怎么学习数学分析
怎么学习数学分析
首先，我想需要有兴趣.兴趣是最好的老师，有了兴趣，钻研起来就有很大的动力，
就能发掘出数学分析中更多美妙的东西，从而获得很大的乐趣和愉悦感，形成良性循环.
我在教学中也会尽量培养大家的兴趣.例如，在学习了弧长公式之后，我介绍了著名的等
周问题的一个非常简捷的初等证明.如此有名的历史难题居然在我们的知识范围内就能解
答了! 想必大家会有一种成就感，并有进一步学习的冲动.
其次，所谓"学而不思则罔".在学习过程中一定要勤于思考，要多问几个为什么.其实
在这短短的几周里，我们已经接触了几个很深刻的问题.例如，在导出弧长公式后，我们
指出并证明了弧长公式与曲线的参数方程的选择无关这一重要事实.这与曲线弧长应是其
固有属性的要求是相符的.但这个思考在许多数学分析的书中是没有的.然而数学对象的"
内蕴"的本质和其表观现象的关系是许多数学学科中必须考虑的重大问题.我们希望通过这
个例子使大家在今后的学习中有这个意识.又比如，我们在求封闭的参数曲线所围面积的
计算公式时，假设曲线的起点同时也是终点是曲线上最左边的点.大家不妨追问：为何可
以这么设?如果不满足这个假设，怎样得到结果?
再次，正如前面所说，在数学分析中往往会用到几何和代数的方法.因此我们要多与
其他课程学到的知识进行联系.例如上面的面积问题，如果不满足前述假设，我们可以转轴，使得在新的坐标系下曲线的起点是最左的点.这就和解析几何中的坐标变换联系起来了.建议大家自己去写出详细推导过程.又如，许多数学分析的定理和习题都有一定的几何
意义.如果能多从几何意义上考虑，捕捉到问题的几何意义，那么常常也就得到解决问题
的思路了.最后，很重要的一点是：为了记号的简捷，也为了使我们的思维更有条理，在
多元函数微积分部分我打算大量使用矩阵和向量的记法.线性代数即高等代数由此进入数
学分析，这是比较现代的做法.除了上述好处，以及使大家更接近现代数学的前沿外，我
认为对数学分析和高等代数两门课程的学习都会有促进作用.
还有，我想针对习题说几句.根据助教的反馈以及部分同学的"交代"，不少人在做作
业时都有参考现成答案的行为.正如我在文[1]中所说，每道好的习题都是非常珍贵的.一
旦答案，就是放弃了一次独立思考的机会.这是非常可惜的.有许多同学也为不能解答一些
习题而苦恼.其实，解题过程中遇到一些困难是很正常的事.如果你感到对课文中的概念以
及定理的证明已经比较有信心了，并且能解答一部分习题，那么应该说你已经掌握了该节
的基本知识.这时你完全不必为证不出某几道题而灰心.经过努力而暂时做不出的题目，过
些时候你再回来对付它们，也许就能做出来.即使一直做不出来，也无伤大雅.按我的经验，许多"难"题对今后的学习和研究并没有什么用处.总之，对做习题这件事，不要太苛求，
顺其自然为好.即使去看习题的解答，也要以鉴赏的态度和眼光去审视它，而不是急于占
有它、急于把它``变成自己的";另外就是要找出自己的不足之处，这样你才会真正拥有它.学习是个循序渐进的过程，切不可操之过急.
最后，我想强调学习数学不是靠记忆.你把书本背得滚瓜烂熟，却不去通过思考领会
其思想精髓，那是没有用的.记得《笑傲江湖》中，风清扬让令狐冲忘记他所学的各种招数，结果令狐冲"无招胜有招"，领悟了上乘剑法.有时忘记某些东西未尝不是好事.正巧在
这方面，我在文[2]中记录了最近的一个愉快经历，大家可以去看一下.如果我当时记得那
个结果是泛函分析中的标准结果，或者我记得如何用算子级数证明它，那我就不可能利用Riesz定理给出那个漂亮的新证明.
学习数学分析的目的
大家知道数学大体可分为分析，几何，还有代数三部分.数学分析的学习首先是为
后续所有的分析类课程和物理学等课程打好基础，做好知识上的准备.需要强调的是，我
们应该注意数学是个有机的整体，任何人为地把数学割裂开的做法都是不可取的.上面对
数学的划分我认为主要是从研究方法上来考虑的.正如在数学分析中常常用到几何和代数
方面的结果和思想一样，数学分析也可能对几何或代数的学习和研究有借鉴作用，甚至有
不可或缺的作用.只是在大学阶段这种影响除了在微分几何中有所体现外，似乎不是太明显.
学习数学分析的另一个重要作用是进行近代数学思维方法的训练.数学讲究逻辑推理，讲究严密性.实际上微积分发展历程中很浓重的一笔就是微积分的严密化.这项工作就耗费
了几代数学家二百多年的时间，最终以极限的ε -δ 定义和实数理论的建立为标志得以
完成.所以，ε -δ 是贯穿于整个数学分析学习过程的重要方法，大家一定要掌握这个
用静态的白纸黑字描述动态的极限过程的利器.
在数学分析的学习中，几何和代数的方法常常渗透进来.许多数学分析的定理都有明
显的几何意义，许多定义在几何上也很直观，很自然.这一切都体现了数学的统一，数学
的美.许多数学分析定理和习题的证明也很睿智，很美丽，闪烁着人类智慧的光芒.我想说，感受数学的这种美，也是学习数学分析应该追求的一种境界.这个学习目的，却是常常被
人们忽视的.
最后，数学分析的理论博大精深，它在许多实际问题中都有直接的应用.例如有些优
化问题可以归结为最值问题，进而用微分学的方法加以解决.在数学分析中介绍一些简单
的应用应该能提高大家的兴趣.但我想这门课程还是应该以基础理论的学习为主，应用部
分的展开应该是在数学模型课程中，与其他数学理论的应用一起进行.
感谢您的阅读，祝您生活愉快。