Banach空间的有界线性算子
定义:
E及E1都是实的线性空间,T:D?E→F?E1,IF,?x,y∈D,T(x+y)=Tx+Ty,则T是可加的,IF?实数α&&x∈D,有T(αx)=αTx,则T是齐次的。可加齐次的映射称为线性映射或线性算子。
T是连续的,则T为连续线性算子。
IF T将D中任一有界集映成有界集,则T是有界的,ELSE,T是无界的
定理:
E,E1是实赋范线性空间,T是由E的子空间D到E1中的连续可加算子,则T满足齐次性,因此T是连续线性算子。
E,E1是赋范线性空间,T是由E的子空间D到E1中的线性算子,则T有界的充要条件是?M>0,ST,?x∈D,||Tx||≤M||x||。
E,E1是赋范线性空间,T是由E的子空间D到E1中的线性算子,IF T在某点x0∈D连续,则T在D连续。
E,E1是赋范线性空间,T是由E的子空间D到E1中的线性算子,则T连续的充要条件是T有界。
定义:
E,E1是赋范线性空间,T是由E的子空间D到E1中的线性算子。ST ||Tx||≤M||x||对?x∈D都成立的整数M的下确界为T的范数,记||T||.
定理:
E,E1是赋范线性空间,在B(E,E1)中定义线性运算:
(T1+T2)x=T1x+T2x.(αT)x=α(Tx)则B(E,E1)是一赋范线性空间。
定义:
称B(E,E1)为线性算子空间,B(E)称为定义在E上的有界线性算子。
T,Tn∈B(E,E1),IF Lim||Tn-T||=0,则{Tn}按算子范数(一致算子拓扑)收敛于T
定理:
Tn,T∈B(E,E1),{Tn}按一致算子拓扑收敛于T的充要条件是{Tn}在任意有界集上一致收敛于T
E1是B空间,则B(E,E1)也是B空间。
定义:
T,Tn∈B(E,E1),IF?x∈E,Lim||Tnx-Tx||=0,则{Tn}强(强算子拓扑)收敛于T
开映射定理:
有界线性算子T将B空间E映射成B空间E1中的某个第二类集F,则F=E1且?M0>0,ST,?y∈E1,?x∈E,Tx=y&&||x||≤M0||Tx||
推论:
有界线性算子T将B空间E映射成B空间E1中的某个第二类集F,则T将E 中任何开集映成E1中的开集。
有界线性算子T将B空间E映入B空间E1,则T的值域或者是E1或者是E1中第一类集。
逆算子定理:
有界线性算子T将B空间E映射成B空间E1中的某个第二类集F,且T是单射,则T存在有界逆算子。
推论:
(E,||||1)(E,||||2)为B空间,IF ?K>0,ST,?x∈E,||x||1≤K||x||2,则||||1与||||2等价,所以(E,||||1)(E,||||2)拓扑同构
定理:
E,E1是赋范线性空间,T是E的子空间D到E1的线性算子,则T为闭算子充要条件是?{xn}?D,IF {xn}{Txn}在E,E1中分别收敛于x,y,则x∈D&&Tx=y 闭图像定理:
T是B空间E到B空间E1的闭算子,则T有界。
定义:
E为线性空间,p为定义于E的泛函,IF ?x,y∈E,p(x+y)≤p(x)+p(y),则p为次可加的,IF ?α≥0&&?x∈E,p(αx)=αp(x),则p为正齐次的
共鸣定理:
}为定义于B空间E上值域包含在赋范线性空间E1的有界线性算子族,{T
α
IF ?x∈E,sup{||Tαx||}<∞,则{||Tαx||}有界,或者说{Tα}一致有界
定理:
{Tn}是B空间E到B空间E1的有界线性算子列,则{Tn}按强算子拓扑收敛于T∈B(E,E1)的充要条件是{Tn}一致有界&&?E的某稠密子集G,ST,?x∈G,{Tnx}在E1中收敛(当两个条件同时满足时,||T||≤Lim||Tn||)。
E,E1是B空间,则B(E,E1)对于算子列按强算子拓扑收敛是完备的。
定理:
G是实线性空间E的子空间,f是定义在G上的实线性泛函,p是定义在E 上的次可加正齐次泛函,f与p之间满足f(x)≤p(x)(?x∈G)则,必?实线性泛函F0定义在E上,ST:
(1)x∈G时,F0(x)=f(x)
(2)x∈E时,F0(x)≤p(x)
引理:
设f是复赋范线性空间E上的有界线性泛函,令φ(x)=Ref(x)(x∈E),则φ是E上的实有界线性泛函&&f(x)=φ(x)-iφ(ix)
定理:
G是赋范线性空间E的子空间,f是定义在G上的有界线性泛函,则f可以延拓到整个E,且保持范数不变,即存在定义于E上的有界线性泛函F0,ST:
(1)x∈G时,F0(x)=f(x)
(2)||F0||=||f||
,
G
推论:
G是赋范线性空间E的子空间,x0∈E,IF ρ(x0,G)=inf||x0-x||=δ>0,则?E 上的有界线性泛函f,ST,||f||=1/δ,f(x0)=1,&&f(x)=0(x∈G)
G是赋范线性空间E的子空间,x0∈E,IF ρ(x0,G)=inf||x0-x||=δ>0,则?E 上的有界线性泛函f1,ST,||f1||=1,f1(x0)=δ,&&f1(x)=0(x∈G) E是赋范线性空间,E≠{0},则?x0∈E,x0≠0,?E上的有界线性泛函f,ST,||f||=1,f(x0)=||x0||
定义:
E上的有界线性泛函的全体按它的线性运算及范数构成的赋范线性空称为E 的对偶空间或共轭空间,记E*=B(E,K),||f||=sup|f(x)|/||x||
定理:
映射x→x**有下列性质:
(1)映射是线性的
(2)映射是等距的,因此是单射
(3)映射是等距同构映射
(4)当它是满射的时候,E是自反空间
L P[a,b](1
定义:
T*为T的伴随算子或共轭算子,T*f=f*,f*(x)=f(Tx)
性质:
||T*||=||T||
(αT)*=αT*
(T1+T2)*=T1*+T2*
(T2T1)*=T1*T2*
IF 将E看成E*的子空间,则T**是T的延拓
定义:
E为赋范线性空间,E*的序列{fn}弱*收敛于f0∈E*,指?x∈E,fn(x)→f0(x)
定理:
E是B空间,{fn}是E上的一个有界线性泛函序列,则{fn}弱*收敛于某个f∈E*的充要条件是:
(1){fn}一致有界
(2)对E的某个稠密子集G中的每个x,{fn(x)}收敛
赋范线性空间E是可分的,则由E上的?一致有界的线性泛函序列中,必可取出一个弱*收敛的子序列。
定义:
E是赋范线性空间,{xn}?E,x0∈E,IF?f∈E*,Limf(xn)=f(x0),则{xn}弱收敛于x0
定理:
T ∈B(E,E1),则T 有有界逆算子的充要条件是T*有有界逆算子,且当T 有有界逆算子时,(T -1)*=(T*)-1.
定义:
T ∈B(E ),λ为一复数.
IF λI-T 有有界逆算子,则λ为T 的正则值,正则值的全体是正则集ρ(T).R(λ,T)表示λI-T 的有界逆算子(λI-T)-1,并称为T 的预解式或预解算子;
IF λ不是T 的正则值,则λ为T 的谱点,谱点的全体是谱σ(T).
σ(T)分为以下三种:
特征值(点谱)、只有零解(连续谱、剩余谱)
值域是E 的真子空间,且在E 稠密,称为连续谱
值域之闭包是E 的真子空间,称为剩余谱
定理:
T ∈B(E ),λ为一复数.
IF λ为T 的特征值,T 对应与λ的全部特征值及零元素组成E 的一个闭子空间,称为对应于λ的特征向量空间,此空间的维数为λ的重复度;
λk 为T 的n 个不同特征值,xk 为对应的任一特征向量,则x1…xn 线性无关.
定理:
T ∈B(E ),λ为一复数。则|λ|>||T||时,λ是T 的正则值,且:
∑∞=+-=-011)(n n n T T I λλ ||
T ||-||1||T)-I (||1-λλ≤(按一致算子拓扑收敛) 推论:
T ∈B(E )有有界逆算子,则?S ∈B(E ),当||S-T||<||T -1||-1时,S 也有有界逆算子,△T=S-T,则:
∑∞
=-------?-?≤-?-=0n 12111111||||||||1||||||||||||;)(T T T T T S T T T S n
λ是T 的正则值,则对?μ是复数,|μ-λ|<||(λI-T)-1||-1时μ也是T 的正则值,且:
)1(01)()()1()(+-∞=----=-∑n n
n n T I T I λλμμ||T)-I (|||-|1||T)-I (|||-|||T)-I (-T)-I (||1-2
-11
-1-λλμλλμλμ-≤ 定理:
对B 空间E ,成立:
(a) B(E)中可逆算子的全体是B(E)中的开集
(b) ?T ∈B(E),ρ(T)是复平面的开集,σ(T)是复平面的有界闭集
(c) R(,T)作为定义在ρ(T)上的算子值函数是解析的
(d) 设E 含有非零元素,则?T ∈B(E),σ(T)非空
定义:
T ∈B(E),称)(||max T T r σλλ∈=为T 的谱半径
T∈B(E),则Lim||T n||1/n存在,且Lim||T n||1/n=inf||T n||1/n.
T∈B(E),则r T≤Lim||T n||1/n.
定义:
T:D?E→F?E1,E、E1都是赋范线性空间,T是线性算子,IF T将任一有界集映成E1中的准紧集,则T为紧算子或全连续算子
定理:
T∈B(E,E1),S∈B(E1,E2),E、E1、E2都是赋范线性空间,IF T,S中有一个是紧算子,则ST也是紧算子
推论:
赋范线性空间E、E1中至少有一个是无限维的,T∈B(E,E1)是紧算子,则T 不可能存在有界逆算子
定理:
T∈B(E,E1),若T是紧算子,则T将E中弱收敛点列映射成E1中按范数收敛的点列
T∈B(E,E1),若T是紧算子,则T的值域可分
}?B(E,E1)按一致算子拓扑赋范线性空间E、B空间E1,IF紧算子列{T
n
收敛于T∈B(E,E1),则T也是紧算子
赋范线性空间E、B空间E1,则由E到E1的全部紧算子组成的集按算子的线性运算及算子的范数是B(E,E1)的闭子空间,因此它本身也是B空间
引理:
E是赋范线性空间,A?E是准紧集,{fn}是E上一致有界线性泛函列,IF?x∈A,{fn(x)}收敛,则{fn}在A一致收敛
定理:
E,E1是赋范线性空间,T∈B(E,E1)是紧算子,则T*∈B(E1*,E*)也是紧算子
E是具有基的B空间,A为E的子集,则A准紧的充要条件是:A有界&&?ε》0,?K>0,ST,k>K时||R k x||<ε对?x∈A同时成立
E是具有基的B空间,T∈B(E)则T为紧算子的充要条件是存在一列有限秩算子Tk,ST,Lim||T-Tk||=0
T是E上的紧算子,λ≠0,则λI-T的值域是E的闭子空间
T是E上的紧算子,则:
?y∈E,复数λ≠0,(λI-T)x=y有解的充要条件是y与λI*-T*的零空间N*正交
?g∈E*,复数λ≠0,(λI*-T*)f=g有解的充要条件是g与λI-T的零空间N正交
T是E上的紧算子,λ≠0,λI-T为满射的充要条件是λI-T为单射
T是E上的紧算子,则:
?复数λ≠0要么是T的特征值要么是T的正则值,若对应的是T的特征值,则对应的特征向量空间有限维
σ(T)是有限集或O为聚点的可列集
λμ分别为T,T*的特征值且λ≠μ,则T对应于λ的特征向量空间与T*对应于μ的特征向量空间相互正交
E 为赋范线性空间,E 中的点集{x1…xn }线性无关,则存在E 上的一族有
界线性泛函f1…fn,ST :???≠==l
k l k x f l k ,若,若01)(
f1…fn 是赋范线性空间E 上的一族有界线性泛函,则E 上任意在f1…fn 的零空间的交上为零的有界线性泛函f 必定是f1…fn 的线性组合
f1…fn 是赋范线性空间E 上的n 个线性无关的有界线性泛函,则存在E 中的元素x1…xn ,ST,???≠==l k l
k x f l k ,若,若01)(
定理:
T 是E 上的紧算子,λ≠0是T 的一个特征值,则T&T*对应于λ的特征向量空间有相同的维数
T 是B 空间E 上的紧算子,则:
?复数λ≠0要么是T(T*)的正则值,要么是T(T*)的特征值
σ(T)(σ(T)*)或是有限集,或是O 为聚点的可列集;σ(T)中任意不为零的数都是T&T*的特征值,E 为无限维时,0必属于σ(T)&σ(T)*
T&T*对应于同一非零特征值的特征向量空间有相同的维数且维数有限; T,T*对应于不同特征值的特征向量空间相互正交
λ≠0是T 的特征值(则也是T*的特征值),则(λI-T)x=y 有解的充要条件是y 与λI*-T*的零空间正交,而(λI*-T*)f=g 有解的充要条件是g 与λI-T 的零空间正交
考点:
压缩映射定理
第六章9,11,17,34
第七章定理2.2 1,22,39
第八章闭图像定理(证)谱的例题 4,23,35,54,58,59,60,对偶空间的例子,紧算子的定义、基本性质
第九章定理3.1 1,3,16,25
泛函分析中的概念和命题 赋范空间,算子,泛函 定理:赋范线性空间是有限维的当且仅当它的单位球是列紧的;有限维赋范线性空间上的任两个 范数是等价的;有限维赋范线性空间是Banach 空间. 定理:M 是赋范线性空间()||||,?X 的一个真闭线性子空间,则,1||||,,0=∈?>?y X y ε使得: M x x y ∈?->-,1||||ε 定理:设X 是赋范线性空间,f 是X 上的线性泛函,则 1.* X f ∈()()的闭线性子空间是X x f X x f N }0|{=∈=? 2.()()中稠密在是不连续的非零线性泛函X f N x f ? 定理:()空间是空间是则是赋范空间,Banach ,Banach },{,Y X B Y X Y X ?≠θ ()()()||||||||||||,,,,,,,,B A AB Z X B AB Z Y B Y X B A Z Y X ≤∈∈∈且则是赋范空间, 可分B 空间:()()[]可分b a C c c p l L p P ,,,,1,1,00∞<≤ ()∞∞l L ,10, 不可分 Hahn-Banach 泛函延拓定理 设X 为线性空间,上的实值函数是定义在X p ,若: (1)()()()()为次可加泛函则称p X y x y p x p y x p ,,,∈?+≤+ (2)()()() 为正齐性泛函,则称p X x x p x p ∈?≥?=,0,ααα (3) ()()() 为对称泛函,则称p X x x p x p ∈?∈?=,K ,||ααα 实Hahn-Banach 泛函定理: 设X 是实线性空间,()x p 是定义在X 上的次可加正齐性泛函,0X 是X 的线性子空间,0f 是定义在0X 上的实线性泛函且满足()()()00X x x p x f ∈?≤,则必存在一个定义在X 上的实线性泛函f ,且满足: 1.()()()X x x p x f ∈?≤0
们同意前人的提法,认为线性泛函与无穷维空间上引进坐标的思想有关,而对偶理论则有如无穷维线性空间上的解析几何学。 Chp.1 距离线性空间 SS1. 选择公理,良序定理,佐恩引理 有序集的定义: (1)若a在b之先,则b便不在a之先。 (2)若a在b之先,b在c之先,则a在c之先。 这种先后关系记作 良序集:A的任何非空子集C都必有一个属于C的最先元素。 良序集的超限归纳法: (1)为真,这里是A中最先的元素。 2)对一切,为真,则亦真 那么对一切皆真。 选择公理 设N={N}是一个非空集合构成的族,则必存在定义在N上的函数f,使得对一切N都有 部分有序 称元素族X是部分有序的,如果在其中某些元素对(a,b)上有二元关系,它据有性质: 例如X中包换关系 在部分有序集下,有上界、极大元和完全有序 其中完全有序的C:。 例如在复数域中,按大小关系定义两个复数的关系,则复平面是部分有序的,实轴、虚轴是完全有序的。 佐恩引理 设X非空的部分有序集,如果X的任何完全有序子集都有一个上界在X中,则X必含有极大元。 从现代观点来看,泛函分析研究的主要是研究实数域或者复数域上的完备赋线性空间。 SS2. 线性空间,哈迈尔(Hamel)基 线性空间的定义:加法交换、加法结合、有零元,有负元、有单位元等。 线性流形:线性空间中的非空子集,如果它加法封闭、数乘封闭。 线性流形的和M+N:所有形如m+n的元素的集合,其中m∈M, n∈N。 线性流形的直和:如果M∩N={θ},则以代替M+N 如果,则称M与N是代数互补的线性流形。 于是有下述定理:
定理2.1 设M,N是线性空间X的线性流形,则当且仅当对每个x∈X都有唯一的表达式 x=m+n, m∈M,n∈N. 定理2.2 若,则dimX=dimM+dimN Hamel基的定义: 设X是具有非零元的线性空间,X的子集H称为X的Hamel基,如果 (1)H是线性无关的。 (2)H成的线性流形是整个空间。 则有Hamel基和线性无关子集的关系: 定理2.3 设X是线性空间,S是X中任意的线性无关子集,则存在X的一个Hamel基使得 推论任何非零线性空间必有Hamel基 由定理2.3,可有 定理2.4 设M是线性空间X的线性流形,则必有线性流形使得,即N是M的代数补。 SS3 距离空间(度量空间),距离线性空间 定义了距离(满足正定性、对称性和三角不等式的映射)d(x,y)的空间即为距离空间,记为
第一节 有界线性算子的谱 一、算子代数 定义:()L X 是一复Banach 空间,并且为一具有线性运算与乘法运算的代数系统,我们称其为算子代数。 性质:设,,(),R S T L X α∈∈C ,则有 1、结合律:()()RS T R ST =,(,)m n m n T T T m n +=∈N ; 2、()()()ST S T S T ααα==; 3、(),()R S T RS RT R S T RT ST +=++=+; 4、单位算子I 满足:IT TI T ==; 5、:T X X →为同构?存在,()A B L X ∈,使得AT I TB ==;必定A B =,称它为T 的逆,记作1 T -,并称T 为可逆算子。以()GL X 记()L X 中的可逆算子的全体。 6、若,()S T GL X ∈,则()ST GL X ∈,且 11111(),()()n n ST T S T T -----==。 当()T GL X ∈时约定10()(0),n n T T n T I --=>=,因而对任何,k k Z T ∈有意义。 注:1、算子乘法不满足交换律; 2、,(1)n n ST S T T T n ≤≤≥; 3、若在()L X 中,n n S S T T →→,则必有n n S T ST →。 定义:设T 属于某算子代数,称 010 ()(3.1.1)n n n n n f T T I T T αααα∞ ===++ ++ ∑、 (其中系数(0)n n α∈≥C 为算子幂级数。 性质:设通常幂级数0 ()n n n f λαλ ∞ ==∑有收敛半径R ,则当(),T L X T R ∈<时级数 (3.1.1)绝对收敛:
设X 是一个非空集,K 是复(或实)数域。如果下列条件满足,便称X 为一复(或实)线性空间 (1)X 是一加法交换群,即对任意的x,y 之和,适合称为记做y x y x u X U X ,,,+=∈?∈ y x y x K x K x x x x x x x x ax u X X K x a X x a K x x x x X x X x x x X x X z y x z y x x y y x βααβαβαβααββαθθθθ+=+∈?∈?+=+=?=?=∈??∈?∈=+∈?∈?+=+∈?∈?++=+++=+)() ,,())(3.2(1)2.2()(1.2,u ,,)2(-,,,)4.1(,,)3.1())(2.1(1.1;;')()(的数乘,适合 对称为计做)(即的数乘运算,与中的数定义了数域为记使得对对唯一的) ()( 线性同构 Ty Tx y x T X X T X X βαβα+=+?→?)(2)1(:,1 1)(在上的即他是一对一的并且是它既是单射又是满射,都是线性空间,设 线性子空间 为线性子空间一个线性空间,则称上的加法与数乘还构成依若设E X E X E ? 线性流形 {}为线性流形则称使得及线性子空间若设E E X E 000000E x x x x E E X X x ∈+?+=?∈??线性相关 ,否则称为线性无关的 ,使得不全为存在称为线性相关的,如果一组向量0....0......1111=++∈∈n n n n x x K X x x λλλλ 线性基 中向量的线性组合 都是而且任意的, 中的向量是线性无关的向量组,即中的一个极大线性无关是若A A X A X x ∈ 维数 线性空间中的线性基的元素个数(势) 线性包 {}{}{}A x K A x x y A x i i i n n ∈∈∈+=∈λαλααλλ称为中的向量族,线性组合是是一个指标集, 设,....X A 11 线性和与直接和 {}21212121,E E E E E E y E x y x X E +∈∈+的线性和,记,为的子空间, 是设 准范数
第三章 有界线性算子 一 有界线性算子与有界线性泛函 1 定义与例 设1,X X 是赋范空间,T 是X 中线性子空间)(T D 上到1X 中的映射 ,满足条件:对于任意)(,T D y x ∈,K ∈α ,)(Ty Tx Y x T +=+Tx x T αα=)( 称T 是X 中到1X 中的线性算子。称)(T D 是T 的定义域。 特别地,称赋范空间X 上到数域K 中的线性算子为线性泛函,并且它们是到实数域或复数域分别称为实线性泛函与复线性泛函。 如果一个线性泛函 f 是有界的,即 )( |||||)(|M x x M x f ∈≤ 称为 f 有界线性泛函。此外取算子范数作为空间中的范数。 定理1.1 设1,X X 是赋范空间,T 是X 上到1X 中的线性算子,如果T 在某一点X x ∈0 连续,则T 是连续的。 定理1.2 设1,X X 是赋范空间,T 是X 上到1X 中的线性算子,则T 是连续的,当且仅当,T 是有界的。 2 有界线性算子空间 设1,X X 是赋范空间,用),(1X X β表示所有X 上到1X 中的有界线性算子全体。在),(1X X β中可以自然地定义线性运算,即对
于任意∈B A ,),(1X X β及K ∈α ,定义 Bx Ax x B A +=+))(( Ax x A αα=))(( 不难到,两个有界线性算子相加及数乘一个有界线性算子仍有界线性算子。此个取算子范数作为空间),(1X X β的范数,具体见 )(77P 。 由此可知,),(1X X β是一个赋范线性空间,如果1X X =, 把),(1X X β简记为)(X β。 在空间),(1X X β中按范数收敛等价于算子列在X 中的单位球面上一致收敛。事实上,设∈n A A ,),(1X X β,...)2,1(=n 及 }1||:||{=∈=X X x S 。如果)(∞→→n A A n ,则对任意 0>ε,存在N ,当N n >时,对于每一个S x ∈ ≤-||||Ax x A n 1 ||||sup =x ||||Ax x A n -=||||A A n -ε<。 即}{n A 在S 上一致收敛于A 。 反之,如果}{n A 在S 上一致收敛于A ,则对任意0>ε ,存在 N ,当N n >时,对于每一个S x ∈: ||||Ax x A n -ε< 于是:|||| A A n -=1 ||||sup =x ||||Ax x A n -ε≤。 即}{n A 在上一致收敛于A 。 定理1.3 设X 是赋范空间,1X 是anach B 空间,则),(1X X β是anach B 空间。 在空间 ) ,(1 X X β中还有另一种收敛方式。设
泛函分析和偏微分方程的广义求解 1历史和背景 1.1泛函分析简介 1.1.1什么是泛函分析 泛函分析(Functional Analysis)是现代数学的一个分支,隶属于分析学,其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换(如傅立叶变换等)的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法,代表作用于函数的函数。泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题,积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论,几何学,代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数,算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程,概率论,计算数学等分科中都有应用,也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。 1.1.2赋范线性空间 泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间,巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间,其上的范数由一个内积导出。这类空间是量子力学数学描述的基础。更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。 泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的连续线性算子。这类算子可以导出C*代数和其他算子代数的基本概念。 1. 希尔伯特空间 希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类,即对于任意两个希尔伯特空间,若其基的基数相等,则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言,其上的
连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言,其上的任何态射均可以分解为可数维度(基的基数为50)上的态射,所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是,是否对于每个希尔伯特空间上的算子,都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。 2. 巴拿赫空间 一般的巴拿赫空间比较复杂,例如没有通用的办法构造其上的一组基。 对于每个实数p,如果p ≥1,一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p 次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。(参看Lp空间)在巴拿赫空间中,相当部分的研究涉及到对偶空间的概念,即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构,但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。 微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广,微分算子作用于其上的所有函数,一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。 1.1.3主要结果和定理 泛函分析的主要定理包括: 1. 一致有界定理(亦称共鸣定理),该定理描述一族有界算子的性质。 2. 谱定理包括一系列结果,其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达,该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。 3. 罕-巴拿赫定理(Hahn-Banach Theorem)研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。 4. 开映射定理和闭图像定理。 1.1.4产生的历史、特点和内容 十九世纪以来,数学的发展进入了一个新的阶段。这就是,由于对欧几里得第五公设的研究,引出了非欧几何这门新的学科;对于代数方程求解的一般思考,最后建立并发展了群论;对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。
《泛函分析》读书笔记 Reading Notes about Functional Analysis 崔继峰 所谓的泛函呢,就是一般函数,泛函分析当然就是一般函数的分析研究。在学习泛函之前,需要有扎实的《实变函数》知识。大学期间,曾用半年时间学过由南开大学刘炳初教授编著,科学出版社出版的《泛函分析》,讲课的是哈尔滨工业大学的包革军教授,他讲泛函的最大特点是把泛函与几何图形有机结合,把艰深的纯理论讲的惟妙惟肖。在进入研究生学习阶段,《泛函分析》作为计算数学研究生的基础理论课程,是必选的。我们选用的教材是由武汉大学刘培德教授主编,武汉大学出版社出版的《泛函分析(第二版)》,该教材是面向本科生的,系里之所以考虑选择此教材,是由于考虑到有些学生在本科阶段没有或者很粗浅的认识了《泛函分析》这门课程,主讲该课程的是高云兰博士,她的方向就是算子方面的研究,所以讲解该课程那是轻车熟路了。课时大约是48学时(粗略估计)。由于以下两方面的原因:1)对于《泛函分析》认识很粗浅;2)第一次写读书笔记(尤其是专业课类),不知道如何从略。所以读书笔记可能从在诸多问题,希望老师见谅!下面我从几个方面写本学期学习《泛函分析》的感受和认识。我本着这样态度写该笔记:1)了解泛函是什么,泛函的发展(很多教材把这个从略)2)把空间的理论知识系统学习,对于其他理论的学习作抛砖引玉之用。3)学习泛函的实际作用(也就是附录里的滤波器理论的应用)。 泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。它是20世纪30年代形成的。从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的,它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题,可看作无限维的分析学。 一、泛函分析的产生 十九世纪以来,数学的发展进入了一个新的阶段。这就是,由于对欧几里德第五公设的研究,引出了非欧几何这门新的学科;对于代数方程求解的一般思考,最后建立并发展了群论;对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。 本世纪初,瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中,出现了把分析学一般化的萌芽。随后,希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代,在数学界已经逐渐形成了一般分析学,也就是泛函分析的基本概念。 由于分析学中许多新部门的形成,揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如,代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法,并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关,有些乍看起来很不相干的东西,都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。
第3章 有界线性算子 音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目, 诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可 改善物质生活,但数学能给予以上的一切. Klein F .(克萊恩) (1849-1925,德国数学家) Banach S .在1922年建立了完备赋范线性空间的公理,证明了一些基本定理后,就讨论 了定义在一个完备赋范线性空间上而取值为另一个完备赋范线性空间的算子,在这类算子中最重要的是连续加法算子,所谓加法算子是指对所有x ,y ,都有Ty Tx y x T +=+)(.容易证明,T 是连续加法算子时,必有Tx x T αα=)(成立.Banach S .证明了若T 是连续的加法算子,则存在常数0>M ,使得||||||||x M Tx ≤.另外他还证明了若}{n T 是连续加法算子序列,T 也是加法算子,且对任意X x ∈,都有Tx x T n n =∞ →lim ,则T 也是连续的. Hahn H .在1922年证明了,若X 是一个完备赋范空间,}{n f 为X 上的一列线性连续泛 函,且对任意X x ∈,)}({x f n 都有上界,则||}{||n f 一定是有界的. Banach S .和Steinhaus H .在1927年证明了,若n T 为完备赋范空间X 到赋范空间Y 的线性连续算子,且对任意X x ∈,||}{||x T n 都有界,则||}{||n T 一定有界,这就是Banach 空间理论中最重要的定理之一,即一致有界原理. Neumann Von J ..在1929年至1930年还引进并讨论了算子的几种收敛性. 在1932年,Banach S .出版了线性算子理论(aires e lin rations e op des orie e Th ''')一
《泛函分析》教学大纲 Functional Analysis 课程编号: 适用专业:数学与应用数学 总学时数:学分: 一、本课程简介 《泛函分析》是现代数学中的的主要数学分支之一,它综合地运用分析、代数和拓扑的观点、方法,来研究数学中的许多问题,它在抽象空间上研究类似于实数上的分析问题,形成了综合运用代数和拓扑来分析处理问题的方法.通过这一课程,能使学生了解泛函分析的基本思想、原理及在各门学科中的应用,掌握泛函分析中主要的基本概念和重要的基本理论,学会用代数、分析和拓扑综合处理问题的新方法,弄清有限维空间与无穷维空间的差别,学会无穷维空间中处理线性问题的分析方法,该课程是学习其他数学分支与科研工作的重要基础. 二、本课程与其他课程的关系 《泛函分析》、《抽象代数》、《拓扑学》是现代数学的重要课程,它综合了分析、代数和拓扑的研究方法,因此学生最好有数学分析、线性代数、空间解析几何及点集拓扑学的基础. 三、教学内容、学时安排和基本要求 本课程主要是线性泛函分析的基本理论,重点介绍距离空间和赋范空间的基础,Banach空间最重要的定理,如Hahn-Banach保范延拓定理、逆算子定理、一致有界原理和Riesz表示定理等.
本课程学时为54学时. (一)度量空间(12学时) 1、具体内容 度量空间的基本概念,度量空间中开集、闭集、完备性与可分性、连续映照的概念、距离空间中列紧集、紧集上连续映照的性质、不动点定理. 2、基本要求 (1)正确理解度量空间基本概念、度量空间点列收敛等概念. (2)理解并掌握度量空间中的内点,极限点,开集闭集,闭包等. (3)理解并掌握列紧集及紧集的概念,紧集、列紧集上的连续映射的性质. (5)熟练掌握压缩映照原理及其应用. 3、重点、难点 重点:度量空间的紧性、不动点定理. 难点:具体度量空间上紧性的判别、压缩映射的构造及不动点定理的具体应用. (二)赋范线性空间(10学时) 1、具体内容 赋范空间的定义,范数的等价性,有限维赋范空间, Schauder基等. 2、基本要求 (1)理解线性空间和范数的概念以及相关的例子. (2)掌握范数的等价性及判别方法. (3)掌握具有基的Banach空间、有限维赋范线性空间的性质. (4)线性连续泛函与Hahn-Banach保范延扩定理. 3、重点、难点 重点:有限维赋范空间的性质和Hahn-Banach保范延扩定理. 难点:Hahn-Banach保范延扩定理及其推论的应用. (三) 有界线性算子(10学时) 1、具体内容
第八章 巴拿赫空间上的有界线性算子 算子 线性算子 非线性算子 无界线性算子 有界线性算子 §1 有界线性算子 1.1 有界线性算子的基本概念与性质 定义1.1 设E 及1E 都是实(或复的)线性空间,T 是由E 的某个子空间D 到线性空间1E 中的映射,如果对任意 D y x ∈,,有 ()Ty Tx y x T +=+ 则称T 是可加的。若对任意的实(或复)数α及任意的 D x ∈,有 ()Tx x T αα= 则称T 是齐次的。可加齐次的映射称为线性映射或线性算子。D 中使θ=Tx 的元素x 的集合称为T 的零空间。 设1E 是实(或复)数域,于是T 成为由D 到实(或复)
数域的映射,这时称T 为泛函。如果T 还是线性的,则称T 为线性泛函。泛函或线性泛函常用g f ,等符号表示。 定义1.2 设E 及1E 都是实或复的赋范线性空间,D 为E 的子空间,T 为由D 到1E 中的线性算子。如果按照第六章§2.3定义2.6,T 是连续的,则称T 为连续线性算子。如果T 将D 中任意有界集映成1E 中的有界集,则称T 是有界线性算子。如果存在D 中的有界集A 使得()A T 是1E 中的无界集,则称T 是无界线性算子。 例 1 将赋范线性空间E 中的每个元素x 映成x 自身的算子称为E 上的单位算子,单位算子常以I 表示.将E 中的每个元素x 映成θ的算子称为零算子. 容易看出,单位算子与零算子既是有界线性算子也是连续线性算子. 例 2 连续函数的积分 ()()?= b a dt t x x f 是定义在连续函数空间[]b a C ,上的一个有界线性泛函,也是连续线性泛函.* 例 1、例 2中出现的线性算子或线性泛函既是有界的又是连续的.对线性算子来说,有界性与连续性等价(见定理1.3). 定理 1.1 设E ,1E 都是实赋范线性空间,T 是由E 的
泛函分析论文 (数学与计算机科学学院数11 赵洁 1060211014036)摘要:本文简单介绍泛函分析方法的基本理论,以及其在力学和工程的若干应用,包括泛函观点下的结构数学理论、直交投影法等。 关键字:泛函分析 1.引言 泛函分析是研究拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支 学科。它是20世纪30年代形成的。从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的,它运用几何学、代数学的观点和方法分析学的课题,可看作无限维的分析学。 2.泛函分析概述 2.1泛函分析的产生 十九世纪以来,数学的发展进入了一个新的阶段。这就是由于欧几里得第五公社的研究,引出了非欧几何这门新的学科;对于代数方程求解的一般思考,最后建立并发展了群论;对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用同一观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。 本世纪初,瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中,出现了把分析学一般化的萌芽。随后,希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代,在数学界已经逐渐形成了一般分析学,也就是泛函分析的基本概念。 由于分析学中许多新部门的形成,揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。这种相似在积分方程论中表现的更突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关,都存在着类似的地方。 非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知,n维空间几何的产生允许我们把 多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样,就显示出了分析和几何之间相似的地方,同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广,以至最后把欧式空间扩充成无穷维数的空间。 这时候,函数概念被赋予了更为一般的意义,古典分析中的概念是指两个数集之间所建立的某种对应关系。 在数学上,把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论,就生了一门新的分析数学,叫做泛函分析。在二十世纪三十年代,泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。 2.2泛函分析的特点和内容 泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了,而且还把这些概念和方法几何化了。它既包含了以前讨论过的几何对象,也包括了不同的函数空间。 泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。N维空间可以用来描述具体有n个自由度的力学系统的运动,实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。一般来说,从质点力学过渡到连续介质力学,就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。 正如研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学和微积分学作为工具一样,研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学,这正是泛函分析的基
第4章 线性算子与线性泛函 4.1 有界线性算子 4.1.1 线性算子与线性泛函 算子概念起源于运算。例如,代数运算、求导运算、求不定积分和定积分、把平面上的向量绕坐标原点旋转一个角度等等。在泛函分析中,通常把映射称为算子,而取值于实数域或复数域的算子也称为泛函数,简称为泛函。本章着重考察赋范线性空间上的线性算子,它是出现在各个数学领域中具有线性性质的运算(例如线性代数中的线性变换;微分方程论、积分方程论中大量出现的微分、积分运算、积分变换等)的抽象概括。它是线性泛函分析研究的重要对象。关于线性算子的理论不仅在数学的许多分支中有很好的应用,同时也是量子物理的数学基础之一。中国物理学界习惯上把算子称为算符。 定义4.1.1 设F 是实数域或复数域,,X Y 是F 上的两个线性空间,D 是X 的线性子空间, :T D Y →是一个映射. 对x D ∈,记x 经T 映射后的象为 Tx 或 ()T x . 若对,x y D ?∈及数,αβ∈F , 有 ()()()T x y T x T y αβαβ+=+(或 Tx Ty αβ=+) (4.1.1) 则称T 是线性算子. 称D 是T 的定义域,记为()T D ; 称集(){}T D Tx x D =∈(或TD )为T 的值域(或象域),记为()T R . 取值为实数或复数的线性算子T (即:()T ?F R , 1 =F R 或1 C )分别称为实的或复 的线性泛函,统称为线性泛函。 注 今后所讨论的算子(泛函)都是线性算子(线性泛函)。 例4.1.1 设1 [0,1],[0,1]X C Y B ==([0,1]上有界函数全体),定义 d ()()()d Tx t x t t = , 则T 是X 到Y 的线性算子。 例4.1.2 设[,]X C a b =,(,)K t s 是[,][,]a b a b ?上的二元连续函数,定义 ()()(,)()d b a Tx t K t s x s s =?,
泛函分析范文 泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科,是从变分问题, 积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论,几何学,现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函,算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。泛函分析在数学物理方程,概率论,计算数学等分科中都有应用,也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。 泛函分析(FunctionalAnalysis)是现代数学的一个分支,隶属 于分析学,其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对函数的变换(如傅立叶变换等)的性质的研究和对微分方程以及积分方 程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法,代表作用于函数的函数。巴拿赫(StefanBanach)是泛函分析理论的主要奠基人之一,而数学家兼物理学家维多·沃尔泰拉(VitoVolterra)对泛函分析的广泛应用有重要贡献。 由于泛函分析源自研究各种函数空间,在函数空间里函数列的 收敛有不同的类型(譬如逐点收敛,一致收敛,弱收敛等等),这说明函数空间里有不同的拓扑。而函数空间一般是无穷维线性空间。所以抽象的泛函分析研究的是一般的(无穷维的)带有一定拓扑的线性空间。 拓扑线性空间的定义就是一个带有拓扑结构的线性空间,使得 线性空间的加法和数乘都是连续映射的空间。 巴拿赫空间
这是最常见,应用最广的一类拓扑线性空间。比如有限闭区间上的连续函数空间,有限闭区间上的k次可微函数空间。或者对于每个实数p,如果p≥1,一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。(参看Lp空间) 在巴拿赫空间中,相当部分的研究涉及到对偶空间的概念,即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构,但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。 微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广,微分算子作用于其上的所有函数,一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。 希尔伯特空间 希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类,即对于任意两个希尔伯特空间,若其基的基数相等,则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言,其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言,其上的任何态射均可以分解为可数维度(基的基数为50)上的态射,所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是,是否对于每个希尔伯特空间上的算子,都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。 在具体的函数空间上,我们有对函数的各种各样的操作。最典型的是对函数求导数的操作。这样的操作一般叫做算子。作为一个拓
“泛函分析”课程教学大纲 (本教学大纲按适用专业分(A)、(B)两类) “泛函分析”课程教学大纲(A) 课程编号00834250 课程名称泛函分析 英文名称Functional Analysis 课程学分 4 课程学时数64 开课学期春季 适用专业数理学基地班, 数学与应用数学 先修课程数学分析,高等代数,实变函数 一、基本教学目的和任务 泛函分析是20世纪初从变分法、微分方程、积分方程、函数论、量子物理等研究中发展起来的数学分支学科,它综合函数论、几何和代数的观点与方法研究解决数学中提出的重要问题。泛函分析是大学数学系的一门重要的专业主干基础课。 本课程主要讲述线性泛函分析。使学生了解和掌握空间、线性算子以及线性算子空间、线性算子谱理论的基本概念和基本理论。本课程的基本目的是使学生把具体的分析、代数、几何中的问题抽象到一种更加纯粹的形式中加以研究,使学会综合运用分析、代数、几何手段处理问题的方法。本课程在数学系的课程体系中具有承上启下的作用,可以使学生从全新的视点审视和处理数学基础课程的内容和问题,为学生进一步学习近代数学、近代物理、从事数学和应用数学研究打下基础。 二、课程内容与建议学时 本课程的内容包括以下几个部分: 绪论、距离空间、赋范空间、内积空间与Hilbert空间、有界线性算子、共轭空间和共轭算子以及线性算子的谱理论。 绪论从有限维空间元素的分解、对称矩阵按照特征值对角化等实例出发,采用类比、归纳等方法引入无穷维空间、线性算子、谱理论这样一些抽象概念;通过数学分析、线性代数、微分方程中一些熟悉的例子,研究和探讨如何类比地建立起无穷维空间框架,把有限维空间的数学方法自然地推广到无穷维空间。
Banach空间的有界线性算子 定义: E及E1都是实的线性空间,T:D?E→F?E1,IF,?x,y∈D,T(x+y)=Tx+Ty,则T是可加的,IF?实数α&&x∈D,有T(αx)=αTx,则T是齐次的。可加齐次的映射称为线性映射或线性算子。 T是连续的,则T为连续线性算子。 IF T将D中任一有界集映成有界集,则T是有界的,ELSE,T是无界的 定理: E,E1是实赋范线性空间,T是由E的子空间D到E1中的连续可加算子,则T满足齐次性,因此T是连续线性算子。 E,E1是赋范线性空间,T是由E的子空间D到E1中的线性算子,则T有界的充要条件是?M>0,ST,?x∈D,||Tx||≤M||x||。 E,E1是赋范线性空间,T是由E的子空间D到E1中的线性算子,IF T在某点x0∈D连续,则T在D连续。 E,E1是赋范线性空间,T是由E的子空间D到E1中的线性算子,则T连续的充要条件是T有界。 定义: E,E1是赋范线性空间,T是由E的子空间D到E1中的线性算子。ST ||Tx||≤M||x||对?x∈D都成立的整数M的下确界为T的范数,记||T||. 定理: E,E1是赋范线性空间,在B(E,E1)中定义线性运算: (T1+T2)x=T1x+T2x.(αT)x=α(Tx)则B(E,E1)是一赋范线性空间。 定义: 称B(E,E1)为线性算子空间,B(E)称为定义在E上的有界线性算子。 T,Tn∈B(E,E1),IF Lim||Tn-T||=0,则{Tn}按算子范数(一致算子拓扑)收敛于T 定理: Tn,T∈B(E,E1),{Tn}按一致算子拓扑收敛于T的充要条件是{Tn}在任意有界集上一致收敛于T E1是B空间,则B(E,E1)也是B空间。 定义: T,Tn∈B(E,E1),IF?x∈E,Lim||Tnx-Tx||=0,则{Tn}强(强算子拓扑)收敛于T 开映射定理: 有界线性算子T将B空间E映射成B空间E1中的某个第二类集F,则F=E1且?M0>0,ST,?y∈E1,?x∈E,Tx=y&&||x||≤M0||Tx|| 推论:
本章讨论的点集理论,不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础,也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型. 学习本章时应注意以下几点. 1、本章的基本概念较多,且有些概念(如内点、聚点、边界点等)相互联系,形式上也常有类似之处,因而容易混淆. 学习这些概念时要细心认真,注意准确牢固地掌握每一个概念的实质,学习时可同其类似的概念对照,注意区别概念间的异同点. 尤其要注意的是,本章对有些概念(如聚点),给出了多种等价(充要)条件,这将有利于理解概念的本质,特别是在讨论某些具体问题时,如能恰当地选用某种条件,常常会给问题的解决带来方便. 所以对等价条件必须深刻理解,熟练灵活地运用. 2、在开集、闭集和完备集的性质的讨论中,开集是基础,因为闭集是开集的补集,完备集是一种特殊的闭集,所以弄清了开集的性质,闭集和完备集的性质也就自然得到了. 3、本章中定理亦较多,对定理的学习,要注意弄清下述三点:一是定理的条件和要证的结论;二是定理的证明方法和推理过程;三是定理的意义和作用. 要特别注意论证思路和方法,这样才能逐步提高分问题和解决问题的能力. 同是定理, 然它们的意义和作用也会不尽相同.本章有些定理,如有限覆盖定理(定理),聚点存在定理(定理)以及直线上开集的结构定理(定理)等都是本章中的重要定理,在今后的学习中常有应用. 4、康托集是本章给出的一个重要例子. 对它的一些特殊性质,在直观上是难以想象的,比如它既是不包含任何区间的完备集,同时它还具有连续基数 ,下章中我们还将证明它的测度为零. 正是因为它的这些“奇怪”性质,使得它在许多问题的讨论中起着重要作用. 复习题 一、判断题 1、设P ,n Q R ∈,则(,)0P Q ρ=?P Q =。(× ) 2、设P ,n Q R ∈,则(,)0P Q ρ>。(× ) 3、设123,,n P P P R ∈,则121323(,)(,)(,)P P P P P P ρρρ≥+。 (× ) 4、设点P 为点集E 的内点,则P E ∈。(√ ) 5、设点P 为点集E 的外点,则P E ?。(√ ) 6、设点P 为点集E 的边界点,则P E ∈。(× ) 7、设点P 为点集E 的内点,则P 为E 的聚点,反之P 为E 的聚点,则P 为E 的内点。(× ) 8、设点P 为点集E 的聚点,则P 为E 的边界点。(× ) 9、设点P 为点集E 的聚点,且不是E 的内点,则P 为E 的边界点。(√ ) 10、设点P 为点集E 的孤立点,则P 为E 的边界点。(√ ) 11、设点P 为点集E 的外点,则P 不是E 的聚点,也不是E 的边界点。(√ ) 12、开集中的每个点都是内点,也是聚点。(√ ) 13、开集中可以含有边界点和孤立点。(× )
第3章 连续线性算子与连续线性泛函 本章将介绍赋范线性空间上,特别是Banach 空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论,涉及到泛函分析的三大基本定理,即共鸣定理,逆算子定理及Hahn-Banach 定理。他们是泛函分析早期最光辉的成果,有广泛的实际背景,尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。 3.1 连续线性算子与有界线性算子 在线性代数中,我们曾遇到过把一个n 维向量空间n E 映射到另一个m 维向量空间m E 的运算,就是借助于m 行n 列的矩阵 111212122212 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ??? 对n E 中的向量起作用来达到的。同样,在数学分析中,我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算,即微分和积分的运算等。把上述的所有运算 抽象化后,我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。撇开各类算子的具体属性,我们可以将它们分成两类:一类是线性算子;一类是非线性算子。本章介绍有界线性算子的基本知识,非线性算子的有关知识留在第5章介绍。 [定义3.1] 由赋范线性空间X 中的某子集D 到赋范线性空间Y 中的映射T 称为算子,D 称为算子T 的定义域,记为()D T ,为称像集(){} ,y y Tx x D T =∈为算子的值域,记作()T D 或TD 。 若算子T 满足: (1)()()(),T x y Tx Ty x y D T +=+?∈ (2)()()(),T x Tx F x D T ααα=?∈∈ 称T 为线性算子。对线性算子,我们自然要求()T D 是X 的子空间。特别地,如果T 是由X 到实数(复数)域F 的映射时,那么称算子T 为泛函。 例 3.1 设X 是赋范线性空间,α是一给定的数,映射:T x x α→是X 上的线性算子,称为相似算子;当1α=时,称T 为单位算子或者恒等算子,记作I 。 例3.2 [],x C a b ?∈,定义()()t a Tx t x d ττ= ? 由积分的线性知,T 是[],C a b 到[],C a b 空间中的线性算子。若令 ()()[](),b a f x x d x C a b ττ =?∈?
泛函分析中的概念与命题 赋范空间,算子,泛函 定理:赋范线性空间就是有限维的当且仅当它的单位球就是列紧的;有限维赋范线性空间上的任两 个范数就是等价的;有限维赋范线性空间就是Banach 空间、 定理:M 就是赋范线性空间()||||,?X 的一个真闭线性子空间,则,1||||,,0=∈?>?y X y ε使得: M x x y ∈?->-,1||||ε 定理:设X 就是赋范线性空间,f 就是X 上的线性泛函,则 1、* X f ∈()()的闭线性子空间是X x f X x f N }0|{=∈=? 2、()()中稠密在是不连续的非零线性泛函X f N x f ? 定理:()空间是空间是则是赋范空间,Banach ,Banach },{,Y X B Y X Y X ?≠θ ()()()||||||||||||,,,,,,,,B A AB Z X B AB Z Y B Y X B A Z Y X ≤∈∈∈且则是赋范空间, 可分B 空间:()()[]可分b a C c c p l L p P ,,,,1,1,00∞<≤ ()∞∞l L ,10, 不可分 Hahn-Banach 泛函延拓定理 设X 为线性空间,上的实值函数是定义在X p ,若: (1)()()()()为次可加泛函则称p X y x y p x p y x p ,,,∈?+≤+ (2)()()() 为正齐性泛函,则称p X x x p x p ∈?≥?=,0,ααα (3) ()()() 为对称泛函,则称p X x x p x p ∈?∈?=,K ,||ααα 实Hahn-Banach 泛函定理: 设X 就是实线性空间,()x p 就是定义在X 上的次可加正齐性泛函,0X 就是X 的线性子空间,0f 就是定义在0X 上的实线性泛函且满足()()()00X x x p x f ∈?≤,则必存在一个定义在X 上的实线性泛函f ,且满足: 1.()()()X x x p x f ∈?≤0 2、 ()()()00X x x f x f ∈?= 复Hahn-Banach 泛函定理: 设X 就是复线性空间,()x p 就是定义在X 上的次可加对称泛
Hirbert空间上的有界线性算子 LISE定理: H空间U上的每个有界线性泛函f 1? u∈U,ST,f(x)=(x,u),||f||=||u|| 伴随算子: (Tx,y)=(x,T*y) ||T||=||T*|| 定理: T1,T2是H空间上的自伴算子,则T1T2是自伴算子的的充要条件是 T1与T2可交换 定理: T是H空间U上的自伴算子,M为T的值域,N为T的零空间,则N=M⊥ 定理: T是H空间U上的自伴算子,则T的任一特征值必为实数,且对应与不同特征值的特征向量相互正交 定理: T是H空间U上的自伴算子,令m=inf{(Tx,x):x∈U,||x||=1}M=sup{(Tx,x):x∈U,||x||=1}则||T||=max{|m|,|M|} 推论: T是H空间U上的自伴算子,则||T||=sup{|(Tx,x)|:x∈U,||x||=1} 定义: U是实H空间,T∈B(U)为自伴算子,IF任意x∈U,(Tx,x)≥0,则T为正算子,记T≥0 定义: {Tn}为自伴算子列,if任意n有Tn≤Tn+1,则{Tn}是单调上升列,单调上升及单调下降的自伴算子列统称为单调算子列。 定理: {Tn}为一致有界的单调自伴算子列,则1?自伴算子T,ST,{Tn}按强算子拓扑收敛于T 定理: T为正算子,则1?正算子S,S2=T,S是T的某一多项式按强算子拓扑收敛的极限。 推论: T为正算子,x0∈U,if (Tx0,x0)=0,则Tx0=0 推论: 自伴算子T1≥T2正算子T与T1,T2均可换,则TT1≥TT2.特别的,T2=0时TT1≥0 定义: U是内积空间,A()是定义在U的二元泛函,IF 任意x,y,z∈U,αβ∈C有A(αx+βy,z)=αA(x,z)+βA(y,z) A(x,αy+βz)=α~A(x,y)+β~A(x,z)