2021新高考高中数学一题多解经典题型汇编
高中数学一题多解经典题型汇编
高中数学一题多解经典题型汇编
【典例1】设A 、B 是全集U 的两个子集，且A ?B ，则下列式子成立的是（ ）
A ．
B
C A C U U ? B ．U B C A C U U = C ．φ=B C A U
D ．φ=B A C U
解法一：运算法
A.()()A C B C B C A C A C U U U B U ??= ，A 错误
B.U A A C U = 或U B B C U = ，B 错误
C.A B A B A =?? ，又φφ=?=A B C B B C U U ，C 正确
D.A B A B A =?? φ≠?B A C U ，D 错误 解法二：特殊值法
由题意，不妨设}1{},2,1{},3,2,1{===A B U ，则
A.()()A C B C B C A C U U U U ?????
?
?==}3,2{}3{}3{}
3,2{，A 错误
B.()()U A C B C B C A C U U U
U =≠=???
?==}3,2,1{}3,2{}3{}
3,2{ ，B 错误
C.φ=?==A B C A B C U U }1{},3{，C 正确
D.φ≠=?==}2{}2,1{},3,2{B A C B A C U U ，D 错误 解法三：韦恩图法
如右图所示，通过韦恩图直接判断选项的正误.
◆◆方法解读◆◆
U
B
A
解法一：应用这种解法一定要熟悉掌握和理解集合的基本运算法则，比较抽象也有难度。 解法二：通过取特殊值后，使各式的运算结果一目了然，更便于判断，因此该方法比较简单。
解法三：韦恩图更加地形象直观，能够快速、准确的作出判断，此法它利用了数形结合的思想。
【典例2】已知i z i 23)1(+=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对于的点位于第 象限.
解法一：复数的四则运算法
i i i i i i i i z i z i 22
32232)23()23()1)(1()1)(23(12323)1(++-=++-=+-++=-
+=
?+=-
i z 22
3223+--=
∴
?第四象限. 解法二：利用相等复数法（待定系数法） 设复数bi a z +=，则bi a z -=
i i b a b a i bi a i i z i 23)()(23))(1(23)1(+=+--?+=--?+=-∴
?+--=+=????
????+-=-=??????=+-=-?i bi a z b a b a b a 2232232232
2
32
)(3第四象限.
◆◆方法解读◆◆
解法一：先通过解方程得出复数z 的共轭复数，再根据复数与共轭复数的关系判断出复数在复平面内对应点所在的象限，该方法比较直接。
解法二：复数有固定的表达形式，有时不妨假设出复数的表达式，然后再利用待定系数法解出a ，b 的值，这种方法在有些时候非要有用。
解法一：解方程法
将原式的不等号看成等号，得??
?
??-==+= 1 12 2③②①y y x x y
由①①，得4521413321
411221
=+?=+=????
????==????=+=y x z y x y x x y 由①①，得25)1(21331
21122-=-+???
??-?=+=???
???
-=-=????-==y x z y x y x y
由①①，得2)1(13311
1123=-+?=+=??
??-==???
?-==+y x z y x y y x
比较321,,z z z 的大小，得z =3x +y 的最大值是2. 解法二：作图法
由图可知，只有当待定直线z x y +-=
3过点)1,1(-P 时，直线的截距z b =才最大，即2)1(133=-+?=+=y x z man .
x
y 2=1
2=+y x 1-=y y
x
?
P
O
◆◆方法解读◆◆
解法一：解方程法虽然来得快，但是并不是所有线性规划题型都适用，具有一定的局限性。 解法二：作图法比较直观，但是很多同学作图不规范、区域找不准也容易造成丢分。因此一定要掌握好作图法的精髓，避免不必要的丢分。
【典例4】当20< 解法一：二次函数图像法 x x x x y 63)36(2+-=-=1) 3(26 2=-?-=- =?a b x 对 3)1()(max ==∴f x f . 解法二：均值不等式法 由不等式+ ∈?? ? ??+≤R b a b a ab ,,22 知 32)36(331)36(331)36(2 =?? ? ??-+?≤-?=-=x x x x x x y 当且仅当x x 363-=，即1=x 时，等号成立 故3)1()(max ==f x f . 解法三：单调性法（求导法） 1 =对x 2y x O 3 ) 2,0(,632∈+-=x x x y 已知函数的定义域为)2,0(，则 66)(63)(2+-='?+-=x x f x x x f 2 10)(1 00660)(<+-?>'x x f x x x f )(x f ∴在)1,0(上单调递增，在)2,1(单调递减 3)1()(max ==?f x f . ◆◆方法解读◆◆ 解法一：二次函数图像法在初中阶段就已经深入学习，要用此法一定要充分掌握二次函数的图像和性质，知道如何求二次函数的对称轴，最值等方法。 解法二：观察该函数的结构，可用均值不等式求其最值。但是用均值不等式求最值一定要注意三个前提条件“一正、二定、三相等”，如果无法取到等号那讨论将失去意义，同学们 应当特别注意。 解法三：通过求导得到函数的单调性，再将函数的极值与端点值进行比较，从而得到最值。 【典例5】已知5 1 cos sin -=+αα，且παπ≤≤2，则=-)4tan(πα . 解法一：解方程组法 5 1 cos sin -=+αα ① 又1cos sin 22=+αα ① 1)sin 5 1 (sin 22=--+?αα012sin 5sin 252=-+?αα 即0)4sin 5)(3sin 5(=+-αα 解得53sin = α或5 4sin -=α 由 5 3sin 2 = ?≤≤απαπ 5 4 sin 51cos -=--=∴αα，435453 cos sin tan -=-== ααα 74311 43tan 11tan 4tan tan 14tan tan )4tan(-=?? ? ??-+-- =+-=+-=-∴ααπαπ απα. 解法二：整体代入法 ααααα ααα ααπαπ απαcos sin cos sin cos sin 11 cos sin tan 11tan 4tan tan 14tan tan )4tan(+-= +-=+-=+-=- 5 1 cos sin -=+αα ① 251cos cos sin 2sin 51)cos (sin 222 2 =++??? ? ??-=+αααααα 25 12 cos sin 251cos sin 21- =?= +αααα ααααααααααcos sin 4)cos (sin cos cos sin 2sin )cos (sin 2222-+=+-=- 25 49 25124512 =??? ??-?-??? ??-= 又0cos sin 2 >-?≤≤ααπαπ 5 7 cos sin = -αα ① ∴原式=75 1 57 cos sin cos sin -=-=+-ααα α. 5 1 cos sin -=+αα 251cos cos sin 2sin 51)cos (sin 222 2 =++??? ? ??-=+?αααααα 25 24 cos sin 22sin - ==ααα 012tan 25tan 122524tan 1tan 22sin 2 tan 12tan 2sin 222=++?-=+=?+= αααααx x x 0)3tan 4)(4tan 3(=++?αα 解得)(3 4tan 4 3tan 舍或-=-=αα 74311 43tan 11tan 4tan tan 14tan tan )4tan(-=?? ? ??-+-- =+-=+-=-∴ααπαπ απα. ◆◆方法解读◆◆ 解法一：解方程组法是非常常规的方法，是大多数同学普遍使用的方法。但是应用该方法计算相当繁琐，而且不易计算。 解法二：观察所求式子的结构，采用整体代入法是本题的技巧，但是该方法不是所有题目都适用，同学们要灵活的运用，不能死记硬背，机械记忆。 解法三：此题也可以用万能公式法，但是很多同学记不住万能公式。因此有些必要的公式还需要同学们加强记忆和巩固，只有基本功扎实了，才能应付灵活多变的数学难题。 【典例6】已知向量)2,(k OA =，)3,2(-=OB ，)4,3(-=k OC ，且C B A ,,三点共线，则=k . C B A ,,三点共线AC BC AB =+? 取O 点的坐标为)0,0(，则 )2,(k A ，)3,2(-B ，)4,3(-k C 22)23()2(-+--=?k AB 22)34()23(--++=?k BC 22)24()3(--+-=?k k AC 由AC BC AB =+，解得3-=k . 解法二：共线向量法 C B A ,,三点共线AC BC AB ////? )1,2()2,()3,2(k k --=--=-= ① )7,23()3,2()4,3(-+=---=-=k k OB OC BC ① 0//1221=-?y x y x BC AB 301)23()7()2(-=?=?+--?--k k k . 解法三：斜率法 C B A ,,三点共线AC BC AB k k k ==? 又 )2,(k A ，)3,2(-B ，)4,3(-k C k k k AB --= ---= ∴21 223 ① 2 37 )2(334+-= ----= k k k BC ① 32 37 21-=?+-=--? =k k k k k BC AB . ◆◆方法解读◆◆ 解法一：距离公式法属于常规法，容易想到。但应用此法主要的困难是去掉根号这一步， 要等式两边同时平方两次才能将根号去掉，计算量相当大，一般来说不建议应用此方法。 解法二：将三点共线问题转化为共线向量问题，是解决该题最好的方法和思路。因此在以 后遇到的数学问题当中，转化思想仍然值得每位同学理解和掌握。 解法三：斜率法也是解决该题很好的方法，应用此法可以减少很多计算，过程简单，逻辑鲜明。 【典例7】已知函数满足75)2(2++=-x x x f ，则=)(x f . 解法一：图像平移法 75)2(2++=-x x x f 是将)(x f 的图像向右平移2个单位长度得到 因此再将75)2(2++=-x x x f 的图像向左平移2个单位长度，得 2197)2(5)2()22(22++=++++=-+x x x x x f 即219)(2++=x x x f . 解法二：赋值法 为了得到)(x f ，不妨令2+=x x ，则 2197)2(5)2()22(22++=++++=-+x x x x x f 即219)(2++=x x x f . 解法三：换元法 令2-=x u ，则2+=u x 75)2(2++=-x x x f 2197)2(5)2()22(22++=++++=-+?u u u u u f 219)(2++=?u u u f 即219)(2++=x x x f . 解法四：构造法 7544)44(75)2(22++-++-=++=-x x x x x x x f 21)2(9)2(318)189()2(39)2(222+-+-=++-+-=++-=x x x x x x 将2-x 看成整体x ，即219)(2++=x x x f . 解法五：待定系数法（特殊值法） 由题意知，)(x f 为二次函数 不妨设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，则 由75)2(2++=-x x x f ，得 当2=x 时，有c b a f +?+?=+?+=007252)0(22 ① 当0=x 时，有c b a f +-?+-?=+?+=-)2()2(7050)2(22 ① 当3=x 时，有c b a f +?+?=+?+=117353)1(22 ① 联立解得21,9,1===c b a 即219)(2++=x x x f . ◆◆方法解读◆◆ 解法一：应用图像平移法一定要清楚函数图像平移的原则：左加右减，上加下减。左右平移变化的是x (横坐标)，上下平移变化的是y (纵坐标)。 解法二：赋值法的本质是换元法，所以此方法与换元法相一致，值得一提的是x =x +2的意思是将x +2赋给x ，这里的等号不是严格意义上的等号，否则出现0=2的逻辑错误。 解法三：换元法是求函数解析式最重要的方法之一，同学们一定要熟悉掌握。但此方法也有局限性，不是所有题目都适用，有些题目只能用其他方法如解方程组法、整体代入法等。 解法四：构造法也叫配凑法，也是求函数解析式常用的方法之一，配凑的原则是“形式一致性”，只有配凑与函数自变量一致的形式，才能整体换元。 解法五：待定系数法最重要的思想是已知函数的类型，从而假设出函数的解析式，进而转变为求函数的系数或参数。 【典例8】函数)209ln()(2+-=x x x f 的单调递增区间是 . 解法一：利用复合函数的求导法则 )209ln()(2+-=x x x f 的定义域为0)5)(4(02092>--?>+-x x x x 54> 令209)(2+-=x x x u ，则2 9 2=- =a b x 对 )(x u ∴在)4,(-∞单调递减，在),5(+∞单调递增 又u u f ln )(= 在),0(+∞上单调递增 故)(x f 在)4,(-∞单调递减，在),5(+∞单调递增 解法二：利用导数与函数单调性的关系 )209ln()(2+-=x x x f 的定义域为),5()4,(+∞-∞ 20 992)209(20 91)(2 22 +--= '+-?+-= 'x x x x x x x x f 52 9 0920)(>?> ?>-?>'x x x x f 42 9 0920)( ?<-?<'x x x x f 故)(x f 在)4,(-∞单调递减，在),5(+∞单调递增. ◆◆方法解读◆◆ 解法一：复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则，即当内、外层函数的单调性相同时，复合函数单调递增；当内、外层函数的单调性不同时，复合函数单调递减。值得一提的是，所有函数都要在定义域的范围之内进行讨论和研究，超出定义域的范围函数没有意义。 解法二：利用导数与函数单调性的关系来求函数的单调性，是中学阶段最重要的思想方法之一。同学们一定要掌握：只要导函数大于零的区间，函数一定单调递增；只要导函数小于零的区间，函数一定单调递减；在导数为零处，函数的增减性无法判断。 【典例9】已知直线032=-+-k y kx 过定点P ，则P 点的坐标是 . 解法一：点斜式法 由)3(2032-=-?=-+-x k y k y kx 显然，当3=x 时，2=y A C B D 4 1点)2,3(与直线斜率k 无关 故直线过定点)2,3(P . 解法二：解方程组法（特殊直线交点法） 取0=k 时，得2=y ① 取1=k 时，得01=--y x ① 联立①①式，解得2,3==y x 即直线过定点)2,3(P . ◆◆方法解读◆◆ 解法一：点斜式法求直线过定点是最直接的方法，这也是最常规的方法。但在有些题型中很难将给定的待定直线写成点斜式，这就要求同学们另寻他法，以求得解。 解法二：解方程组法的基本思路是寻找特殊的两条直线的交点，这个交点即为直线所经过的定点。这是目前解决此类问题最好的方法，同学们一定要掌握其精髓，已达到事半功倍的效果。 【典例10】已知?ABC 为等边三角形，D 是BC 上的点，AB =4，BD =1，则AB →·AD → =________． 解法一：直接运算法（数量积公式、向量的加法） CD AB AC AB CD AC AB AD AB ?+?=+?=?)( 60cos ||||43 60cos ||||43CB AB AC AB CB AB AC AB +=?+?= 142 1 44432144=???+? ?. C B D 4 1α 604 3A C B D O x y 解法二：三角函数法（余弦定理法） 由余弦定理，得 132 1 3423460cos 22 2 2 2 2 =???-+=??-+= CD AC CD AC AD 13=?AD 13 27 13421)13(42cos 222222=??-+=?-+=AD AB BD AD AB α 1413 27134cos ||||=??==?∴αAD AB AD AB . 解法三：建立坐标系法 取BC 的中点为O ，建立平面直角坐标系xOy 如图所示： )32,0( A ，)0,2(- B ，)0,1(-D )32,2(--=AB ，)32,1(--=AD 14)32()32()1(22121=-?-+-?-=+=??y y x x AD AB . ◆◆方法解读◆◆ 解法一：直接运算法是解决此类题型最常规的方法之一，应用此方法要求熟悉向量的基本运算法则，掌握平行四边形法则和三角形法则，只有基本功扎实了，才能如鱼得水。 解法二：三角函数法是利用正弦定理、余弦定理、面积公式以及射影定理等公式结合向量运算规律求解，综合性较强，要求熟悉掌握解三角形的有关知识。在一定程度上也是解题不错的方法。 解法三：建立坐标系法是解决此题的一大亮点，通过建立平面直角坐标系使问题转化为向量的坐标运算，很大程度上减少了运算过程和难度，是同学们应当理解并掌握的解题方法。 解法一：判别式法 由题意知，设直线的方程为)2(1-=-x k y ，则 []43)2(124 )2()1()2(122 2 2=+-++-??????=++--=-x k x x y x x k y 06124)264()12222=+-+-+-++?k k x k k x k （ 0)6124)(1(4)264(422222=+-+--+-=-=?k k k k k ac b 0)6124)(1()132(2222=+-+-+-?k k k k k [] 0)61246124()31()31)(2(242342224=+-++---+-+?k k k k k k k k k 061246124)961(124423422324=-+--+-+-+-+?k k k k k k k k k k 05632=--?k k 解得3 6 23,362321+= -= k k 故所求直线方程为)2(36231--= -x y 或)2(3 6 231-+=-x y . 解法二：圆切线的性质法 由题意知，设直线的方程为)2(1-=-x k y ，则 021=-+-k y kx 又因为圆心为)2,1(- 圆心到直线的距离等于半径，即 21 | 212|| |2 2 2 00==+-++= +++= r k k k B A C By Ax d 0563446912|3|2222=-+?+=+-?+=-?k k k k k k k 解得3 6 23,362321+= -= k k 故所求直线方程为)2(36231--=-x y 或)2(3 6 231-+=-x y . ◆◆方法解读◆◆ 解法一：依据数形结合的思想，直线与圆相切，意味着将直线与圆联立方程后消去y 得到的关于x 的一元二次方程有唯一的实数根，从而转化为Δ=0的解方程问题。该方法的思路非常简单，也属于常规法之一。但是应用此方法解题有时候计算量太大，通常不建议应使用该方法。 解法二：利用切线的性质是解决此类题型非常好的方法，而且计算量小，过程简单，非常值得每位同学去学习和掌握。 【典例12】函数x x x f x 1 2)(2log - -=的大致图像为（ ） 解法一：分段函数法 ①当10< x x x x x f x =-+=-+=-1 112)(2log ①当1≥x 时，01,0log 2>->x x x ，此时有x x x x x x x f x 1112)(2log =??? ? ? --=??? ??--= 只有D 符合题意 解法二：特殊值法 ①取21= x ，则2 1 |121|2)21(1=--=f ，排除B 、C ①取2=x ，则2 1 |2 1 2|2)2(1=--=f ，排除A 只有D 符合题意 解法三：极限法 0|1|2lim )(lim ||log 2=??? ?? --=+∞→+∞→x x x f x x x 0|1|2lim )(lim ||log 002=?? ? ?? --=→→x x x f x x x 只有D 符合题意 ◆◆方法解读◆◆ 解法一：观察题目中函数的表达式有绝对值，因此考虑去掉绝对值，方法是将函数区间讨 论。 解法二：特殊值法是解决函数图像题型最好的方法之一，通过取特殊的自变量值大致知道 函数值，然后将答案一一排除。应用此法应当注意的问题是：所取的特殊值一要能够猜测函数值的大小，而要能够和其他选项的图像区分开来，否则所取数值将失去意义。 解法三：极限思想是同学们学习高中数学较难理解和掌握的一个重要思想，它所指的就是无限逼近的意思。掌握好此方法，一定能够让你在学习的道路上脱颖而出！ x y O 8 8- 【典例13】已知定义在R 上的偶函数)(x f 在区间]0,(-∞上单调递增，则满足)8()43(f x f >-的解集为 . 解法一：偶函数特性法 由题意，得 8438<-<-x 43 41234<<-?<<-?x x 即不等式的解集为)4,3 4 (-. 解法二：特殊函数法 由题意，不妨取2)(x x f -=，则 22 8)43()8()43(->--?>-x f x f 0)43)(123(64162492<--?<+-?x x x x 43 4 <<- ?x 即不等式的解集为)4,3 4(-. ◆◆方法解读◆◆ 解法一：根据偶函数的定义和性质，画出草图，便于分析结论。草图只要满足题意，可以任意画，只要方便解题即可。 解法二：特殊函数法是解决此类问题非常好的方法之一。首先题干只给了函数的某些性质，具体解析式并没有直接给出，这是典型的抽象函数。同学们可根据题干描述，找到性质与之相对应的特殊函数，从而使问题迎刃而解。这种方法在选择题或填空题中非要好用，因为它并不要求过程的严谨性，但用此法的前提是要熟悉一些常见函数的图像与性质。 【典例14】已知3 42= a ，5 24= b ，3 125= c ，则（ ） A.c a b << B.c b a << C.a c b << D.b a c << 解法一：函数图像法 3 23 442==a ，5 24=b 由x y 4=的图像与性质知：b a >?>?>52 32 445 2 32 ① 3 23 442==a ，3 23 1525==c 由)1(>=a a y x 的图像与性质知：a 值越大函数图像越靠近y 轴 a c >?> ?3 23 245 ① 综上所述，得b a c >>. 解法二：跟特殊值比较法 b a b a >>?? ? ???=<===>=222242 2255 54523 33 4 ① () c a c a c a ? ? ?? =<==<=2222522231 3313 33 4 ① 综上所述，得b a c >>. 解法三：假设法（反证法） ①假设b a >，则 1261515 5215 345 23 42424242=>???? ? ??>??? ? ???> ，假设成立 b a >∴ ①假设c a >，则 高中数学经典题型50道(另附详细答案) 高中数学习题库（50道题另附答案） 1.求下列函数的值域： 解法2 令t＝sin x，则f(t)＝－t2＋t＋1，∵ |sin x|≤1, ∴|t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值． 本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟 悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。 2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道 的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 3 4万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32 π π和，求该慧星与 地球的最近距离。 解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆 的方程为122 22=+b y a x （图见教材P132页例1）。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3 π 时，由椭圆的几何 意义可知，彗星A 只能满足)3 (3/π π=∠=∠xFA xFA 或。作 m FA FB Ox AB 3 2 21B ==⊥，则于 故由椭圆第二定义可知得???????+-=-=)32(34)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,3 2 31 c c c m c a m a c m =-==∴?=代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答：彗星与地球的最近距离为m 3 2万千米。 说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a + 数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）② 例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ． 请读者分析下面的证法： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ． 那么当n =k +1时，有： ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论． 分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3． 故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 例3．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 高中数学必修1复习测试题（难题版） 1.设5log 3 1=a ，5 13=b ，3 .051??? ??=c ，则有（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b c a << 2.已知定义域为R 的函数)(x f 在),4(∞+上为减函数，且函数()y f x =的对称轴为4x =，则（ ） A ．)3()2(f f > B ．)5()2(f f > C ．)5()3(f f > D ．)6()3(f f > 3.函数lg y x = 的图象是（ ） 4.下列等式能够成立的是（ ） A ．ππ-=-3)3(66 B = C =34 ()x y =+ 5.若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A ．)2()1()23(f f f <-<- B ．)1()2 3 ()2(-<- 6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-,则()y f x =在R 上的解析式为 A ． ()(2)f x x x =-+ B ．()||(2)f x x x =- C ．()(||2)f x x x =- D. ()||(||2)f x x x =- 7.已知函数log (2)a y ax =-在区间[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．(2,)+∞ 高中数学习题库（50道题另附答案） 1.求下列函数的值域： 解法2 令t＝sin x，则f(t)＝－t2＋t＋1，∵|sin x|≤1, ∴|t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值． 本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。 2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道 的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 3 4 万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32 π π和，求该慧星与地球 的最近距离。 解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的 方程为122 22=+b y a x （图见教材P132页例1）。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π 时，由椭圆的几何 意义可知，彗星A 只能满足)3 (3/π π=∠=∠xFA xFA 或。作 m FA FB Ox AB 3 2 21B ==⊥，则于 故由椭圆第二定义可知得????? ??+-=-=)32(34)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,3 2 31 c c c m c a m a c m =-==∴?=代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答：彗星与地球的最近距离为m 3 2 万千米。 说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a + （2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识 新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2 －2x ＋m )(x 2 －2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为4 1 的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ． 4 3 C ． 2 1 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝9 5 ，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ． 2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则2 1 2b a a 的值是( )． A ． 2 1 B ．－ 2 1 C ．－ 21或2 1 D ． 4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2 n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )． A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 1.设Sn是等差数列｛An｝的前n项和,又S6=36,Sn=324,S(n-6)=144,则n=? ①Sn是等差数列 S6=a1*6+6(6-1)/2*d=36，则2a1+5d=12......& 最后六项的和S=an*6-6(6-1)/2*d=6an-15d S(n-6)=Sn-S=324-(6an-15d)=144,则2an-5d=60......@ &+@:a1+an=36 Sn=(a1+an)/2*n n=18 ②解:Sn-S(n-6)=a(n-5)+a(n-4)+......an=324-144=180 而 S6=a1+a2+...a6=36 有 Sn-S(n-6)+S6= a1+a2+...a6+ a(n-5)+a(n-4)+....an =6(a1+an)=180+36=216 那么 (a1+an)=36 Sn=n(a1+an)/2=324 即 36n/2 =324 所以 n=18 2.已知f(x)=(x-1)^2,g(x)=4(x-1),f(an)和g(an)满足，a1=2,且(an+1-an)g(an)+f(an)=0 (1)是否存在常数C，使得数列｛an+C｝为等比数列？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由。 （2）设bn=3f(an)-[g(an+1)]^2，求数列｛bn｝的前n项和Sn (1)存在 C=-1 证明如下 (an+1-an)g(an)+f(an)=0 将f(x)、g（x)带入并化简 得4an+1 - 3an -1 =0 变形为4(an+1 -1)=3(an -1) 所以an-1是以3/4为等比 1为首项的等比数列 (2)an-1=(3/4)^n bn=3f(an)-[g(an+1)]^2 将f(an) g(an+1)带入不要急着化简先将an+1 - 1换成 3/4 (an-1) 化简后bn=-6(an -1)^2=-6*(9/16)^n bn是首项为-27/8等比是9/16的等比数列 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=54/7(9/16)^n-54/7 已知函数f(x)=x^2+ax+b,当实数p,q满足p+q=1,试证明pf(x)+qf(y)>=f(px+qy) pf(x)+qf(y)>=f(px+qy) <=> px^2+pax+pb+qy^2+qay+qb>=(px+qy)^2+apx+aqy+b 慧诚教育2017年秋季高中数学讲义 必修一第一章复习 知识点一集合的概念 1．集合 一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示． 2．元素 构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示． 3．空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为?. 知识点二 集合与元素的关系 1．属于 如果a 是集合A 的元素，就说a ________集合A ，记作a ________A . 2．不属于 如果a 不是集合A 中的元素，就说a ________集合A ，记作a ________A . 知识点三 集合的特性及分类 1．集合元素的特性 ________、________、________. 2．集合的分类 (1)有限集：含有________元素的集合． (2)无限集：含有________元素的集合． 3．常用数集及符号表示 知识点四 1．列举法 把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法 用集合所含元素的 ________表示集合的方法称为描述法． 知识点五 集合与集合的关系 1．子集与真子集 2.子集的性质 (1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________． (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________． (3)如果A?B，B?C，则________． (4)如果A?B，B?C，则________． 3．集合相等 4.集合相等的性质 如果A?B，B?A，则A＝B；反之，________________________. 知识点六集合的运算 1．交集 函 数 练 习 题 班级 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)111 y x x =+-++ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，数m 的取值围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y =⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y ⑽ 4y = ⑾y x =- 6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y =⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； 高中数学典型题型与解析 一、选择题 1.设,21,a b R a b +∈+=、则2224ab a b --有（ ） A ．最大值 1 4 B ．最小值14 C ．最大值 212 - D ．最小值54- 2. 某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，欲求不同安排方案的种数，现有四 位同学分别给出下列四个结果：①2 6C ；②6 65 64 63 62C C C C +++；③726 -；④2 6A ．其中 正确的结论是（ ） A ．仅有① B ．仅有② C ．②和③ D ．仅有③ 3. 将函数y ＝2x 的图像按向量a →平移后得到函数y ＝2x ＋6的图像，给出以下四个命题：① a →的坐标可以是（-3.0）；②a →的坐标可以是（0，6）；③a →的坐标可以是（-3，0）或（0， 6）；④a →的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4. 不等式组? ??>->-a x a x 2412，有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（-1，3） B ．（-3，1） C ．（-∞，1） （3，＋∞） D ．（-∞，-3） （1，＋∞） 5. 设a ＞0，c bx ax x f ++=2 )(，曲线y ＝f （x ）在点P （0x ，f （0x ））处切线的倾斜角 的取值范围为[0，4π ]，则P 到曲线y ＝f （x ）对称轴距离的取值范围为（ ） A ．[0，]1a B ．0[，]21a C ．0[，|]2|a b D ．0[，|]21 |a b - 6. 已知)(x f 奇函数且对任意正实数1x ，2x （1x ≠2x ）恒有 0) ()(2 121>--x x x f x f 则一定正确的是（ ） A ．)5()3(->f f B ．)5()3(-<-f f C ．)3()5(f f >- D ．)5()3(->-f f 7. 将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ?，则球的体积增加≈?V （ ） A ． R R ?3 π3 4 B ．R R ?2π4 C ．2π4R D ．R R ?π4 8. 等边△ABC 的边长为a ，将它沿平行于BC 的线段PQ 折起，使平面APQ ⊥平面BPQC ，若折叠后AB 的长为d ，则d 的最小值为（ ） A ． a 43 B ．a 45 C ．4 3a D ． a 410 9. 锐角α、β满足β α βα2424sin cos cos sin +＝1，则下列结论中正确的是（ ） A ．2π≠ +βα B ．2π<+βα C ．2π>+βα D ．2 π=+βα 例命题“若＝，则与成反比例关系”的否命题是1 y x y k x [ ] A y x y B y kx x y C x y y ．若≠ ，则与成正比例关系．若≠，则与成反比例关系．若与不成反比例关系，则≠k x k x D y x y ．若≠，则与不成反比例关系k x 分析 条件及结论同时否定，位置不变． 答 选D ． 例2 设原命题为：“对顶角相等”，把它写成“若p 则q ”形式为________．它的逆命题为________，否命题为________，逆否命题为________． 分析 只要确定了“p ”和“q ”，则四种命题形式都好写了． 解 若两个角是对顶角，则两个角相等；若两个角相等，则这两个角是对顶角；若两个角不是对顶点，则这两个角不相等；若两个角不相等，则这两个角不是对顶角． 例3 “若P ＝{x |x|＜1}，则0∈P ”的等价命题是________． 分析 等价命题可以是多个，我们这里是确定命题的逆否命题． 解原命题的等价命题可以是其逆否命题，所以填“若，则 0P p ≠{x||x|＜1}” 例4 分别写出命题“若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0”的逆命题、否命题和逆否命题． 分析根据命题的四种形式的结构确定． 解逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0； 否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为0； 逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0． 说明：“x、y全为0”的否定不要写成“x、y全不为0”，应当是“x，y不全为0”，这要特别小心． 例5有下列四个命题： ①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题； ③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题； ④“若∪＝，则”的逆否命题，其中真命题是 A B B A B [ ] A．①②B．②③ C．①③D．③④ 分析应用相应知识分别验证． 解写出相应命题并判定真假 ①“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题； ②“不相似三角形周长不相等”为假命题； ③“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b＞－1”为真命题； 高中数学经典题型50 道(另附详细答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高中数学习题库（50道题另附答案） 1.求下列函数的值域： 解法2 令t＝sin x，则f(t)＝－t2＋t＋1，∵ |sin x|≤1, ∴ |t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值． 本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。 2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道 的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 3 4万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32 π π和，求该慧星与 地球的最近距离。 解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆 的方程为122 22=+b y a x （图见教材P132页例1）。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3 π 时，由椭圆的几何 意义可知，彗星A 只能满足)3 (3/π π=∠=∠xFA xFA 或。作 m FA FB Ox AB 3 2 21B ==⊥，则于 故由椭圆第二定义可知得????? ??+-=-=)32(34)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,3 2 31 c c c m c a m a c m =-==∴?=代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答：彗星与地球的最近距离为m 3 2万千米。 说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a + （2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的 高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0? 经典函数测试题及答案 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M 到N的映射是（） M N A M N B M N C M N D 1 2 3 e g h 1 2 3 e g h 1 2 3 e g h 1 2 3 e g h 映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合 A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。 函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A 到集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应）映射与函数的区别与联系： 函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。 映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。 映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射 方向性 上题答案应选C 【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。 本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素 【分析】（1）将x=2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（2+1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1得出x=1，即（2、1）在A中的对应元素为1 【例3】设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（）；（2）可建立从B到A的映射个数（） 高中数学经典例题、错题详解 高中数学题库 1. 求下列函数的值域： 解法2 令t ＝sin x ，则f (t )＝－t 2 ＋t ＋1，∵ |sin x |≤1, ∴ |t |≤1.问题转化为求关于t 的二次函数f (t )在闭区间[－1,1]上的最值． 本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。 2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离 地球相距m 万千米和 m 3 4 万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为3 2 π π 和 ，求该慧星与地球的最近距离。 解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的方程为1 22 22=+b y a x （图见教材P132页例1）。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为 3 π 时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足)3(3/ ππ=∠=∠xFA xFA 或。作m FA FB Ox AB 3 221B ==⊥，则于 故由椭圆第二定义可知得???????+-=-=)32(3 4)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,323 1c c c m c a m a c m =-==∴?= 代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答：彗星与地球的最近距离为m 3 2 万千米。 说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a + （2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。 3. A ，B ，C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6Km ，C 在B 正北偏西ο 30，相距4Km ，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B ，C 两地比A 距P 地远，因此4s 后，B ，C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1s Km /，A 若炮击P 地，求炮击的方位角。（图见优化设计教师用书P249例2） 解：如图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立坐标系，则 )32,5(),0,3(),0,3(--C A B ，因为PC PB =，所以点P 在线段BC 的垂直平分线上。 因为3-=BC k ，BC 中点)3,4(-D ，所以直线PD 的方程为)4(3 13+= -x y （1） 又,4=-PA PB 故P 在以A ，B 为焦点的双曲线右支上。设),(y x P ，则双曲线方程为 )0(15 42 2≥=-x y x （2）。联立（1）（2），得35,8==y x ， 所以).35,8(P 因此33 83 5=-= PA k ，故炮击的方位角北偏东?30。 说明：本题的关键是确定P 点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。 4. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2高中数学经典题型50道(另附详细答案)讲解学习
2016届高考数学经典例题集锦：数列(含答案)
(完整版)高二数学归纳法经典例题
高一数学平面向量知识点及典型例题解析
(完整word版)高一数学必修一经典高难度测试题含答案
高中数学经典题型50道(另附详细答案)
高中数学圆的方程典型例题及详细解答
高一数学《数列》经典练习题-附答案
10道经典高中数学题
高中数学必修一集合经典题型总结高分必备
高一数学函数经典习题及答案
高中数学典型题型与解析
高中数学四种命题经典例题
高中数学经典题型50道(另附详细答案)
高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案
高中数学_经典函数试题及答案
高中数学经典例题、错题详解
高中数学经典50题(附问题详解)