数学竞赛之立体几何(三)
第三讲 四面体和球
一、基本知识点
（一）特殊四面体
【等腰四面体】1．定义：四面体ABCD 中，若c BD CA b DA BC a CD AB ======,,，则四面体ABCD 为等腰四面体。设其体积为V ，全面积为S 2．性质：（1）))()((12
2
222222222b a c a c b c b a V -+-+-+=
； （2）等腰四面体各个面为全等的锐角三角形；
（3）等腰四面体的相对棱的中点的连线段共点，且互相平分，每一条连线垂直于相对棱，且是四面体的对称轴；
（4）设等腰四面体的三个侧面间的二面角分别为：γβα,,，则：
V
S c b a 32sin sin sin ,1cos cos cos 2
====++γβαγβα
（5）若四面体的四个面面积相等，则四面体为等腰四面体。
（6）等腰四面体总可以和一个长方体对应起来，其边为长方体相对面的对角线。 【直角四面体】
1．定义：设四面体ABC P -中，PC PB PA ,,两两垂直，则称此四面体为直角四面体。 2．性质：设c PC b PB a PA ===,,，体积为V ，内切球和外接球半径分别为r 和R ，
ABC PAB PCA PBC ????,,,的面积分别为S S S S ,,,321
（1）底面ABC ?是锐角三角形，顶点P 在面ABC 内的射影是ABC ?的垂心H ，且
2
2221
111c
b a PH ++=； （2）对棱中点连线段共点且互相平分，其长均等于外接球半径222
2
1c b a R ++=； （3）体积：abc V 61=
；底面ABC ?的面积： 2222222
1a c c b b a S ++=； （4）勾股定理：2
32
22
12
S S S S ++=；内切球的半径：c
b a S
S S S r ++-++=
321；
（5）等比中项性质：AHC S S S ??=2
1，BHC S S S ??=2
2，AHB S S S ??=2
3；
（6）等周定理：若四面体六条棱长之和为定值，则当直角四面体为等腰四面体时体积最大； （7）直角四面体总可以和一个长方体对应起来，其直角顶点为长方体的一个顶点。
【正四面体】1．设四面体ABCD 中，若a BD CA DA BC CD AB ======，则四面体为正四面体，其各个面为全等的等边三角形
2．性质：（1）对棱互相垂直，对棱中点连线段是对棱的公垂线段，且连线段共点；正四面体的四条高交于一点； （2）全面积：23a S =
；体积：
3122a ；对棱间的距离：a d 2
2=；高：a h 36
=；外接球半径：a R 46=
；
内切球半径：a r 126=；任两个面所成的二面角大小为：3
1
arccos （3）正四面体内任意一点到四个面的距离之和相等为定值（等于正四面体的高）
3
6
； （4）正四面体总可以和一个正方体对应起来，正四面体的边为正方体的面对角线。 （二）一般四面体 1．体积公式：A S S a
C abc a Sh V sin 32sin sin sin 13121===
βα； 2．面角的性质：（1）同一顶点处的三个面角γβα,,中任意两个之和大于第三个，任两个之差小于第三个；（2）ππγβα>++<++C B A ,2；（3）正、余弦定理。
3．特殊点：（1）重心：连结四面体任一顶点与其对面重心的四条线段交于一点G ，G 称为
四面体的重心。G 到顶点的距离是它到这顶点对面重心的距离的三倍，四面体三组对棱中点连线交于G 且被G 平分；
（2）外心：四面体的六条棱的中垂面交于一点O ，O 称为四面体的外心，O 到每个顶点的距离等于外接球的半径R ；
（3）内心：四面体的六个二面角的平分面交于一点I ，I 称为四面体的内心，I 到各面的距离等于内切球的半径r 。内切球与四面体的各个面相切，而不是与各条棱相切，同时对任意四面体不一定有与各条棱相切的球。
（三）球：由于球的任一截面均为圆，所以圆的许多性质，如相交弦定理，切线定理，切割线定理对球仍然成立，注意球的截面即球的大圆的特殊性及应用。 1．表面积：2
4R S π=，R 为球的半径；球的体积：3
3
4R V π=,R 为球的半径； 2．外切于半径为r 的球的多面体的体积：rS V 3
1
=
（S 为多面体的表面积）
； 3．多球堆垒问题“抓球心”；球与规则多面体或旋转体组合“找截面”。 （四）凸多面体的欧拉定理
凸多面体的顶点数v ，棱数e 和面数f 之间有如下关系：2=+-f e v 二、典型例题讲解
例1．求证：若四面体中有两条高线相交，则另外两条高线也必定相交
例2．一个正四面体的棱长为1，用它的每条棱为直径作球，设S 是所有的六个球的交集，证明：S 中含有两个点，它们的距离为6
1
例3．在四面体ABC P -中，PC PB PA ,,的长分别为c b a ,,，两两所成的夹角分别为
γβα,,，记以PC PB PA ,,为棱的二面角的大小分别为C B A ,,
证明：V
abc C B A 6sin sin sin sin sin sin sin sin sin γ
βαγβα=
==
例4．四面体ABCD 有过D C B A ,,,的外接球及与各面相切于内心的内切球。而球有公共的中心O ，H 为ABC ?的垂心，'H 为D 在这个平面上的射影，证明：BD AC CD AB ==,，
',OH OH BC AD ==
例5．已知ABC ?的面积为?，外接圆半径为R ，过C B A ,,作平面ABC 的垂线，并在平面ABC 的同一侧的垂线分别取111,,C B A ，使c b a h CC h BB h AA ===111,,，这里
c b a h h h ,,分别表示边AB CA BC ,,边上的高，求四个平面ABC B A C A C B C B A ,.,,111111所围
成的四面体的体积
例6．证明：存在一个四面体ABCD ，它的所有的面都是彼此相似的直角三角形，并且以B A ,为顶点的面角都是锐角，并确定四面体中的最长棱、最短棱各是哪一条，当最长棱为1时，求最短棱长
例7．证明：对任意四面体的高4321,,,h h h h 和各对棱间的距离321,,d d d 有：
23
2221242322211111111d d d h h h h ++=+++
例8．（1）证明：如果给定四面体的六个二面角（即两面之夹角）相等，那么，这个四面体一定是正四面体；
（2）如果五个二面角相等，这个四面体一定是正四面体吗？
例9．设4321A A A A 是一个四面体，4321,,,s s s s 分别是4321,,,A A A A 为球心的球面，它们两两相切，如果存在一点O ，使得以点O 为球心可作一个半径为r 的球面P 与4321,,,s s s s 都相切，证明：四面体4321A A A A 是正四面体
例10．（1）四个半径为1的球两两外切，求和这四个球都相切的球的半径
（2）四个半径分别为2，2，3，3的球两两外切，求和这四个球都相切的球的半径
例11．半径为1的球面上有若干个点，其中任意两点间的距离不小于2，求这些点的最大个数
例12．在直角四面体中，记分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高。证明下列不等式，并指出等号成立的条件： （1）R l )63(2+≤； （2）2)33(3
2R S +≤；
（3）363)2886(3V l +≥； （4）32336)33(2
1
V S +≥；
（5）3
)359(r V +≥； （6）h r )13(2
1
-≥
例13．证明：对任意四面体都有)
(2b a ab
r +<，其中b a ,是四面体一组对棱的长，r 为四面
体的内切球半径
例14．证明：如果四面体相对棱间的距离分别为321,,d d d ，那么四面体的体积3213
1
d d d V ≥
例15．设P 为四面体4321A A A A 内任意一点，P 到i A 所对面的距离为i r ，记
)4,3,2,1(==i R PA i i ，证明：4321432181r r r r R R R R ≥
例16．设r 是四面体4321A A A A 的内切球半径，并设4321,,,r r r r 分别是面431432,A A A A A A ，
321421,A A A A A A 的内切圆半径，证明：
2
242322212
1111r r r r r ≤
+++
例17．四面体ABCD 三个侧面BCD ACD ABD ,,上，由顶点D 引出的中线与底面ABC ?对应边所成的角相等。证明：每个侧面的面积小于另外两个侧面面积之和
例18．在空间中有n 个点，其中任意3个点都是一个内角大于?120的三角形的顶点。证明：可以把这些点用字母n A A A A ,...,,32,1表示，角)1(n k j i A A A k j i ≤<<≤中任何一个都大于
?120