2018届高二第一学期期末考试复习练习8(理)
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.......
上 1.命题“(,0)x ?∈-∞,使得34x x <”的否定是 .
2.一质点运动的位移()s m 与时间()t s 的关系式是102
+=t s ,则当3t s =时的瞬时速度是 /m s
3.在平面直角坐标系xOy 中,焦点为F (5,0)的抛物线的标准方程是 .
4.已知a ,b ∈R ,a +b i =(1+2i)(1-i) (i 为虚数单位),则a +b 的值为 .
5.从集合{1,1,2}-中随机选取一个数记为m ,从集合{1,2}-中随机选取一个数记为n ,则方程
22
1x y m n
+=表示双曲线的概率为 .
6.函数()ln f x x x =-的单调递增区间是 .
7.若双曲线C 经过点(2,2),且与双曲线22
14
y x -=具有相同渐近线,则双曲线C 的标准方程为 .
8.在△ABC 中,若D 为BC 的中点,则有1()2
AD AB AC =+
,将此结论类比到四面体中,在四面体 A -BCD 中,
若G 为△BCD 的重心,则可得一个类比结论: .
9.如图,已知四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形,AB =4,AA 1=3,∠BAA 1=60?,E 为棱C 1D 1的中点,则→AB ?→
AE = .
10.设2
()1x
e f x ax
=+,其中a 为正实数,若()f x 为R 上的单调函数,则a 的取值范围为 . 11.1122(,),(,)A x y B x y 是抛物线22y x =上相异的两点,且在x 轴同侧,点(1,0)C .若直线,AC BC 的斜率
互为相反数,则12y y = .
12.中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有公共焦点,左右焦点分别为1F 、2F ,且它们在第一象限的
交点为P ,12PF F △是以2PF 为底边的等腰三角形.若210PF =,双曲线离心率的取值范围为()1,2,则椭圆离心率的取值范围是 ▲ .
13.已知关于x 的不等式2
1
ln 22x x x cx ≤-+-
有解,则正整数c 的最小值为 ▲ . 14.已知函数2
1()ln (22)(0)4f x x ax a x a a
=++-+>,若存在三个不相等的正实数123,,x x x ,使得312123
()
()()3f x f x f x x x x ===成立,则a 的取值范围是 ▲ . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内........
作答,解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
15.已知m ∈R ,设p :复数z 1=(m -1)+(m +3)i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限,q :复数z 2=1+(m -2)i 的模不超过10.当p 为真命题时,求m 的取值范围; (2)若命题“p 且q ”为假命题,“p 或q ”为真命题,求m 的取值范围.
16如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,2
ACB π
∠=
,,D E 分别是1,AB BB 的中点,且AC BC ==12AA =.
(1)求直线1BC 与1A D 所成角的大小;(2)求直线1A E 与平面1A CD 所成角的正弦值.
17.若n 为正整数,试比较132n -?与23n +的大小,分别取1,2,3,4,5n =加以试验,根据试验结果猜测一个一般性结论,并用数学归纳法证明.
18.如图,某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD ,其中BMN 是半径为1百米的扇形,
23
ABC π∠=
.管理部门欲在该地从M 到D 修建小路:在 MN 上选一点P (异于M 、N 两点),过点P 修建与BC 平行的小路PQ .
(1)设PBC θ∠=,试用θ表示修建的小路 MP 与线段PQ 及线段QD 的总长度l ; (2)求l 的最小值.
19.已知点00(,)P x y 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上的任意一点(长轴的端点除外),1F 、2F 分别为左、右焦
点,其中a ,b 为常数.
(1)若点P 在椭圆的短轴端点位置时,12PF F ?为直角三角形,求椭圆的离心率.
(2)求证:直线00
22
1x y x y a b +=为椭圆在点P 处的切线方程;
(3)过椭圆的右准线上任意一点R 作椭圆的两条切线,切点分别为S 、T .请判断直线ST 是否经过定点?
若经过定点,求出定点坐标,若不经过定点,请说明理由.
P
D
Q
C
N B
A
M
(第18题)
A
B
C A 1
B 1
C 1 E
D 第16题
C
A
B D A 1 B 1
C 1
D 1
E
20.已知函数3
21()3
f x x ax x b =
+-+,其中a ,b 为常数. (1)当1a =-时,若函数()f x 在[0,1]上的最小值为,求b 的值; (2)讨论函数()f x 在区间(a ,+∞)上的单调性;
(3)若曲线()y f x =上存在一点P ,使曲线在点P 处的切线与经过点P 的另一条切线互相垂直,求a 的取值范围.
2018届高二第一学期期末考试8答案(理)
一、填空题1.(,0),34x
x
x ?∈-∞≥都有; 2.6; 3.y 2
=20x ; 4.4;5.12
;6.()1,+∞; 7.
22
1312x y -= ; 8..1()3AG AB AC AD =++ ; 9.14; 10.(0,1];11. 2 ; 12. 2,13??
???
; 13.3;
14.121
(
,)22
e - 二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.解(1)因为复数z 1=(m -1)+(m +3)i 在复平面内对应的点在第二象限,
所以???m -1<0,m +3>0.
解得-3<m <1,即m 的取值范围为(-3,1). …… 3分
(2)由q 为真命题,即复数z 2=1+(m -2)i 的模不超过10,
所以12+(m -2)2≤10,解得-1≤m ≤5. ……………… 5分 由命题“p 且q ”为假命题,“p 或q ”为真命题
得???p 为真命题,q 为假命题,或 ???p 为假命题,q 为真命题. 所以???-3<m <1,m <-1或m >5,或???m ≤-3或m ≥1,-1≤m ≤5,
即-3<m <-1或1≤m ≤5.
所以m 的取值范围为(-3,-1)∪[1,5]. ……………… 8分 16.解析 :解:分别以CA 、CB 、1CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则由题意可得:(2,0,0)A ,(0,2,0)B ,(0,0,0)C ,1(2,0,2)A ,1(0,2,2)B ,1(0,0,2)C , 又 ,D E 分别是1,AB BB 的中点,∴(1,1,0)D ,(0,2,1)E . …………3分
(1)因为1(0,2,2)BC =- , 1(1
,1,2)A D =-- , 所以11111163
cos ,2226
BC A D BC A D BC A D ?-==
=-??
, …………7分 ∴直线1BC 与D A 1所成角的大小为6
π
. …………8分 (2)设平面CD A 1的一个法向量为(,,)e x y z = ,由10
CA e CD e ??=???=??
,得2200x z x y +=??+=?, ∴可取(1,1,1)e =--
, …………10分
又 1
(2,2,1)AE =-- ,所以11133
cos ,3||.||33A E e A E e A E e ?-===-?
, ……13分 ∴直线E A 1与平面CD A 1所成角的正弦值为
3
3
. …………14分 17.解:当1n =时,132n -?<23n +;
当2n =时,132n -?<23n +; 当3n =时,132n -?=23n +; 当4n =时,132n -?>23n +;
当5n =时,132n -?>23n +;.........................................................5' 猜想:当4n ≥时,132n -?>23n +...............................................7' 证明:当4n =时,132n -?>23n +成立;
假设当(4n k k =≥)时,132k -?>23k +成立,
则1n k =+时,左式=32k ?=1232k ??->223k +(),右式=
2
13k ++(), 因为223k +()-2
13k ++[
()]=222k k -+=211k +(-)>0, 所以,左式>右式,即当1n k =+时,不等式也成立.
综上所述:当4n ≥时,132n -?>23n +...........................................14'
(图2)
T x y O
S
R
(图1)
F 1
x
y
O
P
F 2
18.解:(1)连接BP ,过P 作1PP BC ⊥垂足为1P ,过Q 作1QQ BC ⊥垂足为1Q , 依题意知:PBN θ∠=()
2π03
θ<<, 2π3MP
θ=- …………………2分 若20πθ<<,在1Rt PBP ?中,11sin cos PP BP θθ==, 若,322πθπ<<则,cos )cos(,sin 11θθπθ-=-==BP PP ∴32cos sin 3
PQ θθ=-- …………………4分
(注:未讨论θ的范围扣1分.)
在1Rt CBQ ?中,111323sin ,C sin ,sin ,33QQ PP Q CQ θθθ==== 232sin .3
DQ θ=- ……………………………6分
总路径长l =22()4cos 3sin (0),33
f ππ
θθθθθ=
-+--<< ……………………8分 2()sin 3cos 12sin()1(0),33
f ππ
θθθθθ'=--=--<< ……………………………10分
令()'0f θ=,得2
π
θ=,
方法1,列表验证如下:
θ
(0,)2π 2
π
2(,)23
ππ ()f θ' - 0
+
[来源:学。科。网Z 。X 。X 。K]
()f θ
极小值
436
π
+-
依表格知:当2
π
θ=
时,()f θ最小,min [()]436
f π
θ=
+-. …………………………14分
答:当BP BC ⊥时,总路径长l 的最小值为
436
π
+-.…………………………………15分
方法2,当 02πθ<< 时,()'0f θ<,()f θ在(0,)2
π
内单调递减;
当 2π23πθ<< 时,()'0f θ>,()f θ在(0,)2
π
内单调递增.
∴ 当2θ
θ=
时,()f θ最小,min [()]436
f π
θ=
+-. ……………………………14分[来源:学科网ZXXK]
(注:此处若未强调函数()f θ的单调性,只是由()()'0'0f f θθ<>、就下结论,扣1分.)
答:当BP BC ⊥时,总路径长l 的最小值为436
π
+-. ………………………………15分
19.解:记2
2
c a b =-.
(1)当点P 在椭圆的短轴端点位置时,12PF F ?为直角三角形,
则有2a c =,得2
2
e =
. 所以,此时椭圆的离心率为
2
2
.......................4' (2)点00(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=上,得22
00221x y a b
+=.
把00(,)x y 代入方程00
221x y x y a b
+=,得2200221x y a b +=,
所以点00(,)P x y 在直线00
22
1x y x y a b +=上,...............................................................................6'
联列方程组22
22002
211x y a b x y x y a b ?+=????+=??,消去y 可得22222
0020a x a x x a x -+=,
解得0x x =,即方程组只有唯一解. 所以,直线
00
22
1x y x y a b +=为椭圆在点P 处的切线方程.......................................................10' (3)由题可设11(,)S x y 、22(,)T x y 、2
3(,)a R y c
.
由(2)结论可知,切线SR 的方程为
11
221x y x y a b += ① 切线TR 的方程为22
22
1x y x y a b +=
②.....................................................12' 把23(,)a R y c 分别代入方程①、②,可得11
321x y y c b
+=③
和
22
321
x y y c b +=
④ 由③、④两式,消去3y ,可得1221x c y x c y -=-()(), 即有12210)0)x c y x c y --=--(
)(()(, 所以,点11(,)S x y 、22(,)T x y 、2(,0)F c 三点共线,
所以,直线ST 经过定点,定点坐标为222(,0)F a b -...........................................................16'
20、解:(1)当a=﹣1时,()f x '=x 2
﹣2x ﹣1,所以函数f (x )在[0,1]上单调递减,…(2分)
由(1)f =,即﹣1﹣1+b=,解得b=2.…(4分)
(2)()f x '=x 2
+2ax ﹣1的图象是开口向上的抛物线,其对称轴为x=﹣a ,
因为△=4a 2
+4>0,()f x '=0有两个不等实根x 1,2=
,…(5分)
P
D
Q
C
N B
A M
(第18题)
1P
1Q y
P
(图2)
T x
y O
S
R
①当方程()f x '=0在区间(a ,+∞)上无实根时,有
{
()0a a
f a -'≥ 解得
. …(6分)
②当方程()f x '=0在区间(﹣∞,a]与(a ,+∞)上各有一个实根时,
有:()f a '<0,或
{
()0a a
f a -'= ,解得
. …(8分)
③当方程()f x ')=0在区间(a ,+∞)上有两个实根时,有{
()0a a
f a -' ,解得
.
综上:当时,f (x )在区间(a ,+∞)上是单调增函数; 当
时,f (x )在区间(a ,
)上是单调减函数,在区间(
,+∞)上
是单调增函数 当
时,f (x )在区间(a ,
),(
,+∞)上是单调增函数,在区间(,
)上是单调减函数. (10)
(3)设P (x 1,f (x 1)),则P 点处的切线斜率m 1=x 12
+2ax 1﹣1,
又设过P 点的切线与曲线y=f (x )相切于点Q (x 2,f (x 2)),x 1≠x 2,则Q 点处的切线方程为
y ﹣f (x 2)=( x 22
+2ax 2﹣1)(x ﹣x 2),
所以f (x 1)﹣f (x 2)=( x 22
+2ax 2﹣1)(x 1﹣x 2), 化简,得x 1+2x 2=﹣3a . …(12分)
因为两条切线相互垂直,所以(x 12+2ax 1﹣1)(x 22
+2ax 2﹣1)=﹣1,
即(4x 22+8ax 2+3a 2﹣1)(x 22
+2ax 2﹣1)=﹣1.
令t=x 22+2ax 2﹣1≥﹣(a 2+1),则关于t 的方程t (4t+3a 2+3)=﹣1在t ∈[﹣(a 2
+1),0)上有解,…(14分) 所以3a 2
+3=﹣4t ﹣≥4(当且仅当t=﹣时取等号), 解得a 2
≥, 故a 的取值范围是
. …(16分)