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直线与圆的方程(教师用)

直线与圆的方程

1. 经过点)4,1(-A 且与直线0532=++y x 平行的直线方程为( B ) A 23100x y -+= B 01032=++y x C 23100x y +-= D 23100x y --=

2. 过点(2,1)A ，且与直线0102=-+y x 垂直的直线l 的方程为( C ) A 20x y += B 20x y -= C 02=-y x D 20x y += 3若实数x 、y 满足等式 3)2(22=+-y x ，那么

y 的最大值为( D )

A.2

1 Ｂ.

3 Ｃ.

3 Ｄ.3 王新敞

4.已知半径为1的动圆与圆(x －5)2+(y +7)2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( D )

A ．(x －5)2+(y +7)2=25

B ．(x －5)2+(y +7)2=17或(x －5)2+(y +7)2=15

C ．(x －5)2+(y +7)2=9

D ．(x －5)2+(y +7)2=25或(x －5)2+(y +7)2=9

5．已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（）

A. 1或3

B.1或5

C.3或5

D.1或2 【答案】C

6．已知直线0323=-+y x 和016=++my x 互相平行，则它们之间的距离是（ D ） A. 4 B.

132 C.

135 D.

137

7．已知直线422=+=+y x a y x 与圆交于A 、B 两点，且||||OB OA OB OA -=+，其中O 为原点，则实数a 的值为

A ．2

B ．－2

C ．2或－2 D

【答案】C

8．过点)2,1(M 的直线l 将圆(x-2)2+y 2=9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程是

A ．1=x

B ．1=y

C ．01=+-y x

D ．032=+-y x

【答案】D

9．圆x 2+2x+y 2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点共有（ C ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

10．已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点，PA 、PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为

A 、、

C 、、2

【答案】D

11．直线b x y +=与曲线2

x -=有且只有一个交点，则b 的取值范围是

（B ）

A ．2=

B ．11≤<-b 且2-=b

C ．11≤≤-b

D ．非A 、B 、C 的结论

12.过圆224x y +=外一点()4,2P 作圆的两条切线,切点为,A B ,则A B P ?的外接圆方程是（ D ）

A. 42x y --22()+()=4

B. 2x y -22+()=4

C. 42x y ++22()+()=5

D. 21x y --22()+()=5 二、填空题

13．直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直,则m= 【答案】m=2-,m=

14.无论m 取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，则定点的坐标为 75,22??

???

15．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ,2x y =或03=-+y x ； 16、（天津文理14）已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于,A B 两点，则直线AB 的方程是

__________.【答案】30x y +=

17．已知圆的方程为4122=+-y x )(,圆外一点A ()3,4,过A 点的圆的切线方程是，. 答案：3470x x y =-+=或3；

三、解答题

18．过点(2,1)M 作直线l ，分别交x 轴、y 轴的正半轴于点,A B ，若ABC ?的面积S 最小，试求直线l 的方程。．解：设直线l 的方程为1(2)y k x -=-，令0x =，得k y 21-=，故(0,12)B k -，令0y =，得k

k x 12-=

，故21(,0)k A k

-，

由题意知，21120,0k k k -->>，所以0k <， ∴ABC ?的面积12S =k

k 12-(12)k -2

(21)2k k

-=-

=12(2)2k k

+--

，

∵0k < ，∴1

12(2)()222k k k

--=-+-

≥，从而4S ≥，当且仅当122k k

-=-

，即2

=k （2

k 舍去）时，min 4S =，

所以，直线l 的方程为11(2)2

y x -=--，即240x y +-=.

19．（12分）光线从()2,0Q 发出射到直线l ：x+y=4上的E 点，经l 反射到y 轴上F 点，再经y 轴反射又回到Q 点，求直线EF 的方程。

19．解：设Q 关于y 轴的对称点为1Q ，则1Q 的坐标为()-2,0

设Q 关于l 的对称点为()2,Q m n ，则2Q Q 中点为G 2(

,)22

m n

+，G 在l 上 242

m n +∴+=， ① 又2,12

n Q Q l m ⊥∴

=- ②

由①②得2(4,2)Q

由物理学知识可知，1Q 、2Q 在直线EF 上，1

E F Q Q k k ∴==

∴直线EF 方程为:1(2)3

y x =

+，即320x y -+=

20.求经过点)1,2(-A ，和直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆方程． 20．解：因为圆心在直线x y 2-=上，所以可设圆心坐标为(a ,-2a )，据题意得：

12|)

12()2(2

2--=

+-+-a a a a ， ∴ 2

22)1(2

1)21()2(a a a +=

-+-，

∴ a =1， ∴ 圆心为(1，－2)，半径为2， ∴所求的圆的方程为2)2()1(2

2=++-y x .

21(12分) 已知圆C 同时满足下列三个条件：①与y 轴相切;②在直线y =x 上截得弦长为27;③圆心在直线x －3y =0上. 求圆C 的方程.

设所求的圆C 与y 轴相切，又与直线交于AB ，

∵圆心C 在直线03=-y x 上，∴圆心C （3a ，a ），又圆与y 轴相切，∴R=3|a |. 又圆心C 到直线y －x =0的距离 7||,72||.||22

3|||=

BD AB a a a CD

在Rt △CBD 中，33,1,1.729,)7(||2

±=±===-∴=-a a a a a CD R .

∴圆心的坐标C 分别为（3，1）和（－3，－1），故所求圆的方程为9)1()3(22=-+-y x 或9)1()3(22=+++y x .

22.（由天津卷15改编）已知圆C 的圆心与点(2,1)P -关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ，求圆C 的方程．答案：22(1)18x y ++=

23.设圆满足(1)y 轴截圆所得弦长为2.(2)被x 轴分成两段弧，其弧长之比为3∶1，在满足(1)、(2)的所有圆中，求圆心到直线l :x －2y =0的距离最小的圆的方程．

解:设圆的圆心为P (a ,b ),半径为r ，则P 到x 轴，y 轴的距离分别为｜b ｜、｜a ｜，由题设知圆P 截x 轴所得劣弧所对圆心角为90°,故圆P 截x 轴所得弦长为

2r =2b .

∴r 2=2b 2

①又由y 轴截圆得弦长为2，∴r 2=a 2+1

②

由①、②知2b 2－a 2=1.又圆心到l :x －2y =0的距离d =5

2|b a -,∴5d 2=(a －2b )2=a 2+4b 2－4ab ≥a 2+4b 2－

2(a 2+b 2)=2b 2－a 2=1.当且仅当a =b 时“=”号成立，

∴当a =b 时，d 最小为55

，由???=-=122

2a b b a 得?

??==11b a 或???-=-=11

b a 由①得r =2. ∴(x －1)2+(y －1)2=2或(x +1)2+(y +1)2=2为所求．

22.已知圆C ：x 2+y 2－2x +4y －4=0,是否存在斜率为1的直线l ,使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点.若存在，求出直线l 的方程;若不存在，说明理由.

解：假设存在斜率为1的直线l ,使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点.设l 的方程为y =x +b ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).

由OA ⊥OB 知，k OA ·k OB =－1,即

1x y x y ?

=－1,∴y 1y 2=－x 1x 2.

由??

?=-+-++=0

442,2

y x y

b x y ,得2x 2+2(b +1)x +b 2+4b －4=0,

∴x 1+x 2=－(b +1),x 1·x 2=

+2b －2,y 1y 2=(x 1+b )(x 2+b )=x 1x 2+b (x 1+x 2)+b 2

b +2b －2－b (b +1)+b 2=2

b +b －2

∵y 1y 2=－x 1x 2 ∴2

b +b －2=－(2

b +2b －2) 即b 2+3b －4=0.∴b =－4或b =1.

又Δ=4(b +1)2－8(b 2+4b －4)=－4b 2－24b +36=－4(b 2+6b －9)

当b =－4时，Δ=－4×(16－24－9)>0; =1时，Δ=－4×(1+6－9)>0

故存在这样的直线l ,它的方程是y =x －4或y =x +1,即x －y －4=0或x －y +1=0.

21.若动圆C 与圆(x-2)2+y 2=1外切，且和直线x+1=0相切.求动圆圆心C 的轨迹E 的方程.

解：设动圆的圆心C 的坐标为（x ，y ），则x-(-1)+1=22)2(y x +-，即x+2=22)2(y x +-，整理得y 2=8x.所以所求轨迹E 的方程为y 2=8x

20.（本小题满分10分）

已知直线l 过点(6,7)A -与圆22

:86210C x y x y +-++=相切，（1）求该圆的圆心坐标及半径长（2）求直线l 的方程

解：（1）()()2

432x y -++= ∴圆心坐标为（４，－３），半径2r =．（2）直线l 的斜率必存在，故设直线l 的方程为7(6)y k x -=+，

即670kx y k -++=

则圆心到此直线的距离为2d =

=．

由此解得34

k =-或4

k =-

故设直线l 的方程为： 34100

x y +-=或4330x y ++=

10、圆1)3()1(22=-+-y x 关于052=++y x 对称的圆方程是（ A ）

A 、1)1()7(22=+++y x

B 、1)2()7(22=+++y x

C 、1)1()6(2

=+++y x D 、1)2()6(2

=+++y x 1. 直线1l 的倾斜角130α= ，直线12l l ⊥，则直线2l 的斜率为( A )

- D

2. 直线经过点(2,0)A -，(5,3)B -,则直线的倾斜角( B ) A 450 B 1350 C －450 D －1350

3. 一条直线经过点1(2,3)P -，倾斜角为45α=

，则这条直线方程为( C )

A 50x y ++=

B 50x y --=

C 50x y -+=

D 50x y +-= 4. 已知直线l 与x 轴的交点(,0)a ，与y 轴的交点(0,)b ，其中0,0a b ≠≠，则直线l 的方程为( D ) A

1x y a b

-= B

1x y a b

+=- C

1x y a b

-=- D

1x y a b +=

5.直线l 的方程260x y -+= 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距分别为( A ) A

1,6,32

- B

1,6,32

C 2,6,3- D

1,6,32

13. 经过原点且经过022:1=+-y x l ，022:2=--y x l 交点的直线方程为 y=x ．

14. 平行线0872=+-y x 和 0672=--y x 的距离为

16、直线l 1：x ＋my ＋6=0与l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m =0，若21//l l 则m =__-1________;

18．已知点()()2,3,3,2P Q -，直线20ax y ++=与线段P Q 相交，则实数a 的取值范围是_??

???

21,34___；

1８．已知直线l 与圆C 相交于点()1,0P 和点()0,1Q 。

（1）求圆心C 所在的直线方程；（2）若圆心C 的半径为1，求圆C 的方程。解．(1) PQ 的方程为10x y +-= PQ 中点M(

21,

1) , 1P Q k =-,

所以圆心C 所在的直线方程:y x =

(2) 由条件设圆的方程为: ()()2

1x a y b -+-=

由圆过P,Q 点得: ?????=-+=+-1

)1(1

)1(222

2b a b a , 解得???==00b a 或???==11b a

所以圆C 方程为: 221x y +=或 222210x y x y +--+=

16、（天津文理14）已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于,A B 两点，则直线AB 的方程是

__________.

【答案】30x y +=

【分析】两圆方程作差得30x y +=

9．若圆2

)

1()1(R

y x =++-上有且仅有两个点到直线4x +3y =11的距离等于1，则半径R 的取值范围是

（）

A ． R >1

B ． R <3

C ．1

D ． R ≠2 【答案】C

11.与直线40x y --=和圆22

220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程 ( C )

A ．()2

1(1)2x y +++= B ．()2

1(1)4x y +++= C ．()2

1(1)2x y -++= D ．()2

1(1)4x y -++=

31．（天津卷）设直线30ax y -+=与圆22

(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦A B

的长为，则

a =____________．

解析：设直线30ax y -+=与圆22

(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦A B

的长为(1，2)

到直线的距离等于1

|23|

1a -+=，a =0．

3. 过点A （1，-1）、B （-1，1）且圆心在直线x+y -2=0上的圆的方程是 ( C ) A 、(x -3)2+(y+1)2=4 B 、(x+3)2+(y -1)2=4 C 、(x -1)2+(y -1)2=4 D 、(x+1)2+(y+1)2=4

8.已知圆C 的方程是92122=++-)()(y x ,求圆C 关于直线02=-+y x 的对称圆的方程。 8 (x-4)2+(y-1)2=9

4.已知圆与y 轴相切，圆心在直线x -3y=0，且这个圆经过点A （6，1），求该圆的方程 4.()()()()2

11137111,913=-+-=-+-y x y x

练习8若x ，y 满足 x 2+y 2-2x+4y=0，则x-2y 的最大值是__________________ 8.10

4．已知直线l 过点）

，（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是 A ．），（2222- B ．）

，（22- C ．），（4

242- D ．），（8

81-

【答案】C