2012年江苏高考-数学解题-高分策略
③集合元素具有确定性、无序性和互异性.
（2010年江苏卷1）设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4}，A∩B={3}，则实数a= ．(1)
a=
2、若Ａ={
123
,,
n
a a a a
}，则Ａ的子集有2n个，真子集有21
n-个，非空真子集有22
n-个.
【提醒】：数形结合
．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，
将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化．
在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的
有关问题．
A2.命题的否定与否命题
*1. 命题p q
?的否定与它的否命题的区别：
命题p q
?的否定是p q
??,否命题是p q
???.
命题“p或q”的否定是“p
?且q
?”,“p且q”的否定是“p
?或q
?”.
*2. 常考模式：
全称命题p：,()
x M p x
?∈；全称命题p的否定?p：,()
x M p x
?∈?.
特称命题p：,()
x M p x
?∈；特称命题p的否定?p：,()
x M p x
?∈?.
A3.复数运算
*1.运算律：?m n m n
z z z+
?=；?()m n mn
z z
=；?
1212
()(,)
m m m
z z z z m n N
?=∈.
【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围.
*2.模的性质：
?
1212
||||||
z z z z
=；?11
22
||
||
||
z z
z z
=；?n
n
z z
=.
*3.重要结论：
?2222
121212
||||2||||
()
z z z z z z
-++=+；
?
2
2
12
z z z z
?==；?()2
12
i i
±=±；?
1
1
i
i
i
-
=-
+
，
1
1
i
i
i
+
=
-
；
?i性质：T=4；1
,
,1
,4
3
4
2
4
1
4=
-
=
-
=
=+
+
+n
n
n
n i
i
i
i i
i.
【拓展】：()()
32
11101
ωωωωω
=?-++=?=或
1
i
22
ω=-±.
（2011年江苏卷3）设复数i满足i
z
i2
3
)1
(+
-
=
+（i是虚数单位），则z的实部是▲ ．1
（2010江苏卷2）设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为▲ ．2
（2012苏锡常镇2改编）若复数z满足)
1(
2i
i
z+
=
-（i为虚数单位），则z的虚部是.-1
A4.幂函数的的性质及图像变化规律：
(1) 所有的幂函数在(0,)
+∞都有定义，并且图像都过点(1,1)；
(2)0
a>时，幂函数的图像通过原点，并且在区间[0,)
+∞上是增函数．特
别地，当1
a>时，幂函数的图像下凸；当01
a
<<时，幂函数的图像
上凸；
(3)0
a<时，幂函数的图像在区间(0,)
+∞上是减函数．在第一象限内，
当x从右边趋向原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当
x趋于+∞时，图像在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．
且1
-
=
x时图像都经过(1,1)，把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了.
A5.统计
1.抽样方法：
(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取.
(2)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概率
都相等（
n
N
）.
2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.
总体估计掌握：一“表”(频率分布表)；两“图”(频率分布直方图和茎叶图).
?频率分布直方图
用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图．频率分布直方图就是以图形面积
的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.
①频率=
样本容量
频数.②小长方形面积=组距×
组距
频率=频率.
③所有小长方形面积的和=各组频率和=1.
【提醒】：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是
频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率.
（2010江苏卷4）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取
了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），
所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的
100根中，有____根在棉花纤维的长度小于20mm．（30）
?茎叶图
当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位
数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的
图叫做茎叶图．
3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；样本平均数：
12
1
11
()
n
n i
i
x x x x x
n n=
=+++=∑
4.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差).
(1)一组数据
123
,,,,
n
x x x x
?
①样本方差2222
12
1
[()()()]
n
S x x x x x x
n
=-+-+???+-222
111
111
()()()
n n n
i i i
i i i
x x x x
n n n
===
=-=-
∑∑∑；
②样本标准差σ=
(2)两组数据
123
,,,,
n
x x x x
?与
123
,,,,
n
y y y y
?,其中
i
y ax b
=+,1,2,3,,
i n
=?.则y ax b
=+,它们的方差
为222
y x
S a S
=,标准差为||
y x
a
σσ
=
③若
12
,,,
n
x x x
的平均数为x，方差为2s，则
12
,,,
n
ax b ax b ax b
+++
的平均数为ax b+，方差为22
a s.
样本数据做如此变换：'
i i
x ax b
=+，则'x ax b
=+，222
()
S a S
'=.
（2009江苏卷6）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，
投中的次数如下表：
1
x
则以上两组数据的方差中较小的一个为2
s = .
25
B 、(5～9，中档题，易丢分，防漏/多解) B1.线性规划
1、二元一次不等式表示的平面区域：
（1）当0A >时，若0Ax By C ++>表示直线l 的右边，若0Ax By C ++<则表示直线l 的左边. （2）当0B >时，若0Ax By C ++>表示直线l 的上方，若0Ax By C ++<则表示直线l 的下方.
2、设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或
0<所表示的平面区域：两直线1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=所成的对顶角区域（上下或左右两部分）. 3、点000(,)P x y 与曲线(),f x y 的位置关系：
若曲线(,)f x y 为封闭曲线（圆、椭圆、曲线||||x a y b m +++=等），则00(),0f x y >，称点在曲线外部； 若(,)f x y 为开放曲线（抛物线、双曲线等），则00(),0f x y >，称点亦在曲线“外部”.
4、已知直线:0l Ax By C ++=，目标函数z Ax By =+.
①当0B >时，将直线l 向上平移，则z 的值越来越大；直线l 向下平移，则z 的值越来越小； ②当0
B <时，将直线l 向上平移，则z 的值越来越小；直线l 向下平移，则z 的值越来越大； 5、明确线性规划中的几个目标函数（方程）的几何意义：
（1）z ax by =+，若0b >，直线在y 轴上的截距越大，z 越大，若0b <，直线在y 轴上的截距越大，z 越小． （2
）
y m x n
--表示过两点()(),,,x y n m 的直线的斜率，特别
y x
表示过原点和(),n m 的直线的斜率.
（3）()()2
2
t x m y n =-+-表示圆心固定，半径变化的动圆，也可以认为是二元方程的覆盖问题. （4）y =
(),x y 到点()0,0的距离.
（5）(cos ,sin )F θθ； （6）d =
； （7）22
a a
b b ±+；
【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x 2+y 2=1上的点)sin ,(cos θθ及余弦定理进行转化达到解题目的．
（2012苏锡常镇二模14）设实数6≤n ，若不等式08)2(2≥--+n x xm
对任意[]2,4-∈x 都成立，则
n
m n m 3
4
4-的最小值为 .80
3- （2012南京三模9）在直角坐标系xOy 中，记不等式组30
270260y x y x y -≥??
+-≤??-+≥?
表示的平面区域为D ．若指数函数
x y a =（a ＞0且1a ≠）的图象与D 有公共点，则a 取值范围是 ▲ ．)+∞ （2010江苏卷12）设实数x ,y 满足3≤2
xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43
y
x 的最大值是 27
B 2.三角变换：
三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换．
与积)的变换，其核心是“角的变换”.
角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.
变换化简技巧：角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“1”的变幻，设元转化，引入辅角，平方消元等.
具体地：
（1）角的“配”与“凑”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变形技巧，如下：
2=+ααα，22αα=?；
22
αβ
αβ++=?
，
()(
)
2
22
αβ
β
ααβ+=-
--； ()()2
222
=+-=-+=
=
+-+-+
-
ααββαββαβαβ
βα
βα；
22[()]2[()]()()()()=+-=-+=++-=+--ααββαββαβαββαβα； 2()+=++αβαβα，2()-=-+αβαβα； 154530,754530?=?-??=?+?；
()
4
2
4ππααπ+=--等.
（2）“降幂”与
“升幂”（次的变化）：利用二倍角公式2
222
cos 2
cos sin 2cos 12sin
1=-=-=-ααααα和
二倍角公式的等价变形2cos 2sin 1=-αα，2
sin 2cos 1=+αα，可以进行“升”与“降”的变换，即“二次”与“一
次”的互化.
（3）弦切互化（名的变化）：利用同角三角函数的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数，以便于解题.经常用的手段是“切化弦
”和“弦化切”.
（4
）常值变换：常值12
可作特殊角的三角函数值来代换.此外，对常值 “1”
可作如下代
换：2
2
2
2
1sin cos sec tan tan cot 2sin30tan sin cos042
x x x x x x ππ=+=-=?=?==== 等.
（5）引入辅助角：一般地，sin cos )sin()
a b +==+ααααα? )α?+其中cos tan b a
=
=
=
???. 特别地，sin cos )4A A A +=+
;sin 2sin()3x x x =+πcos 2sin()6
x x x +=+π
等.
（6）特殊结构的构造：构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简.
举例：22sin 20cos 50sin 20cos50A =?+?+??，22cos 20sin 50cos 20sin50B =?+?+??
可以通过1
2sin 70,sin 702
A B A B +=+?-=-
-?两式和，作进一步化简. （7）整体代换
举例：sin cos x x m +=2
2sin cos 1x x m ?=-
sin()m +=αβ，sin()n -=αβ，可求出sin cos ,cos sin αβαβ整体值，作为代换之用.
（2011江苏卷7）已知,2)4
tan(=+πx 则x x
2tan tan 的值为__________.49
（2010江苏卷10）定义在区间??
?
?
?
20π,
上的函数y =6cos x 的图像与y =5tan x 的图像的交点为P ，
过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y =sin x 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为____________．23
B 3. 三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点． (1)角的变换
因为在ABC ?中，A B C π++=（三内角和定理），所以
任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余. 锐角三角形：①三内角都是锐角；②三内角的余弦值为正值；
③任两角和都是钝角；④任意两边的平方和大于第三边的平方.
即，sin sin()A B C =+；cos cos()A B C =-+；tan tan()A B C =-+．
2
2
sin
cos
A B C +=；2
2
cos
sin
A B C +=；2
2
tan
cot
A B C +=.
(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理．
面积公式：11
sin 22
a S sh a
b C r p ===?其中r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半．tan tan tan tan tan tan 1222222
A B B C C A
++=
(3)在非直角ABC ?中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=．
(4)在ABC ?中，熟记并会证明：
*1.,,A B C ∠∠∠成等差数列的充分必要条件是60B ∠=?．
*2.ABC ?是正三角形的充分必要条件是,,A B C ∠∠∠成等差数列且,,,a b c 成等比数列．
*3.三边,,a b c 成等差数列?2b a c =+?2sin sin sin A B C =+?1tan tan 223A C =；3
≤B π
.
*4.三边,,,a b c 成等比数列?2b ac =?2sin sin sin A B C =,3
≤B π
.
(5)锐角ABC ?中,2
A B π
+>
?sin cos ,sin cos ,sin cos A B B C C A >>> ，2
2
2
a b c +>；
sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++； 【思考】：钝角ABC ?中的类比结论
(6)两内角与其正弦值：在ABC ?中，sin sin a b A B A B
>?>?>?cos 2cos 2B A >，…
B 4.三角恒等与不等式 组一：
33sin 33sin 4sin ,cos34cos 3cos αααααα=-=-
()()2
2
2
2
sin sin sin sin cos cos αβαβαββα-=+-=-
组二：常见三角不等式
(1)若(0,)2
x π
∈，则sin tan x x x <<； (2) 若(0,)2
x π∈
，则1sin cos x x <+
(3) |sin ||cos |1x x +≥； (4)x
x
x f sin )(=
在),0(π上是减函数； （2010江苏卷13）在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b a C a b +=，则t a n t a n t a n t
a n C C A B
+=_____4
（2012苏锡常镇二模8）已知钝角α满足53cos -=α，则)4
2tan(πα+的值为 .-3
（2012南京三模11）
已知sin()sin 032π
πααα+
+=-<<，则cos α= ▲
．
（2011江苏卷9）函数()si n(),(,,f x A x A ω?ω?=+是常数，0,0)A ω>>的部分图象如图所示，则
____)0(=f
(0)
f = B5.概率的计算公式：
?古典概型：()A P A =
包含的基本事件的个数
基本事件的总数
；
①等可能事件的概率计算公式：()
()()
m card A p A n card I =
=
； ②互斥事件的概率计算公式：P (A +B )＝P (A )+P (B )； ③对立事件的概率计算公式是：P (A )=1－P (A )；
?几何概型：若记事件A={任取一个样本点，它落在区域g ?Ω}，则A 的概率定义为
()g A P A Ω=
=
的测度构成事件的区域长度（面积或体积等）
的测度
试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）
注意：探求一个事件发生的概率，常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n 次实验中恰有k 次发生的概率，但要注意公式的使用条件. 事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件.
（2011江苏卷5）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是____1
3
（2008江苏卷6）在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ．
16
π
B6. 最值定理
①,0,x y x y >+≥由()xy P =定值，则当x y =时和x y +
有最小值
②,0,x y x y >+≥由()x y S +=定值，则当x y =是积xy 有最大值24
s .
【推广】：已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+.
（1）若积xy 是定值，则当||y x -最大时，||y x +最大；当||y x -最小时，||y x +最小. （2）若和||y x +是定值，则当||y x -最大时，||xy 最小；当||y x -最小时，||xy 最大.
③已知,,,R a x b y +
∈，若1ax by +=
，则有：
2
11
11()()by ax ax by a b a b x y x y x y
+=++=+++++=≥ ④,,,R a x b y +
∈，若
1a
b
x y
+
=则有：(
)2
(
)ay bx x y x y a b x
y
+=++
=++=
B7.求函数值域的常用方法：
①配方法：转化为二次函数问题，利用二次函数的特征来求解；
【点拨】：二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题．求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意开口方向和对称轴与所给区间的相对位置关系.
②逆求法：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围，型如
,(,)ax b y x m n cx d
+=
∈+的函数值域；
④换元法：化繁为间，构造中间函数，把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，通过代换构造容易求值域的简单函数，再求其值域；
⑤三角有界法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，如转化为只含正弦、余弦的函数，再运用其有界性来求值域；
⑥
不等式法：利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，型如)0(>+
=k x
k
x y ，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧；
⑦单调性法：根据函数的单调性求值域，常结合导数法综合求解； ⑧数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，可根据函数的几何意义，如斜率、距离、绝对值等，利用数与形相互配合的方法来求值域；
⑨分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，进而可利用函数单调性确定其值域．
⑩判别式法：对于形如2111
2
222
a x
b x
c y a x b x c ++=++（1a ,2a 不同时为0）的函数常采用此法． 【说明】：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：
1.2
b
y k x =+型，可直接用不等式性质； 2.2bx y x mx n =++型，先化简，再用均值不等式； 3.22x m x n y x mx n ''++=++型，通常用判别式法； 4.2x m x n y mx n
''++=+型，可用判别式法或均值不等式法；
?导数法：一般适用于高次多项式函数求值域. ……
B8.函数值域的题型
(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段.
常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对勾函数. (二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域.
解题步骤：(1)换元变形；
(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围； (3)画图像，定区间，截段．
(三) 分式函数求值域 ：四种题型
(1)cx d
y ax b
+=+ (0)a ≠ ：则c y a ≠且y R ∈.
(2)(2)cx d
y x ax b
+=
≥+：利用反表示法求值域．先反表示，再利用x 的范围解不等式求y 的范围. (3)2223261x x y x x +-=--： (21)(2)21()
(21)(31)312
x x x y x x x x -++==≠-++ ，则1y 13y ≠≠且且y R ∈. (4)求2211
x y x x -=++的值域，当x R ∈时，用判别式法求值域．
2
21
1
x y x x -=
++?2(2)10yx y x y +-++=，2(2)4(1)0y y y ?=--+≥?值域. (四) 不可变形的杂函数求值域： 利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段．
(五)判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义．详情见单调性部分知识讲解． (2010江苏卷14）、将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记
2(S =
梯形的周长）梯形的面积
,则S 的最小值是 ▲
． （2011江苏卷12）．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点，该图
象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_____________ max 11()2t e e
=+
B9.应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：
?凑系数（乘、除变量系数）.当 04x <<时，求函的数(82)y x x =-最大值.
?凑项（加、减常数项）：已知54x <
，求函数1()4245
f x x x =-+-的最大值. ?调整分子：求函数2710
()(1)1
x x f x x x ++=≠-+的值域；
?
变用公式：基本不等式2a b +
222a b ab +≥, 2()2a b ab +≥
2
a b +，222()
22
a b a b ++≥.前两个变形很直接，后两个变形则不易想到，应重视；
求函数15()22y x =<<的最大值；
?连用公式：已知0a b >>，求216
()
y a b a b =+
-的最小值；
?对数变换：已知1,12
x y >>，且xy e =，求ln (2)y t x =的最大值； ?三角变换：已知2
0y x π<<≤，且tan 3tan x y =，求t x y =-的最大值；
?常数代换（逆用条件）：已知0,0a b >>，且21a b +=，求11t a
b
=+的最小值.
（2011江苏卷8）．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x
x f 2
)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________.4
B10.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：
?平方和为定值：若22x y a +=（a 为定值，0a ≠）
，可设,,x y αα==，其中02απ<≤.
①(,))4f x y x y πααα=+==+在15
[0,],[,2)44πππ上是增函数，在15[,]44
ππ上
是减函数；
②1(,)sin 22
g x y xy a α==在1357[0,],[,],[,2)4444πππππ上是增函数，在1357
[,],[,]4444ππππ上是减函数；
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③11(,)x y m x y x y xy +=
+==.
令
sin cos )
4
t πααα=+=+，其
中[
2,1)(1,1)(1,2]t ∈- .由212sin cos t αα=+，得22
s i n c
o s 1
t αα=-，从
而
2(,)1)
m x y t t
==-
在[1)(1,1)(1-- 上是减函数. ?和为定值：若x y b +=（b 为定值，0b ≠），则.y b x =-
①2(,)g x y xy x bx ==-+在(,]2b -∞上是增函数，在[,)2
b
+∞上是减函数；
②2
11(,)x y b
m x y x y xy x bx
+=+==-+.当0b >时，在(,0),(0,]2b -∞上是减函数，在[,),(,)2b b b +∞上是增函数；当b <0时，在(,),(,]2b b b -∞上是减函数，在[,0),(0,)2
b
+∞上是增函数.
③2222(,)22n x y x y x bx b =+=++在(,]2b -∞上是减函数，在[,)2b
+∞上是增函数；
?积为定值：若xy c =（c 为定值，0c ≠），则.c
y x
=
①(,)c
f x y x y x x
=+=+.当0c >时，
在[上是减函数，
在(,)-∞+∞上是增
函数；当0c <时，在(,0),(0,)-∞+∞上是增函数；
②111(,)()x y c
m x y x x y xy c x
+=+==+.当0c >时，
在[,0),]上是减函数，
在
(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时，在(,0),(0,)-∞+∞上是减函数；
③2222
22(,)()2c c n x y x y x x c x x
=+=+=+-
在(,-∞上是减函数，
在()+∞上是
增函数.
?倒数和为定值:若112x y d +=（d 为定值），111,,x d y 成等差数列且均不为零，可设公差为z ，其中1
z d ≠±，
则1111,,z z x d y d
=-=+得,.11d d
x y dz dz ==-+
①22
2()1d
f x x y d z =+=-.当0d >时，在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数，在11[0,),(,)d d
+∞上是增函数；当0d <时，在11(,),(,0]d d -∞上是增函数，在11
[0,),(,)d d
--+∞上减函数；
②222
(,).1d g x y xy d z ==-当0d >时，在11
(,),(,0]
d d -∞--上是减函数，在11[0,),(,)d d +∞上是增函数；当0d <时，在11
(,),(,0]d d
-∞上是减函数，在11[0,),(,)d d --+∞上是增函数；
③222
2
2
222
2(1)(,).(1)d d z n x y x y d z +=+=-.令22
1t d z =+，其中1t ≥且2t ≠，从而2
2
2
22(,)4(2)4d t d
n x y t t t
==-+-在[1,2)上是增函数，在(2,)+∞上是减函数. （2008江苏卷11）已知,,x y z R +
∈，230x y z -+=，则2
y xz
的最小值 ．3
C 、10～12，思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力
C1.平面向量
1、向量有关概念：向量、零向量、单位向量、共线向量（平行向量）、相等向量、相反向量；
①与a 共线的单位向量：a
a
±
②零向量与任意向量共线．命题：若//,//a b b c ，则//a c 是假命题．
2．向量的运算：
?几何运算：向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”
?向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR +++++= ，
?两个向量共线定理：向量b 与非零向量a
共线?有且只有一个实数λ，使得b =a λ
?平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a
，有且
只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=其中不共线的向量21,e e
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
?坐标运算：
①若()()1122,,,a x y b x y == ，则()1212,a b x x y y ±=±± ；
②若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--
；
③若a =(x ,y )，则λa =(λx , λy )；
④若()()1122,,,a x y b x y == ，则1221//0(0)a b b a x y x y a λ?=?-=≠
3．向量的数量积
（1）两个非零向量的夹角：已知非零向量与，作＝，＝，则∠AOB ＝θ（0θπ≤≤）叫与
的夹角；
说明：①当θ=0时，a 与b 同向；②当θ＝π 时，a 与b 反向；
③当θ＝
2
π
时，a 与b 垂直，记a ⊥b ； ④注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0θπ≤≤ （2）数量积的概念
（2）已知两个非零向量a 与b ，夹角为θ，则a ·b =cos a b θ 叫做a 与b
的数量积（或内积）．规定00a ?= ； （3）向量数量积的性质
①向量的模与平方的关系：2
2
||a a a a ?==
．
②乘法公式成立
(
)(
)
2
222a b a b a b a b +?-=-=- ；
(
)
2
222a b
a a
b b ±=±?+
2
22a a b b =±?+ ；
③平面向量数量积的运算律
交换律成立：a b b a ?=?
；
对实数的结合律成立：()()()
()a b a b a b R λλλλ?=?=?∈
；
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分配律成立：()
a b c a c b c ±?=?±? ()
c a b =?±
．
④向量的夹角：cos θ =cos ,a b a b a b ?<>=? =22
2221212121y x y x y y x x +?++． ⑤两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ?a ·b
＝0 ?02121=+y y x x
（2011江苏卷10）．已知→
→21,e e 是夹角为π3
2的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若a ·b ＝0，
则k 的值为 . 5
4
（2009江苏卷2）已知向量a 和向量b 的夹角为30o
，||2,||a b = a 和向量b 的数量积a ·b =
▲ ．3
4．线段的定比分点公式
设111(,)
P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点，λ是实数，且12PP PP λ=
（或P 2P =λ
1P 1P
），则 12
1211x x x y y y λλλλ+?
=??+?+?=?+?
?1
21OP OP OP λλ+=+
?12
(1)OP tOP t OP =+- （11t λ=+） 推广1：当1=λ时，得线段21P P 的中点公式：121222
y y y x x x +?
=???
+?=?? 推广2：AM MB λ=
，则λ
λ++=
1PB PA PM （λ对应终点向量）． 三角形重心坐标公式：△ABC 的顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，重心坐标()y x G ,：12312333x x x x y y y y ++?
=???
++?=?? 注意：在△ABC 中，若O 为重心，则=++，这是充要条件．
＝12OA OB λλ+
则121λλ+=是三点、、P A B 共线的充要条件.
1．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=?→
?OC ?→
??→
?+OB OA 21λλ,其中
R ∈21,λλ且121λλ+=,则点C 的轨迹是 ▲ ．250x y +-=
2．已知O 是△ABC 的外心，AB=2，AC=3，x +2y =1,若,AC y AB x AO +=，则=∠BAC cos ▲ ．3
4
（2012苏锡常镇二模14）已知点P 在ABC ?所在平面内，若AB PC PB PA 3432=++，则P
A B ?与PBC ?的面积的比值为 . 4
5
（2012南京二模13）在面积为2的ABC ?中，E,F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2
+?的最小值是 ▲
． C 2. 抽象函数
抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、
奇偶性、解析递推式等）的函数问题.
求解抽象函数问题的常用方法是： (1)借助模型函数探究抽象函数： ①正比例函数型：()f x cx =?()()(),(1)f x y f x f y f c ±=±=.
②指数函数型：()x
f x a
=?()()()
()()(),(1,)0f x f x y f y f x y f x f y f a -=
+==≠.
③对数函数型：()log a f x x
=?()()(),()()(),
()1(0,1)x
f f x f y y
f xy f x f y f a a a =-=+=>≠. ④幂函数型：()f x x α
=?()()(),(1)f xy f x f y f α'==,()()()x
f x f y
f y =
.
⑤三角函数型：()cos f x x =,()sin g x x =,()()()()()f x y f x f y g x g y -=+,0sin (0)1,lim
1x x
f x
→==.
()f x tanx =,()()()1()()
f x f y f x y f x f y ++=
-.
（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：
（3）利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f 、令y x =或y x =-等）、递推法、
反证法等）进行逻辑探究．
C 3.函数图像的对称性
(1)一个函数图像自身的对称性
性质1：对于函数()y f x =，若存在常数,,a b 使得函数定义域内的任意x ，都有()()f a x f b x +=-，则函
数()y f x =的图像关于直线2
a b
x +=
对称.
【特例】，当a b =时，()()()f a x f a x f x +=-?的图像关于直线x a =对称.
性质2：对于函数()y f x =，若存在常数,,a b 使得函数定义域内的任意x ，都有-()()f a x f b x +=-()
f x ?的图像关于点(
,0)2
a b +对称.
【特例】：当a b =时，()()()f a x f a x f x +=--?的图像关于点(,0)a 对称.
事实上，上述结论是广义奇(偶)函数的性质.
性质3：设函数()y f x =，如果对于定义域内任意的x ，都有()()f a mx f b mx +=-(,,,0)a b m R m ∈≠且，
则()y f x =的图像关于直线2
a b x +=
对称.(这实际上是偶函数的一般情形)广义偶函数.
性质4：设函数()y f x =，如果对于定义域内任意的x ，都有()()f a mx f b mx +=--(,,,0)a b m R m ∈≠且，
则()y f x =的图像关于点(
2
a b +,0)对称.(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数.
O
B
A
P
高中数学解题八个思维模式和十个思维策略
高中数学解题八种思维模式 和十种思维策略 引言 “数学是思维的体操” “数学教学是数学(思维)活动的教学。” 学习数学应该看成是学习数学思维过程以及数学思维结果这二者的综合，因而可以说数学思维是动的数学，而数学知识本身是静的数学，这二者是辩证的统一。作为思维载体的数学语言简练准确和数学形式具有符号化、抽象化、结构化倾向。 高中数学思维中的重要向题 它可以包括: 高中数学思维的基本形式 高中数学思维的一般方法 高中数学中的重要思维模式 高中数学解题常用的数学思维策略 高中数学非逻辑思维(包括形象思维、直觉思维)问题研究; 高中数学思维的指向性(如定向思维、逆向思维、集中思维和发散思维等)研究; 高中数学思维能力评估：广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、批判性、创造性 高中数学思维的基本形式 从思维科学的角度分析，作为理性认识的人的个体思维题可以分成三种：逻辑思维、形象思维、直觉思维 一数学逻辑思维的基本形式1、概念是逻辑思维的最基本的思维形式，数学概念间的逻辑关系，a同一关系b从属关系c交叉关系以及d对立关系e矛盾关系12、判断是逻辑思维在概念基础上的发展，它表现为对概念的性质或关系有所肯定或否定，是认识概念间联系的思维形式。3、推理是从一个或几个已知判断推出另一个新判断的思维形式，是对判断间的逻辑关系的认识。 二数学形象思维的基本形式1图形表象是与外部几何图形的形状相一致的脑中示意图，2图式表象是与外部数学式子的结初关系相一致的模式形象。3形象识别直感是用数学表象这个类象（普遍形象）的特征去比较数学对象的个象，根据形象特征整合的相似性来判别个象是否与类象同质的思维形式。4模式补形直感是利用主体已在头脑中建构的数学表象模式1，对具有部分特征相同的数学对象进行表象补形，实施整合的思维形式。5形象相似直感是以形象识别直感和模式补形直感为基础基础的复合直感。6 象质转换直感是利用数学表象的变化或差异来判别数学在对象的质变或质异的形象特征判断。7图形
高中数学解题思想之分类讨论思想
分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A?B，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 0 免费下载站 2020-06-04原文 一、历年高考数学试卷的启发 1.试卷上有参考公式，80%是有用的，它为你的解题指引了方向； 2.解答题的各小问之间有一种阶梯关系，通常后面的问要使用前问的结论。如果前问是证明，即使不会证明结论，该结论在后问中也可以使用。当然，我们也要考虑结论的独立性； 3.注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键。 二、解题策略选择 1.先易后难是所有科目应该遵循的原则，而表现在数学试卷上显得更为重要。一般来说，选择题的后两题，填空题的后一题，解答题的后两题是难题。当然，对于不同的学生来说，有的简单题目也可能是自己的难题，所以题目的难易只能由自己确定。一般来说，小题思考1分钟还没有建立解答方案，则应采取“暂时性放弃”，把自己可做的题目做完再回头解答； 2.选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择支也是已知条件，利用选择支之间的关系可能使你的答案更准确。切记不要“小题大做”。注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或是判断。虽然不能完全解答，但是也要把自己的想法与做法写到答题卷上。多写不会扣分，写了就可能得分。 （1）直接法 直接法在选择题中的具体应用就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解． 由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以常用到直接法进行求解.直接法是解决选择、填空题最基本的方法，适用范围广，只要运算正确必能得到正确答案，解题时要多角度思考问题，善于简化运算过程，快速准确得到结果. 直接法具体操作起来就是要熟悉试题所要考查的知识点，从而能快速找到相应的定理、性质、公式等进行求解，比如，数列试题，很明显能看到是等差数列还是等比数列或是两者的综合，如果是等差数列或等比数列，那就快速将等差数列或等比数列的定义（或）、性质（若，则或）、通项公式（或）、前n项和公式（等差数列、，等比数列）等搬出来看是否适用；如果不能直接看出，只能看出是数列试题，那就说明，需要对条件进行化简或转化了，也可快速进入状态. （2）排除法 排除法是一种间接解法，也就是我们常说的筛选法、代入验证法，其实质就是舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．也即通过观察、分析或推理运算各项提供的信息，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论．具体操作起来，我们可以灵活应用，合理选取相应选项进行快速排除，比如，可以把一些简单的数代入，符合条件的话就排除不含这个数的范围选项，不符合条件的话就排除含这个数的范围选项，即：如果有两个选项A（）、B（），你就可以选取1这个数看是否符合题意，如果1符合题意，你就排除B，如果1不符合题意，你就排除A，这样就能快速找到正确选项，当然，选取数据时要考虑选项的特征，而不能选取所有选项都含有或都不含有的数；也可以根据各个选项对熟悉的知识点进行论证再排除，比如，四个选项当中有四个知识点，你就可以把熟悉掌握的知识点进行论证，看是否符合题意即可快速而且正确找到选项，而不会因为某个知识点不会或模棱两可得到错误选项. 而历年高考的选择题都采用的是“四选一”型，即选择项中只有一个是正确的，所以排除法是快速解决部分高考选择试题从而节省时间的有效方法.那对于填空题呢，其实也是可以的，比如有些填空题如果你已经求出了结果，但并不确定这个结果中的某个端点值是否要取，你就可以代入验证进行排除.所以，我们要熟练掌握这种能帮助你快速找到正确结论的方法，从而提高解题效率，为后面的试题解答留有更充足的时间！ （3）特例法 第一章 高中数学解题基本方法 一、 配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy 项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b) ＝a ＋2ab ＋b ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2 ＋ b 2＝(a ＋b)2 －2ab ＝(a －b)2 ＋2ab ； a 2 ＋a b ＋b 2 ＝(a ＋b)2 －ab ＝(a －b)2 ＋3ab ； a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＋ab ＋bc ＋ca ＝ 2 1[(a ＋b)2 ＋(b ＋c) 2＋(c ＋a) 2] a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c) 2－2(ab ＋bc ＋ca)＝(a ＋b －c)2 －2(ab －bc －ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sin αcos α＝（sin α＋cos α） ； x ＋ ＝(x ＋ ) －2＝(x － ) ＋2 ；…… 等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a }中，a ?a +2a ?a +a ?a =25，则 a ＋a ＝_______。 2. 方程x ＋y －4kx －2y ＋5k ＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 高考数学思想方法 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题.而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法.高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法.我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光. 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和 演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想 等. 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次.数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记.而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用. 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段.数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得. 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”. 为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想.最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷. 在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现.再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范.巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用.每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识. 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 高中数学解题思维策略文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] 第四讲 数学思维的开拓性 一、概述 数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。 “数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。 在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法。 数学思维的开拓性主要体现在： (1)一题的多种解法 例如 已知复数z 满足1||=z ，求||i z -的最大值。 我们可以考虑用下面几种方法来解决： ①运用复数的代数形式； ②运用复数的三角形式； ③运用复数的几何意义； ④运用复数模的性质（三角不等式）||||||||||||212121z z z z z z +≤-≤-； ⑤运用复数的模与共轭复数的关系z z z ?=2||； ⑥（数形结合）运用复数方程表示的几何图形，转化为两圆1||=z 与r i z =-||有公共点时，r 的最大值。 (2)一题的多种解释 例如，函数式22 1ax y =可以有以下几种解释： ①可以看成自由落体公式.2 12gt s = ②可以看成动能公式.2 12mv E = ③可以看成热量公式.2 12RI Q = 又如“1”这个数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简捷。“1”可以变换为：x tg x a b x x x x a b a a 2222sec ),(log )(log ,cos sin ,,log -?+，等等。 1． 思维训练实例 例1 已知.1,12222=+=+y x b a 求证：.1≤+by ax 分析1 用比较法。本题只要证.0)(1≥+-by ax 为了同时利用两个已知条件，只需要观察到两式相加等于2便不难解决。 思想方法一、函数与方程思想 姓名： 方法1 构造函数关系，利用函数性质解题 班别： 根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论，从而使问题得到解决，称为构造函数解题。通过构造函数，利用函数的单调性解题，在解方程和证明不等式中最为广泛，解题思路简洁明快。 例1 （10安徽）设232555322(),(),(),555 a b c ===则,,a b c 的大小关系是（ ） ....A a c b B a b c C c a b D b c a >>>>>>>> 例2 已知函数21()(1)ln , 1.2 f x x ax a x a =-+-> （1） 讨论函数()f x 的单调性； （2） 证明：若5,a <则对任意12121212 ()(),(0,),, 1.f x f x x x x x x x -∈+∞≠>--有 方法2 选择主从变量，揭示函数关系 含有多个变量的数学问题中，对变量的理解要选择更加合适的角度，先选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，再利用函数性质解题。 例3 对于满足04p ≤≤的实数p ，使2 43x px x p +>+-恒成立的x 的取值范围是 . 方法3 变函数为方程，求解函数性质 实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式，我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题一般是通过方程来实现的……函数与方程是密切相关的。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 例4 函数()2)f x x π=≤≤的值域是（ ） 11111122.,.,.,.,44332233A B C D ????????----?????????? ?????? 高中数学解题基本方法——换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通 过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉 的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x ＝sin2α，α∈[0,π 2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中 主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。 均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S 2 ＋t，y＝ S 2 －t等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例 中的t>0和α∈[0,π 2 ]。 Ⅰ、再现性题组： 1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。 2.设f(x2＋1)＝log a (4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{a n }中，a 1 ＝－1，a n+1 ·a n ＝a n+1 －a n ，则数列通项a n ＝___________。 4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。 5.方程13 13 + + -x x ＝3的解是_______________。 6.不等式log 2(2x－1) ·log 2 (2x+1－2)〈2的解集是_______________。 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去 法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、 归纳和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化 归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（ 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) 2 ＝a 2 ＋2ab＋b 2 ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2 ＋b 2 ＝(a＋b) 2 －2ab＝(a－b) 2 ＋2ab； a 2 ＋ab＋b 2 ＝(a＋b) 2 －ab＝(a－b) 2 ＋3ab＝(a＋ b 2) 2 ＋（ 3 2b） 2 ； a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋ab＋bc＋ca＝ 1 2[(a＋b) 2 ＋(b＋c) 2 ＋(c＋a) 2 ] a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＝(a＋b＋c) 2 －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) 2 －2(ab－bc－ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） 2 ； x 2 ＋ 1 2 x＝(x＋ 1 x) 2 －2＝(x－ 1 x) 2 ＋2 ；……等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a n}中，a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25，则 a3＋a5＝_______。 2. 方程x 2 ＋y 2 －4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 4 第2 西瓜开门 滚到成功 ●计名释义 比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”. 数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号. ●典例示范 ［题1］ (2006年赣卷第5题) 对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f '(x )≥0，则必有 A. f (0)＋f (2)< 2f (1) B. f (0)＋f (2)≤2 f (1) C. f (0)＋f (2)≥ 2f (1) D. f (0)＋f (2)>2f (1) ［分析］ 用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想. 这点在已条件(x -1)f ＇(x )≥0中暗示得极为显目. 其一，对f ＇(x )有大于、等于和小于0三种情况； 其二，对x -1，也有大于、等于、小于0三种情况. 因此，本题破门，首先想到的是划分讨论. ［解一］ (i)若f ＇(x ) ≡ 0时，则f (x )为常数：此时选项B 、C 符合条件. (ii)若f ＇(x )不恒为0时. 则f ＇(x )≥0时有x ≥1，f (x )在[)∞,1上为增函数；f ＇(x )≤0时x ≤1. 即f (x )在(]1,-∞上为减函数. 此时，选项C 、D 符合条件. 综合(i)，(ii)，本题的正确答案为C. ［插语］ 考场上多见的错误是选D. 忽略了f ＇(x ) ≡ 0的可能. 以为(x-1)f ＇(x ) ≥0中等号成立的条件只是x -1=0，其实x-1=0与f ＇(x )=0的意义是不同的：前者只涉x 的一个值，即x =1，而后是对x 的所有可取值，有f ＇(x ) ≡ 0. ［再析］ 本题f (x )是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具体的函数值f (0)，f (1)，f (2). 因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想. ［解二］ (i)若f ＇(x )=0，可设f (x )=１. 选项Ｂ、Ｃ符合条件. (ii)f ＇(x )≠0. 可设f (x ) =(x-1)2 又 f ＇(x )=2(x-1). 满足 (x-1) f ＇(x ) =2 (x-1)2≥0，而对 f (x )= (x-1)2. 有f (0)= f (2)=1，f (1)=0 选项C ，D 符合条件. 综合(i)，(ii)答案为C. ［插语］ 在这类 f (x )的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x -1)2. 如果在同类中找到了(x -1)4 ，(x-1)3 4 ，自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化. ［再析］ 本题以函数(及导数)为载体. 数学思想①——“函数方程(不等式)思想”. 贯穿始终，如由f '(x )= 0找最值点x =0，由f '(x )>0(<0)找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题. 由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到. ［解三］ (i)若f (0)= f (1)= f (2)，即选B ，C ，则常数f (x ) = 1符合 条件. (右图水平直线) (ii)若f (0)= f (2)< f (1)对应选项A.(右图上拱曲线)，但不满足条件(x -1) 高中数学19种答题方法及6种解题思想一．十九种数学解题方法 1.函数 函数题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。 2.方程或不等式 如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法； 3.初等函数 面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。如所过的定点，二次函数的对称轴或是……； 4.选择与填空中的不等式 选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法； 5.参数的取值范围 求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法； 6.恒成立问题 恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏； 7.圆锥曲线问题 圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式； 8.曲线方程 求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）； 9.离心率 求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可； 10.三角函数 三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围； 11.数列问题 数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想； 12.立体几何问题 立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题； 13.导数 导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上； 1 第35关：高考数学选择题—解题策略 数学选择题在当今高考试卷中，不但题目多，而且占分比例高，选择题题量为12题每题5分共60分，分值占到试卷总分的40％。数学选择题具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活，且有一定的综合性和深度等特点，考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，成为高考成功的关键。 解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件，选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完，要避免“超时失分”现象的发生。 高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略 （一）数学选择题的解题方法 1、直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。 例1、某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为 （ ） 解析：某人每次射中的概率为0.6，3次射击至少射中两次属独立重复实验。 + 12554=12581 故选A 例2、有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直。其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选D 。 例3、已知F 1、F 2是椭圆+=1的两焦点，经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB|=5，则|AF 1|+|BF 1|等于（ ） A ．11 B ．10 C ．9 D ．16 解析：由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=2a =8,|BF 1|+|BF 2|=2a =8，两式相加后将|AB|=5=|AF 2|+|BF 2|代入，得|AF 1|+|BF 1|＝11，故选A 。 例4、已知在[0，1]上是的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（0，2） D ．[2，+∞） 解析：∵a>0,∴y 1=2-ax 是减函数，∵ 在[0，1]上是减函数 ∴a>1，且2-a>0，∴1 专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制． 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求． [数学][高中数学解题思维与 思想] 《高中数学解题思维与思想》 导读 数学家G. 波利亚在《怎样解题》中说过：数学教 学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质 的途径，是进行有效的训练，本策略结合数学教学的实 际情况,从以下四个方面进行讲解:...文档交流仅供参考... 一、数学思维的变通性 根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案 二、数学思维的反思性 提出独特见解，检查思维过程,不盲从、不轻信。 三、数学思维的严密性 考察问题严格、准确,运算和推理精确无误。 四、数学思维的开拓性 对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度 观察、对一个题目运用多种不同的解法。 什么”转变，从而培养他们的思维能力。 《思维与思想》的即时性、针对性、实用性,已在 教学实践中得到了全面验证。 一、高中数学解题思维策略 第一讲 数学思维的变通性 一、概念 数学问题千变万化,要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识,提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：...文档交流 仅供参考... (1)善于观察 心理学告诉我们:感觉和知觉是认识事物的最初级形式,而观察则是知觉的高级状态,是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径,它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。...文档交流 仅供参考... 任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它,就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考,透过表面现象看其本质,这样才能确定解题思路，找到解题方法。...文档交流 仅供参考... 例如，求和) 1(1431321211+++?+?+?n n . 目录 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳 和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思 想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。q D.当a>1时，p>q；当0
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