间复杂性为指数阶的；有的在多项式时间内能得到可行解，但不是最优解，如Welsh-Powell算法和贪婪算法。Welsh-Powell算法只能保证最多使用(为图中顶点的最大度)种颜色给一个图正常着色，而由Brooks定理，对于既不是完全图又不是奇圈的简单连通图，所需的颜色数。故通常的算法在解决图节点着色问题这样的NP完全问题时，存在很大的瓶颈，难以得到满意的结果。而对于像遗传算法和神经网络这样复杂的启发式算法，通常算法本身复杂性较大，并且算法效率难以分析，最终得到的是近似解，其是否最优解也不能保证。

回溯算法(解决着色问题)

实验四回溯算法 一、实验目的 1)理解回溯算法的基本原理，掌握使用回溯算法求解实际问 题。 二、方法原理 回溯法是一种类似穷举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就回退，尝试别的路径。 三、实验设备 PC机一台，C语言、PASCAL语言、Matlab任选 四、掌握要点 搜索到解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。 五、实验内容 实验内容：（二选一）1）编写程序实现4后问题的求解；2）编写程序实现用3种颜色为图2着色问题；

图2 六、实验要求 1)认真分析题目的条件和要求，复习相关的理论知识，选择适当的解决方案和算法； 2)编写上机实验程序，作好上机前的准备工作； 3)上机调试程序，并试算各种方案，记录计算的结果（包括必要的中间结果）； 4)分析和解释计算结果； 5)按照要求书写实验报告； 源代码：着色问题 #i n c l u d e #i n c l u d e #d e f i n e T R U E1 #d e f i n e F A L S E0 #d e f i n e M A X5 #d e f i n e C O L O R C O U N T3

i n t T F(i n t c o l o r,i n t i n d e x,i n t m[][M A X],i n t p[]){ f o r(i n t i=0;i

算法设计与分析学习提纲,第七章回溯

1 第七章 回溯 7.1 回溯法的思想方法 7.1.1 问题的解空间和状态空间树 一、解空间 问题的解向量为),,,(21n x x x X 。i x 的取值范围为有穷集i S 。把i x 的所有可能取值组合，称为问题的解空间。每一个组合是问题的一个可能解 例：0/1背包问题，}1,0{ S ，当3 n 时，0/1背包问题的解空间是： {(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)} 当输入规模为n 时，有n 2种可能的解。 例：货郎担问题，},,2,1{n S ，当3 n 时， }3,2,1{ S 。货郎担问题的解空间是： {(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),┅,(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3)} 当输入规模为n 时，它有n n 种可能的解。 考虑到约束方程j i x x 。因此，货郎担问题的解空间压缩为： {(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)} 当输入规模为n 时，它有!n 种可能的解。 二、状态空间树：问题解空间的树形式表示 当4 n 时，货郎担问题的状态空间树。 图7.1 n=4时货郎担问题的状态空间树 4 n 时，0/1背包问题的状态空间树

2 图7.2 n=4时背包问题的状态空间树 7.1.2 状态空间树的动态搜索 一、可行解和最优解 可行解：满足约束条件的解，解空间中的一个子集 最优解：使目标函数取极值（极大或极小）的可行解，一个或少数几个 例：货郎担问题，有n n 种可能解。!n 种可行解，只有一个或几个解是最优解。 例：背包问题，有n 2种可能解，有些是可行解，只有一个或几个是最优解。 有些问题，只要可行解，不需要最优解，例如八后问题和图的着色问题 二、状态空间树的动态搜索 l _结点（活结点）：所搜索到的结点不是叶结点，且满足约束条件和目标函数的界， 其儿子结点还未全部搜索完毕， e _结点（扩展结点）：正在搜索其儿子结点的结点，它也是一个l _结点； d _结点（死结点）：不满足约束条件、目标函数、或其儿子结点已全部搜索完毕的结 点、或者叶结点，。以d _结点作为根的子树，可以在搜索过程中删除。 例7.1 有4个顶点的货郎担问题，其费用矩阵如图7.3 所示，求从顶点1出发，最后回到顶点1的最短路线。 ∞ ∞ 1 7 8 ∞ 5 1 7 2 ∞ 6 2 5 3 ∞ 图7.3 4个顶点的货郎担问题的费用矩阵及搜索树 7.1.3 回溯法的一般性描述 题的解向量),,,(110 n x x x X ， i x 的取值范围i S ，},,,{.1.0.i m i i i i a a a S 。 问题的解空间由笛卡尔积110 n S S S A 构成。

地图着色问题

地图着色问题 说明：任何平面区域图都可以用四种颜色着色，使相邻区域颜色互异。这就是四色定理。 要求给定区域图排出全部可能的四着色方案。 区域相邻关系用矩阵表示，每个区域又一个序号，（从0七连续排列）adj【i】【j勘硎厩 騣，j相邻。数组cilir记录每个区域上着的色，用1.2.3.4表示。 程序应包括四个函数： coloring对所给邻接矩阵找着全部着色方案 色乐的：对区域i在指定的颜色范围内选出可选颜色或报告失败（失败返回－1） 辞令次日卡：判断对区域i在指定的颜色c是否可用 八寸卡：选色失败时或完成一种着色方案时进行回溯 另外可定义output函数，每次输出一种着色方案 /* 递归算法： void Coloring(区域 n) 1. 令颜色集ClrSet={ 没有被区域n的邻居区域使用的颜色 }. 2. 如果ClrSet是空集，返回. 3. 对ClrSet中的每种颜色c，作循环： 3.1 为区域n着色c。 3.2 如果所有区域都已着色(n是最后一个区域)，那么显示/保存着色结果. 3.3 否则对下一个尚未着色的区域(n+1)，调用Coloring(n+1). 4. 把区域n变为没有着色的区域. -------------------------------------------------------- */ template class CColoring { private: typedef int node_type; typedef int color_type; typedef std::set node_set; typedef std::vector color_array; public: void operator()(const int _Matrix[node_count][node_count]) {

四川理工 算法设计与分析 作者-王红梅期末考试试题

一章 7、10 7 . 使用扩展递归技术求解下列递推关系式: 二章 1、3、5 1 . 求下列问题的平凡下界, 并指出其下界是否紧密。 ( 1) 求数组中的最大元素; (2 ) 判断邻接矩阵表示的无向图是不是完全图; ( 3 ) 确定数组中的元素是否都是惟一的; (4 ) 生成一个具有n 个元素集合的所有子集。 3 . 画出在3 个数a , b, c 中求中值问题的决策树。 5 . 假设某算法的时间复杂性为T( n) = 2n , 在计算机C1 和C2 上运行这个算法, C2 的速度是C1 的100 倍。若该算法在C1 上运行的时间为t , 可处理的问题规模为n , 在C2上运行同样的时间可处理的问题规模是多少? 如果T ( n) = n^2, 在C2 上运行同样的时间可处理的问题规模是多少? 3: 6、7、8

6 . 为3 .4 .1 节中生成排列对象算法设计程序上机实现, 能对这个算法进行改进吗? 7 . 最近对问题也可以以k 维空间的形式出现, k 维空间中的两个点 维空间的最近对问题设计蛮力算法, 并分析其时间性能。 8 . 对于一个平面上n 个点的集合S , 设计蛮力算法求集合S 的凸包的一个极点。 四章1、3、棋盘覆盖、最大子段和 1 . 设计分治算法求一个数组中最大元素的位置, 建立该算法的递推式并求解。 3 . 设计递归算法生成n 个元素的所有排列对象。 五章3、6、8 3 . 拿子游戏。考虑下面这个游戏: 桌子上有一堆火柴, 游戏开始时共有n 根火柴, 两个玩家轮流拿走1、2 、3 或 4 根火柴, 拿走最后一根火柴的玩家为获胜方。请为先

连通图着色问题

沈阳航空航天大学 课程设计报告 课程设计名称：软件综合课程设计课程设计题目：连通图着色问题 院（系）：计算机学院 专业：计算机科学与技术 班级：7401104 学号：200704011110 姓名：武林 指导教师：刘香芹

沈阳航空航天大学课程设计报告 目录 1 需求分析 (2) 1.1题目的内容与要求 (2) 1.11题目的内容 (2) 1.12题目的要求 (2) 1.2题目理解与程序解读 (2) 2 总体设计 (4) 2.1数据结构设计 (4) 2.2数据结构类型与函数 (4) 3 详细设计 (6) 3.1子函数流程图 (6) 3..1.1 memset_子函数 (6) 3..1.2sort子函数 (7) 3..1.3 brush_sort子函数 (8) 3.2主程序流程图 (9) 4 调试分析 (10) 4.1调试时遇到的问题 (10) 4.2解决方案 (10) 4.3调试结果及说明 (11) 参考文献 (12) 源程序（清单） (13)

1 需求分析 1.1题目的内容与要求 1.11题目的内容 输入一个无向图到适当的存储结构中，给图上的每一个结点标记一种颜色，在保证任何相邻结点颜色不同的同时，求解出该图所需要的最少颜色数，并给出每个结点的具体颜色。 1.12题目的要求 1）完成系统需求分析； 2）开发工具可以选择C语言或面向对象的C++等； 3）界面友好，操作方便； 4）按照课程设计规范书写课程设计报告。 1.2题目理解与程序解读 本次课设与离散数学当中图的部分有密切的联系，连通图的着色问题，涉及到图的连通性和图的着色问题。当图的结点之间存在通路，则此图是连通的，在此基础之上对他进行着色。 重要之处在于每个进店标记一种颜色，但要求的是相邻的结点要着上不同的颜色，要求所使用的颜色数最少即是所要求的。 解决此题的算法是韦尔奇.鲍威尔的着色理论，算法如下： （1）将图的结点按照度数的递减顺序进行排列，（这种排列可能不是唯一的，因为有些点有相同的度数）。 （2）用第一种颜色对第一个结点进行着色，并且按排列次序，对于前面着色点不相邻的每一个结点着上同样的颜色。 （3）用第二种颜色对尚未着色的点重复第二个步骤，用第三种颜色继续这种

算法分析期末试题集答案

1.应用Johnson法则的流水作业调度采用的算法是（D） A. 贪心算法 B. 分支限界法 C.分治法 D. 动态规划算法 2.Hanoi塔问题如下图所示。现要求将塔座A上的的所有圆盘移到塔座B上，并仍按同样顺序叠置。移动圆盘时遵守Hanoi塔问题的移动规则。由此设计出解Hanoi塔问题的递归算法正确的为：（B） Hanoi塔 3. 动态规划算法的基本要素为（C） A. 最优子结构性质与贪心选择性质 B．重叠子问题性质与贪心选择性质 C．最优子结构性质与重叠子问题性质 D. 预排序与递归调用 4. 算法分析中，记号O表示（B），记号Ω表示（A），记号Θ表示（D）。 A.渐进下界 B.渐进上界 C.非紧上界 D.紧渐进界 E.非紧下界 5. 以下关于渐进记号的性质是正确的有：（A） A.f(n)(g(n)),g(n)(h(n))f(n)(h(n)) =Θ=Θ?=Θ B. f(n)O(g(n)),g(n)O(h(n))h(n)O(f(n)) ==?= C. O(f(n))+O(g(n)) = O(min{f(n),g(n)}) D. f(n)O(g(n))g(n)O(f(n)) =?= 6.能采用贪心算法求最优解的问题，一般具有的重要性质为：（A） A. 最优子结构性质与贪心选择性质B．重叠子问题性质与贪心选择性质 C．最优子结构性质与重叠子问题性质D. 预排序与递归调用 7. 回溯法在问题的解空间树中，按（D）策略，从根结点出发搜索解空间树。 A．广度优先B. 活结点优先 C.扩展结点优先 D. 深度优先

8. 分支限界法在问题的解空间树中，按（A）策略，从根结点出发搜索解空间树。 A．广度优先B. 活结点优先 C.扩展结点优先 D. 深度优先 9. 程序块（A）是回溯法中遍历排列树的算法框架程序。 A. 10. 回溯法的效率不依赖于以下哪一个因素？（C ） A.产生x[k]的时间； B.满足显约束的x[k]值的个数； C.问题的解空间的形式； D.计算上界函数bound的时间； E.满足约束函数和上界函数约束的所有x[k]的个数。 F.计算约束函数constraint的时间； 11. 常见的两种分支限界法为（D） A. 广度优先分支限界法与深度优先分支限界法； B. 队列式（FIFO）分支限界法与堆栈式分支限界法； C. 排列树法与子集树法； D. 队列式（FIFO）分支限界法与优先队列式分支限界法； 12. k带图灵机的空间复杂性S(n)是指（B） A.k带图灵机处理所有长度为n的输入时，在某条带上所使用过的最大方格数。 B.k带图灵机处理所有长度为n的输入时，在k条带上所使用过的方格数的总 和。 C.k带图灵机处理所有长度为n的输入时，在k条带上所使用过的平均方格数。 D.k带图灵机处理所有长度为n的输入时，在某条带上所使用过的最小方格数。

图着色问题的回溯算法

图着色问题的回溯算法 #include using namespace std; bool ok(int x[],int k,bool c[5][5],int n) //判断对顶点k着色以后是否合法着色 { int i; for(i=0;i=0) { x[k]++; while((x[k]<=m)&&(!ok(x,k,c,n))) x[k]++; if(x[k]<=m){ if(k==n-1)break; else k++;

} else { x[k]=0;k--; } } } int main() { bool c[5][5]; int i,j; for(i=0;i<5;i++) for(j=0;j<5;j++) c[i][j]=false; c[0][1]=true; c[0][2]=true; c[1][2]=true; c[1][3]=true; c[1][4]=true; c[3][4]=true; c[2][4]=true; c[1][0]=true; c[2][0]=true; c[2][1]=true; c[3][1]=true; c[4][1]=true; c[4][3]=true; c[4][2]=true; int x[5]; m_coloring(5,3,x,c); for(i=0;i<5;i++) cout<