专题多面体的外接球问题讲课教案
专题多面体的外接
球问题
专题多面体的外接球问题
一、考点分析：
有关多面体外接球问题，是立体几何中的一个重点，也是近几年高考考题的一个热点，研究多面体外接球的知识，既要运用多面体的知识又要运用球的相关知识；特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中会起着至关重要的作用。
二、教学目标
1、了解多面体与其外接球的关系
2、掌握几种常见的多面体的外接球的计算方法。
三、教学重点、难点
不同类型的多面体与其外接球半径的求法
四、教学过程
（一）球的性质
性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面
去截球面，截线是圆。
大圆--截面过球心，半径等于球半径；
小圆--截面不过球心
性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于截面．
性质3: 球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径 r 下面的关系:r R2 d2
二）球体的体积与表面积：
42
1、 V球R 2 、S球面 4 R
3
（三）球与多面体的接、切
1.外接球球心到各顶点的距离相等（R）
2. 内切球球心到各面的距离相等（r ）
五、经典模型：
（一）汉堡模型（直棱柱和圆柱外接球问题）
例1、已知正四棱柱的各个顶点都在同一个球面上，且高为
例2：直三棱柱ABC A
1B
1C1的各个顶点都在同一个球
面上，
BAC1=20o，则此球的表面积等于（）
（二）对棱相等模型
4，体积为16.其外接球的表面积是
题型：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相
等（求外接球问题
第一步：画出一个长方体（补
形），为异面直线的对棱；
标出三组互
第二步
2
a
b2
2 a
b2
2
c
2 c
设长方体的长宽高分别
为
2 x
2
y
2 z
a,b,c.AD=BC=x,AB=CD=y,AC=BD=z,
2
2R2
a2b2c2
2 2 2
x2y2z2R
2
22
xy
8
例3：三棱锥A-BCD中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=，4则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（三）墙角模型（三条两两垂直的棱）
若
AB=AC=A A=2，
C1
AB=CD,AD=BC,AC=B)D
，
C
B
解题方法：找三条两两垂直的线段，直接利长方体对角线公式即可：
例题 4：（ 1）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3 ，其外接球的表面
积是
2 2 2 2 2R 2 a 2 b 2 c 2
2）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为
则该几何体外接球的体积
（四） 垂面模型
题型一、侧棱垂直于底面的棱锥（ PA 平面 ABC ）
步骤：
第一步： 将 ABC 画在小圆面上，以 A 为小 圆直径的
一个端点，作小圆的直径 AD ，连接 PD ，则 PD 必过球心
O
第二O 1为 ABC 的外心，所以 OO 1 平面 ABC ，计算出小圆 O 1的半径 O 1D r
（r 利用正弦定理计算可得 ）
第三步： 利用勾股定 理即可： R 2 r 2 OO 12
例 5：三棱锥 S ABC 中，侧棱 SA 平面 ABC,底面ABC 是边长为 3的正三角形， SA=2 3， 则该三棱锥的外接球体积等于（ ）
题型二：三棱锥 P ABC 的三条侧棱相等，且各个顶点都球面上
第一 步： 确定球心 O 的位置，取 ABC 的外心 O 1，则 P, O,O 1三点共线；
R
C
第二步：先计算出小圆O1的半径，AO1 r, 再算出棱锥的高PO1; 第三步：勾股
定理：OA2 O1A2 O1O2 R2 h R 2 r 2,解出R 方法二：2R a a为棱长，为侧棱
与底面所成角
sin
例6：正三棱锥S ABC中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于（）
（五）折叠模型
题型: 两个全等三角形或等腰三角形拼在一起或菱形折叠
第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，
找出BCD和A ' BD的外心H1和H2
第二步：过H1和H2分别作平面BCD和平面A'BD的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OE,OC;
第三步：解OEH1，算出OH1，在RT OCH 1中，勾股定理即可：OH12+CH12=R2
例7：棱形ABCD的边长为2，且BAD 60o,将棱形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面A' BD 平面BCD,则三棱锥A'-BCD的外接球的半径为（）
变式：“平面A'BD 平面BCD”改为“平面A'BD与平面BCD所成角为
120 A'-BCD 的外接球的半径为（）
六、课堂小结
1、汉堡型（直棱柱或圆柱）如何找外接球的半径呢？
（1）先找外接球的球心：它的球心是连接上下两个多边形的外心的线段的中点；
（2）再构造直角三角形，勾股定理求解
2、三组对棱分别型的三棱锥如何找外接球的半径呢？方法：直接补成长方体，求其体对角线；
3、三条棱两两垂直的三棱锥如何找外接球的半径呢？