2013全国各省中考数学分类汇编二次函数的性质及应用

1．（2013菏泽）已知b＜0时，二次函数y=ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a的值等于（）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

考点：二次函数图象与系数的关系．

专题：数形结合．

分析：根据抛物线开口向上a＞0，抛物线开口向下a＜0，然后利用抛物线的对称轴或与y 轴的交点进行判断，从而得解．

解答：解：由图可知，第1、2两个图形的对称轴为y轴，所以x=﹣=0，

解得b=0，

与b＜0相矛盾；

第3个图，抛物线开口向上，a＞0，

经过坐标原点，a2﹣1=0，

解得a1=1，a2=﹣1（舍去），

对称轴x=﹣=﹣＞0，

所以b＜0，符合题意，

故a=1，

第4个图，抛物线开口向下，a＜0，

经过坐标原点，a2﹣1=0，

解得a1=1（舍去），a2=﹣1，

对称轴x=﹣=﹣＞0，

所以b＞0，不符合题意，

综上所述，a的值等于1．

故选C．

点评：本题考查了二次函数y=ax2+bx+c图象与系数的关系，a的符号由抛物线开口方向确定，难点在于利用图象的对称轴、与y轴的交点坐标判断出b的正负情况，然后与题目已知条件b＜0比较

2．（2013菏泽）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函

数y=x+3的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数

图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．

（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；

（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P 运动到何处时，有PQ⊥AC？

②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？

考点：二次函数综合题．

分析：（1）根据一次函数解析式求出点A．点C坐标，再由△ABC是等腰三角形可求出点B坐标，根据平行四边形的性性质求出点D坐标，利用待定系数法可求出b、c的值，继而得出二次函数表达式．

（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，再由△APQ∽△CAO，利用对应边成比例可求出t的值，继而确定点P的位置；

②只需使△APQ的面积最大，就能满足四边形PDCQ的面积最小，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO，利用对应边成比例得出h的表达式，继而表示出△APQ的面积表达式，利用配方法求出最大值，即可得出四边形PDCQ的最小值，也可确定点P的位置．

解答：解：（1）由y=﹣x+3，

令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；

令y=0，得x=4，所以点C（4，0），

∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，

∴B点坐标为（﹣4，0），

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴D点坐标为（8，3），

将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=x2+bx+c，可得，

解得：，

故该二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣3．

（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，

∵PQ⊥AC，

∴△APQ∽△CAO，

∴=，即=，

解得：t=．

即当点P 运动到距离A 点个单位长度处，有PQ ⊥AC ．

②∵S 四边形PDCQ +S △APQ =S △ACD ，且S △ACD =×8×3=12， ∴当△APQ 的面积最大时，四边形PDCQ 的面积最小， 当动点P 运动t 秒时，AP=t ，CQ=t ，AQ=5﹣t ，

设△APQ 底边AP 上的高为h ，作QH ⊥AD 于点H ，由△AQH ∽CAO 可得：=，

解得：h=（5﹣t ）， ∴S △APQ =t ×（5﹣t ）=

（﹣t 2

+5t ）=﹣

（t ﹣）2

+

， ∴当t=时，S △APQ 达到最大值，此时S 四边形PDCQ =12﹣

=

，

故当点P 运动到距离点A 个单位处时，四边形PDCQ 面积最小，最小值为

．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是找到满足题意时的相似三角形，利用对应边成比例的知识得出有关线段的长度或表达式，难度较大．

3．2013上海．如果将抛物线22y x =+向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）

（A ）2(1)2y x =-+；（B ）2(1)2y x =++； （C ）21y x =+；（D ）23y x =+．

4．（3分）（2013?张家界）若正比例函数y=mx （m ≠0），y 随x 的增大而减小，则它和二次

函数y=mx 2

+m 的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

考点： 二次函数的图象；正比例函数的图象．

分析： 根据正比例函数图象的性质确定m ＜0，则二次函数y=mx 2

+m 的图象开口方向向下，

且与y 轴交于负半轴． 解答： 解：∵正比例函数y=mx （m ≠0），y 随x 的增大而减小，

∴该正比例函数图象经过第一、三象限，且m ＜0． ∴二次函数y=mx 2

+m 的图象开口方向向下，且与y 轴交于负半轴． 综上所述，符合题意的只有A 选项． 故选A ． 点评： 本

题考查了二次函数图象、正比例函数图象．利用正比例函数的性质，推知m ＜0是

解题的突破口． 5．（12分）（2013?张家界）如图，抛物线y=ax 2

+bx+c （a ≠0）的图象过点C （0，1），顶点为Q （2，3），点D 在x 轴正半轴上，且OD=OC ． （1）求直线CD 的解析式； （2）求抛物线的解析式；

（3）将直线CD 绕点C 逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E ，求证：△CEQ ∽△CDO ；

（4）在（3）的条件下，若点P 是线段QE 上的动点，点F 是线段OD 上的动点，问：在P 点和F 点移动过程中，△PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题． 分析： （1）利用待定系数法求出直线解析式；

（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（3）关键是证明△CEQ 与△CDO 均为等腰直角三角形； （4）如答图②所示，作点C 关于直线QE 的对称点C ′，作点C 关于x 轴的对称点C ″，连接C ′C ″，交OD 于点F ，交QE 于点P ，则△PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF 的周长等于线段C ′C ″的长度．

利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF 的周长最小．

如答图③所示，利用勾股定理求出线段C ′C ″的长度，即△PCF 周长的最小值．

解答：解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）．

设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），

将C（0，1），D（1，0）代入得：，

解得：b=1，k=﹣1，

∴直线CD的解析式为：y=﹣x+1．

（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，

将C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得a=．

∴y=（x﹣2）2+3=x2+2x+1．

（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，

∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°，

∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，

∴点E的坐标为（4，1）．

如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点F，则F（2，1），

∴ME=CM=QM=2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，

∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，

∴△CEQ∽△CDO．

（4）存在．

如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．

（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．

由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；

而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，

由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，

即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）

如答图③所示，连接C′E，

∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，

∴△QC′E为等腰直角三角形，

∴△CEC′为等腰直角三角形，

∴点C′的坐标为（4，5）；

∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（﹣1，0）．

过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，

在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″===．

综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为．

点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、勾股定理、轴对称的性质等重要知识点，涉及考点较多，有一点的难度．本题难点在于第（4）问，如何充分利用轴对称的性质确定△PCF周长最小时的几何图形，是解答本题的关键．

6．（2013安顺）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．

考点：二次函数综合题．

专题：压轴题．

分析：（1）由于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点均在坐标轴上，故设一般式解答和设交点式（两点式）解答均可．

（2）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．

（3）根据抛物线上点的坐标特点，利用勾股定理求出相关边长，再利用勾股定理的逆定理判断出直角梯形中的直角，便可解答．

解答：解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），

∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3（a≠0），

根据题意，得，

解得，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．

（2）存在．

由y=﹣x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x=1．

①若以CD为底边，则PD=PC，

设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，

得x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，

即y=4﹣x．

又P点（x，y）在抛物线上，

∴4﹣x=﹣x2+2x+3，

即x2﹣3x+1=0，

解得x1=，x2=＜1，应舍去，

∴x=，

∴y=4﹣x=，

即点P坐标为．

②若以CD为一腰，

∵点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，

此时点P坐标为（2，3）．

∴符合条件的点P 坐标为或（2，3）．

（3）由B （3，0），C （0，3），D （1，4），根据勾股定理，

得CB=，CD=，BD=，

∴CB 2+CD 2=BD 2

=20， ∴∠BCD=90°，

设对称轴交x 轴于点E ，过C 作CM ⊥DE ，交抛物线于点M ，垂足为F ，在Rt △DCF 中， ∵CF=DF=1， ∴∠CDF=45°，

由抛物线对称性可知，∠CDM=2×45°=90°，点坐标M 为（2，3）， ∴DM ∥BC ，

∴四边形BCDM 为直角梯形， 由∠BCD=90°及题意可知，

以BC 为一底时，顶点M 在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况；

以CD 为一底或以BD 为一底，且顶点M 在抛物线上的直角梯形均不存在． 综上所述，符合条件的点M 的坐标为（2，3）．

点评：此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、等腰梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．

8、2013河南在二次函数221y x x =-++的图像中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是【】

（A ）1x < （B ）1x > （C ）1x <- （D ）1x >-

【解析】二次函数2

21y x x =-++的开口向下，所以在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，二次函数2

21y x x =-++的对称轴是2122(1)

b x a =-

=-=?-，所以，1x < 【答案】A

9、2013河南如图，抛物线的顶点为(2,2),P -与y 轴交于点

(0,3)A ，若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点'(2,2)P -，

点A 的对应点为'

A ，则抛物线上PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为

【解析】阴影部分''PAA P 可认为是一个平行四边形，

22'[2(2)](22)42PP =--+--=

过A 作'AB PP ⊥,则232

sin 45322

AB OA =?=?

=

∴阴影部分''PAA P 的面积为32

'42122

S PP AB =?=?

= 【答案】12

10、（11分）如图，抛物线2

y x bx c =-++与直线1

22

y x =

+交于,C D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为7(3,)2

。点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作

PE x ⊥轴于点E ，交CD 于点F .

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以

,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。

（3）若存在点P ，使45PCF ∠=?，请直接写出相应的点P 的坐标

【解答】（1）∵直线1

22

y x =

+经过点C ,∴(0,2)C

∵抛物线2y x bx c =-++经过点(0,2)C ，D 7(3,)2

∴22727

332

2c b b c c =??

=?

?∴??=-++??=?? ∴抛物线的解析式为2

7

22

y x x =-+

+ （2）∵点P 的横坐标为m 且在抛物线上

∴2

71

(,2),(,2)22

P m m m F m m -+

++ ∵PF ∥CO ，∴当PF CO =时，以,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形

① 当03m <<时，2

271

2(2)322

PF m m m m m =-+

+-+=-+ ∴2

32m m -+=，解得：121,2m m ==

即当1m =或2时，四边形OCPF 是平行四边形

② 当3m ≥时，2

21

7

(2)(2)32

2

PF m m m m m =+--+

+=- 232m m -=，解得：12317317

,22

m m +-=

=

（舍去） 即当1317

2

m +=

时，四边形OCFP 是平行四边形 （3）如图，当点P 在CD 上方且45PCF ∠=?时，

作,PM CD CN PF ⊥⊥,则

△PMF ∽△CNF ，∴

212

PM CN m

MF FN m

=== ∴2PM CM CF ==

∴555555222

PF FM CF CN CN m ===?

== 又∵2

3PF m m =-+ ∴2

532

m m m -+=

解得：112m =

，20m =（舍去） ∴17(,)22

P 。 同理可以求得：另外一点为2313

(

,)618

P 11．（5-6与二次函数相关的综合题·2013东营中考）(本题满分12分) 已知抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点A （2，0），与y 轴的交点为 B （0，-1）．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点C ，使以BC 为直径的圆经过抛物线的顶点A ．并求出点C 的坐标以及此时圆的圆心P 点的坐标．

(3)在（2）的基础上，设直线x =t （0

积最大，并求出最大值．

. (本题满分12分)解析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可直接设抛物线的解析式为顶点式进行求解.

（2）设C 点坐标为（x,y ）,由题意可知0

90BAC ∠=.过点C 作CD x ⊥轴于点D,连接AB,AC.

A

O （第24题图） x

y

B

易证AOB CDA ?? ,根据对应线段成比例得出,x y 的关系式24y x =-+，再根据点C 在抛物线上得2

114

y x x =-

+-，联立两个关系式组成方程组，求出,x y 的值，再根据点C 所在的象限确定点C 的坐标。P 为BC 的中点，取OD 中点H ，连PH ，则PH 为梯形OBCD 的中位线．可得1

52

OH OD =

=,故点H 的坐标为（5,0）再根据点P 在BC 上，可求出直线BC 的解析式，求出点P 的坐标。

（3）根据BCN BMN CMN S S S ???=+,得1

1052

BCN S MN MN ?=

?=，所以求BCN S ?的最大值就是求MN 的最大值，而M,N 两点的横坐标相同，所以MN 就等于点N 的纵坐标减去点M 的纵坐标,从而形成关于MN 长的二次函数解析式，利用二次函数的最值求解。 解：(1) ∵抛物线的顶点是A (2,0)，设抛物线的解析式为2(2)y a x =-. 由抛物线过B (0,-1) 得41a =-，∴1

4

a =-．……………………2分 ∴抛物线的解析式为21

(2)4

y x =--. 即2

114

y x x =-

+-．………………………………3分 (2)设C 的坐标为(x ，y ).

∵A 在以BC 为直径的圆上.∴∠BAC =90°． 作CD ⊥x 轴于D ,连接AB 、AC ．

∵0

90BAO DAC ∠+∠=,0

90DAC DCA ∠+∠=∴BAO DCA ∠=∠ ∴ △AOB ∽△CDA ．………………………4分21世纪教育网

∴

OB OA

AD CD

= ∴OB ·CD =OA ·AD ． 即1·y =2(x -2).∴y =2x -4． ∵点C 在第四象限.

∴24y x =-+………………………………5分

由224,1

14

y x y x x ì=-+?í=-+-??解得 1212

102,100x x y y ==????==??． ∵点C 在对称轴右侧的抛物线上.

A （第24(2)答案图）

x

O y

C

B

P

H

D

∴点C 的坐标为 (10,-16)．……………………6分 ∵P 为圆心，∴P 为BC 中点．

取OD 中点H ，连PH ，则PH 为梯形OBCD 的中位线．

∴PH =2

1(OB +CD )=217

．……………………7分

∵D (10,0)∴H (5,0)∴P (5, 17

2

-

)． 故点P 坐标为(5，17

2

-

)．…………………………8分 (3)设点N 的坐标为2114t t t ?

?-

+- ???

，，直线x=t （0

(10)

2CMN S MN t D =?

所以1

102

BCN BMN CMN S S S MN D D D =+=

? ………………………9分 设直线BC 的解析式为y kx b =+，直线BC 经过B (0,-1)、C (10,-16)

所以1,1016b k b =-??+=-?成立，解得：3,21

k b ?

=-???=-?…………………………10分

所以直线BC 的解析式为312y x =-

-，则点M 的坐标为.312t t ??

-- ???

， MN=2114t t ??-

+-- ???3

12

t ??-- ???=21542t t -+………………………11分

2115

()10242

BCN S t t D =-+?

=252542t t -

+=25125(5)44

t --+ 所以，当t=5时，BCN S D 有最大值，最大值是

125

4

.…………………………12分 点拨：（1）已知抛物线的顶点坐标（h,k ）一般可设其解析式为()2

y a x h k =-+.(2)求最

A

x

O y

C

B

M

N x=t

（第24(3)答案图）

值问题一般考虑根据已知条件构造二次函数求解.

12．（3分）（2013?白银）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：

①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0，

错误的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

考点：二次函数图象与系数的关系．

分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，利用图象将x=1，﹣1，2代入函数解析式判断y的值，进而对所得结论进行判断．解答：

解：①∵由函数图象开口向下可知，a＜0，由函数的对称轴x=﹣＜0，故b＞0，所以2a﹣b＜0，①正确；

②∵a＜0，对称轴在y轴左侧，a，b同号，图象与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc

＜0；②正确；

③当x=1时，y=a+b+c＜0，③正确；

④当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，④错误；

⑤当x=2时，y=4a+2b+c＜0，⑤错误；

故错误的有2个．

故选：B．

点评：此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，将x=1，﹣1，2代入函数解析式判断y的值是解题关键．

13．（12分）（2013?白银）如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；

（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题．

分析：（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，也就得出了抛物线的解析式．（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可．

（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，可先求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积．

解答：解：①∵函数的图象与x轴相交于O，

∴0=k+1，

∴k=﹣1，

∴y=x2﹣3x，

②假设存在点B，过点B做BD⊥x轴于点D，

∵△AOB的面积等于6，

∴AO?BD=6，

当0=x2﹣3x，

x（x﹣3）=0，

解得：x=0或3，

∴AO=3，

∴BD=4

即4=x2﹣3x，

解得：x=4或x=﹣1（舍去）．

又∵顶点坐标为：（1.5，﹣2.25）．

∵2.25＜4，

∴x轴下方不存在B点，

∴点B的坐标为：（4，4）；

③∵点B的坐标为：（4，4），

∴∠BOD=45°，BO==4，

当∠POB=90°，

∴∠POD=45°，

设P点横坐标为：﹣x，则纵坐标为：x2﹣3x，

即﹣x=x2﹣3x，

解得x=2 或x=0，

∴在抛物线上仅存在一点P （2，﹣2）．

∴OP==2，

使∠POB=90°，

∴△POB的面积为：PO?BO=×4×2=8．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图象面积求法等知识．利用已知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键．

14. (9分)2013南京已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m) (a、m为常数，且a≠0)。

(1) 求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；

(2) 设该函数的图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D。

①当△ABC的面积等于1时，求a的值：

②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值。

解析：(1) 证明：y=a(x-m)2-a(x-m)=ax2-(2am+a)x+am2+am。

因为当a≠0时，[-(2am+a)]2-4a(am2+am)=a2>0。

所以，方程ax2-(2am+a)x+am2+am=0有两个不相等的实数根。

所以，不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点。(3分)

(2) 解： y=a(x-m)2-a(x-m)=(x-2m+1

2 )

2-

a

4 ，

所以，点C的坐标为(2m+1

2 ,-

a

4 )。

当y=0时，a(x-m)2-a(x-m)=0。解得x1=m，x2=m+1。所以AB=1。

当△ABC的面积等于1时，1

2 ?1?| -

a

4 |=1。

所以1

2 ?1?( -

a

4 )=1，或

1

2 ?1?

a

4 =1。

所以a=-8，或a=8。

当x=0时，y=am2+am，所以点D的坐标为(0, am2+am)。当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，

1

2 ?1?| -a

4 |=

1

2 ?1?| am

2+am|。

所以 1 2 ?1?( - a 4 )= 1 2 ?1?(am 2+am )，或 1 2 ?1? a 4 = 1

2

?1?(am 2+am )。

所以m = -

1 2 ，或m = -1- 2 2 ，或m = -1+ 2

2

。 (9分) 14（2013年广州市）已知抛物线y 1=2(0,)ax bx c a a c ++≠≠过点A(1,0)，顶点为B ，且抛物线不经过第三象限。

（1）使用a 、c 表示b ;

（2）判断点B 所在象限，并说明理由；

（3）若直线y 2=2x+m 经过点B ，且于该抛物线交于另一点C (

,8c

b a

+),求当x ≥1时y 1的取值范围。

分析：（1）抛物线经过A （1，0），把点代入函数即可得到b=﹣a ﹣c ；

（2）判断点在哪个象限，需要根据题意画图，由条件：图象不经过第三象限就可以推出开口向上，a ＞0，只需要知道抛物线与x 轴有几个交点即可解决，

判断与x 轴有两个交点，一个可以考虑△，由△就可以判断出与x 轴有两个交点，所以在第四象限；或者直接用公式法（或十字相乘法）算出，由两个不同的解

，进而得出点B 所在象限；

（3）当x ≥1时，y 1的取值范围，只要把图象画出来就清晰了，难点在于要观察出

是抛物线与x 轴的另一个交点，理由是

，由这

里可以发现，b+8=0，b=﹣8，a+c=8，还可以发现C 在A 的右侧；可以确定直线经过B 、C 两点，看图象可以得到，x ≥1时，y 1大于等于最小值，此时算出二次函数最小值即可，即求出

即可，已经知道b=﹣8，a+c=8，算出a ，c 即可，即是要再找出一个与a ，c 有

关的式子，即可解方程组求出a ，c ，直线经过B 、C 两点，把B 、C 两点坐标代入直线消去m ，整理即可得到c ﹣a=4联立a+c=8，解得c ，a ，即可得出y 1的取值范围．

解：（1）∵抛物线y 1=ax 2

+bx+c （a ≠0，a ≠c ），经过A （1，0）， 把点代入函数即可得到：b=﹣a ﹣c ；

（2）B 在第四象限．

理由如下：∵抛物线y 1=ax 2

+bx+c （a ≠0，a ≠c ）过点A （1，0）， ∴

，

所以抛物线与x 轴有两个交点， 又因为抛物线不经过第三象限， 所以a ＞0，且顶点在第四象限； （3）∵

，且在抛物线上，

∴b+8=0，∴b=﹣8， ∵a+c=﹣b ，∴a+c=8，

把B、C两点代入直线解析式易得：c﹣a=4，

即

解得：，

如图所示，C在A的右侧，

∴当x≥1时，．

点评：

此题主要考查了二次函数的综合应用以及根与系数的关系和一次函数与二次函数交点问题等知识，根据数形结合得出是解题关键．

15．（3分）（2013?湖州）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（）

A．16 B．15 C．14 D．13

考点：二次函数综合题．

分析：根据在OB上的两个交点之间的距离为3可知两交点的横坐标的差为3，然后作出最左边开口向下的抛物线，再向右平移1个单位，向上平移1个单位得到开口向下的

抛物线的条数，同理可得开口向上的抛物线的条数，然后相加即可得解．解答：解：如图，开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y=﹣x2+4x，

然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线， 可平移6次，

所以，一共有7条抛物线，

同理可得开口向上的抛物线也有7条，

所以，满足上述条件且对称轴平行于y 轴的抛物线条数是：7+7=14． 故选C ．

点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了网格结构的知识与二次函数的性质，二次函数

图象与几何变换，作出图形更形象直观．

17．（6分）（2013?湖州）已知抛物线y=﹣x 2

+bx+c 经过点A （3，0），B （﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标．

考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．

分析： （1）根据抛物线y=﹣x 2

+bx+c 经过点A （3，0），B （﹣1，0），直接得出抛物线的解

析式为；y=﹣（x ﹣3）（x+1），再整理即可， （2）根据抛物线的解析式为y=﹣x 2

+2x+3=﹣（x ﹣1）2

+4，即可得出答案．

解答： 解：（1）∵抛物线y=﹣x 2

+bx+c 经过点A （3，0），B （﹣1，0）．

∴抛物线的解析式为；y=﹣（x ﹣3）（x+1），

即y=﹣x 2

+2x+3，

（2）∵抛物线的解析式为y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2

+4， ∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）． 点评： 此题考查了用待定系数法求函数的解析式，用到的知识点是二次函数的解析式的形

式，关键是根据题意选择合适的解析式． 18．重庆2013一次函数()y ax b a 0=+≠、二次函数2y ax bx =+和反比例函数()k

y k 0x

=

≠在同一直角坐标系中图象如图，A 点为（－2，0）。则下列结论中，正确的是【 】

A ．b 2a k =+

B ．a b k =+

C ．a b 0>>

D ．a k 0>>

19．2013重庆如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）。 （1）求点B 的坐标；

（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点。

①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ??=，求点P 的坐标；

②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值。