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(理科数学)高考真题分类训练 专题十一 概率与统计第三十六讲二项分布及其应用、正态分布

(理科数学)高考真题分类训练  专题十一  概率与统计第三十六讲二项分布及其应用、正态分布

,且 P (ξ < 4) = 0.8 ,则

专题十一 概率与统计

第三十六讲二项分布及其应用、正态分布

一、选择题

1.(2015 湖北)设 X

N (μ , σ 2 ) ,Y

1

1

示.下列结论中正确的是

N (μ , σ 2 ) ,这两个正态分布密度曲线如图所

2 2

A . P(Y ≥ μ ) ≥ P(Y ≥ μ )

2

1

B . P( X ≤ σ ) ≤ P( X ≤ σ )

2

1

C .对任意正数 t , P( X ≤ t) ≥ P(Y ≤ t )

D .对任意正数 t , P( X ≥ t) ≥ P(Y ≥ t)

2.(2015 山东)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N (0,3 2 ) ,从中随

机取一件,其长度误差落在区间 (3,6) 内的概率为

(附:若随机变量 ξ 服从正态分布 N (μ ,σ 2 ) ,则 P(μ - σ < ξ < μ + σ) = 68.26% ,

P(μ - 2σ < ξ < μ + 2σ ) = 95.44% )

A .4.56%

B .13.59%

C .27.18%

D .31.74%

3. 2014 新课标 2)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,

连续两天为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为

优良的概率是

A .0.8

B .0.75

C .0.6

D .0.45

4.(2011 湖北)已知随机变量ξ 服从正态分布 N

(2,σ

P (0 < ξ < 2) =

2 )

A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

二、填空题

5.(2017新课标Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,表示抽到的二等品件数,则DX=.

6.(2016四川)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是.

7.(2015广东)已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=.

8.(2012新课标)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.

元件1

元件3

元件2

三、解答题

9.(2017新课标Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).

(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)

之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;

(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生

产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.

(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;

(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

9.22

10.269.9110.1310.0210.0410.059.95

1 ∑ 1 ∑ 1

∑ x 2 - 16x 2 ) 经计算得 x = ( x - x )2 =

( x = 9.97 , s = 16 16 16

? ? )

16 16 i i i i =1 i =1

i =1

≈ 0.212 ,其中 x 为抽取的第 i 个零件的尺寸, i =1,2, (16)

i

用样本平均数 x 作为 μ 的估计值 μ ,用样本标准差 s 作为 σ 的估计值 σ ,利用

估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除

之外的数据,

用剩下的数据估计 μ 和 σ (精确到 0.01).

附:若随机变量 Z 服从正态分布 N (μ,σ 2 ) ,则 P(μ -3σ < Z < μ +3 σ =0.997 4,

0.997416 ≈ 0.9592 , 0.008 ≈ 0.09 .

10.(2016 新课标Ⅱ)某险种的基本保费为 a (单位:元),继续购买该险种的投保人称为

续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:

上年度出险次数

0 1 2 3 4 ≥5

保 费

0.85a

a 1.25a

1.5a

1.75a

2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:

一年内出险次数

概 率

0.30

1

0.15

2

0.20

3

0.20

4

0.10

≥5

0.05

(Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;

(Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出 60% 的概率;

(Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

11.(2015 湖南)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽

奖都从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中,各随机摸

出 1 个球,在摸出的 2 个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有 1 个红球,则获二

等奖;若没有红球,则不获奖.

(1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率;

(2)若某顾客有 3 次抽奖机会,记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X ,求 X 的

分布列和数学期望.

12.(2015 湖北)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A, B 两种奶制品.生产 1 吨 A 产品需鲜

牛奶 2 吨,使用设备 1 小时,获利 1000 元;生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1.5 吨,使用设

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W

备1.5小时,获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为

W

P

12

0.3

15

0.5

18

0.2

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量.

(Ⅰ)求Z的分布列和均值;

(Ⅱ)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.

13.(2015新课标Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:

A地区:62738192958574645376

78869566977888827689

B地区:73836251914653736482

93486581745654766579

(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可)

(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:

满意度评分

满意度等级

低于70分

不满意

70分到89分

满意

不低于90分

非常满意

记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”,假设两地

区用户的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生

的概率,求C的概率.

14.(2014山东)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随

1 2

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即结束.除第五局甲队获胜的概率是 外,其余每局比赛甲队获胜的概率是 .假设 2 3

各局比赛结果互相独立.

(1)分别求甲队以 3:0,3:1,3:2 胜利的概率

(2)若比赛结果为 3:0 或 3:1,则胜利方得 3 分,对方得 0 分;若比赛结果为 3:2,则胜

利方得 2 分、对方得 1 分,求乙队得分 X 的分布列及数学期望.

15.(2014 陕西)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000 元,此作物的市场价

格和这块地上的产量具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:

(Ⅰ)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列;

(Ⅱ)若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000

元的概率.

16.(2014 广东)随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数(单位:件)

获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,

34,33,43,38,42,32,34,46,39,36,根据上述数据得到样本的频率分布表如

下:

分组

[25,30 ]

(30,35 ]

(35,40 ]

(40,45 ]

频数

3

5

8

n 1

频率

0.12

0.20

0.32

f 1

(45,50 ]

n

2

f

2

(1)确定样本频率分布表中 n , n , f 和 f 的值;

1 2

1

2

(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图;

(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取 4 人,至少有 1 人的日加工零件数落在

区间(30,35]的概率.

17.(2011 大纲)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险

但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.

(Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率;

(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求X的期望.

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