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材料力学B精选题12

动载荷

1. 重量为P 的物体，以匀速v 下降，当吊索长度为l 时，制动器刹车，起重卷筒以等减速在t 秒后停止转动，如图示。设吊索的横截面积为A ，弹性模量为E ，动荷因数K d 有四种答案： (A) gPl EA v

； (B) gPl

EA t v

； (C) gt v ； (D) gt v

+1。

答：D

2. 图示一起重机悬吊一根工字钢，由高处下降。如在时间间隔t 内下降速度由v 1均匀地减小到v 2 (v 2＜v 1)，则此问题的动荷因数为： (A) gt v v 2121+-； (B) gt v v 212

1++； (C) gt v v 211--

； (D) gt

v v 2

11-+。答：C

3. 长度为l 的钢杆AB ，以匀角速度绕铅垂轴OO ′旋转，若钢的密度为ρ，许用应力为[σ ]，则此杆的最大许可角速度ω 为（弯曲应力不计）：

(A) ρσ][1l ； (B) ρσ][21l ；

σ][22l 。

答：D

4. 长度为l 的钢杆AB 以匀角速度绕铅垂轴OO ′旋转。已知钢的密度ρ和弹性模量E 。若杆AB 的转动角速度为ω，则杆的绝对伸长?l 为（弯曲应力不计）： (A) ρω2 l 3 / 12E ； (B) ρω2 l 3 / 8E ； (C) ρω2 l 3 / 4E ； (D) ρω2 l 3 / 3E 。答：

5. 图示钢质圆盘有一偏心圆孔。圆盘以匀角速度ω 旋转，密度为ρ。由圆盘偏心圆孔引起的轴内横截面上最大正应力max σ为： (A) 3

18)(d a d ωρδ；

(B)

14)

a d ωρδ；

1)(4d a d ωρδ； (D) 3

1)(8d

a d ωρδ。答：C

6. 直径为d 的轴上，装有一个转动惯量为J 的飞轮A 。轴的速度为n 转/秒。当制动器B 工作时，在t 秒内将飞轮刹停（匀减速），在制动过程中轴内最大切应力为： (A)

3π16d ntJ ； (B) 3πtd J

n ； (C) 3

32td nJ ； (D) 3π32td J n 。

答：C

7. 材料密度为ρ，弹性模量为E 的圆环，平均直径为D ，以角速度ω 作匀速转动，则其平均直径的增量?D = 。答：E

D D 4Δ2

3ωρ=

8. 杆AB 单位长度重量为q ，截面积为A ，弯曲截面系数为W ，上端连有重量为P 的重物，下端固定于小车上。小车在与水平面成α角的斜面上以匀加速度a 前进，试证明杆危险截面上最大压应力为：

g a ql P gW al ql P )]/sin (1)[(cos )]2/([αασ++++=

证：gA

a ql P A ql P ασsin )(+++=

' g W a q l Pl α

σcos )]2/([2+=''

g a ql P gW al ql P )]

/sin (1)[(cos )]2/([αασσσ++++=

''+'=

9. 杆AB 以匀角速度ω 绕y 轴在水平面内旋转，杆材料的密度为ρ，弹性模量为E ，试求：

(1)

(2) 杆的总伸长。解：x A q 2d ρω=

)()(222d x l A x F -=ρω

)

()(222d x l x -=

ρωσ

l x x l E l l

32d )(22Δ3

ρωρω=-?=? 10. 图示桥式起重机主梁由两根16号工字钢组成，主梁以匀速度v =1 m/s 向前移动（垂直纸面），当起重机突然停止时，重物向前摆动，试求此瞬时梁内最大正应力（不考虑斜弯曲影响）。解：a n =

v = 0.2 m/s 2

511n

d =???

? ??+=g

a P F kN 9.18041

d max d =?=W

F σ MPa

11. 图示重物P =40 kN ，用绳索以匀加速度a =5 m/s

2向上吊起，绳索绕在一重为

W =4.0 kN ，直径D =12 mm 的鼓轮上，其回转半径ρ=450 mm 。轴的许用应力 [σ ]=100 MPa ，鼓轮轴两端A 、B 处可视为铰支。试按第三强度理论选定轴的直径d 。

解：41.601d =????

??+=g a P F kN 产生扭矩 25.362

d d1==

F T kN·m 1.1614max =??

????+????

??+=W P g a l M kN·m 动扭矩 69.02

.15

245.08.9100.4232d2=????=?==αραg P J T

kN·

3mm 101412??=z W (两根)

总扭矩 94.36d2d1=+=T T T kN·m

d ≥160]

[π)

(323

max =+σT M mm

12. 图示钢轴AB 的直径d = 80 mm

质圆杆CD ，钢材密度ρ= 7.95×103 kg/m 3。若轴AB 度ω =40 rad/s 转动，材料的许用应力[σ ]=70 MPa AB 、CD 的强度。

解：杆CD 的最大轴力

47.11)(2d 2222

max d =-=

=?C D r r r r A r r A F D C

ωρωρkN 杆CD 杆最大动应力

][MPa 28.2max

d max σσ<==

F 杆AB 9.35116.703.34418

142

max d max =+=+=

AB AB Agl l F M ρ N·m 87.69max

max ==

W M σ MPa

13. 图示连杆AB ，A 与曲轴的曲柄颈相连，曲轴以等角速度ω 绕轴O 旋转。B

与滑块相连，作水平往复运动。设l >>R ，连杆密度ρ、横截面面积A 、弯曲截面系数W z 均为已知，试求连杆所受的最大正应力。解：AB 杆上的惯性力集度 0,I 2I ==B A q R A q ωρ l

A x q 2

I )(ωρ=

方向垂直于AB

弯矩分布规律 3I I 61

61)(x q l

lx q x M A A -= 由

0d )

(d =x

x M 得l x 33=处有M max 2

2m a x 27333Rl A

l M M ωρ=???

? ??= z

z W l AR W M 2732

2max max

ωρσ=

= d

14. 图示(a)、(b)、(c)三个系统中的杆AB 的几何尺寸及重量和弹簧的刚度及长度均相同，它们受到重量相同的重物的落体冲击，其动荷因数分别用(K d )a 、(K d )b 、(K d )c 表示，下列四种答案中： (A) (K d )a = (K d )b ＞(K d )c ； (B) (K d )a ＜(K d )b ＜(K d )c ； (C) (K d )a = (K d )b ＜(K d )c ； (D) (K d )a ＞(K d )b ＞(K d )c 。答：C

15. 等直杆上端B 受横向冲击，其动荷因数st

d g Δv K =

，当杆长l 增加，其余条件不变，杆内最大弯曲动应力将： (A) 增加； (B) 减少；

16. 图示梁在突加载荷作用下其最大弯矩M d max = 。

答：Pl 9

17. 两根悬臂梁如图示，其弯曲截面系数均为W ，区别在于图(b)梁在B 处有一弹簧，重物P 自高度h 处自由下落。若动荷因数为st

d 2Δh

K =，试回答：（1）哪根梁的动荷因数较大，为什么？（2

解：（1）图(a) EI Pl Δ33

st =

图(b) EI

F P ΔB 3)(3

st -=

故图(b)的K d 大。（2）图(a) Wl

EIhPl

6max =σ 图(b) Wl

F P EIh B )(6max -=

σ，故图(a)的冲击应力大。

(a)(b)

(c)

18. 一铅垂方向放置的简支梁，受水平速度为v 0的质量m 的冲击。梁的弯曲刚度为EI 。试证明梁内的最大冲击应力与冲击位置无关。

证：EI

l M EIl b a F ΔF mv 6621

212max

d 2

d d 20=== l

mv M 20

max d 3=

而梁内最大冲击正应力与M d max 成正比，由M d max 知σ d max 与冲击位置（a ，b ）值无关。

19. 图示等截面刚架的弯曲刚度为EI ，弯曲截面系数为W ，重量为P 的重物自由下落时，试求刚架内m ax d σ（不计轴力）。

解：EI

Pa Δ343st =

d 2311Pa EIh

K ++=

W Pa

Pa EIh K ???? ?

?++==3st d d 2311σσ

20. 图示密度为ρ的等截面直杆AB ，自由下落与刚性地面相撞，试求冲击时的动荷因数。假设杆截面x 上的动应力l

x ?=

max d d )(σσ。

解：??===V l E Al x A El

x V E x V 02max d 222max d 2d εd 6)d (2d 2)]([σσσ h g A l E ?=)(p ρ

由 g Eh V E ρσ6,max d d p ==得ε gl ρσ=max st g

Eh l K ρσσ61max st max d d =

21. 自由落体冲击如图示，冲击物重量为P ，离梁顶面的高度为h 0，梁的跨度为l ，矩形截面尺寸为b ×h ，材料的弹性模量为E ，试求梁的最大挠度。解：st

d 211Δh K +

+= 3

st 448Ebh Pl

EI Pl Δ==

333m

a x st 8332Ebh

Pl EI Pl Δ== ???

? ?????? ??++==33330m a x st d max d 83811Ebh Pl Pl Ebh h ΔK Δ

22. 图示等截面折杆在B 点受到重量P =1.5 kN 的自由落体的冲击，已知折杆的

弯曲刚度EI = 5×104 N·m 2。试求点D 在冲击载荷下的水平位移。

解：53

st 1083-?==EI

Pl ΔAB

m 37.36211st

d =+

+=Δh

K 52st 1062)(-?==

l Pl ΔCD

AB Dx m 18.2)()(st d d ==Dx Dx ΔK Δ mm

23. 图示等截面折杆，重量为P 的重物自h 高处自由下落于B 处，设各段的弯曲刚度均为EI ，已知P 、a 、h 、EI 。试求D 处的铅垂位移（被冲击结构的质量不计）。

解：EI

Pa Δ383st =

d 4311Pa

EIh

K +

+= EI

w D 32)(3

st =

????

????? ??++==EI Pa Pa EIh w K w D D 324311)()(33st d d

24. 重物P 可绕点B 在纸平面内转动，当它在图示位置时，其水平速度为v 0。梁AC 的长度l 和弯曲刚度EI 为已知，试求冲击时梁内最大正应力。解：??

? ??+==

d p 2

0k 221Δl P E v g

P E

d d d

d εd 2

ΔF ΔF ΔF V ==且

式中 EI

Pl Δ83

st =

由εd p k V E E =+得

02st 2

0d st 2

=???

??+--Δg v l ΔΔΔ 解得 st d d ΔK Δ=

???

? ??++

+=l g v ΔK 20st

d 1

11 W

2st =

σ, st d max d σσK =

25. 图示悬臂梁AB ，其截面高度h =20 mm ，宽度按等腰三角形变化，B 端的宽度为b 0 =50 mm ，梁长l =1 m ，在A 端受到重量P =200 N 的重物自高度h =200 mm 处自由下落的冲击作用，设材料的弹性模量E =200 GPa 。试求： (1) 冲击时梁内的最大正应力；

(2) 若将梁改为宽度b =b 0 =50 mm 的等宽梁，h 不变，冲击时梁内的最大正应力是增加还是减少？其增加或减少的倍数为多少？解：(1) 3

012)()(h

Eb Pl

x EI x M w -==

'' C x h

Eb Pl

w +-='3

012 D Cx x h Eb Pl w ++-

06 3

120,h Eb Pl C w l x =='=得 3

,h Eb Pl D w l x -

===得故 st 3

m 015.060Δh Eb Pl D w x =-=-===时（↓） 26.6211st

d =++=Δh K 6062

0st ==

b Pl

σ MPa, 6.375st d max d ==σσK MPa (2) 01.033

=='EI Pl Δ m, 4.7211st

0d ='++='Δh K 444st d max d =''='σσK MPa

182.1max

d max d

='=

σσn （倍）

26. 图示重物P 从高度h 0处自由下落到钢质曲拐上，AB 段为圆截面，CB 段为矩形截面，试按第三强度理论写出截面A 的危险点的相当应力（自重不计）。

解： 3

342st 4364π32Ebh Pa EI Pl d G l Pa Δ++= st 0d 211Δh

K ++=

2st 3r π32)(d

a l P W

T M +=+=

σ st 3r d d 3r )()(σσK =

27. 图示钢质圆杆，受重为P 的自由落体冲击，已知圆杆的弹性模量E = 200 GPa ，直径d = 15 mm ，杆长l = 1 m ，弹簧刚度k = 300 kN/m ，P = 30 N ，h = 0.5 m ，试求钢杆的最大应力。

解：1.0st =+=k

P EA Pl Δ mm

101211st

d =+

+=Δh

K 15.17st d d ==σσK MPa

28. 已知图示方形钢杆的截面边长a = 50 mm ，杆长l = 1 m ，弹性模量E = 200 GPa ，比例极限p σ= 200 MPa ，P = 1 kN 。试按稳定条件计算允许冲击高度h 值。解：3st 102-?==

Δ mm 35.99π

p ==σλE

, p 2

min

56.13812

5010002λμλ>=?=

i l

02.257)

(π2

2cr ==l EI

F μ kN 因为 P K F d cr = 故 12102.257st

cr d ++

===Δh

P F

K 得 h = 65.5 mm

29. 图示悬臂钢梁，自由端处吊车将重物以匀速v 下放，已知梁长为l ，梁的弯曲刚度为EI ，绳长为a ，绳的横截面面积为A ，绳材料的弹性模量为E ，重物重量为P ，梁、吊车和钢绳的质量不计。试求吊车突然制动时，钢绳中的动应力。

解：梁与绳组成的弹性系统的柔度为 EA

a EI l C +=33 设制动前后绳的变形量分别为st Δ和d Δ，由能量守恒有

)(2

22st d d d st 2ΔΔP ΔF ΔP g Pv --=?+ 其中 d d st ,

CF ΔCP Δ==

得 022

d 2d

=-+-g C

Pv P PF F

???

? ?

=g C P v P F 2d 1

??????

?????

???

???? ??++

=EA Pa EI Pl g v

A P 313

d σ

30. 图示重量为P 的物体自由落下冲击刚架，刚架各杆的弯曲刚度EI 均相同，试求点A 沿铅垂方向的位移（不计轴力影响）。

解：EI

Pa ΔEI Pa ΔA B 3

st 3st )(,34)(== B

Δh

K )(211st d ++=

EI Pa Pa EIh ΔK ΔA A 3

3st d d 2311)()(???

? ??++==

31. 图示梁AB 的B 端放置在弹簧上，其弹簧刚度为k ，梁中点处的绞车以速度v 匀速下放重物P ，已知梁的弹性模量E 1、截面惯性矩I 1、梁长l 1和绳的弹性模量E 2、横截面积A 2、绳长l 2，当绳长为l 2时，绞车突然刹住，试求此时动荷因数（不计梁和绳的重量）。

解：k

A E Pl I E Pl Δ448222113st +

+= 由刹车前后系统能量守恒得

)(2

21st d d d st 2ΔΔP ΔF P Δv g P --=+ 且 st d d ΔP

ΔF = 所以 st

d d 1g Δv P F K +

32. 折杆ABC （AB 与BC 正交）如图示，杆AB 与BC 的弯曲刚度均为EI ，AB 的扭转刚度为GI p ，当质量为m 的弹丸以垂直于ABC 平面的速度v 撞击点C 时，求点C 的最大位移。

解：当F =mg 的力以垂直于ABC 方向作用在点C 时

23231st )(33GI l mgl EI mgl EI mgl Δ+

+= 2

,21

d d εd 2k ΔF V mv E ==

由得且st d d εd k Δmg ΔF V E == p

13231st d 3)(GI l ml EI l l m v g Δv Δ++== 33. 图示各杆材料的弹性模量E = 200 GPa ，横截面均为边长a = 10 mm 正方形，冲击物重P = 20 N ，l = 600 mm ，许用应力][σ= 160 MPa ，试求许可高度h 。

解：48.62621633st =????

??++=EA Pl EI Pl EI Pl Δmm 截面A 、E 362st ==W Pl

σ MPa 44.4][st

d ==σσK 杆CD 1.0N

st ==A F σ MPa ==st

d ][σσK 1 600 故结构允许K d ≤4.44 即 st

211Δh

+≤4.44 ? h ≤35.1 mm 34. 已知图示梁AB 的弯曲刚度EI 和弯曲截面系数W ，重量为P 的体物体绕梁的A 端转动，当它在铅垂位置时，水平速度为v ，试求梁受P 冲击时梁内最大正应力。解：)(,21d p 2

k Δl P E v g P E +==

d d εd 2

ΔF V =

由能量守恒 εd k p V E E =+ 即

d d d 22

)(21ΔF Δl P v g P =++

且 EI

Pl ΔΔF ΔP 6,

st d

st == 得 st

st 2st d d 211Δl

g Δv ΔΔK +

++== W

Pl Pl EI gPl EIv W Pl K 236112/232d

d ???? ??+++==σ

35. 图示带微小切口之细圆环，横截面面积为A ，弯曲刚度为EI ，半径为R ，材料密度为ρ，当此圆环绕其中心以角速度ω 在环所在面内旋转时，试求环切口处的张开位移（小变形）。解： RA q 2d ρω=

c 1()s i n ()

d ()(320

2ρωθ?θρω??

-=-=?AR R R RA M )c o s 1(1)(?

?-??=R M EI

R R M M EI

Δ52π20

π3d )()(1ρω???==

36. 图示有切口的薄壁圆环，下端吊有重物P ，吊索与环的弹性模量E 相同，吊索横截面积为A ，圆环截面惯性矩为I ，圆环平均半径为R ，当重物P 以速度v 下降至吊索长度为l 时，突然刹住，试求此时薄壁切口张开量

的大小。???

???

=st 2

d 1:?g v K 提示解：静载时对圆环有θθθθsin )(,sin )(R M PR M ==

EI PR R PR EI Δ2πd sin 132

π02==?θθ EA

l =Δ

A q 2d ωρ=θd θ

R 1

故静位移 EA

EI PR Δ+=2π3st , st

d 1g Δv K +=

再求静载时切口张开量 )c o s 1()(θ

θ+='R M ??

??? ?

=+='=s EI PR R PR EI

s M EI M Δ2π2d )sin 1(sin 1d )()(3π0

2st θθθθθ 因此所求张开动位移为 ??

? ??

+??

????

??++

==2π22π13

3st d d EI PR EI PgR EA lg P v ΔK Δ

37. 图示圆杆直径d = 60 mm ，长l = 2 m ，右端有直径D = 0.4 m 的鼓轮，轮上绕以绳，绳长l 1 = 10 m ，横截面积A = 100 mm 2，弹性模量E = 200 GPa ，重量P = 1 kN 的物体自h = 0.1 m 处自由落下于吊盘上，若杆的切变模量G = 80 GPa ，试求杆内最大切应力和绳内最大正应力。

解：29.122p 1st =??? ??+=D

GI l D P EA Pl Δ mm

5.13211st

d =++=Δh

K 72.42p

st ==

W PD

τ MPa 7.63st d d ==ττK MPa , 135

d ==A

K σ MPa 38. 图示位于水平面内的托架ABCD 由直径为d 的圆钢制成，A 端固定，D 端自由。一重量为P 的物体自高h 处自由下落在点D 。已知a 、P 、h 、d 、弹性模量E 及切变模量G ，且E = 2.5G 。试按第三强度理论求相当应力3r σ。

解：EI

Pa Δ2113

st =

d 211Δh K +

+= 静载时在固定端A 处有 T A = Pa ，M A = P (2a ) 3

22st 3r π532)(d

M T A

A =

σ 33st 3r d d 3r π53211411)()(d Pa Pa EIh

K ??

? ?

?++==σσ

39. 图示正方形桁架，一重量为P 的物体自高度h 处自由下落在节点B 处。已知各杆的拉压刚度均为EA ，且弹性模量E = 200 GPa ，横截面积A = 100 mm 2，a =1 m

P = 5 kN ，h = 3 mm 。试求点B 的铅垂位移。（不考虑受压杆件的稳定问题）

解：静载时P F F P F AC AB BC 2,0,N N N ==-=

0,N N =-=AD DC F P F

1,2,1 N N N -==-=DC AC BC F F F [

]

21.1222)1)((2)2(2)1)((1)(st =+=--++--=

Pa EA

a P a P a P EA ΔB mm st d 211Δh

K ++== 3.44

16.4)()(st d d ==B B ΔK Δ

40. 如图所示，直杆AC 长为l ，弯曲刚度为EI ，弯曲截面系数为W ，在水平面内绕过A 点的铅垂轴以匀角速度ω 转动，杆的C 端为一重为P 的物体。如因支座B 的约束，杆AC 突然停止转动，试求杆AC 内的最大冲击应力（忽略杆AC 的质量）。

解：冲击开始时 22k )(2121l g

mv E ω=

= 冲击力做的功为

))((2

21st d d d d ΔK P K ΔF W == 由功能互等，有

st 2d 2)(ΔP K l g

??=ω st

d )(g Δl K ω=

而 EI

Pl l EI l l P l EI P Δ2733)3/2)(3/(333

st =

??? ???+??? ??= P g l

K 33d ω= W l P )

3/(st =

σ, P g l

l ωP K 3st d d ==σσ '

41. 匀质杆AB 如图所示，已知杆的长度l ，密度ρ ，截面积A ，弯曲刚度EI ，弯曲截面系数W 。该杆绕端点A 以匀角速度ω 在水平面内转动。若旋转时因B 端突遇障碍而停止转动，试求杆内的最大正应力。解：杆AC 在受冲击而停止转动的过程中，应有与ω 反向的角加速度α 。故其惯性力分布为

x A x q αρ=)(d

碰撞前杆AB 的动能 32222k 6

6121l A ml J E ωρωω=== 碰撞后杆AB 的应变能

????? ??-==l l x x A x l A EI x EI x M V 002

322εd d 616121d )(21αραρEI l A 9457222αρ=

由εd k V E =得 A

l ρω

α63022=

因)(61)(32x x l A x M -=αρ，由0d )

(d =x

x M 得

A EI l

l M M ρω2101833max

d =???

? ??= A EI W

ρωσ21018max d =

42. 密度为ρ ，长为l ，宽为b 高为h 的矩形截面梁，从高为h 0的地方水平地自由下落在刚性支座A 、B 上。不计梁变形产生的势能变化，试求该梁的最大应力。解：梁在受冲击过程中应有向上的加速度a ，假定各点的a 相同，则惯性力分布集度为

a A x q ?=ρ)(d

冲击前梁的势能 0p A g l h E ρ=

冲击后梁的应变能 x x M EI V l d )(2102εd ?=x A a x A a l x EI l d 21212102

2???

? ??-=ρρ EI

l a A 2405

222ρ=

由εd p V E =得 ρg

Eh l h a 02

52=

故 ρ

ρg

Eh l bh l q M 02

2d max d 5481==

m a x d m a x d 54

6/gh E bh M ρσ==

43. 变截面外伸梁BA 支承于两弹性支座上，一重量为P 的重物从高度h 处自由下落冲击在其外伸端A 处，如图所示。若梁的弯曲刚度EI 及支座的刚度系数k 1及k 2均为已知，试求点A 处的挠度。

解：静载时支座约束力为3P F B =

（↓） P F C 34

=（↑）梁支座处位移 13k P ΔB =（↑） 234k P

ΔC =（↓）

若AB 梁为刚体 )(34

1st C B B ΔΔΔΔ+=

+ 1

21st 9916k P

k P Δ+= 若B 、C 支座是刚性的 EI

Pa a EI a Pa EI Pa Δ65)2(3)3(3332

st =?+= 故 123st 991665k P

k P EI Pa Δ+

+= , 动荷因数st d 211Δh K ++= ??????

++++???? ??++=123123d 991665211991665k P k P EI Pa h

k P k P EI Pa Δ 44. 轴线为水平平面内四分之一圆周的杆如图所示，一重量为P 的重物自高度h 处自由下落冲击在自由端B 处。已知曲杆的横截面是直径为d 的圆形，材料的弹性模量为E ，且切变模量G =0.4E 。试按第三强度理论写出其相当应力3r σ。解：载荷P 以静载方式作用时 θθs i n )(PR M = )c o s 1()(θθ-=PR T

--+

π2

π0

st d )cos 1()cos 1(1

d )sin )(sin (1θθθθθθR R PR GI R R PR EI Δ

31640

π19PR EI

静载时 W

T M 2)(2max

2max st 3r =

σ 动荷因数 3

4st d )80π38(π11211PR h

d E Δh K -++=++= ???

?-++=3

3d r3)80π38(π11π232)(PR h d E d PR σ

45. 图示钢杆AB 以速度v 作水平运动，在杆前端装有缓冲弹簧。不计弹簧质量，已知其刚度系数为l

k 21=

，杆的横截面积为A ，长度为l ，材料的密度为ρ ，弹性模量为E 。试求此杆冲击在刚性墙上时杆中的最大应力。解：假定冲击时杆上各点的加速度相同，

则应该有反向的惯性力分布。 Aa q ρ=d

x l

F x q x F a l A F F x d

d N d )(0=

===∑ρ得

冲击前杆AB 的动能 2k 2

A l v E ρ=

冲击后弹簧的应变能 k

F E 2

d 121=

杆AB 的应变能 EA

l F EA x x F V l 6d )(212d 02

εd ==?

根据能量守恒 EA

l F k F Alv 621212d 2d 2

+=ρ

即 EP vA

k Alv F 38

d =

ρ EP v A F 38

d max d ==

σ，发生在B 端 46. 等截面矩形截面悬臂梁高h ，宽b ，长l 。一重量为P 的重物从高EI

Pl h 3

048=

处自由下落冲击在其自由端。已知材料的弹性模量E ，截面轴惯性矩I 。不计梁的质量，试求：

(1) 此时梁内的最大冲击正应力m ax d σ；

(2) 设计为两段各长l /2的阶梯状变截面梁，梁高h 保持不变，梁宽在靠自由端一段为b 1，靠固定段一段为b 2。在梁内最大冲击正应力不变的条件下，按最省材料原则，此梁比等直梁可节省多少材料？

解：(1) 对于等截面梁 EI Pl Δ33

st =, 18211st 0d =++=Δh K

m a x d 1086/bh

bh Pl K ==σ (2) 对于阶梯状梁因2/)2/(,)(Pl l M Pl l M == 故 2:1::2

:1:212121===b b I I b b

Aa q ρ

132222223st 3)2/(2)2/)(2/(2)2/(2)2/)(2/(3)2/(EI l P l EI l Pl EI l P EI l Pl EI l P Δ+???? ??+++='2

383EI Pl = b

b Δh K 2

st 0d

25611211++='++=' 由题意有 2

22d

108P 6bh Pl

h b l K =' 得 162

817312==b b b b 节省材料为 %4.32108

)2/)((112==+-bhl h l b b

47. 一重量为P 的物体自高度h 处自由下落在图示桁架节点B 处。已知P 、l 、h 且各杆的拉压刚度均为EA ，试求点B 的铅垂位移（不考虑受压杆件的稳定问题）。

解：静载时 ,

,2,N N N P F P F P F AC AB BC =-==

P F P F P F CE BD DC 2,,2N N N +=-=-=

[]

]22)2)(2)(2(2)1(2)1)((1

)(st l P l P l P l P EA

ΔA ??++??+--=Pl EA 247+=

在节点B 处作用一个单位力时

1,2,1NE N N =-==C DC BC F F F

[]

Pl EA

l P l P l P EA ΔB 223)1)((2)2)(2()1)(2(1)(st +=+++--++=

Δh

K )(211st d +

+= B B ΔK Δ)()(st d d =