“糖水不等式”及其应用

“糖水不等式”及其应用

摘要本文首先挖掘了“糖水不等式”的生活原型，接着详细介绍了此不等式的三种证明方法，最后用“糖水不等式”证明了三道高考题。通过本文重在启发大家：在以后学习中，不仅掌握知识本身，还要多体会知识产生、发展的背景、及其应用，以达到举一反三、融会贯通的目的；从而的出思考与反思史学系的必要环节。

关键词糖水不等式

我们在小学曾对不等式[SX(]12[SX)]＜[SX(]23[SX)]＜[SX(]34[SX)]＜[SX(]45[SX)]＜…记忆犹新，今天学到了高中数学不等式这一章，我们联想到这一不等式能不能推广？推广形式如何？下面就是它的推广形式：“若a,b,m∈R+，且a＜b，求证：[SX（]ab[SX)]＜[SX(]a+mb+m[SX)]（*）。”

上述不等式在高中数学人教版必修5第87页的例1中出现，并做了严谨证明。相信大家对这一不等式并不陌生。此不等式不仅有着丰富的现实生活背景；而且在比较大小、及证明不等式中都有着重要的作用。

一、不等式（*）的生活原型

生活原型1：b克糖水中含有a克糖，加入m克糖后糖水变甜，试用一

不等式描述这一现象：[SX(]ab[SX)]＜[SX(]a+mb+m[SX)]＜1

由于此生活原型生动直观的刻划了不等式[SX(]ab[SX)]＜

[SX(]a+mb+m[SX)]＜1，所以此不等式又戏称为“糖水不等式”。生活原型2：建筑民用住宅时，一般情况下，民用住宅的窗户总面积小于该住宅的占地面积。窗户的总面积与占地面积的比值越大，住宅的采光条件越好。问同时，增加相等的窗户，面积与占地面积，住宅的采光条件变好了还是变差了？

解：设a,b分别表示住宅原来窗户的总面积和占地面积的值，

表示窗户和占地所增加的面积的值，（单位相同），

由题意得：住宅的采光条件变好还是变差，

取决于[SX(]ab[SX)]与[SX(]a+mb+m[SX)]值的大小

作差法：[SX(]ab[SX)]-[SX(]a+mb+m[SX)]=[SX(]ab+am-ba-bmb(b+m)[S X)]=[SX(](a-b)mb(b+m)[SX)]

因为a,b,m＞0，且a＜b，所以[SX（]（a-b)mb(b+m)[SX)]＜0

所以[SX(]ab[SX)]＜[SX(]a+mb+m[SX)]

故增加相等的窗户，面积与占地面积，住宅的采光条件变好了。二、“糖水不等式”的证明

此题的证明方法很多，例如（1）作差法（2）作商法（3）分析法（4）综合法（5）构造函数法（6）定比分点公式法等等。

在这里有重点地介绍以下三种方法：

证法1：分析法：要证[SX(]ab[SX)]＜[SX(]a+mb+m[SX)]

只要证a(b+m)＜b(a+m)，

即证am＜bm,(m＞0)

而a＜b显然成立

证法２：构造函数法：f(x)=[SX(]a+xb+x[SX)]=[SX(]b+x-b+ab+x[SX)]=1+[SX(]a-bb+x [SX)]

因为a-b＜0，所以函数f(x)在(-b,+∞)上单调增

故f(0)＜f(m)，即[SX(]ab[SX)]＜[SX(]a+mb+m[SX)]

证法3：（利用定比分点公式法）

〖TPP0707.TIF,BP〗

[SX(]a+mb+m[SX)]=[SX(C][SX(]am[SX)]+11+[SX(]bm[SX)][SX)] =[SX(C]1+[SX(]bm[SX)]·[SX(]ab[SX)]1+[SX(]bm[SX)][SX)]，令λ=[SX(]bm[SX)]＞0,x1=1,x2=[SX(]ab[SX)]

由定比分点公式得[SX(]ab[SX)]＜[SX(]a+mb+m[SX)]＜1。结论得证。

三、“糖水不等式”在比较大小、及证明不等中的应用

例１（１）若a,b,m∈R+，且a＜b，则[SX （]ab[SX)],[SX(]a+mb+m[SX)][SX(]ba[SX)],[SX(]b+ma+m[SX)]从小到大的顺序为[CD#4]

解：由“糖水不等式”得：[SX(]ab[SX)]＜[SX(]a+mb+m[SX)]＜1，而[SX(]b+ma+m[SX)]＞1

故[ZZ(Z][SX(]ab[SX)]＜[SX(]a+mb+m[SX)]＜[SX(]b+ma+m[SX)][ZZ)]

（２）若a,b,m,c,d∈R+，且[SX（]ab[SX)]＜[SX(]cd[SX)]，则[SX （]ab[SX)],[SX(]a+cb+d[SX)][SX(]cd[SX)]从小到大的顺序为[CD#4]

解：设糖水1和2的浓度分别为[SX(]ab[SX)]＜[SX(]cd[SX)]，将两种糖水混合的浓度为[SX(]a+cb+d[SX)]

由生活原型1得：[ZZ(Z][SX(]ab[SX)]＜[SX(]a+cb+d[SX)]＜[SX(]cd[SX)][ZZ)]

例２中，△ABC中，A，B，C对的边分别为a,b,c．求证：[SX(]aa+m[SX)]+[SX(]bb+m[SX)]＞[SX(]cc+m[SX)]证明：

因为a,b,c＞0,c＜a+b，

所以[SX(]cc+m[SX)]＜[SX(]a+ba+b+m[SX)]=[SX(]aa+b+m[SX)]+[SX(]ba+b+m[SX)]

＜[SX(]aa+m[SX)]+[SX(]bb+m[SX)]

故[SX(]cc+m[SX)]＜[SX(]aa+m[SX)]+[SX(]bb+m[SX)]

例３已知数列{a n}是由正数组成的等比数列，前n项和S n 求证：[SX(]12[SX)](1gS n+1gS n+2)＜1gS n+1（’95全国理科高考25题）

证明：〖WB〗[SX(]12[SX)](1gS n+1gS n+2)＜1gS

n+1

〖DW〗S nS n+2＜S n+12

因为S n+1[WB]=a1+a2+…+a n+a n+1

[DW]=a1+q(a1+a2+…+a n)

[DW]=a1+qS n

同理S n+2=a1+qS n+1，S n＜S n+1

由结论（*）得[SX(]qS nqS n+1[SX)]＜[SX(]qS n+a 1qS n+1+a1[SX)]

即[SX(]S nS n+1[SX)]＜[SX(]S n+1S n+2 [SX)]

即S nS n+2＜S n+12

所以[SX(]12[SX)](1gS n+1gS n+2)＜1gS n+1

例4求证：[SX(]21[SX)]·[SX(]43[SX)]·[SX(]65[SX)]…[SX(]2n2n-1[SX)]＞[KF(]2n+1[KF)]（’98年高考文25题）

证明：由结论（*）得[SX(]2n-12n[SX)]＜[SX(](2n-1)+12n+1[SX)]

即[SX(]2n2n-1[SX)]＞[SX(]2n+12n[SX)]

所以([SX(]21[SX)]·[SX（]43[SX）]·[SX（]65[SX）]…[SX（]2n2n-1[SX)]) 2

＞([SX(]21[SX)]·[SX（]43[SX）]·[SX（]65[SX）]…[SX （]2n2n-1[SX)])·（[SX（]32[SX）]·[SX（]54[SX）]·[SX（]76[SX）]…[SX（]2n+12n[SX)]

=2n+1