加权最小二乘法(WLS)
加权最小二乘法(WLS)
如果模型被检验证明存在异方差性，则需要发展新的方法估计模型，最常用的方法是加权最小二乘法。
加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。下面先看一个例子。
原模型：
Λ
+++=i i i x x y 22110βββ，
i ki k u x ++β
n i ,,2,1Λ=
如果在检验过程中已经知道：
2
222
)()()(u i i i i x f u E u D σσ=== , n i ,,2,1
Λ= 即随机误差项的方差与解释变量2x 之间存在相关性，模型存在异方差。那么可以用)
(2x f 去除原模型，使之变成如下形式的新模型：
Λ+++=i i i i i i i x x f x x f x f y x f 222
121
20
2)
(1)
(1)
(1)
(1βββ
i i ki i k u x f x x f )
(1)
(122+
+β
n i ,,2,1Λ=
在该模型中，存在
2
22222)()(1))
(1())(1(
u i i i i i i u E x f u x f E u x f D σ=== (4.2.1)
即同方差性。于是可以用普通最小二乘法估计其参数，得到关于参数βββ01,,,Λk 的无偏的、有效的估计量。这就是加权最小二乘法，在这里权就是)
(1
2i x f 。
一般情况下，对于模型
Y X =+B N (4.2.2)
若存在：
W
2)(),(0
)(u
E Cov E σ=N 'N =N N =N ?
W =???
?
????
?
???w w w n 12
O
(4.2.3) 则原模型存在异方差性。设
T
DD
W =
??????????
???
?=n w w w D O
2
1, ??????
?
??
??
??
?=----11
2
1
11n w w w D O
用D 1-左乘(4.2.2)两边，得到一个新的模型：
D Y D X D ---=+111B N (4.2.4) 即
Y X ***
=+B N
该模型具有同方差性。因为
)()(),(11****T
T
E E N N Cov --N 'N =N N =D D
I
D D D D WD D D D 21
2
11211
1)(u T u T
u T E σσσ='=='
NN =------
于是，可以用普通最小二乘法估计模型(4.2.4)，得到参数估计量为：
**1**)(?Y X X X T T WLS -=B
Y
W X X W X Y
D D X X D D X 1
1111111)()(--------==T T T
T T T (4.2.5)
这就是原模型(2.6.2)的加权最小二乘估计量，是无偏的、有效的估计量。
如何得到权矩阵W ？仍然是对原模型首先采用普通最小二乘法，得到随机误差项的近似估计量，以此构成权矩阵的估计量，即
?????
?
???????
?=22
2
21?n e e e O
W
(4.2.6) 当我们应用计量经济学软件包时，只要选择加权最小二乘法，将上述权矩阵输入，估
计过程即告完成。这样，就引出了人们通常采用的经验方法，即并不对原模型进行异方差性检验，而是直接选择加权最小二乘法，尤其是采用截面数据作样本时。如果确实存在异方差性，则被有效地消除了；如果不存在异方差性，则加权最小二乘法等价于普通最小二乘法。
在利用Eviews 计量经济学软件时，加权最小二乘法具体步骤是：
⑴ 选择普通最小二乘法估计原模型，得到随机误差项的近似估计量i e ；
⑵ 建立i e 1的数据序列；
⑶ 选择加权最小二乘法，以i e 1序列作为权，进行估计得到参数估计量。实际上是以
i e 1乘原模型的两边，得到一个新模型，采用普通最小二乘法估计新模型。
(步骤见PPT 文件)
最小二乘法及其应用..
最小二乘法及其应用 1． 引言 最小二乘法在19世纪初发明后,很快得到欧洲一些国家的天文学家和测地学家的广泛关注。据不完全统计,自1805年至1864年的60年间,有关最小二乘法的研究论文达256篇,一些百科全书包括1837年出版的大不列颠百科全书第7版,亦收入有关方法的介绍。同时,误差的分布是“正态”的,也立刻得到天文学家的关注及大量经验的支持。如贝塞尔( F. W. Bessel, 1784—1846)对几百颗星球作了三组观测,并比较了按照正态规律在给定范围内的理论误差值和实际值,对比表明它们非常接近一致。拉普拉斯在1810年也给出了正态规律的一个新的理论推导并写入其《分析概论》中。正态分布作为一种统计模型,在19世纪极为流行,一些学者甚至把19世纪的数理统计学称为正态分布的统治时代。在其影响下,最小二乘法也脱出测量数据意义之外而发展成为一个包罗极大,应用及其广泛的统计模型。到20世纪正态小样本理论充分发展后,高斯研究成果的影响更加显著。最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。正如美国统计学家斯蒂格勒( S. M. Stigler)所说,“最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”。最小二乘法是参数回归的最基本得方法所以研究最小二乘法原理及其应用对于统计的学习有很重要的意义。 2. 最小二乘法 所谓最小二乘法就是：选择参数10,b b ,使得全部观测的残差平方和最小. 用数学公式表示为： 21022)()(m in i i i i i x b b Y Y Y e --=-=∑∑∑∧ 为了说明这个方法，先解释一下最小二乘原理，以一元线性回归方程为例. i i i x B B Y μ++=10 （一元线性回归方程）
加权最小二乘法(WLS)
加权最小二乘法(WLS) 如果模型被检验证明存在异方差性，则需要发展新的方法估计模型，最常用的方法是加权最小二乘法。 加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。下面先看一个例子。 原模型：， 如果在检验过程中已经知道： , 即随机误差项的方差与解释变量之间存在相关性，模型存在异方差。那么可以用去除原模型，使之变成如下形式的新模型： 在该模型中，存在 (4.2.1) 即同方差性。于是可以用普通最小二乘法估计其参数，得到关于参数的无偏的、有效的估计量。这就是加权最小二乘法，在这里权就是。 一般情况下，对于模型 (4.2.2)若存在： (4.2.3) 则原模型存在异方差性。设 , 用左乘(4.2.2)两边，得到一个新的模型： (4.2.4) 即 该模型具有同方差性。因为 于是，可以用普通最小二乘法估计模型(4.2.4)，得到参数估计量为： (4.2.5) 这就是原模型(2.6.2)的加权最小二乘估计量，是无偏的、有效的估计
量。 如何得到权矩阵W？仍然是对原模型首先采用普通最小二乘法，得到随机误差项的近似估计量，以此构成权矩阵的估计量，即 (4.2.6) 当我们应用计量经济学软件包时，只要选择加权最小二乘法，将上述权矩阵输入，估计过程即告完成。这样，就引出了人们通常采用的经验方法，即并不对原模型进行异方差性检验，而是直接选择加权最小二乘法，尤其是采用截面数据作样本时。如果确实存在异方差性，则被有效地消除了；如果不存在异方差性，则加权最小二乘法等价于普通最小二乘法。 在利用Eviews计量经济学软件时，加权最小二乘法具体步骤是： 1 选择普通最小二乘法估计原模型，得到随机误差项的近似估计 量； ⑵ 建立的数据序列； ⑶ 选择加权最小二乘法，以 序列作为权，进行估计得到参数估计量。实际上是以乘原模型的两边，得到一个新模型，采用普通最小二乘法估计新模型。 (步骤见PPT文件)
最小二乘法原理
最小二乘法原理 1. 概念 最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的m 个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。 2. 原理 给定数据点pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m 。求近似曲线y= φ(x)。并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi 处的偏差δi= φ(xi)-yi ，i=1,2,...,m 。 常见的曲线拟合方法： 1. 是偏差绝对值最小 11min (x )y m m i i i i i φδφ===-∑∑ 2. 是最大的偏差绝对值最小 min max (x )y i i i i φδ?=- 3. 是偏差平方和最小 2211min ((x )y )m m i i i i i φδ?===-∑∑ 按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。 推导过程： 1. 设拟合多项式为： 01...k k y a a x a x =+++ 2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下： 2 2 011(...)m k i i k i i R y a a x a x =??=-+++??∑ 3. 为了求得符合条件的a 值，对等式右边求ak 偏导数，因而我们得到了： 011 2(...)0m k i k i i y a a x a x =??--+++=??∑ 011 2(...)0m k i k i i y a a x a x x =??--+++=??∑
…….. 0112( 0 k k i k i i y a a x a x x =??--+++=??∑ 4. 将等式简化一下，得到下面的式子 01111...n n n k i k i i i i i a n a x a x y ===+++=∑∑∑ 2 1011111...n n n n k i i k i i i i i i i a x a x a x y x +====+++=∑∑∑∑ …… 12011111...n n n n k k k k i i k i i i i i i i a x a x a x y x +====+++=∑∑∑∑ 5. 把这些等式表示成矩阵形式，就可以得到下面的矩阵： 11102111111121111.........n n n k i i i i i i n n n n k i i i i i i i i i n n n n k k k k k i i i i i i i i i n x x y a a x x x x y a x x x x y ===+====+====??????????????????????=?????????????????????? ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 6. 将这个范德蒙矩阵化简后得到： 0111122 21...1...1...k k k k n n n a y x x a y x x a y x x ??????????????????=????????????????????
浅谈加权最小二乘法及其残差图
浅谈加权最小二乘法及其残差图 关键词：异方差；加权最小二乘法；残差图；SPSS 一、引言 好几年没有翻《统计研究》了。最近，有一同行朋友打电话告诉我《统计研究》2005年第11期上刊登了一篇有关我与刘文卿合作编著的《应用回归分析》（2001.6.中国人民大学出版社）教材的文章。赶紧找到这期的《统计研究》，看到其中孙小素副教授的文章《加权最小二乘法残差图问题探讨——与何晓群教授商榷》一文，以下简称《孙文》。认真拜读后感触良多。首先衷心感谢孙小素副教授阅读了我们《应用回归分析》拙作的部分章节，同时感谢《统计研究》给我们提供这样一个好的机会，使我们能够借助贵刊对加权最小二乘法的有关问题谈谈更多的认识。 《孙文》谈到《应用回归分析》教材中有关加权最小二乘法残差图的问题。摆出了与加权最小二乘法相关的三类残差图，指出第三类残差图的局限性。直接的问题是三类残差图的作用，而更深层的原因应该是对加权最小二乘法统计思想的理解和认识上的差异。 二、对加权最小二乘法的认识 1. 加权最小二乘估计方法 拙作《应用回归分析》中对加权最小二乘法有详尽的讲述，这里仅做简要介绍。多元线性回归方程普通最小二乘法的离差平方和为： ∑=----=n i ip p i i p x x y Q 1211010)(),,,(ββββββ （1） 普通最小二乘估计就是寻找参数p βββ,,,10 的估计值p βββ?,,?,?10 使式（1）的离差平方和Q 达极小。式（1）中每个平方项的权数相同，是普通最小二乘回归参数估计方法。在误差项i ε等方差不相关的条件下，普通最小二乘估计是回归参数的最小方差线性无偏估计。 然而在异方差的条件下，平方和中的每一项的地位是不相同的，误差项i ε的方差2i σ大的项，在式（1）平方和中的取值就偏大，在平方和中的作用就大，因而普通最小二乘估计的回归线就被拉向方差大的项，方差大的项的拟合程度就好，而方差小的项的拟合程度就差。 由式（1）求出的p βββ?,,?,?10 仍然是p βββ,,,10 的无偏估计，但不再是最小方差线性无偏估计。 加权最小二乘估计的方法是在平方和中加入一个适当的权数i w ，以调整各项在平方和中的作用，加权最小二乘的离差平方和为： ∑=----=n i ip p i i i p w x x y w Q 1211010)( ),,,(ββββββ （2） 加权最小二乘估计就是寻找参数p βββ,,,10 的估计值pw w w βββ?,,?,?10 使式（2）的离差
普通最小二乘法(OLS)
普通最小二乘法（OLS ） 普通最小二乘法（Ordinary Least Square ，简称OLS ），是应用最多的参数估计方法，也是从最小二乘原理出发的其他估计方法的基础，是必须熟练掌握的一种方法。 在已经获得样本观测值i i x y ,（i=1,2,…,n ）的情况下 （见图中的散点），假如模型（）的参数估计量已经求得到， 为^0β和^ 1β，并且是最合理的参数估计量，那么直线方程（见 图中的直线） i i x y ^ 1^0^ββ+= i=1,2,…,n 应该能够最 好地拟合样本数据。其中^i y 为被解释变量的估计值，它是由参数估计量和解释变量的观测值计算得到的。那么，被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，判断的标准是二者之差的平方和最小。 ),()(1022101ββββQ u x y Q i i n i i ==--=∑∑= ()()),(min ????1021 10212?,?1100ββββββββQ x y y y u Q n i i n i i i =--=-==∑∑∑== 为什么用平方和因为二者之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。这就是最小二乘原则。那么，就可以从最小二乘原则和样本观测值出发，求得参数估计量。 由于 2 1 ^1^012 ^ ))(()(∑∑+--=n i i n i i x y y y Q ββ＝ 是^0β、^1β的二次函数并且非负，所以其极小值总是存在的。根据罗彼塔法则，当Q 对^0β、^ 1β的一阶偏导数为0时，Q 达到最小。即
0011001100?,?1 ?,?0 =??=??====ββββββββββQ Q 容易推得特征方程： ()0)??(0?)??(1011 10==--==-=--∑∑∑∑∑==i i i i n i i i i i i n i i e x x y x e y y x y ββββ 解得： ∑∑∑∑∑+=+=2^ 1^0^1^0i i i i i i x x x y x n y ββββ （） 所以有：???? ?????-=---=--=∑∑∑∑∑∑∑=======x y x x y y x x x x n y x y x n n i i n i i i n i i n i i n i i n i i n i i i 10121 21121111??)())(()()()(?βββ （） 于是得到了符合最小二乘原则的参数估计量。 为减少计算工作量，许多教科书介绍了采用样本值的离差形式的参数估计量的计算公式。由于现在计量经济学计算机软件被普遍采用，计算工作量已经不是什么问题。但离差形式的计算公式在其他方面也有应用，故在此写出有关公式，不作详细说明。记 ∑=-i x n x 1 ∑=-i y n y 1 y y y x x x i i i i -=-= （）的参数估计量可以写成
加权OLS权数确定
浅谈加权最小二乘法及其残差图 ——兼答孙小素副教授 何晓群 刘文卿 ABSTRACT The paper introduces some problems in relation to weighted least square regression ,and answers a question about weighted residual plots. 关键词：异方差；加权最小二乘法；残差图；SPSS 一、引言 好几年没有翻《统计研究》了。最近，有一同行朋友打电话告诉我《统计研究》2005年第11期上刊登了一篇有关我与刘文卿合作编著的《应用回归分析》（2001.6.中国人民大学出版社）教材的文章。赶紧找到这期的《统计研究》，看到其中孙小素副教授的文章《加权最小二乘法残差图问题探讨——与何晓群教授商榷》一文，以下简称《孙文》。认真拜读后感触良多。首先衷心感谢孙小素副教授阅读了我们《应用回归分析》拙作的部分章节，同时感谢《统计研究》给我们提供这样一个好的机会，使我们能够借助贵刊对加权最小二乘法的有关问题谈谈更多的认识。 《孙文》谈到《应用回归分析》教材中有关加权最小二乘法残差图的问题。摆出了与加权最小二乘法相关的三类残差图，指出第三类残差图的局限性。直接的问题是三类残差图的作用，而更深层的原因应该是对加权最小二乘法统计思想的理解和认识上的差异。 二、对加权最小二乘法的认识 1. 加权最小二乘估计方法 拙作《应用回归分析》中对加权最小二乘法有详尽的讲述，这里仅做简要介绍。多元线性回归方程普通最小二乘法的离差平方和为： ∑=----=n i ip p i i p x x y Q 1 211010)(),,,(ββββββ （1） 普通最小二乘估计就是寻找参数p βββ,,,10 的估计值p βββ?,,?,?10 使式（1）的离差平方和Q 达极小。式（1）中每个平方项的权数相同，是普通最小二乘回归参数估计方法。在误差项i ε等方差不相关的条件下，普通最小二乘估计是回归参数的最小方差线性无偏估计。 然而在异方差的条件下，平方和中的每一项的地位是不相同的，误差项i ε的方差2i σ大的项，在式（1）平方和中的取值就偏大，在平方和中的作用就大，因而普通最小二乘估计 的回归线就被拉向方差大的项，方差大的项的拟合程度就好，而方差小的项的拟合程度就差。 由式（1）求出的p βββ?,,?,?10 仍然是p βββ,,,10 的无偏估计，但不再是最小方差线性无偏估计。 加权最小二乘估计的方法是在平方和中加入一个适当的权数i w ，以调整各项在平方和
最小二乘法的原理及其应用
最小二乘法的原理及其应用 一、研究背景 在科学研究中，为了揭示某些相关量之间的关系，找出其规律，往往需要做数据拟合，其常用方法一般有传统的插值法、最佳一致逼近多项式、最佳平方逼近、最小二乘拟合、三角函数逼近、帕德（Pade）逼近等，以及现代的神经网络逼近、模糊逼近、支持向量机函数逼近、小波理论等。 其中，最小二乘法是一种最基本、最重要的计算技巧与方法。它在建模中有着广泛的应用，用这一理论解决讨论问题简明、清晰，特别在大量数据分析的研究中具有十分重要的作用和地位。随着最小二乘理论不断的完善，其基本理论与应用已经成为一个不容忽视的研究课题。本文着重讨论最小二乘法在化学生产以及系统识别中的应用。 二、最小二乘法的原理 人们对由某一变量t或多个变量t1…..tn 构成的相关变量y感兴趣。如弹簧的形变与所用的力相关，一个企业的盈利与其营业额，投资收益和原始资本有关。为了得到这些变量同y之间的关系，便用不相关变量去构建y，使用如下函数模型 , q个相关变量或p个附加的相关变量去拟和。 通常人们将一个可能的、对不相关变量t的构成都无困难的函数类型充作函数模型（如抛物线函数或指数函数）。参数x是为了使所选择的函数模型同观测值y相匹配。（如在测量弹簧形变时，必须将所用的力与弹簧的膨胀系数联系起来）。其目标是合适地选择参数，使函数模型最好的拟合观测值。一般情况下，观测值远多于所选择的参数。 其次的问题是怎样判断不同拟合的质量。高斯和勒让德的方法是，假设测量误差的平均值为0。令每一个测量误差对应一个变量并与其它测量误差不相关（随机无关）。人们假设，在测量误差中绝对不含系统误差，它们应该是纯偶然误差，围绕真值波动。除此之外，测量误差符合正态分布，这保证了偏差值在最后的结果y上忽略不计。 确定拟合的标准应该被重视，并小心选择，较大误差的测量值应被赋予较小的权。并建立如下规则：被选择的参数，应该使算出的函数曲线与观测值之差的平方和最小。用函数表示为：
加权最小二乘法WLS
加权最小二乘法(WLS) 如果模型被检验证明存在异方差性，则需要发展新的方法估计模型，最常用的方法是加权最小二乘法。 加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。下面先看一个例子。 原模型： Λ +++=i i i x x y 22110βββ， i ki k u x ++β n i ,,2,1Λ= 如果在检验过程中已经知道： 2 222 )()()(u i i i i x f u E u D σσ=== , n i ,,2,1 Λ= 即随机误差项的方差与解释变量2x 之间存在相关性，模型存在异方差。那么可以用) (2x f 去除原模型，使之变成如下形式的新模型： Λ+++=i i i i i i i x x f x x f x f y x f 222 121 20 2) (1) (1) (1) (1βββ i i ki i k u x f x x f ) (1) (122+ +β n i ,,2,1Λ= 在该模型中，存在 2 22222)()(1)) (1())(1( u i i i i i i u E x f u x f E u x f D σ=== (4.2.1) 即同方差性。于是可以用普通最小二乘法估计其参数，得到关于参数βββ01,,,Λk 的无偏的、有效的估计量。这就是加权最小二乘法，在这里权就是) (1 2i x f 。 一般情况下，对于模型 Y X =+B N (4.2.2) 若存在： W 2)(),(0 )(u E Cov E σ=N 'N =N N =N ? W =??? ? ???? ? ???w w w n 12 O (4.2.3) 则原模型存在异方差性。设
最小二乘法的本原理和多项式拟合
第一节 最小二乘法的基本原理和多项式拟合 一 最小二乘法的基本原理 从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差 i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m) 的大小，常用的方法有以下三种：一是误差 i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)绝对值的最大值i m i r ≤≤0max ，即误差 向量 T m r r r r ),,(10 =的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=m i i r 0 ，即误差向量r 的1— 范数；三是误差平方和∑=m i i r 02 的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=m i i r 02 来 度量误差i r (i=0，1，…，m)的整 体大小。 数据拟合的具体作法是：对给定数据 ),(i i y x (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求Φ∈)(x p ,使误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的平方和最小，即 ∑=m i i r 0 2 =[]∑==-m i i i y x p 0 2 min )( 从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(i i y x (i=0,1,…,m)的距离平方和为最 小的曲线)(x p y =（图6-1）。函数)(x p 称为拟合 函数或最小二乘解，求拟合函数)(x p 的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 在曲线拟合中，函数类Φ可有不同的选取方法. 6—1 二 多项式拟合 假设给定数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)，Φ为所有次数不超过)(m n n ≤的多项式构成的函数类，现求一 Φ ∈=∑=n k k k n x a x p 0 )(,使得 [] min )(0 02 02 =??? ??-=-=∑∑∑===m i m i n k i k i k i i n y x a y x p I (1) 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的)(x p n 称为最小二乘 拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。
最小二乘法原理及应用【文献综述】
毕业论文文献综述 信息与计算科学 最小二乘法的原理及应用 一、国内外状况 国际统计学会第56届大会于2007年8月22-29日在美丽的大西洋海滨城市、葡萄牙首都里斯本如期召开。应大会组委会的邀请，以会长李德水为团长的中国统计学会代表团一行29人注册参加了这次大会。北京市统计学会、山东省统计学会，分别组团参加了这次大会。中国统计界（不含港澳台地区）共有58名代表参加了这次盛会。本届大会的特邀论文会议共涉及94个主题，每个主题一般至少有3-5位代表做学术演讲和讨论。通过对大会论文按研究内容进行归纳，特邀论文大致可以分为四类：即数理统计，经济、社会统计和官方统计，统计教育和统计应用。 数理统计方面。数理统计作为统计科学的一个重要部分，特别是随机过程和回归分析依然展现着古老理论的活力，一直受到统计界的重视并吸引着众多的研究者。本届大会也不例外。 二、进展情况 数理统计学19世纪的数理统计学史, 就是最小二乘法向各个应用领域拓展的历史席卷了统计大部分应用的几个分支——相关回归分析, 方差分析和线性模型理论等, 其灵魂都在于最小二乘法; 不少近代的统计学研究是在此法的基础上衍生出来, 作为其进一步发展或纠正其不足之处而采取的对策, 这包括回归分析中一系列修正最小二乘法而导致的估计方法。 数理统计学的发展大致可分 3 个时期。① 20 世纪以前。这个时期又可分成两段，大致上可以把高斯和勒让德关于最小二乘法用于观测数据的误差分析的工作作为分界线，前段属萌芽时期，基本上没有超出描述性统计量的范围。后一阶段可算作是数理统计学的幼年阶段。首先，强调了推断的地位，而摆脱了单纯描述的性质。由于高斯等的工作揭示了最小二乘法的重要性，学者们普遍认为，在实际问题中遇见的几乎所有的连续变量，都可以满意地用最小二乘法来刻画。这种观点使关于最小二乘法得到了深入的发展，②20世纪初到第二次世界大战结束。这是数理统计学蓬勃发展达到成熟的时期。许多重要的基本观点和方法，以及数理统计学的主要分支学科，都是在这个时期建立和发展起来的。这个时期的成就，包含了至今仍在广泛使用的大多数统计方法。在其发展中，以英国统计学家、生物学家费希尔为代表的英国学派起了主导作用。③战后时期。这一时期中，数理统计学在应用和理论两方面继续获得很大的进展。
加权最小二乘法—ls
WLS:加权最小二乘 一般最小二乘估计精度不高的原因之一是不分优劣地使用了量测值，如果对不同量测值的质量有所了解，则可用加权的方法分别对待各量测量，精度质量高的权重取大些，精度质量低的权重取小些；权W 是适当取值的正定阵。 最小二乘估计是Gauss 在1795年为测定行星轨道而提出的参数估计算法。特点是方法简单，不必知道与被估计量任何统计信息。 假定量测信息z 可以表示为参数x 的线性函数，即 v Hx z +=， 其中()N m n ×∈ H ， N m ∈ v 是一个零均值的随机向量；设()()N m N m ×∈ W 为对称正定阵（0≥W ），则如下估计 WLS T ????arg min()()=??x x z Hx W z Hx ， 称为加权最小二乘（weighted least squares ，WLS ）估计；如果=W I ，则称为最小二乘（Least Squares ，LS ）估计。 注意：最小二乘法的最优指标只保证了估计量测的均方误差最小。 定理 设T H WH 可逆，则基于量测信息z 和加权矩阵W 对参数x 的WLS 估计为 WLS T 1T ?()?=x H WH H Wz ， 证明：因为T T T T T min()()min(2)??=?+x x z Hx W z Hx z Wz z WHx x H WHx ， 而 ()T T T T T T T T T 1 T T (2)(2)20 ?WLS x ???+??=?+?=?=∴=T T z Wz z WHx x H WHx x z Wz x H Wz x H WHx x H Wz +2H WHx H WH H Wz （注意：,T Ax x Ax A x x ?<>=+?，,x y y x ?<>=?） 关于估计方差： 如果量测误差v 的均值为0方差为R ，则加权最小二乘估计也是无偏估计。估计的协方差阵为 11111[]()()?(()()()) T T T T T T T T T T E xx H WH H WRWH H WH x x x H WH H WHx H WH H Wz H WH H Wv ?????==?=?=? ∵ （注意11()()T T A A ??=）
最小二乘法原理
最小二乘法 最小二乘法是一种在误差估计、不确定度、系统辨识及预测、预报等数据处理诸多学科领域得到广泛应用的数学工具。最小二乘法还可用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。最小二乘法公式： 设拟合直线的公式为 , 其中：拟合直线的斜率为： ；计算出斜率后，根据 和已经确定的斜率k，利用待定系数法求出截距b。
在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1),(x2, y2).. (xm , ym)；将这些数据描绘在x -y 直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。 Y计= a0 + a1 X (式1-1) 其中：a0、a1 是任意实数 为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)²〕最小为“优化判据”。 令: φ= ∑(Yi - Y计)² (式1-2) 把(式1-1)代入(式1-2)中得: φ= ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3) 当∑(Yi-Y计)²最小时，可用函数φ对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。 (式1-4) (式1-5) 亦即 m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)
(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7) 得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出： a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8) a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9) 这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。 在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于0 越好。 R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) * 在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。微积分应用课题一最小二乘法 从前面的学习中, 我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据, 可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系, 这种函数关系称为经验公式. 本课题将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求与之间近似成线性关系时的经验公式. 假定实验测得变量之间的个数
稳健回归的反复加权最小二乘迭代解法及其应用
调用robustfit函数作稳健回归 regress函数和regstats函数利用普通最小二乘法估计模型中的参数，参数的估计值受异常值的影响比较大。robustfit函数采用加权最小二乘法估计模型中的参数，受异常值的影响就比较小。robustfit函数用来作稳健的多重线性或广义线性回归分析，下面介绍robustfit函 数的用法。 1.4.1．robustfit函数的用法 robustfit函数有以下几种调用方式： b = robustfit(X,y) b = robustfit(X,y,wfun,tune) b = robustfit(X,y,wfun,tune,const) *b,stats+ = robustfit(…) （1）b = robustfit(X,y) 返回多重线性回归方程中系数向量β的估计值b，这里的b为一个1p×的向量。输入参数X 为自变量观测值矩阵（或设计矩阵），它是的矩阵。与regress函 数不同的是，默认情况下，robustfit函数自动在X第1列元素的左边加入一列1，不需要用户自己添加。输入参数y为因变量的观测值向量，是的列向 量。robustfit函数把y或X中不确定数据NaN作为缺失数据而忽略它们。np×1n× （2）b = robustfit(X,y,wfun,tune) 用参数wfun指定加权函数，用参数tune 指定调节常数。wfun为字符串，其可能的取值如表1-3所示。 表1-3 robustfit函数支持的加权函数 加权函数（wfun） 函数表达式 默认调节常数值 'andrews' sin(||)rwIrrπ=?< 1.339 'bisquare'（默认值） 22(1)(||1)wrIr=??< 4.685 'cauchy' 21(1)wr=+ 2.385 'fair' 1(1||)wr=+ 1.400 'huber' 1max(1, ||)wr= 1.345 'logistic' tanh()wr= 1.205 'ols' 普通最小二乘，无加权函数 无 'talwar' (||1)wIr=<
最小二乘法基本原理
该方程的参数估计步骤如下： 取n 组观测值n i x x x y ki i i i ,,2,1),,,,(211 =代入上式中可得下列形式： ?????????++??+++=++??+++=++??+++=m mk k m m m k k k k u x x x y u x x x y u x x x y ββββββββββββ2211022222211021 112211101 （2） (2)的矩阵表达形式为： U B X y += （3） 对于模型（3），如果模型的参数估计值已经得到，则有： ^^B X y = （4） 那么，被解释变量的观测值与估计值之差的平方和为： ∑∑==--==-==n i i i n i i B X Y B X Y e e y y e Q 1 ^ '^'2^12)()()( （5） 根据最小二乘法原理，参数估计值应该是下列方程： 0)()(^' ^^=--??B X Y B X Y B （6） 的解。于是，参数的最小二乘估计值为： Y X X X B '1'^)(-= （ 7）
多变量预测模型是以多元线性回归方程为基础，其一般形式为： i ki k i i i u x x x y +++++=ββββ 22110 （8） 其中：k n i ;,,2,1 =为解释变量的数目；k x x x ,,,21 为解释变量，)1(+k 为解释变量的数目；k βββ ,,21为待估参数；u 为随机干扰项；i 为观测值下标。 统计检验是依据统计理论来检验模型参数估计值的可靠性。主要包括方程显著性检验（F 检验）和变量显著性检验（F 检验）。前者计算出F 统计量的数值；给定一个显著性水平α，查F 分布表，得到一个临界值),1,(--k n k F α当)1,(-->k n k F F α时，通过F 检验。后者计算出t 统计量的数值；给定一个显著性水平α，查t 分布表，得到一个临界值)1(2/--k n t α，当)1(||2/-->k n t t α时，通过t 检验。
SPSS加权最小二乘法及应用
SPSS数据统计分析与实践主讲：周涛副教授 北京师范大学资源学院 2007-12-4 教学网站：https://www.wendangku.net/doc/f53901446.html,/Courses/SPSS
第十五章：加权最小二乘法 （Weighted Least Squares） 本章内容： 一、最小二乘法的应用领域 z根据需要人为地改变观测量的权重 z Remedial Measures for Unequal Error Variances 二、SPSS提供的WLS过程 z Linear Regression procedure (with weight variable) z Weight Estimation procedure 三、相关输出结果的比较 z OLS与WLS比较 z SPSS提供的两种WLS方法比较
加权最小二乘法应用（一） 根据需要人为地改变观测量的权重
根据需要人为地改变观测量的权重－－实例 实验中收集的15对数 据，每对数据都是 将n份样品混合后测 得的平均结果，但 各对数据的n大小不 等，试求出X对Y的 线性方程。 数据源：郭祖超，《医用数理 统计方法》第三版P249
根据需要人为地改变观测量的权重－－实例 方法一：如果不考虑样品混合量的差异，则该问题是一个非常简单的线性回归问题，可直接拟合回归方程，结果如下： Model Summary b .987a.975.973.11330 Model 1 R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate Predictors: (Constant), x a. Dependent Variable: y b. Coefficients a 7.454.17343.143.000 -.015.001-.987-22.468.000 (Constant) x Model 1 B Std. Error Unstandardized Coefficients Beta Standardized Coefficients t Sig. Dependent Variable: y a. Y = 7.45 –0.015 * X (R2=0.98)
最小二乘法和加权最小二乘法
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 最小二乘法和加权最小二乘法 -50-40-30-20-1001020304050-0.100.10.20.30.40.50.6tRx1 x23. 3. 3 （WLS）为了降低节点成本应尽可能减小锚节点在 WSN 中所占的比例，但势必会减小锚节点的覆盖率，从而增加了定位的难度。 为了解决此问题，很多定位算法将已经定位的未知节点转化为锚节点，迭代定位从而定位整个网络的节点。 但是这种方法又引来了一个新的问题： 升级的锚节点本身可能存在较大的定位误差，而在下一轮的定位中有可能会引进更大的误差，当网络规模比较大时，这种迭代定位造成的累积误差将无法接受。 所以人们又引入了加权最小二乘法[23],[24]： 根据每个节点的定位精度，在加权最小二乘法中采用不同的加权系数来进行定位估计，从而提高定位精度。 加权最小二乘法可根据下式求解： X0wls=(ATWA)-1ATWb （3-18）此式中 W 为加权矩阵，为保证 X0wls是最小方差无偏估计，一般要求 W 在实际应用中为对称正定矩阵。 可利用许瓦兹的不等式证明，在测距误差与距离之比服从独立分布的高斯随机变量的情况下， W=R-1时的估计均方误差最小， R 为测距误差的方差矩阵， R=E{NNT}。 1 / 4
3. 3. 4 以上三种定位算法一般都存在或大或小的定位误差，为了进一步提高定位精度，可以利用质心加权算法来减小定位估计与真实值之间的差值。 普通质心算法不能反映出锚节点对节点位置影响力的大小，影响定位精度，我们可以利用加权质心算法。 质心加权算法： 在质心算法中加入加权因子来体现锚节点对质心位置的决定权，用加权因子来体现各锚节点对质心坐标的影响程度,从而反映它们之间内在的关系。 可通过下式（3-17）来说明：312122313122313312122313122313x111111xxxddddddddddddyyydddd （3-17）（x， y）就是通过加权质心算法来求出的未知节点的坐标。 式中： d1， d2，d3分别为未知节点到 3 个锚节点的近似距离，（x1,y1），（x2,y2），（x3,y3）分别是利用最小二乘法、加权最小二乘法和 Chan 算法求出的未知节点的坐标。 式中的，，体现了距未知节点越近的锚节点对其位置坐标的影响就越大，通过这种关系可以提高定位精度。
最小二乘法拟合原理
最小二乘拟合 在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量x 与y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是x 与y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。后一种情况常假设x 与y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。 一、最小二乘法原理 在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作x ，而把所有的误差只认为是y 的误差。设x 和y 的函数关系由理论公式 y ＝f （x ；c 1，c 2，……c m ） （0-0-1） 给出，其中c 1，c 2，……c m 是m 个要通过实验确定的参数。对于每组观测数据（x i ，y i ）i ＝1，2，……，N 。都对应于xy 平面上一个点。若不存在测量误差，则这些数据点都准确 落在理论曲线上。只要选取m 组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组 y i ＝f （x ；c 1，c 2，……c m ） （0-0-2） 式中i ＝1，2，……，m.求m 个方程的联立解即得m 个参数的数值。显然N
加权最小二乘法(WLS)
一般情况下，对于模型 Y X 若存在： E( ) 0 2 Cov( , ) E( ) u W W 1 W 2 W (4.2.2) (4.2.3) W n 则原模型存在 异方差性。设 即随机误差项的方差与解释变量 1 .f (X 2i ) ￥| .f (X 2i ) 1 .f(X 2i ) X 2i k X ki .f(X 2i ) .f (X 2i ) Ui i 1,2, ,n Si) U i ) -^E(U i 2 ) f (X 2i ) (4?即同方差性。于是可以用普通最小二乘法估计其参数, 得到关于参数 0, 1 > 的无偏的、 有效的估计量。这就是加权最小二乘法，在这里权就是 .f(X 2i ) 加权最小二乘法(WLS) 如果模型被检验证明存在异方差性， 则需要发展新的方法估计模型， 最常用的方法是加 权最小二乘法。 加权最小二乘法是对原模型加权， 使之变成一个新的不存在异方差性的模型， 然后采用 普通最小二乘法估计其参数。下面先看一个例子。 原模型：y i 0 1X 1i 2X 2i ， k X ki U i 1,2, ,n 如果在检验过程中已经知道： D(U i ) E(U i 2 ) i 2 f (X>i ) J , i 1,2, ,n X 2之间存在相关性，模型存在异方差。那么可以用... f(X 2) 去除原模型，使之变成如下形式的 新模型: 在该模型中，存在
W DD T W i W n D 1Y D 1X (4.2.4) Cov(N , N ) E( *T ) E(D 1 T )D 1 ：WD 1T 1u 2 DD D u 2 I 于是，可以用普通最小二乘法估计模型 T * 1 . ?WLS (X X ) 1X Y 1 E( i T (4.2.4)，得到参数估计量为: * T * 用D 1 左乘(422)两边，得到一个新的模型: * X 该模型具有同方差性。因为 T 1T 1 1 T 1T 1 (X T D 1 D 1 X) 1X T D 1 D " T 1 1 T 1 (4 25) (X W X) X W Y 这就是原模型(2.6.2)的加权最小二乘估计量，是无偏的、有效的估计量。 如何得到权矩阵 W ?仍然是对原模型首先采用普通最小二乘法，得到随机误差项的近 似估计量，以此构成权矩阵的估计量，即 2 0 2 W e2 (4.2.6) 2 e n 当我们应用计量经济学软件包时，只要选择加权最小二乘法，将上述权矩阵输入，估 计过程即告完成。这样，就引出了人们通常采用的经验方法， 即并不对原模型进行异方差性 检验，而是直接选择加权最小二乘法， 尤其是采用截面数据作样本时。 如果确实存在异方差