复变函数课后习题答案全58533
习题一答案
1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数:
(1)1
32i
+ (2)(1)(2)i i i --
(3)131i i i
-- (4)8214i i i -+-
解:(1)1323213i
z i -==
+, 因此:32
Re , Im 1313z z ==-
,
232 arg arctan , 31313z z z i ==-=+
(2)3(1)(2)1310
i i i
z i i i -+===---,
因此,31
Re , Im 1010z z =-=
,
131 arg arctan , 31010z z z i π==-=--
(3)133335122
i i i z i i i --=-=-+=
-, 因此,35
Re , Im 32z z ==-
,
535, arg arctan , 232i z z z +==-=
(4)821
41413z i i i i i i =-+-=-+-=-+
因此,Re 1, Im 3z
z =-=
,
arg arctan3, 13z z z i π==-=--
2． 将下列复数化为三角表达式与指数表达式: (1)i
(2)1-+ (3)(sin cos )r i θθ+
(4)(cos sin )r i θθ- (5)1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤
解:(1)2
cos
sin
2
2
i
i
i e π
π
π
=+=
(2)1-+23
222(cos sin )233
i i e πππ=+=
(3)(sin cos )r i θθ+()2
[cos()sin()]22i
r i re
π
θππ
θθ-=-+-=
(4)(cos sin )r i θ
θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=
(5)2
1cos sin 2sin 2sin cos 222i i θ
θθ
θθ-+=+ 2
2sin [cos
sin
]2sin 22
22
i
i e πθ
θπθ
πθθ
---=+=
3． 求下列各式的值:
(1)5)i - (2)100100(1)(1)i i ++-
(3)(1)(cos sin )(1)(cos sin )
i i i θθθθ+-- (4)
23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+-
解
:(1)5
)i -5[2(cos()sin())]66
i ππ
=-+-
5
552(cos()sin()))66
i i ππ
=-+-=-+
(2)100
100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-
(3)
(1)(cos sin )
(1)(cos sin )
i i i θθθθ+--
2[cos()sin()](cos sin )
33)sin()][cos()sin()]44
i i i i ππ
θθππ
θθ-+-+=
-+--+-
)sin()](cos2sin 2)12
12
i i π
π
θθ=-
+-
+
(2)12
)sin(2)]12
12
i
i π
θπ
π
θθ-
=-
+-
=
(4)
2
3
(cos5sin5)
(cos3sin3)
i
i
??
??
+
-
cos10sin10
cos19sin19 cos(9)sin(9)
i
i
i
??
????
+
==+ -+-
=
11
cos(2)sin(2)
3232
k i k
ππ
ππ
=++
+
1
,0
22
1
,1
22
,2
i k
i k
i k
+=
?
?
?
=-+=
?
?
-=
?
?
?
=
11
(2)sin(2)]
2424
k i k
ππ
ππ
=+++
8
8
,0
,1
i
i
e k
e k
π
π
=
=
?=
?
4．
设
12
,
z z i
==-试用三角形式表示
12
z z与1
2
z
z
解:
12
cos sin, 2[cos()sin()]
4466 z i z i
ππππ=+=-+-,所以
12
z z2[cos()sin()]2(cos sin)
46461212
i i
ππππππ=-+-=+,
1
2
z
z
1155
[cos()sin()](cos sin)
2464621212
i i
ππππππ=+++=+
5．解下列方程:
(1)5
()1
z i+=(2)440 (0)
z a a
+=>
解
:(1)z i+=由此
2
5
k i
z i e i
π
=-=-, (0,1,2,3,4)
k=
(2)z==
11
[cos(2)sin(2)]
44
a k i k
ππππ
=+++,当0,1,2,3
k=时,对应的4个根分别为
(1),1),1),)
i i i i
+-+---
6．证明下列各题:(1)设,
z x iy
=+
z x y
≤≤+
证明:首先,
显然有z x y
=≤+;
其次,因222,
x y x y
+≥固此有222
2()(),
x y x y
+≥+
从而
z=≥。
(2)对任意复数
12
,,
z z有222
121212
2Re()
z z z z z z
+=++
证明:验证即可,首先左端22
1212
()()
x x y y
=+++,
而右端2222
11221122
2Re[()()]
x y x y x iy x iy
=+++++-
2222
11221212
2()
x y x y x x y y
=+++++22
1212
()()
x x y y
=+++, 由此,左端=右端,即原式成立。
(3)若a bi
+就是实系数代数方程1
0110
n n
n
a z a z a z a
-
-
++++=
的一个根,那么a bi
-也就是它的一个根。
证明:方程两端取共轭,注意到系数皆为实数,并且根据复数的乘法运算规则,()
n n
z z
=,由此得到:1
0110
()()0
n n
n
a z a z a z a
-
-
++++=
由此说明:若z为实系数代数方程的一个根,则z也就是。结论得证。(4)若1,
a=则,
b a
?≠皆有
1
a b
a
ab
-
=
-
证明:根据已知条件,有1aa =,因此:
1
1()a b a b a b a ab aa ab a a b a ---====---,证毕。 (5)若1, 1a b <<,则有
11a b
ab
-<- 证明:
222
()()a b a b a b a b ab ab -=--=+--,
2
22
1(1)(1)1ab ab ab a b ab ab -=--=+--,
因为
1, 1a b <<,所以,
2
2
2
2
2
2
1(1)(1)0a b a b a b +--=--< ,
因而2
2
1a b ab -<-,即
11a b
ab
-<-,结论得证。
7.设
1,z ≤试写出使n z a +达到最大的z 的表达式,其中n 为正整数,a 为
复数。
解:首先,由复数的三角不等式有
1n n z a z a a +≤+≤+,
在上面两个不等式都取等号时
n z a +达到最大,为此,需要取n
z 与a 同向且1n
z =,即n
z 应为a 的单位化向量,由此,n
a
z a
=,
z =
8.试用123,,z z z 来表述使这三个点共线的条件。 解:要使三点共线,那么用向量表示时,2
1z z -与31z z -应平行,因而二者应
同向或反向,即幅角应相差0或π的整数倍,再由复数的除法运算规则知
21
31
z z Arg z z --应为0或π的整数倍,至此得到:
123,,z z z 三个点共线的条件就是
21
31
z z z z --为实数。
9.写出过1212, ()z z z z ≠两点的直线的复参数方程。
解:过两点的直线的实参数方程为: 121121()
()
x x t x x y y t y y =+-??
=+-?, 因而,复参数方程为:
112121121()()z x iy x iy t x x iy iy z t z z =+=++-+-=+-
其中t 为实参数。
10.下列参数方程表示什么曲线？(其中t 为实参数) (1)(1)z
i t =+ (2)cos sin z a t ib t =+ (3)i
z t t
=+
解:只需化为实参数方程即可。 (1),x t y
t ==,因而表示直线y x =
(2)cos ,sin x a t y b t ==,因而表示椭圆22
221x y a b
+=
(3)1
,x t y t
==,因而表示双曲线1xy =
11.证明复平面上的圆周方程可表示为 0zz az az c +++=,
其中a 为复常数,c 为实常数 证明:圆周的实方程可表示为:2
20x y Ax By c ++++=,
代入, 22z z z z x y i
+-=
=,并注意到222
x y z zz +==,由此
022z z z z
zz A
B c i
+-+++=, 整理,得
022
A Bi A Bi
zz z z c -++++=
记2A Bi a +=,则2
A Bi
a -=,由此得到
0zz az az c +++=,结论得证。
12.证明:幅角主值函数arg z 在原点及负实轴上不连续。 证明:首先,arg z 在原点无定义,因而不连续。 对于0
0x <,由arg z 的定义不难瞧出,当z 由实轴上方趋于
0x 时,arg z π→,而当z 由实轴下方趋于0x 时,arg z π→-,由此说明
lim arg z x z →不存在,因而arg z 在0x 点不连续,即在负实轴上不连续,结论得
证。
13.函数1w z
=把z 平面上的曲线1x =与22
4x y +=分别映成w 平面中
的什么曲线？
解:对于1x =,其方程可表示为1z
yi =+,代入映射函数中,得
2
11111iy
w u iv z iy y
-=+===++, 因而映成的像曲线的方程为
22
1, 11y
u v y y
-=
=++,消去参数y ,得 222
1,1u v u y +=
=+即22211()(),22
u v -+=表示一个圆周。 对
于
224
x y +=,其方程可表示为
2cos 2sin z x iy i θθ=+=+
代入映射函数中,得
11cos sin 2cos 2sin 2i w u iv z i θθ
θθ-=+=
==+
因而映成的像曲线的方程为
11
cos , sin 22
u v θθ==-,消去参数θ
,得
2
2
14u v +=,表示一半径为1
2
的圆周。
14.指出下列各题中点z 的轨迹或所表示的点集,并做图: 解:(1)
0 (0)z z r r -=>,说明动点到0z 的距离为一常数,因而表示圆心
为0z ,半径为r 的圆周。 (2)
0,z z r -≥就是由到0z 的距离大于或等于r 的点构成的集合,即圆心为
0z 半径为r 的圆周及圆周外部的点集。
(3)
138,z z -+-=说明动点到两个固定点1与3的距离之与为一常数,
因而表示一个椭圆。代入,z
x iy ==化为实方程得
22
(2)11615
x y -+=
(4)
,z i z i +=-说明动点到i 与i -的距离相等,因而就是i 与i -连线的垂
直平分线,即x 轴。 (5)arg()4
z i π
-=
,幅角为一常数,因而表示以i 为顶点的与x 轴正向夹角为
4
π
的射线。 15.做出下列不等式所确定的区域的图形,并指出就是有界还就是无界,单连通还就是多连通。 (1)23z <<,以原点为心,内、外圆半径分别为2、3的圆环区域,有界,多连
通 (2)arg (02)z α
βαβπ<<<<<,顶点在原点,两条边的倾角分别为
,αβ的角形区域,无界,单连通
(3)
3
12
z z ->-,显然2z ≠,并且原不等式等价于32z z ->-,说明z 到3的距离比到2的距离大,因此原不等式表示2与 3 连线的垂直平分线即
x =2、5左边部分除掉x =2后的点构成的集合,就是一无界,多连通区域。
(4)
221z z --+>,
显然该区域的边界为双曲线
221z z --+=,化为实方程为
2
2
44115
x y -=,再注意到z 到2与z 到-2的距离之差大于1,因而不等式
表示的应为上述双曲线左边一支的左侧部分,就是一无界单连通区域。 (5)
141z z -<+,代入z x iy =+,化为实不等式,得
22
2178()()1515
x y ++>
所以表示圆心为17(,0)15-半径为8
15
的圆周外部,就是一无界多连通区域。
习题二答案
1．指出下列函数的解析区域与奇点,并求出可导点的导数。
(1)5
(1)z - (2)3
2z iz + (3)211z + (4)1
3
z z ++
解:根据函数的可导性法则(可导函数的与、差、积、商仍为可导函数,商时
分母不为0),根据与、差、积、商的导数公式及复合函数导数公式,再注意到区域上可导一定解析,由此得到:
(1)5(1)z -处处解析,5
4[(1)
]5(1)z z '-=-
(2)32z iz +处处解析,32
(2)32z iz z i '+=+
(3)211
z +的奇点为2
10z +=,即z i =±, 22
2222
1(1)2(), ()1(1)(1)z z z i z z z '-+-'==≠±+++ (4)1
3
z z ++的奇点为3z =-,
2
11()1, (3)3(3)
z z z z '+=-≠-++ 2．判别下列函数在何处可导,何处解析,并求出可导点的导数。 (1)22()f z xy x yi =+ (2)22()f z x y i =+
(3)
3223()3(3)f z x xy i x y y =-+- (4)1
()f z z
=
解:根据柯西—黎曼定理:
(1)22, u xy v x y =
=,
22
, ,2, 2x y y x u y v x u xy v xy ====
四个一阶偏导数皆连续,因而,u v 处处可微,再由柯西—黎曼方程 , x y y x u v u v ==-解得:0x y ==,
因此,函数在0z =点可导, 0(0)0x x z f u iv ='=+=,
函数处处不解析。
(2)22, u x v y =
=,
2, 2,0, 0x y y x u x v y u v ====
四个一阶偏导数皆连续,因而,u v 处处可微,再由柯西—黎曼方程 , x y y x u v u v ==-解得:x y =, 因此,函数在直线y x =上可导, ()2x x y x f x ix u iv x ='+=+=,
因可导点集为直线,构不成区域,因而函数处处不解析。
(3)32233, 3u x xy v x y y =
-=-,
2222
33, 33,6, 6x y y x u x y v x y u xy v xy =-=-=-= 四个一阶偏导数皆连续,因而 ,u v 处处可微,并且 ,u v 处处满足柯西—黎曼方程 , x y y x u v u v ==-
因此,函数处处可导,处处解析,且导数为
()x x f z u iv '=+= 2233+6x y i xy -23z = (4)2211()x iy f z x iy x y
z +===-+,2222
, x y
u v x y x y ==++, 2222
222222
, ()()x y y x x y u v x y x y --==++, 222222
22, ()()
y x xy xy
u v x y x y --==++, 因函数的定义域为0z ≠,故此,,u v 处处不满足柯西—黎曼方程,因而
函数处处不可导,处处不解析。 3．当,,l m n 取何值时3232()()f z my nx y i x lxy =+++在复平面上处
处解析？ 解:3
232, u my
nx y v x lxy =+=+
22222, 2, 3, 3x y y x u nxy v lxy u my nx v x ly ===+=+,
由柯西—黎曼方程得:
2
2
2
2
2 2, (1)
33 (2)
x y y x u nxy v lxy u my nx v x ly ====+=-=--
由(1)得 n l =,由(2)得3, 3n m l =-=-,因而,最终有 1, 3m n l ===-
4．证明:若()f z 解析,则有 2
22(())(())()f z f z f z x y
??'+=??
证明:由柯西—黎曼方程知,左
端22=+
22
2222()()x x x x uu vv uu vv uv vu u v +++-=+=+ 22222
22
()()()x x x x x x u u v v u v u v u v +++==++2x x u iv =+ 2
()f z '==右端,证毕。
5．证明:若()f z u iv =+在区域D 内解析,且满足下列条件之一,则()
f z 在D 内一定为常数。
(1)
()f z 在D 内解析 , (2)u 在D 内为常数,
(3)()f z 在D 内为常数, (4)2
v u = (5)231u v += 证明:关键证明,u v 的一阶偏导数皆为0！
(1)()f z u iv =-,因其解析,故此由柯西—黎曼方程得
, x y y x u v u v =-= ------------------------(1) 而由
()f z 的解析性,又有, x y y x u v u v ==- ------------------------(2)
由(1)、(2)知,0x y x y u u v v ===≡,因此12, ,u c v c ≡≡即
12()f z c ic ≡+为常数 (2)设1u c ≡,那么由柯西—黎曼方程得
0, 0x y y x v u v u =-≡=≡,
说明v 与,x y 无关,因而 2v c ≡,从而12()f z c ic ≡+为常数。
(3)由已知,
2
220()f z u v c =+≡为常数,等式两端分别对,x y 求偏导数,
得
220220
x x y y uu vv uu vv +=+=----------------------------(1)
因
()f z 解析,所以又有 , x y y x u v u v ==--------------------------(2)
求解方程组(1)、(2),得 0x y x y u u v v ===≡,说明 ,u v 皆与,x y 无关,因而为常数,从而()f z 也为常数。
(4)同理,2
v u =两端分别对,x y 求偏导数,得 2, 2x x y y v uu v uu ==
再联立柯西—黎曼方程, x
y y x u v u v ==-,仍有
0x y x y u u v v ===≡
(5)同前面一样,231u v +=两端分别对,x y 求偏导数,得 2+30, 2+30x x y y u v u v == 考虑到柯西—黎曼方程, x y y x u v u v ==-,仍有
0x y x y u u v v ===≡,证毕。
6．计算下列各值(若就是对数还需求出主值) (1)2
i e
π
- (2)()Ln i - (3)(34)Ln i -+
(4)sin i (5)(1)i
i + (6)23
27 解:(1)2
cos()sin()22
i e
i i π
ππ
-=-+-=-
(2)1
()ln arg()2(2)2
Ln i i i k i k i ππ-=-+-+=-+,
k 为任意整数,
主值为:1
()2
ln i i π-=-
(3)(34)ln 34arg(34)2Ln i i i k i π-+=-++-++
4
ln5(arctan 2)3
k i ππ=+-+, k 为任意整数
主值为:4
ln(34)ln5(arctan )3
i i π-+=+-
(4)..1
sin 22
i i i i e e e e i i i ----=
= (5)(2)
2(1)
4
4
(1)
i i k i k i
iLn i i e
e
e
π
π
ππ
++--++===
24
(cosln sin k e
i π
π--=+, k 为任意整数
(6)22
2
244
27(272)2733333
3
279Ln ln k i ln k i k i e e e e e πππ+====,
当k 分别取0,1,2时得到3个值:
9
,
43
9
9(1)
2
i e
π=-+,
8
3
9
9(1)2
i e
π=-+ 7．求2
z e 与2z Arge 解:2
222z x y xyi
e
e
-+=,因此根据指数函数的定义,有 2z e 22
x y e -=, 222z Arge xy k π=+,(k 为任意整数)
8．设i z
re θ=,求Re[(1)]Ln z -
解:(1)ln 1[arg(1)2]Ln z z i z k i π-=-+-+,因此
Re[(1)]Ln z
-ln 1ln z =-= 2
1ln(12cos )2
r r θ=-+
9．解下列方程:
(1)1z
e
=+ (2)ln 2
z i π
=
(3)sin cos 0z z += (4)shz i =
解:(1)方程两端取对数得
:1
(1)ln 2(2)3
z
Ln k i π=+=++
(k 为任意整数)
(2)根据对数与指数的关系,应有
2
cos
sin
2
2
i
z e
i i π
π
π
==+=
(3)由三角函数公式(同实三角函数一样),方程可变形为
sin cos )04
z z z π
+=+=
因此,4
z k π
π+
= 即 4
z k π
π=-
,
k 为任意整数
(4)由双曲函数的定义得 2
z z
e e shz i --=
=,解得 2()210z z
e ie --=,即z e i =,所以
(2)2
z Lni k i π
π==+ ,k 为任意整数
10.证明罗比塔法则:若()f z 及()g z 在0z 点解析,且
000()()0, ()0f z g z g z '==≠,则000()
()lim
()()
z z f z f z g z g z →'=',并由此求极限 00sin 1
lim ; lim
z z z z e z z
→→- 证明:由商的极限运算法则及导数定义知
000000000000
()()()()
lim ()
lim lim ()()()()()lim z z z z z z z z f z f z f z f z z z z z f z g z g z g z g z g z z z z z →→→→----==----00()()
f z
g z '=', 由此,00sin cos lim lim 11
z z z z
z →→==
0001 lim lim 11z z
z z e e e z
→→-===
11．用对数计算公式直接验证: (1)2
2Lnz Lnz ≠
(2)1
2
Lnz =
解:记i z
re θ=,则
(1)左端22()2ln (22)i Ln r e r k i θ
θπ==++,
右端2[ln (2)]2ln (24)r m i r m i θπθπ=++=++, 其中的,k m 为任意整数。
显然,左端所包含的元素比右端的要多(如左端在1k =时的值为 2ln (22)r i θπ++,而右端却取不到这一值),因此两端不相等。
(2)左端22
1]ln (2)22
m i
Ln re
r m k i θπ
θ
ππ+=
=+++
右端11[ln (2)]ln ()222
r n i r n i θ
θππ=++=++
其中,k n 为任意整数,而 0,1m =
不难瞧出,对于左端任意的k ,右端n 取2k 或21k +时与其对应;反之,对于右端任意的n ,当2n l =为偶数时,左端可取,0k l m ==于其对应,而当21n l =+为奇数时,左端可取2,1k l m ==于其对应。综上所述,左右两个
集合中的元素相互对应,即二者相等。 12．证明sin sin , cos cos z z z z ==
证明:首先有
(cos sin )(cos sin )z x x x iy z e e y i y e y i y e e -=+=-== ,因此
sin ()2222iz iz iz iz iz iz i z i z
e e e e e e e e z i i i i --------====---
sin 2i z i z
e e z i
--=
=,第一式子证毕。 同理可证第二式子也成立。 13．证明
Im Im sin z
z z e
≤≤ (即
sin y
y z e ≤≤)
证明:首先,sin 22
2
iz iz
iz
iz
y y y e e e e
e e z e i
---+-+=
≤
=≤,
右端不等式得到证明。
其次,由复数的三角不等式又有
sin 22
2
2
iz iz
y y
y y
iz iz
e e e e e e
e e z i
--------=
≥
=
=
,
根据高等数学中的单调性方法可以证明0x ≥时2
x x
e e x --≥,因此接着上
面的证明,有sin 2
y y e e
z y --≥
≥,左端不等式得到证明。 14．设z R ≤,证明sin , cos z chR z chR ≤≤
证明:由复数的三角不等式,有
sin 22
2
2
iz iz
y
y
iz iz
y y e e e e
e e e e z ch y i
----+-++=
≤
==
=,
由已知,
y z R ≤≤,再主要到0x ≥时chx 单调增加,因此有
sin z ch y chR ≤≤,
同理,
cos 2
2
2
2
iz iz
y
y
iz iz
y y e e e e
e e e e z ch y chR
----++++=
≤
==
=≤ 证毕。
15．已知平面流场的复势()f z 为
(1)2
()z i + (2)2
z (3)
2
1
1
z + 试求流动的速度及流线与等势线方程。
解:只需注意,若记()(,)(,)f z x y i x y ?ψ=+,则
流场的流速为()v f z '=,
流线为1(,)x y c ψ≡, 等势线为2(,)x y c ?≡,
因此,有
(1)2
222()
[(1)](1)2(1)z i x y i x y x y i +=++=-+++
流速为()2()2()v f z z i z i '==+=-,
流线为1(1)x y c +≡,等势线为 22
2(1)x y c -+≡
(2)333223()3(3)z x iy x xy x y y i =+=-+-
流速为22()33()v f z z z '=
==, 流线为2313x y y c -≡,等势线为 32
23x xy c -≡
(3)2222
111
1()112z x iy x y xyi
==+++-++ 2222222
12(1)4x y xyi
x y x y
-+-=-++ 流速为222222()(1)(1)z z
v f z z z --'=
=
=++, 流线为 122222
(1)4xy
c x y x y
≡-++, 等势线为 22222222
1
(1)4x y c x y x y
-+≡-++ 习题三答案
1．计算积分
2
()c
x y ix dz -+?,其中c 为从原点到1i +的直线段 解:积分曲线的方程为, x t y
t ==,即
z x iy t ti =+=+,:01t →,代入原积分表达式中,得
1
2
2
()()()c
x y ix dz t t it t ti dt '-+=-++??
1
12
30011(1)33
i i
it i dt t -+-+=+==
? 2．计算积分z
c
e dz ?,其中c 为
(1)从0到1再到1i +的折线 (2)从0到1i +的直线
解:(1)从0到1的线段1c 方程为:, :01z x iy x x =+=→,
从1到1i +的线段2c 方程为:1, :01z x iy iy y =+=+→,
代入积分表达式中,得
1
2
1110
(1)z z z
x yi
c
c c e dz e dz e dz e dx e
yi dy +'=+=++?????
1
11
00
(cos sin )1(sin cos )x e
ei y i y dy e ei y i y =++=-+-?
11(sin1cos1)(cos1sin1)11i e ei i i e i e +=-+-+=+-=-; (2)从0到1i +的直线段的方程为z x iy t ti =+=+,:01t →,
代入积分表达式中,得
1
1
00
()(1)(cos sin )z
t ti
t c
e dz e
t ti dt i e t i t dt +'=+=++???,
对上述积分应用分步积分法,得
1
(sin cos )(sin cos )
(1)[]22t
t
z c
e t t e i t t e dz i +-=++?
1
1
00
(1)(1)(cos sin sin cos )()22t
t
it
it i e i e t i t t i t e ie ++=
++-=- 1
(1)1010
1i t i i e
e e e +++==-=-
3．积分
2
()c
x iy dz +?,其中c 为 (1)沿y x =从0到1i + (2)沿2y x =从0到1i +
解:(1)积分曲线的方程为z x iy t ti =+=+,:01t →,
代入原积分表达式中,得
1
1
2
2
20
()()()(1)()c
x
iy dz t it t ti dt i t it dt '+=++=++??
?
1115
(1)()3266
i i i =++=-+
(2)积分曲线的方程为 2
z x iy x x i =+=+, :01t →,
代入积分表达式中,得
1
1
2
222
230
()()()(1)(2)c
x
iy dz x ix x x i dx i x x i dx '+=++=++??
?
1215
(1)()3466
i i i =++=-+
4．计算积分
c
z dz ?,其中c 为
(1)从-1到+1的直线段 (2)从-1到+1的圆心在原点的上半圆周 解:(1)c 的方程为z x =,代入,得 1
1
1
21c
z dz xdx xdx -===??
?
(2)c 的方程为cos sin , :0z x iy i θθθπ=+=+→,代入,得
1(cos sin )(sin cos )c
z dz i d i d ππθθθθθθ'=?+=-+???
(cos sin )2i πθθ=+=
5．估计积分21
2c
dz z +?的模,其中c 为+1到-1的圆心在原点的上半圆周。 解:在c 上,z
=1,因而由积分估计式得
222
111
222c c c c
dz ds ds ds z z z ≤≤=++-???? c =的弧长π= 6．用积分估计式证明:若
()f z 在整个复平面上有界,则正整数1n >时
()
lim 0R
n R c f z dz z →+∞=? 其中R c 为圆心在原点半径为R 的正向圆周。 证明:记
()f z M ≤,则由积分估计式得
0≤()()1R R R R
n
n n n c c c c f z f z M dz ds M ds ds z z R z ≤≤=???? 1
22n n M M
R R R
ππ-==, 因1n >,因此上式两端令R →+∞取极限,由夹比定理,得
()
lim 0R
n R c f z dz z →+∞=?, 证毕。
7．通过分析被积函数的奇点分布情况说明下列积分为0的原因,其中积分曲线c 皆为
1z =。
(1)2
(2)c dz z +? (2)224c dz z z ++? (3)22c dz z +? (4)cos c dz z ? (5)z
c
ze dz ?
解:各积分的被积函数的奇点为:(1)2z =-,(2)2
(1)
30z ++=
即1z
=-±
,(3)z = (4), 2
z k k π
π=+
为任意整数,
(5)被积函数处处解析,无奇点
不难瞧出,上述奇点的模皆大于1,即皆在积分曲线之外,从而在积分曲线内被积函数解析,因此根据柯西基本定理,以上积分值都为0。 8．计算下列积分:
(1)
240
i
z
e dz π
?
(2)2
sin i
i
zdz ππ-? (3)1
sin z zdz ?
解:以上积分皆与路径无关,因此用求原函数的方法:
(1)
4220240
111
()(1)222
i
i i
z
z e dz e
e e i π
π
π
==-=-?
(2)
21cos 2sin 2sin []224i
i
i
i i i
z z z
zdz dz ππππππ----==-??
22111sin 2()(2)242
i i i e e sh i i ππ
πππππ-=-=--=-
(3)
11
1
1
0000sin cos cos cos z zdz zd z z z zdz =-=-+???
1
0cos1sin sin1cos1z =-+=-
9．计算
22c
dz
z a -?,其中c 为不经过a ±的任一简单正向闭曲线。 解:被积函数的奇点为a ±,根据其与c 的位置分四种情况讨论: (1)a ±皆在c 外,则在c 内被积函数解析,因而由柯西基本定理
2
2
0c
dz
z a =-? (2)a 在c 内,a -在c 外,则1
z a
+在c 内解析,因而由柯西积分
公式:22
1
12z a c c
dz z a dz i i z a z a a z a ππ=+===-+-?? (3)同理,当a -在c 内,a 在c 外时,
221
12z a c c
dz z a dz i i z a z a
a z a π
π=--===-+--?? (4)a ±皆在c 内
此时,在c 内围绕,a a -分别做两条相互外离的小闭合曲线12,c c ,则由复
合闭路原理得:
1
2
22
11
1
1
22z a
z a
c
c
c dz
z a z a dz dz i i
z a z a z a z a z a
ππ==-+-=+=+-++--???
0i i a
a
π
π
=
-
=
注:此题若分解22
1111
()2a z a z a z a =--+-,则更简单！ 10． 计算下列各积分
解:(1)
11
()(2)
2
z dz i z z =-+?
,由柯西积分公式
1121
1142224()(2)22i z z z i z dz dz i i i z i z z z ππ===+===++-+-?? (2)2
322
1
iz
z i e dz z -=
+?, 在积分曲线内被积函数只有一个奇点i ,故此同上题一样: ‘;
2
322
1
iz
z i e dz z -=
+?
322
2iz
iz z i
z i e e z i dz i
z i z i
e
π
π=-=
+===
-+?
(3)
2232
(1)(4)z dz
z z =
++?
在积分曲线内被积函数有两个奇点i ±,围绕,i i -分别做两条相互外离的小闭合曲线12,c c ,则由复合闭路原理得:
1
2
222232
11(4)()(4)()
(4)(1)c c z dz
z z i z z i dz dz z i z i z z =
+++-=
+-+++??
?
2211
2[]0(4)()(4)()z i z i
i z z i z z i π==-=+=+++-
复变函数测试题及答案
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3
７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续
《复变函数》-期末试卷及答案(A卷)
《复变函数》试卷 第1页（共4页） 《复变函数》试卷 第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<- 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（ ） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（ ） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（ ） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. = )0,(Re n z z e s ，其中n 为自然数. 第一章习题解答 （一） 1 ．设2z =z 及A rcz 。 解：由于32i z e π- = 所以1z =，2,0,1,3 A rcz k k ππ=- +=± 。 2 ．设1 21z z = = ，试用指数形式表示12z z 及 12 z z 。 解：由于6 4 12,2i i z e z i e π π - += == = 所以( )646 4 12 12222i i i i z z e e e e π π π π π - - === 54( )14 6 12 2 6 112 2 2i i i i z e e e z e π ππππ+ - = = = 。 3．解二项方程440,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+= ===。 4．证明2 2 2 1212 122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212 122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 121 2 122R e () z z z z z z -=+- 所以2 2 2 12 12122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0 321=++z z z , 1 321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内 接于单位圆1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于 1 321===z z z ，知 3 21z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 3 1z z z == ()[]()[]2 12322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 2 1212z z z z ++= 所以， 12121-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 2 1z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()3 22121=+-=z z z z 1．设 z 1 3i ，求 z 及 Arcz 。 解：由于 z 1， Arcz 2k , k 0, 1, 。 3 (z 1 z 2)( z 1 z 2) z 1z 1 z 2z 2 (z 1z 2 z 2z 1) 2 z 1z 2 z 1 z 2 3 第一章习题解 答 (一) 2．设 z 1 i , z 3 1 ，试用指数形式表示 1 2 2 z 1z 2 及 z 1 。 z 2 4 i 6i 1 i i 解：由于 z 1 e 3 4 , z 2 3 i 2e 1 2 2 i i ( )i i 所以 z1z2 e 4i 2e 6i 2e ( 4 6)i 2e 12i i z 1 e 4 1 e (4 6)i i z 2 2e 6 2 5i 1 1 e 12 。 2 3．解二项方程 z 4 a 4 0,(a 0) 。 2k i 解： z 4 a 4 (a 4e i )4 ae 4 ,k 0,1,2,3 。 4．证明 z 1 2 2 z 1 z 2 z 1 z 2 证明：由于 2 2 z 1 z 2 z 1 2 2 z 2 2 z 1 z 2 2( z 1 所以 z 1 z 2 其几何意义是： z 2 ) 2 2 ，并说明其几何意义。 2 2 Re(z 1 z 2) z 2 2Re(z 1 z 2) z 1 z 2 2( z 1 z 2 ) 平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设 z 1， z 2，z 3三点适合条件： z1 z2 z3 0 z 1 z 2 z3 1 。证明 z 1，z 2， z 3是内 接于单位 圆 z 1 的一个正三角形的顶点。 证 由于 z 1 z 2 z3 1 ，知 z 1z 2z 3 的三个顶点均在单位圆上。 因为 所以， z 1z 2 z 1z 2 1 ， 所以 z 1 z 2 复变函数与积分变换期末试题 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2. )1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π + ）；3. 211)(z z f +=，=)0() 5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2 ) 2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求 .,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件 习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解：（1）2 cos sin 22 i i i e π ππ =+= （2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- = 成绩 西安交通大学考试题 课程复变函数（A） 系别考试日期 2007 年 7 月 5 日专业班号 姓名学号期中期末 1. 填空（每题3分， 2. 共30分） 1．＝ 2．＝0是函数的 （说出类型，如果是极点，则要说明阶数） 3. ,则＝ 4. 5. 函数在处的转动角为 6. 幂级数的收敛半径为 =____________ 7. 8．设C为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则 9．函数在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________ 10． 二．判断题（每题3分，共30分） 1．在解析。【】 2．在点可微，则在解析。【】 3．是周期函数。【】 4．每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【】 5．设级数收敛，而发散，则的收敛半径为1。【】 6．能在圆环域展开成洛朗级数。【】 7．为大于1的正整数, 成立。【】 8．如果函数在解析，那末映射在具有保角性。【】 9．如果是内的调和函数,则是内的解析函数。【】10．。【】三．（8分）为调和函数，求的值，并求出解析函数。 四．（8分）求在圆环域和内的洛朗展开式。 五．（8分）计算积分。 六．（8分）设，其中C为圆周的正向，求。 七．（8分）求将带形区域映射成单位圆的共形映射。 复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分) 1. ； 2. 三级极点； 3. ； 4. 0 ； 5. 0 ； 6. ； 7. ； 8. 0； 9. 0 ；10. 。 二.判断1.错；2.错；3.正确； 4. 错；5.正确；6.错； 7.错；8. 错；9. 正确；10. 错。 三(8分) 解: 1)在 -----4分 2) 在 --4分 四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故 --------3分 --------6分 故 ---------8分 五.(8分) 解: -------3分 由于1+i在所围的圆域内, 故 -------8分 六. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到 (映射不唯一,写出任何一个都算对) 七.(8分) 解:对方程两端做拉氏变换: 代入初始条件,得 --------4分 故, ---------8分(用留数做也可以) 复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分)1. ；2. 三级极点；3. ； 4. 0 ；5. 0 ；6. ；7. ；8. 0 ； 9. 0 ； 10. 0。 二.判断1.错；2.错；3.正确；4. 错；5.正确；6.错；7.错；8. 错；9. 正确；10. 错。 三.(8分) 解:因为是调和函数,则有 ,即故 ---------2分 1) 当时, , 由C-R方程, , 则 , 又由 ，故 , 所以。 则 ----------3分 2) 当时, , 由C-R方程, , 则 , 又由 ，故 , 所以。 则 一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212-- 的指数形式是 2、函数w =z 1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 2222= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 232 1- B 2 23i - C 223i +- D i 2 3 21+ - 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1 cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =- 1 2 3 z z dz B ?=- 1 2 1 z z dz C ?=++12 42z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-0 2121n n n n z （z <1） B () ∑∞ =+-0 1 221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-0 1 2121n n n n z （z <1） D () ∑∞ =-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 ____________________________________________________________________________________________________ 一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3、若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()? +--+i dz z 22 22= 6、积分?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α 1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 223i - C 223i +- D i 2 321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ?=-123z z dz B ?=-12 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2.=+z z 2 2 cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8. =)0,( Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在} 1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数， 那么它在 D 内为常数. 2. 试证 : ()f z = 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两 个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1 z =-的值. 《复变函数》考试试题（二） 二. 填空题. (20分) 复变函数试题库 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内 第一章 复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） 《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 }{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. … 复变函数与积分变换 （修订版）主编：马柏林 （复旦大学出版社） / ——课后习题答案 习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππ2222e cos isin i i 44-??????=-+-= +-=- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+); 3 3 31313;;;.n i i z i ???? -+-- ? ? ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 3 2 2 222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ () ()()()(){ }3 3 2 3 2 1i 31i 311313313388-+??-+? ???== --?-?+?-?- ? ?????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1?? -+= ? ??? , 1i 3Im 0??-+= ? ???． ④解： ∵ () ()() ()()2 3 3 23 1313 3133i 1i 38 ??--?-?-+?-?- ?? ??-+? ? = ? ??? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1??-+= ? ?? ? , 1i 3Im 0??-+= ? ??? ． ⑤解： ∵()()1, 2i 211i, k n k n k k n k ?-=?=∈?=+-???． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i 415-+=+=． 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=?=． ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 2 22++== ()1i 11i 222i ++-??= = ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+， 则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数． 若z =x ，x ∈，则z x x ==．复变函数_期末试卷及答案
复变函数考试试题与答案各种总结
复变函数论第三版课后习题答案
复变函数论第三版课后习题答案解析
复变函数与积分变换期末试题(附有答案)
复变函数课后习题答案(全)
复变函数试题及答案
复变函数试题及答案
复变函数期末考试题大全(东北师大)
复变函数测试题及答案
复变函数期末考试复习题及答案详解
复变函数测试试题库
复变函数测试题及答案-精品
《复变函数论》试题库及答案
复变函数与积分变换课后习题答案详解