勾股定理多种证法
勾股定理的证明
【证法1】（课本的证明）
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即
ab
c ab b a 2
142
142
2
2
?
+=?
++， 整理得 2
22c b a =+.
【证法2】（邹元治证明）
以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角
形的面积等于ab
21
. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.
∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF ,
∴ ∠AHE = ∠BEF .
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.
∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的
正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE , ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o,
∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.
∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2
b a +.
∴ ()2
2
21
4c
ab b a +?
=+. ∴
22b a =+ 【证法3】（赵爽证明）
以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜
E
边作四个全等的直角三角形，则每个直角
三角形的面积等于ab
21
. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状.
∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o，
∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90o.
∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2
a b -.
∴
()2
2
2
14c
a b ab =-+?
.
∴ 2
22
c b a =+.
【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）
以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角
形的面积等于ab
2
1
. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点
在一条直线上.
∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE , ∴ ∠ADE = ∠BEC .
∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠D EC = 180o―90o= 90o.
∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，
它的面积等于2
21
c
.
又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD ∥BC .
∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()2
2
1
b a +.
∴ ()2
2
2
12
122
1
c
ab b a +
?
=+.
∴ 2
2
2
c b a =+.
【证法5】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为
B A
c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .
∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠EGF = ∠BED ，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180o―90o= 90o. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，
∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o. ∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD ,
∴ ∠ABC = ∠EBD .
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o.
即 ∠CBD= 90o. 又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o， BC = BD = a .
∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形.
设多边形GHCBE 的面积为S ，则
,
2
122
2
ab S b
a ?
+=+
ab
S c
2
122
?
+=,
∴ 2
2
2
c b a =+.
【证法6】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P .
过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点 F 作FN ⊥PQ ，垂足为N . ∵ ∠BCA = 90o，QP ∥BC ， ∴ ∠MPC = 90o， ∵ BM ⊥PQ ， ∴ ∠BMP = 90o， ∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90o.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o，
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，
又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .
同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF .
从而将问题转化为【证法4】
【证法7】（欧几里得证明） 做三个边长分别为a 、b 、c
B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD . 过
C 作CL ⊥DE ， 交AB 于点M ，交DE 于点 L .
∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，
∵ ΔFAB 的面积等于2
21
a
， ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，
∴ 矩形ADLM 的面积 =2
a .
同理可证，矩形MLEB 的面积 =2
b .
∵ 正方形ADEB 的面积
= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积
∴ 2
2
2
b a
c += ，即 2
2
2
c b a =+.
【证法8】（利用相似三角形性质证明）
如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .
在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB .
AD ∶AC = AC ∶AB ，
即 AB AD AC ?=2
.
同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC ?=2
.
∴ ()2
2
2
AB
AB DB AD BC
AC
=?+=+，即 2
22c b a =+.
【证法9】（杨作玫证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .
∵ ∠BAD = 90o，∠P AC = 90o， ∴ ∠DAH = ∠BAC .
又∵ ∠DHA = 90o，∠BCA = 90o，
AD = AB = c ， ∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b .
由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a .
B
T
F
∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,
Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .
∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90o，∠DHF = 90o，
∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.
∴ GF = FH = a . T F ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .
∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为
543212
S S S S S c
++++=
①
∵
()[]()[]
a b a a b b S S S -+?-+=
++2
1438 =
ab
b 2
12
-
，
985S S S +=，
∴
8
2
432
1S ab b S S --
=+=
812
S S b --
. ②
把②代入①，得
98812
212
S S S S b S S c
++--++=
=
922
S S b ++
= 2
2a b +.
∴ 2
2
2
c b a =+.
【证法10】（李锐证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.
∵ ∠TBE = ∠ABH = 90o， ∴ ∠TBH = ∠ABE .
又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90o，
BT = BE = b ，
∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . ∴ HT = AE = a . ∴ GH = GT ―HT = b ―a .
又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90o，
∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠
∴ ∠GHF = ∠DBC .
∵ DB = EB ―ED = b ―a ，
∠HGF = ∠BDC = 90o， ∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27S S =.
过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90o，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.
由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .
Q
∵ ∠AQM + ∠FQM = 90o，∠BAE + ∠CAR = 90o，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR .
又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90o，QM = AR = a ， ∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.
∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732
S S S b ++=，
又∵ 27S S =，58S S =，64S S =， ∴
8
73612
2
S S S S S b
a ++++=+
=52341S S S S S ++++ =2
c ，
即 2
2
2
c b a =+.
【证法11】（利用切割线定理证明）
在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90o，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得
AD AE AC
?=2
=()()BD AB BE AB -+
=()()a c a c -+ = 2
2
a c -，
即2
2a c b -=，
∴ 2
2
2
c b a =+.
【证法12】
在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，
则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有
BD AC BC AD DC AB ?+?=?， ∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ，
AC = BD = b ，
∴ 222AC BC AB +=，即 2
22b a c +=，
∴ 2
2
2
c b a =+. 【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）
在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .
∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，
∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+
= CD CE += r + r = 2r,
即 r c b a 2=-+，
∴ c r b a +=+2. ∴ ()()2
2
2c r b a +=+，
即 ()2
22242c rc r ab b a ++=++，
∵
ab
S ABC 2
1=
?，
∴ ABC S ab ?=42， 又∵
AOC
BOC AOB ABC S S S S ????++= = br
ar cr 2
12
12
1
+
+
= ()r
c b a ++2
1
=
()r
c c r ++22
1
= rc r +2
，
∴ ()ABC
S rc r
?=+442
， ∴ ()ab rc r
242
=+，
∴ 2
2
222c ab ab b a +=++， ∴ 2
2
2
c b a =+. 【证法14】（利用反证法证明）
如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .
假设222c b a ≠+，即假设 2
22AB BC AC ≠+，则由
AB AB AB
?=2
=()BD AD AB +=BD AB AD AB ?+?
可知 AD AB AC ?≠2，或者 BD AB BC ?≠2
. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .
在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ， ∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，
∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90o，
∴ ∠ADC ≠90o，∠CDB ≠90o.
这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，2
22AB BC AC ≠+的假设不能成立.
∴ 2
22c b a =+.
【证法15】（辛卜松证明）
C
A
D
A E
设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD
的面积为
()ab
b a b a 22
22
++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个
部分，则正方形ABCD 的面积为
()2
2
2
14c
ab b a +?
=+ =2
2c ab +.
∴ 2
2222c ab ab b a +=++,
∴ 2
22c b a =+.
【证法16】（陈杰证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. 在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ， 则 AD = c .
∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ，
∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90o，CM = a ，
∠AED = 90o， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC .
∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180o，
∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90o， ∴ ∠ADC = 90o.
∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90o， ∴ ∠BAF=∠DAE .
连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，
∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .
∴ ∠AFB = ∠AED = 90o，BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中， ∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG . ∵
5
4322
S S S S c
+++=，
6
212
S S S b
++=，
7
32
S S a
+=，
76451S S S S S +===，
∴
6
21732
2S S S S S b
a ++++=+
=()76132S S S S S ++++ =5432S S S S +++ =2
c
∴ 2
22c b a =+.
勾股定理16种证明方法
勾股定理的证明 【证法1】（课本的证明） a 、 b ，斜边长为 c ，再做三 个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 21 4214222?+=?++，整理得222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于ab 21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、 C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵Rt ΔHAE ≌Rt ΔEBF, ∴∠AHE = ∠BEF . ∵∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2. ∵Rt ΔGDH ≌Rt ΔHAE, ∴∠HGD = ∠EHA . ∵∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵∠GHE = 90o, ∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2 b a +. ∴ ()2 22 14c ab b a +?=+. ∴2 2 2 c b a =+.
以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB . ∵∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90o. ∴EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2 a b -. ∴()22 214c a b ab =-+?. ∴2 2 2 c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfiel d 证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面 积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵Rt ΔEAD ≌Rt ΔCBE, ∴∠ADE = ∠BEC . ∵∠AED + ∠ADE = 90o, ∴∠AED + ∠BEC = 90o. ∴∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于221c . 又∵∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD ∥BC . ∴ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()2 21 b a +. ∴()2 2212122 1 c ab b a +?=+. ∴2 22c b a =+.
勾股定理种经典证明方法
勾股定理的证明 【证法1】 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 21 4214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形 的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A 、E 、 B 三点在一条 直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为 正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2 b a +. ∴ ()2 2214c ab b a +?=+. ∴ 2 2 2 c b a =+. 【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB . ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90o. ∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2 a b -. ∴ ()2 2 214c a b ab =-+?. ∴ 2 22c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形 的面积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A 、E 、 B 三点在一条 直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC . ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.
勾股定理五种证明方法
勾股定理五种证明方法 【证法1】 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 做8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 214214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角 形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点 在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o . ∴ ∠HEF = 180o ―90o= 90o . ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o . 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o . ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +. ∴ ()2 2214c ab b a +?=+. ∴ 222c b a =+. 【证法3】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为
勾股定理的不同证法
勾股定理的不同证法 证法1：设三角形较短的两边长度分别为a和b，较长的边为c， 如果a的二次方与b的二次方的和等于c的二次方，最长边对 应的角为直角，则已证明勾股定理：a2+b2=c2 证法2：以三角形三边延伸做三个正方形，边长分别为a，b， c，如果正方形（a边长）加正方形（b边长）面积和等于正方 形（c边长），则a2+b2=c2，已证明勾股定理。 证法3:以a，b为直角边，以c为斜边做两个全等的三角形， 则每个直角三角三角形的面积等于?ab，把这两个直角三 角形如图所示，使A，E，B三点在一条直线上。 ∵Rt△EAD≌RT△CBE， ∴∠ADE＝∠BEC， ∵∠AED＋∠ADE＝90° ∴∠AED＋∠BEC＝90° ∴∠DEC＝180°—90°＝90° ∴△DEC是一个等腰直角三角形 它的面积等于?c2 又因为∠DAE＝90°，∠EBC＝90°， ∴AD∥BC ∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于?（a＋b）2 ∴?（a＋b）2＝2·?ab＋?c2 ∴a2+b2=c2 证法4：做8个全等的直角三角形设它们的两条直 角边长为a，b，斜边长为c，在做三个边长为a，b， c的正方形，把它们像左图那样拼成两个正方形，从 左图可以看到，这两个正方形的边长都是a＋b，所 以面积相等，即： a2+b2＋4·?ab等于c2＋4·?ab，整理便得a2+b2=c2 证法5：以a，b为直角边(b＞a)，以c为斜边做四 个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于?ab，把这 四个直角三角形拼成如图所示形状。 ∵RtDAH≌Rt△ABE, ∴∠HDA＝∠EAB ∵∠HAD＋∠HAD＝90° ∴∠EAB＋∠HAD＝90° ∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2 ∵EF＝FG＝GH＝HE＝b—a ∠HEF＝90° ∴EFGH是一个边长为b—a的正方形，它的面积等于（b—a）2 4·?ab＋（b—a）2等于c2 ∴a2+b2=c2 证法6：从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：
最好的勾股定理五种证明方法
勾股定理五种证明方法 1证法】【abba aacaabc c ab bccbbb ca b 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为做8c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即 ，整理得.
证法2证明）（】【 以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab 2形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵RtΔHAE ≌RtΔEBF, CGDab∴∠AHE = ∠BEF. , o∠AHE = 90∵∠AEH + abc. o∠BEF = 90∴∠AEH + c. = 90o HEF = 180o―90o∴∠H c的四边形EFGH是一个边长为F它的面积等于
c2. 正方形.b HAE, RtΔ≌∵RtΔGDH .HGD = ∠EHA∴A, o∠GHD = 90∵∠HGD + . GHD = 90∠o∴∠EHA + , GHE = 90o又∵∠. o= 180o+ 90o∴∠DHA = 90. 是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于∴ABCD .∴∴. 证法3证明）（】【做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. ∵D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌RtΔEBD, ∴∠EGF = ∠BED，
勾股定理证法11种
证法1 一种借助面积完成的演绎证明（愚草提供），双击右侧图片可以清楚阅读： 另附：《对勾股定理及其逆定理教育价值的深层挖掘》[3]一文。 证法1 作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ；，斜边长为c. ；把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上，；且RtΔGEF ；≌ RtΔEBD， ∴；∠EGF = ；∠BED， ∵；∠EGF + ；∠GEF = 90°， ∴；∠BED + ；∠GEF = 90°， ∴；∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴；∠ABC + ；∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ；≌ RtΔEBD， ∴；∠ABC = ；∠EBD. ∴；∠EBD + ；∠CBE = 90° 即；∠CBD= 90° 又∵；∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 A+B=C 证法2
作两个全等的直角三角形，设它们的直角边长分别为a、b（b>a）；，斜边长为c. ；再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵；∠BCA = 90°，QP∥BC， ∴；∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ， ∴；∠BMP = 90°， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。 ∵；∠QBM + ；∠MBA = ；∠QBA = 90°， ∠ABC + ；∠MBA = ；∠MBC = 90°， ∴；∠QBM = ；∠ABC， 又∵；∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ；≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ；≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2 证法3 作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）；，斜边长为c. ；再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c， ∠CJB = ；∠CFD = 90°， ∴RtΔCJB ；≌ RtΔCFD ；， 同理，RtΔABG ；≌ RtΔADE， ∴RtΔCJB ；≌ RtΔCFD ；≌ RtΔABG ；≌ RtΔADE ∴∠ABG = ；∠BCJ, ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°， ∴∠ABG +∠CBJ= 90°， ∵∠ABC= 90°， ∴G,B,I,J在同一直线上， A2+B2=C2。 证法4 作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. ；过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点L. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ；∠GAD， ∴；ΔFAB ；≌；ΔGAD， ∵；ΔFAB的面积等于， ΔGAD的面积等于矩形ADLM
勾股定理五种证明方法
勾股定理五种证明方法 【证法1】 做 8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 214214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【 证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角 形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点 在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +. ∴ ()2 2214c ab b a +?=+. ∴ 222c b a =+. 【证法3】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为
勾股定理16种证明方法
v1.0 可编辑可修改 【证法1】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 21 4214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、 C 三点在一条直线上，C 、G 、 D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2.
v1.0 可编辑可修改 ∴∠HGD = ∠EHA. ∵∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵∠GHE = 90o, ∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于()2b a+. ∴()2 2 2 1 4c ab b a+ ? = + . ∴2 2 2c b a= +. 【证法3】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于 ab 2 1 . 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB. ∵∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于()2a b-. ∴ ()2 2 2 1 4c a b ab= - + ? .
勾股定理五种证明方法
勾股定理五种证明方法 This manuscript was revised on November 28, 2020
勾股定理五种证明方法 【证法1】 做 c ，再. .即 b a 22+【证法以 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵Rt ΔHAE ≌Rt ΔEBF, ∴∠AHE=∠BEF . ∵∠AEH+∠AHE=90o, ∴∠AEH+∠BEF=90o . ∴∠HEF=180o ―90o=90o . ∴四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形.它的面积等于c2. ∵Rt ΔGDH ≌Rt ΔHAE, ∴∠HGD=∠EHA . ∵∠HGD+∠GHD=90o, ∴∠EHA+∠GHD=90o . 又∵∠GHE=90o, ∴∠DHA=90o+90o=180o . ∴ABCD 是一个边长为a+b 的正方形，它的面积等于()2b a +. ∴()2 2214c ab b a +?=+.∴222c b a =+. 【证法3】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c .把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上.过C 作AC 的延长线交DF 于点P . ∵D 、E 、F 在一条直线上,且Rt ΔGEF ≌Rt ΔEBD, ∴∠EGF=∠BED ， ∵∠EGF+∠GEF=90°， ∴∠BED+∠GEF=90°， ∴∠BEG=180o ―90o=90o . 又∵AB=BE=EG=GA=c ， ∴ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴∠ABC+∠CBE=90o . ∵Rt ΔABC ≌Rt ΔEBD,
勾股定理9种证明(有图)
勾股定理的9种证明（有图） 【证法1】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形， 则每个直角三角形的面积 等于2ab .把这四个直角三角形拼成如图所示形状， 使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、 C 三点在一条直线上，C G D 三点在一条直线上. v Rt △ HAE 坐 Rt △ EBF, ??? / AHE = / BEF. v / AEH + / AHE = 90o, ? / AEH + / BEF = 90o. ? / HEF = 180o — 90o= 90o. ?四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形.它的面积等于c 2. v Rt △ GDH 坐 Rt △ HAE, ? / HGD = / EHA. v / HGD + / GHD = 90o, ? / EHA + / GHD = 90o. 又v / GHE = 90o, ? / DHA = 90o+ 90o= 180o. 2 ? ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于（a + b ）. 2 1 2 a b 4 ab c 222 ? 2 . ? a b = c . 【证法2】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、b ，斜边长为c.把它 们拼成如图那样的一个多边形，使 D E 、F 在一条直线上.过C 作AC 的延长线交DF 于 / EGF + / GEF = 90°, / BED + / GEF = 90 ° , / BEG =18(b — 90o= 90 o. 又 v AB = BE = EG = GA = c ? / ABC + / CBE = 90o. v Rt △ ABC 坐 Rt △ EBD, ? / ABC = / EBD. ? / EBD + / CBE = 90o. 即 / CBD= 9Gb. 又 v / BDE = 90o ,Z BCP = 90o , D 、 E 、 F 在一条直线上，且Rt △ GEF 幻Rt △ EBD, ABE G 是一个边长为c 的正方形. a b H H 匕 D A F b a P b C
勾股定理十六种证明方法
勾股定理的十六种证明方法 【证法1】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 21 4214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上， B 、F 、 C 三点在一条直线上，C 、G 、 D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHA E ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BE F . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2 b a +. ∴ 2 2 2 c b a =+. 【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角
勾股定理几种证明方法
勾股定理几种证明方法 勾股定理的证明 【证法1】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三 个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等.即 11 a2+b2+4×ab=c2+4×ab 22，整理得 a2+b2=c2. 【证法2】（邹元治证明） 以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 1ab2等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、 C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线 上.∵RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF. ∵∠AEH+∠AHE=90o,∴∠AEH+∠BEF=90o.∴∠HEF=180o―90o=90o.∴四边形EFGH是 一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.∵RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA. ∵∠HGD+∠GHD=90o,∴∠EHA+∠GHD=90o.又∵∠GHE=90o, ∴∠DHA=90o+90o=180o. 2∴.∴a+b=c. 【证法3】（赵爽证明）以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三 角形，则每个直角 ( a+∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于(a+b)2=4×1ab+c2 222
1ab2三角形的面积等于.把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB. ∵∠HAD+∠HAD=90o，∴∠EAB+∠HAD=90o， 2 ∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o. 2 (b?a)∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于. 1 4×ab+(b?a)2=c2 2∴.222 ∴a+b=c.【证法4】（1876年美国总统Garfield证明） 以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面 1ab2积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线 上.∵∴∵∴∴∴RtΔEAD≌RtΔCBE,∠ADE=∠BEC. ∠AED+∠ADE=90o, ∠AED+∠BEC=90o.∠DEC=180o―90o=90o.ΔDEC是一个等腰直角三角形， 12c2它的面积等于. 又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o, ∴AD∥BC. 1 (a+b)2 ∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2. 1 (a+b)2=2×1ab+1c2
勾股定理16种证明方法
1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 勾股定理的证明 【证法1】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 21 4214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、 C 三点在一条直线上，C 、G 、 D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHA E ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BE F . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2 b a +. ∴ ()2 22 14c ab b a +?=+. ∴ 2 22c b a =+. 【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB . ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2.
勾股定理逆定理八种证明方法
证法1 作四个全等的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。过点C作AC 的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， ∴∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 证法2 作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），做一个边长为c的正方形。斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90°， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠， 又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即 证法3 作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上，
勾股定理五种证明方法.docx
v1.0可编辑可修改 勾股定理五种证明方法 【证法 1】 a b b a a a c a a c b a b c b cb b b c c a a b a b 做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为 c，再做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形 . 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b ，所以面积相等 .即 a 2b241 ab c24 1 ab ，整理得 a 2b2c2. 22 【证法 2】（邹元治证明） 以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角1 ab 形的面积等于 2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上， B、F、C三点在一条直线上， C、G、 D 三点在一条直线上 . ∵ Rt HAE ≌ Rt EBF, C DbGa ∴ ∠ AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o , ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90 o . ∴ ∠HEF = 180o ― 90o = 90 o . ∴四边形 EFGH是一个边长为 c 的正方形 . 它的面积等于 c2. ∵ Rt GDH≌ Rt HAE,a c c b H F b c c a A a E b B
∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o , ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o . 又∵ ∠GHE = 90o , ∴ ∠DHA = 90o + 90 o = 180 o . ∴ ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于 a b 2 . a b 2 4 1 ab c 2 b 2 c 2 . ∴ 2 .∴ a 2 【证法 3】（ 梅文鼎证明 ） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、 b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D 、E 、F 在一条直线上 . 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P. ∵ D 、E 、F 在一条直线上 , 且 Rt GEF ≌ Rt EBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ， ∵ ∠EGF + ∠ GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， F b a ∴ ∠BEG =180o ―90o = 90 o . G c E 又∵ AB = BE = EG = GA = c ， P ∴ ABEG 是一个边长为 c 的正方形 . b C b c c ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o . a H D b a ∵ Rt ABC ≌ Rt EBD, a A c B ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o . 即 ∠CBD= 90o . 又∵ ∠BDE = 90o ，∠ BCP = 90o ， BC = BD = a .
勾股定理5种证明方法
勾股定理的证明 【证法1】 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 21 4214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【证法2】 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、 F 、 C 三点在一条直线上，C 、G 、 D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2 b a +. ∴ ()2 2 21 4c ab b a +?=+. ∴ 2 22c b a =+.【证法3】
以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB . ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90o. ∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2 a b -. ∴ ()2 2 214c a b ab =-+?. ∴ 2 22c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面 积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC . ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于221c . 又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD ∥BC . ∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()2 21 b a +. ∴ ()2 2212122 1 c ab b a +?=+. ∴ 2 22c b a =+. 【证法5】（利用反证法证明） 如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .
证明勾股定理的几种常用方法
第 1 页,共 1页 证明勾股定理的几种常用方法 勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．探究勾股定理的证明，可以加深学生对勾 股定理的理解、丰富研究数学问题的方法、激发学习数学的兴趣． 证明勾股定理的方法有很多种，最常见的是通过构造一些含有直角三角形的特殊图形， 利用面积相等来证明，现举例说明如下： 已知R t △ABC 的斜边长为c ，两直角边的边长分别为a 、b ，求证：a 2 ＋b 2＝c 2． 证法1： 如图1所示，以R t △ABC 的三条边作边 长分别向外作三个正方形，则正方形CDEF 与正方形 GHMN 的面积相等，即S 正方形CDEF ＝S 正方形GHMN ． 因为S 正方形GHMN ＝(a ＋b)2， S 正方形CDEF ＝c 2＋4×12 ab ． 所以(a ＋b)2＝c 2＋4×12 ab ，故a 2 ＋b 2＝c 2． 证法2：用四个R t △ABC 拼成图2所示的图形，则四个直角三角形的直角顶点构成了一个小正方形的四个顶点．观察图形可得出等 量关系：两个正方形的面积之差等于四个直角 三角形的面积之和，即c 2－(b －a)2＝4×12 ab ， ∴a 2 ＋b 2＝c 2． 说明：用四个R t △ABC 拼成图3所示的图形，借助等量关系：两个正方形的面积之差 等于四个直角三角形的面积之和，同样可得出a 2 ＋b 2＝c 2． 证法3：如图4所示，两个全等直角三角形的直角边a 、b 在同一条直线上，则两直角 三角形的斜边相互垂直．由图形可以看出，直角梯形的面积 等于三个直角三角形的面积之和． 则S 梯形＝12(a ＋b)(a ＋b)＝2×12ab ＋12c 2， ∴a 2 ＋b 2＝c 2． C B A a b c G H N D F E M 图1 图2 图3 a a b b c c 图4
勾股定理16种经典证明方法
ab c ab b a 21421422 2 ?+=?++【证法1】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21 . 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2 b a +. ∴ ()2 2214c ab b a +?=+. ∴ 2 22c b a =+. 【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB . ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2 . ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a ,
勾股定理的九种证明方法附图
勾股定理的九种证明方法 附图 Modified by JEEP on December 26th, 2020.
勾股定理的证明方法 一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1） 左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式，化简得。 二、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3） 这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形和1个直角边为 的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。 三、相似三角形的证法： 4.相似三角形的方法：在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个三直角角形与原三角形相似。 如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°。作CD ⊥AB ，垂足为D 。则 △BCD ∽△BAC ，△CAD ∽△BAC 。 由△BCD ∽△BAC 可得BC 2=BD × BA ， ① 由△CAD ∽△BAC 可得AC 2=AD × AB 。 ② 我们发现，把①、②两式相加可得 BC 2+AC 2=AB （AD+BD ）， 而AD+BD=AB ， 因此有 BC 2+AC 2=AB 2，这就是 a 2+ b 2= c 2。 这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。 四、古人的证法： 如图，将图中的四个直角三角形涂上深红色，把中间小正方形涂上白色，，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开C A B D