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2018届高二第一学期期末考试复习练习8(理)

2018届高二第一学期期末考试复习练习8(理)

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.......

上 1.命题“(,0)x ?∈-∞,使得34x x <”的否定是 .

2.一质点运动的位移()s m 与时间()t s 的关系式是102

+=t s ,则当3t s =时的瞬时速度是 /m s

3.在平面直角坐标系xOy 中,焦点为F (5,0)的抛物线的标准方程是 .

4.已知a ,b ∈R ,a +b i =(1+2i)(1-i) (i 为虚数单位),则a +b 的值为 .

5.从集合{1,1,2}-中随机选取一个数记为m ,从集合{1,2}-中随机选取一个数记为n ,则方程

22

1x y m n

+=表示双曲线的概率为 .

6.函数()ln f x x x =-的单调递增区间是 .

7.若双曲线C 经过点(2,2),且与双曲线22

14

y x -=具有相同渐近线,则双曲线C 的标准方程为 .

8.在△ABC 中,若D 为BC 的中点,则有1()2

AD AB AC =+

,将此结论类比到四面体中,在四面体 A -BCD 中,

若G 为△BCD 的重心,则可得一个类比结论: .

9.如图,已知四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形,AB =4,AA 1=3,∠BAA 1=60?,E 为棱C 1D 1的中点,则→AB ?→

AE = .

10.设2

()1x

e f x ax

=+,其中a 为正实数,若()f x 为R 上的单调函数,则a 的取值范围为 . 11.1122(,),(,)A x y B x y 是抛物线22y x =上相异的两点,且在x 轴同侧,点(1,0)C .若直线,AC BC 的斜率

互为相反数,则12y y = .

12.中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有公共焦点,左右焦点分别为1F 、2F ,且它们在第一象限的

交点为P ,12PF F △是以2PF 为底边的等腰三角形.若210PF =,双曲线离心率的取值范围为()1,2,则椭圆离心率的取值范围是 ▲ .

13.已知关于x 的不等式2

1

ln 22x x x cx ≤-+-

有解,则正整数c 的最小值为 ▲ . 14.已知函数2

1()ln (22)(0)4f x x ax a x a a

=++-+>,若存在三个不相等的正实数123,,x x x ,使得312123

()

()()3f x f x f x x x x ===成立,则a 的取值范围是 ▲ . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内........

作答,解答时应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.

15.已知m ∈R ,设p :复数z 1=(m -1)+(m +3)i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限,q :复数z 2=1+(m -2)i 的模不超过10.当p 为真命题时,求m 的取值范围; (2)若命题“p 且q ”为假命题,“p 或q ”为真命题,求m 的取值范围.

16如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,2

ACB π

∠=

,,D E 分别是1,AB BB 的中点,且AC BC ==12AA =.

(1)求直线1BC 与1A D 所成角的大小;(2)求直线1A E 与平面1A CD 所成角的正弦值.

17.若n 为正整数,试比较132n -?与23n +的大小,分别取1,2,3,4,5n =加以试验,根据试验结果猜测一个一般性结论,并用数学归纳法证明.

18.如图,某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD ,其中BMN 是半径为1百米的扇形,

23

ABC π∠=

.管理部门欲在该地从M 到D 修建小路:在 MN 上选一点P (异于M 、N 两点),过点P 修建与BC 平行的小路PQ .

(1)设PBC θ∠=,试用θ表示修建的小路 MP 与线段PQ 及线段QD 的总长度l ; (2)求l 的最小值.

19.已知点00(,)P x y 为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上的任意一点(长轴的端点除外),1F 、2F 分别为左、右焦

点,其中a ,b 为常数.

(1)若点P 在椭圆的短轴端点位置时,12PF F ?为直角三角形,求椭圆的离心率.

(2)求证:直线00

22

1x y x y a b +=为椭圆在点P 处的切线方程;

(3)过椭圆的右准线上任意一点R 作椭圆的两条切线,切点分别为S 、T .请判断直线ST 是否经过定点?

若经过定点,求出定点坐标,若不经过定点,请说明理由.

P

D

Q

C

N B

A

M

(第18题)

A

B

C A 1

B 1

C 1 E

D 第16题

C

A

B D A 1 B 1

C 1

D 1

E

20.已知函数3

21()3

f x x ax x b =

+-+,其中a ,b 为常数. (1)当1a =-时,若函数()f x 在[0,1]上的最小值为,求b 的值; (2)讨论函数()f x 在区间(a ,+∞)上的单调性;

(3)若曲线()y f x =上存在一点P ,使曲线在点P 处的切线与经过点P 的另一条切线互相垂直,求a 的取值范围.

2018届高二第一学期期末考试8答案(理)

一、填空题1.(,0),34x

x

x ?∈-∞≥都有; 2.6; 3.y 2

=20x ; 4.4;5.12

;6.()1,+∞; 7.

22

1312x y -= ; 8..1()3AG AB AC AD =++ ; 9.14; 10.(0,1];11. 2 ; 12. 2,13??

???

; 13.3;

14.121

(

,)22

e - 二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.解(1)因为复数z 1=(m -1)+(m +3)i 在复平面内对应的点在第二象限,

所以???m -1<0,m +3>0.

解得-3<m <1,即m 的取值范围为(-3,1). …… 3分

(2)由q 为真命题,即复数z 2=1+(m -2)i 的模不超过10,

所以12+(m -2)2≤10,解得-1≤m ≤5. ……………… 5分 由命题“p 且q ”为假命题,“p 或q ”为真命题

得???p 为真命题,q 为假命题,或 ???p 为假命题,q 为真命题. 所以???-3<m <1,m <-1或m >5,或???m ≤-3或m ≥1,-1≤m ≤5,

即-3<m <-1或1≤m ≤5.

所以m 的取值范围为(-3,-1)∪[1,5]. ……………… 8分 16.解析 :解:分别以CA 、CB 、1CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则由题意可得:(2,0,0)A ,(0,2,0)B ,(0,0,0)C ,1(2,0,2)A ,1(0,2,2)B ,1(0,0,2)C , 又 ,D E 分别是1,AB BB 的中点,∴(1,1,0)D ,(0,2,1)E . …………3分

(1)因为1(0,2,2)BC =- , 1(1

,1,2)A D =-- , 所以11111163

cos ,2226

BC A D BC A D BC A D ?-==

=-??

, …………7分 ∴直线1BC 与D A 1所成角的大小为6

π

. …………8分 (2)设平面CD A 1的一个法向量为(,,)e x y z = ,由10

CA e CD e ??=???=??

,得2200x z x y +=??+=?, ∴可取(1,1,1)e =--

, …………10分

又 1

(2,2,1)AE =-- ,所以11133

cos ,3||.||33A E e A E e A E e ?-===-?

, ……13分 ∴直线E A 1与平面CD A 1所成角的正弦值为

3

3

. …………14分 17.解:当1n =时,132n -?<23n +;

当2n =时,132n -?<23n +; 当3n =时,132n -?=23n +; 当4n =时,132n -?>23n +;

当5n =时,132n -?>23n +;.........................................................5' 猜想:当4n ≥时,132n -?>23n +...............................................7' 证明:当4n =时,132n -?>23n +成立;

假设当(4n k k =≥)时,132k -?>23k +成立,

则1n k =+时,左式=32k ?=1232k ??->223k +(),右式=

2

13k ++(), 因为223k +()-2

13k ++[

()]=222k k -+=211k +(-)>0, 所以,左式>右式,即当1n k =+时,不等式也成立.

综上所述:当4n ≥时,132n -?>23n +...........................................14'

(图2)

T x y O

S

R

(图1)

F 1

x

y

O

P

F 2

18.解:(1)连接BP ,过P 作1PP BC ⊥垂足为1P ,过Q 作1QQ BC ⊥垂足为1Q , 依题意知:PBN θ∠=()

2π03

θ<<, 2π3MP

θ=- …………………2分 若20πθ<<,在1Rt PBP ?中,11sin cos PP BP θθ==, 若,322πθπ<<则,cos )cos(,sin 11θθπθ-=-==BP PP ∴32cos sin 3

PQ θθ=-- …………………4分

(注:未讨论θ的范围扣1分.)

在1Rt CBQ ?中,111323sin ,C sin ,sin ,33QQ PP Q CQ θθθ==== 232sin .3

DQ θ=- ……………………………6分

总路径长l =22()4cos 3sin (0),33

f ππ

θθθθθ=

-+--<< ……………………8分 2()sin 3cos 12sin()1(0),33

f ππ

θθθθθ'=--=--<< ……………………………10分

令()'0f θ=,得2

π

θ=,

方法1,列表验证如下:

θ

(0,)2π 2

π

2(,)23

ππ ()f θ' - 0

+

[来源:学。科。网Z 。X 。X 。K]

()f θ

极小值

436

π

+-

依表格知:当2

π

θ=

时,()f θ最小,min [()]436

f π

θ=

+-. …………………………14分

答:当BP BC ⊥时,总路径长l 的最小值为

436

π

+-.…………………………………15分

方法2,当 02πθ<< 时,()'0f θ<,()f θ在(0,)2

π

内单调递减;

当 2π23πθ<< 时,()'0f θ>,()f θ在(0,)2

π

内单调递增.

∴ 当2θ

θ=

时,()f θ最小,min [()]436

f π

θ=

+-. ……………………………14分[来源:学科网ZXXK]

(注:此处若未强调函数()f θ的单调性,只是由()()'0'0f f θθ<>、就下结论,扣1分.)

答:当BP BC ⊥时,总路径长l 的最小值为436

π

+-. ………………………………15分

19.解:记2

2

c a b =-.

(1)当点P 在椭圆的短轴端点位置时,12PF F ?为直角三角形,

则有2a c =,得2

2

e =

. 所以,此时椭圆的离心率为

2

2

.......................4' (2)点00(,)P x y 在椭圆22

221x y a b +=上,得22

00221x y a b

+=.

把00(,)x y 代入方程00

221x y x y a b

+=,得2200221x y a b +=,

所以点00(,)P x y 在直线00

22

1x y x y a b +=上,...............................................................................6'

联列方程组22

22002

211x y a b x y x y a b ?+=????+=??,消去y 可得22222

0020a x a x x a x -+=,

解得0x x =,即方程组只有唯一解. 所以,直线

00

22

1x y x y a b +=为椭圆在点P 处的切线方程.......................................................10' (3)由题可设11(,)S x y 、22(,)T x y 、2

3(,)a R y c

由(2)结论可知,切线SR 的方程为

11

221x y x y a b += ① 切线TR 的方程为22

22

1x y x y a b +=

②.....................................................12' 把23(,)a R y c 分别代入方程①、②,可得11

321x y y c b

+=③

22

321

x y y c b +=

④ 由③、④两式,消去3y ,可得1221x c y x c y -=-()(), 即有12210)0)x c y x c y --=--(

)(()(, 所以,点11(,)S x y 、22(,)T x y 、2(,0)F c 三点共线,

所以,直线ST 经过定点,定点坐标为222(,0)F a b -...........................................................16'

20、解:(1)当a=﹣1时,()f x '=x 2

﹣2x ﹣1,所以函数f (x )在[0,1]上单调递减,…(2分)

由(1)f =,即﹣1﹣1+b=,解得b=2.…(4分)

(2)()f x '=x 2

+2ax ﹣1的图象是开口向上的抛物线,其对称轴为x=﹣a ,

因为△=4a 2

+4>0,()f x '=0有两个不等实根x 1,2=

,…(5分)

P

D

Q

C

N B

A M

(第18题)

1P

1Q y

P

(图2)

T x

y O

S

R

①当方程()f x '=0在区间(a ,+∞)上无实根时,有

{

()0a a

f a -'≥ 解得

. …(6分)

②当方程()f x '=0在区间(﹣∞,a]与(a ,+∞)上各有一个实根时,

有:()f a '<0,或

{

()0a a

f a -'= ,解得

. …(8分)

③当方程()f x ')=0在区间(a ,+∞)上有两个实根时,有{

()0a a

f a -' ,解得

综上:当时,f (x )在区间(a ,+∞)上是单调增函数; 当

时,f (x )在区间(a ,

)上是单调减函数,在区间(

,+∞)上

是单调增函数 当

时,f (x )在区间(a ,

),(

,+∞)上是单调增函数,在区间(,

)上是单调减函数. (10)

(3)设P (x 1,f (x 1)),则P 点处的切线斜率m 1=x 12

+2ax 1﹣1,

又设过P 点的切线与曲线y=f (x )相切于点Q (x 2,f (x 2)),x 1≠x 2,则Q 点处的切线方程为

y ﹣f (x 2)=( x 22

+2ax 2﹣1)(x ﹣x 2),

所以f (x 1)﹣f (x 2)=( x 22

+2ax 2﹣1)(x 1﹣x 2), 化简,得x 1+2x 2=﹣3a . …(12分)

因为两条切线相互垂直,所以(x 12+2ax 1﹣1)(x 22

+2ax 2﹣1)=﹣1,

即(4x 22+8ax 2+3a 2﹣1)(x 22

+2ax 2﹣1)=﹣1.

令t=x 22+2ax 2﹣1≥﹣(a 2+1),则关于t 的方程t (4t+3a 2+3)=﹣1在t ∈[﹣(a 2

+1),0)上有解,…(14分) 所以3a 2

+3=﹣4t ﹣≥4(当且仅当t=﹣时取等号), 解得a 2

≥, 故a 的取值范围是

. …(16分)

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