二次曲线的直径
§5.4 二次曲线的直径
教学目的：理解二次曲线对称轴和共轭方向、共轭直径的概念，掌握二次曲线直径的求法。 教学重点：二次曲线直径的定义和求法。 教学难点：二次曲线共轭直径的概念和求法。
1．二次曲线直径的概念与求法
前面已经讨论了直线与二次曲线相交的各种情况．当直线平行于二次曲线的某一非渐近方向时，这条直线与二次曲线总交于两点（两个不同的实点，两个重合的实点或一对共轭的虚点），这两点决定了二次曲线的一条弦．现在来研究二次曲线上一族平行弦的中点轨迹．
定理1 二次曲线S 的沿非渐近方向(,)μυ的一族平行弦的中点轨迹是一条直线，其方程为
12(,)(,)0F x y F x y μυ+= （1） 证 设(,)μυ是二次曲线的一个非渐近方向，即(,)0?μυ≠，取沿该方向的任意一条弦
12M M ,设其中点为000(,)M x y ，则过0M 沿非渐近方向(,)μυ的直线方程l 为
00()x x t
t y y vt μ=+?-∞<<+∞?
=+?
而弦的两端点00(,),1,2i i i M x t y t v i μ++=是直线l 与曲线S 的两交点，联立可得
210020000(,)2[(,)(,)](,)0
t F x y F x y t F x y ?μυμυ+++
= 又因000(,)M x y 是弦12M M 的中点，可知120t t +=，而点1M 和2M 的坐标由上述方程组的两个根12,t t 决定，从而可得000(,)M x y 满足方程 100200(,)(,)0F x y F x y μυ+= 再由弦的任意性可知
12(,)(,)0F x y F x y μυ+=
即 1112122212()()0a a x a a y a a μυμυμυ+++++= （2）
（2）的一次项系数一定不全为零，因为若
11121222
0a a a a μυμυ+=??+=?
则得 11121222()()0a a a a μυμμυυ+++= 即 2211122220a a a μμυυ+++= 亦即 (,)0?μυ=， 矛盾。
因此（2）是,x y 的一次方程，从而它表示一条直线，于是沿(,)μυ方向的平行弦的中点轨迹是一条直线。
定义1 二次曲线的平行弦中点的轨迹叫做这个二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫做共轭于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于平行弦方向(,)μυ的直径．
由（1）式可知：二次曲线的直径均通过下列两条直线 111121
212222
(,)0(,)0F x y a x a y a F x y a x a y a ≡++=??
≡++=? （3）
的交点，即对称中心。讨论如下：
1．当20I ≠时，即为中心曲线时，方程组（3）有唯一解00(,)x y ，则00(,)x y 为二次曲线的中心，即二次曲线的直径中心。
2. 当230,0I I =≠时，即为无心曲线时，方程组（3）无解，它的直径平行于二次曲线的渐近方向，12112212:::.a a a a μυ=-=-
3. 当230I I ==时，即为线心曲线时，方程组（3）有无穷多解，它的直径即为 111210a x a y a ++=或122220a x a y a ++=
推论1 中心二次曲线的直径通过曲线的中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向，线心二次曲线的直径只有一条，就是曲线的中心直线．
图1给出了三种二次曲线的直径的情形，图中直径用粗线画出．
（a ）中心曲线，直径是中心直线束
（b ）无心曲线，直径是平行直线束
（c ）线心曲线，直径是一条直线
图1
例1 求椭圆或双曲线122
22=±b
y a x 的直径．
解 F (x ，y )≡0122
22=-±b
y a x ， F 1(x ，y )＝2a x ， F 2(x ，y )＝2b y ±
根据（3），共轭于非渐近方向:μυ的直径方程是2
2
0x y a b μ
υ
±
=，显然，直径通过曲线的
中心（0，0）．
例2 求二次曲线F (x ，y )≡0322222=--++-y x y xy x 的共轭于非渐近方向:μυ的直径
解 ∵
12(,)1,(,)1F x y x y F x y x y =-+=-+-
∴ 直径方程为 (1)(1)0x y x y μυ-++-+-= 即
()(1)0x y μυ--+=
因为已知曲线F (x ，y )＝0的渐近方向为':'1:1μυ=，所以对于非渐近方向:μυ一定有μυ≠,因此曲线的共轭于非渐近方向:μυ的直径为
10x y -+=。
它只有一条直径．
上述例1的曲线为中心二次曲线，其直径通过曲线的对称中心，而例2中的曲线是线心曲线，直径为曲线的中心直线。
2．共轭方向与共轭直径
定义2 称二次曲线的与非渐近方向(,)μυ共轭的直径的方向
12221112':'():()v a a a a μμυμυ=-++
（4）
为非渐近方向(,)μυ的共轭方向。
由（4）式可得
12221112
''
()()t a a a a μυμυμυ==-++ （0t ≠） （5）
即 12221112
'()'()a a t
v a a t μμυμυ=-+??=+?
下面考虑(',')μυ是否为渐近方向，即(',')?μυ是否为零。
22111222(',')'2'''a a a ?μυμμυυ=++
22
222112212111222()(2)a a a a a a t μμυυ=-++
222(,)I t ?μυ= （6）
因(,)0?μυ≠且0t ≠，则讨论如下
（1） 当20I ≠时，即为中心曲线时，(',')0?μυ≠，可知中心二次曲线的非渐近方向确
定的共轭方向也是非渐近方向。
（2） 当20I =时，即为非中心曲线时，(',')0?μυ=，可知非中心二次曲线的非渐近方
向确定的共轭方向是渐近方向。
由（5）式可知 111222
'('')'0
a a a
μμμυμυυυ++
+= （7） 显然上式 关于(,)μυ和(',')μυ是对称的。
【注】设111212
22a a A a a ??
=
???
是为(,)x y ?的矩阵，则有 （1）若0T
A αα=，则称α为S 的渐近方向； （2）若0T
A αβ=，则称,αβ关于S 的共轭方向。
定义3 中心曲线的一对具有相互共轭方向的直径称为一对共轭直径。 例3 求曲线224240x xy x y +--+=的通过点()2,1-的直径和它的共轭直径。 解：已知曲线共轭于方向(),μυ的直径的方程为：()()210x y x μυ+-+-=，已知它通过点(2,1)，代入直径方程可解得()(),1,1μυ=，那么直径方程为230x y +-=，此直径的共轭方向满足
12221112()'1
'()2
a a a a μυμυμυ-+-==+，即()()','1,2
μυ=-，那么共轭于此方向的直径
为0.x y -= 课堂练习
（1）求抛物线2
2y px =的直径
（2）求2(1)2y x -=上过点(1,2)的直径和共轭直径。 作业： P186 习题5.4 1（2）（3）、4 、7
二次曲线化简的方法
二次曲线化简的方法 思维导图 具体方法 相关定义及公式： 移轴公式 1、平面直角坐标变换 转轴公式 一般坐标变换公式： 二次曲线化简的 方法 平面直角坐标变 换 坐标变换 移轴系数变换规 律 转轴系数变换规 律 转轴（主直径） 中心二次曲线 无心二次曲线 线心二次曲线 应用不变量化简二次曲线的方程 中心二次曲线 无心二次曲线 线心二次曲线
其中：l1：A1x+B1y+C1=0；l2：A2x+B2y+C2=0,l1,l2相互垂直 ① ② 这里需要注意的是①中x的系数应和②中y的系数相等，所以在符号选取时要使得这两项系数同号。 2、不变量：由F（x，y）=0的系数组成的一个非常数函数f，如果经过直角坐标变换函数值不变，那么这个函数f叫做二次曲线在直角坐标变换下的不变量；若这个函数f 的值，只是经过转轴变换不变，那么这个函数叫做二次曲线在直角坐标变换下的半不变量。 ① ②
方法介绍： 一、直角坐标变换： 1、坐标变换 一般的，在曲线有中心的前提下，为了计算方便，往往先移轴再转轴 非中心二次曲线先转轴再移轴。 ①移轴下（）二次曲线的新方程为： 化简整理得： 这里有： 在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律： （1）二次项系数不变 （2）一次项系数变为 2F1（x0,y0）与2F2(x0,y0) ②在转轴（）下二次曲线的新方程为： 这里有
在转轴下，二次曲线方程系数的变换规律： （1）二次项系数一般要改变。新方程的二次项系数仅与原方程二次项系数及 旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关。 （2）新方程的一次项系数： 在转轴下，二次曲线方程的一次项系数 a13，a23的变换规律是与点的坐标x，y的变换规律完全一样，当原方程有一次项时，通过转轴不难完全消去一次项，当原方程无一次项时，通过转轴也不会产生一次项。 （3）常数项不变。 【例题详解方法】 例1【无心二次曲线】 化简二次曲线方程，并画出它的图形 解： 由于二次曲线方程含有xy项，故可先通过转轴消去xy项。设旋转角为α，则有：
上,二次函数应用的类型
教师一对一个性化教案 学生姓名年级9年级科目数学日期时间段课时 教学目标 教学内容 二次函数应用专题训练个性化学习问题解决掌握二次函数常见题型应用的最值问题 教学重 点、难点及 考点分析 重难点:函数解析式的确定以及根据实际情况处理最值问题 教学过程Part1桥·隧道 【基础题型】 1.如图所示的抛物线的解析式可设为，若AB∥x轴， 且AB＝4，OC＝1，则点A的坐标为， 点B的坐标为；代入解析式可得出此抛物线的 解析式为。 2.飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是： 2 5.1 60t t s- =.飞机着陆后滑行多少秒(m)后才能停下来. 例题1：有座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下河面宽20m，河面距拱顶4m，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行。 例题2如图，河上有一座抛物线桥洞，已知桥下的水面离桥顶部3m时，水面宽AB为6m，当水位上升0.5m时： （1）求水面的宽度CD为多少米？ （2）有一艘游船，它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行。 ①若游船宽（指船的最大宽度）为2m，从水面到棚顶的高度为1.8m，问这艘游船能否从桥洞下通过？ y x O A B
教学过程 例题3.许多桥梁都采用抛物线型设计，小明将他家乡的彩虹桥按比例缩小后，绘成如下的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x 轴表示桥面，y 轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y 轴对称.经过测算，中间抛物线的解析式为2 11040 y x =-+，并且BD=12CD. （1）求钢梁最高点离桥面的高度OE 的长； （2）求桥上三条钢梁的总跨度AB 的长； （3）若拉杆DE ∥拉杆BN ，求右侧抛物线的解析式. 例题4. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示） , 拱高6m, 跨度20m, 相邻两支柱间的距离均为5m ． (1) 将抛物线放在所给的平面直角坐标系中（如图2所示）, 求抛物线的解析式； (2) 求支柱EF 的长度； (3) 拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带）, 若并排行驶宽2m 、高3m 的汽车,要求车与车之间, 车与隔离带之间的间隔均为0.5米, 车与桥的竖直距离至少为0.1米, 问其中一条行车道最多能同时并排行驶几辆车？ 图1 图2 例5.如图1，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ． （1）如图2，将抛物线放在所给的直角坐标系中，求该抛物线的解析式（不需要写出自变量x 的取值
第五章二次曲线的一般理论
221340;x kt x y xy y y k t =+?+--=? =+?与二次曲线交于一点{}{}()() 00,,1,,1,v X Y k x y k ===第五章 二次曲线的一般理论 §5.1 二次曲线与直线的相关位置 1.求直线x-y-1=0与二次曲线222210x xy y x y -----=的交点. 解: 将y=x-1代入曲线方程,得 ()()()2 22112110,00 x x x x x x --------==即 故直线在二次曲线上. 2.试决定k 的值,使得 (1) 直线50x y -+=与二次曲线230x x y k -++=交于两不同实点; (2) 直线 (3) 直线10x ky --=与二次曲线22(1)10y xy k y ----=交于两个相互重合的实点; (4) 已知直线11x t y t =+??=-? 与二次曲线222420x xy ky x y ++--=有两个共轭虚点，求k 的值 解: (1). 将y=x+5代入二次曲线方程,得 () ()22 250 2450 4160 4,x x k k k k -++>--+>-->∴<-时直线与二次曲线有两个不同的实交点. (2). 二次曲线的矩阵为1 2 231/201/20 ---- 且 .
()()1,,1120,k X Y k k φφ===-≠时，()()5,,,1120, k X Y k k φφ===-≠时1,5k ∴=当()()()2 210,11210,650,4 k k k k ?=+---=-+=即 即{}{}()()00,,1,,1,0, v X Y k x y ==121,5, k k ==()2 2 21 1 ,2011 01 1 X Y X XY Y X Y I φ=++==-==时，：：，同时， ()()()()()21211002002100200430,1,3, 11).1,,10,213 2).3,,,150, 2 1,3,k k k k k F x y X F x y Y k F x y X F x y Y k φ=-+====+=-+ ≠=+=-+≠∴=k,1则当时当时时原直线与二次曲线交于一个实点. (3). 二次曲线的矩阵为1 1 1 1(1)/20(1)/21 k k ----- 且 令 解之，得 1） 当 2） 当 时，直线与二次曲线有二重合实交点. (4). 二次曲线的系数矩阵为 2 21/2 211/21 k ----且:1:(1)X Y =- 取00(,)(1,1),0,x y =<令即27 [(1)(1)](2)(3)02 k k k ++---+< 解得 49 24 k > ，且此时1(1,1)24(1)2024k k Φ-=+-+=->≠， 49 24 k ∴> 时, 直线与二次曲线有两个共轭虚交点。 §5.2 二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求下列二次曲线的渐进方向,并指出曲线是属于何种类型的. ()()()22221230; 23426250;324230.x xy y x y x xy y x y xy x y ++++=++--+=--+= 解:(1) ∴曲线有一个实渐进方向，是抛物型的.
圆锥曲线
圆锥曲线 一、椭圆定义：平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a的动点的轨迹。 二、椭圆图像与性质 一、双曲线定义：平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹。 二、双曲线图像与性质
一、抛物线定义：平面内到定点与到定直线的距离相等的动点的轨迹。 二、抛物线图像与性质
考点一：直线与圆锥曲线的位置关系 1、直线与圆锥曲线的位置关系的判断： 方法一:半径R 比较法：若d
二次曲线的化简性质及应用1
目录 摘要 (1) 0引言 (1) 1二次曲线的化简 (1) 1.1通过移轴化简二次曲线 (2) 1.2利用不变量化简二次曲线 (3) 1.3利用正交变换来化简二次曲线 (4) 2二次曲线的性质 (7) 2.1二次曲线的曲率 (7) 2.1.1椭圆的曲率及性质 (7) 2.1.2抛物线的曲率及性质 (8) 2.1.3双曲线的曲率及性质 (8) 2.2二次曲线的重要性质 (9) 2.2.1椭圆中的定值 (9) 2.2.2双曲线的定值 (9) 2.2.3抛物线的定值 (10) 3二次曲线的应用 (10) 3.1二次曲线的光学性质 (10) 3.1.1抛物线的光学性质 (10) 3.1.2椭圆,双曲线的光学性质 (12) 参考文献 (13) Abstract (13)
二次曲线的化简、性质及应用 作者:—— 指导老师:—— 摘要:本文将化简二次曲线的几种常用方法进行归总结,并着重强调强调用正交合同变换来化简二次曲线.实现解析几何与高等代数的结合.并进一步总结出二次曲线的一些性质和应用. 关键词:正交变换;曲率;光学性质 0 引言 二次曲线与我们的生活密切相关,它们的某些性质在生产、生活中被广泛应用.一般二次曲线的化简、性质及应用是平面解析几何的中心研究课题, 如何将二次曲线方程进行化简, 是二次曲线一般理论的主要问题之一.参考文献[1]中讲述了两种方法,一是利用移轴与转轴来化简二次曲线, 这种方法的实质是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径重合的位置,它的优点在于不需要用高等代数知识.缺点是不能一步到位,且化简过程较为复杂.二是利用不变量与半不变量方法.先计算出二次曲线的不变量和半不变量,然后可判断已知曲线为何种曲线,同时也可直接求出它的简化方程.此法的优点是快捷,但无法画出二次曲线的图形. 针对以上两种方法的优缺点,利用参考文献[2]中二次曲线与二次型的关系,应用高等代数有关理论化简欧式平面上二次曲线方程为标准方程,通过举例说明化简二次曲线方程为标准方程的方法过程及应用的有关高等代数知识,阐述了高等代数指导学习其他几何学的意义. 对于二次曲线的性质,通过查看各种资料将二次曲线的一些重要性质进行了系统的归纳总结. 1 二次曲线的化简 我们知道二次型理论源于化二次曲线和二次曲面为标准形式的
曲线类型
Pro/E 曲线类型 每一页的曲线类型如下： 第1页：碟形弹簧、葉形线、螺旋线(Helical curve)、蝴蝶曲线和渐开线； 第3页：螺旋线、对数曲线、球面螺旋线、双弧外摆线和星行线； 第5页：心脏线、圆内螺旋线、正弦曲线、太阳线和费马曲线（有点像螺纹线）；第7页：Talbot 曲线、4叶线、Rhodonea 曲线、抛物线和螺旋线； 第9页：三叶线、外摆线、Lissajous 曲线、长短幅圆内旋轮线和长短幅圆外旋轮线； 第12页：三尖瓣线、概率曲线、箕舌线、阿基米德螺线和对数螺线； 第14页：蔓叶线、tan曲线、双曲余弦、双曲正弦和双曲正切； 第16页：一峰三驻点曲线、八字曲线、螺旋曲线、圆和封闭球形环绕曲线； 第18页：柱坐标螺旋曲线、蛇形曲线、8字形曲线、椭圆曲线和梅花曲线； 第21页：花曲线、空间感更强的花曲线、螺旋上升的椭圆线、螺旋花曲线和鼓形线； 第23页：长命锁曲线、簪形线、螺旋上升曲线、蘑菇曲线和8字曲线； 第26页：梅花曲线、桃形曲线、碟形弹簧、环形二次曲线和蝶线； 第28页：正弦周弹簧、环形螺旋线、内接弹簧、多变内接式弹簧和柱面正弦波线；第31页：ufo（漩涡线）手把曲线、篮子、圆柱齿轮齿廓的渐开线方程和对数螺旋曲线； 第33页：罩形线、向日葵线、太阳线、塔形螺旋线和花瓣线； 第36页：双元宝线、阿基米德螺线的变形、渐开线方程、双鱼曲线和蝴蝶结曲线；第38页：“两相望”曲线、小蜜蜂、弯月、热带鱼和燕尾剪； 第40页：天蚕丝、心电图、变化后的星形线、小白兔和大家好； 第42页：蛇形线、五环、蜘蛛网、次声波和十字渐开线； 第44页：内五环和蜗轨线；
圆锥曲线性质归纳答案版(教师版)
常 用 经 验 公 式 1.圆的切线方程 (1)已知圆222x y r +=． ①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为2 00x x y y r +=; ②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±2.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 1020 MF a ex MF a ex =+=- 3．椭圆的的内外部 （1）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的内部220022 1x y a b ?+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的外部2200 22 1x y a b ? +>. 4. 椭圆的切线方程 椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=. 5.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式 21|()|a PF e x c =+，2 2|()|a PF e x c =-. 6.双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200 2 21x y a b ? ->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200 2 21x y a b ? -<. 7.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ， 焦点在y 轴上）. 8. 双曲线的切线方程 (1)双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=. 9. 抛物线px y 22 =的焦半径公式 抛物线22(0)y px p =>焦半径02 p CF x =+. 过焦点弦长p x x p x p x CD ++=+++ =21212 2. 10.抛物线px y 22=上的动点可设为200(,)2y P y p 或或)2,2(2pt pt P 00(,)P x y ，其中 2 002y px =. 11. 抛物线的切线方程 (1)抛物线px y 22 =上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+. 12.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB = 21AB x =-=（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程 ?? ?=+=0 ),(y x F d kx y 消去y 得到02=++f nx mx ，0?>, k 为直线的斜率）.
(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心 率用集合表示为： ； （2）标准方程和性质：
注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为：
（2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；
二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
二次函数经典类型(全)
第1页，共5页 ………○……装………………○……装………校:___________姓名：______绝密★启用前 2017年12月19日初中数学 考试总分： 197 分 考试时间： 120 分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上; 一、选择题（共 16 小题 ，每小题 3 分 ，共 48 分 ） 1.如图，抛物线 与 交于点 ，过点 作 轴的平行线，分别交两条抛物线于点 ， ．则以下结论： ①无论 取何值， 的值总是正数； ② ； ③当 时， ； ④ ； 其中正确结论是（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 2.二次函数 （ 为常数）的图象如图所示，当 时， ；那么当 时，函数值（ ） A. B. C. D. 3.抛物线 （ 是常数）的顶点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.二次函数 满足以下条件：当 时，它的图象位于 轴的下方；当 时，它 的图象位于 轴的上方，则 的值为（ ） A. B. C. D. 5.已知二次函数 的图象如图所示，有下列 个结论： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ （ 的实数）． 其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6.小轩从如图所示的二次函数 的图象中，观察得出了下面五条信息： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ． 你认为其中正确信息的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7.如图抛物线 的图象交 轴于 和点 ，交 轴负半轴于点 ，且 ，下列结论： ① ；② ；③ ；④ 其中正确的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8.抛物线 的顶点为 ，与 轴的一个交点 在点 和 之间，其部分图象如图，则以下结论： ① ；② ；③ ；④方程 有两个相等的实数根． 其中正确结论的个数为（ ）
例谈二次曲线的类型判断
龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/fa5210029.html, 例谈二次曲线的类型判断 作者：李彬 来源：《中学数学杂志(高中版)》2017年第02期 问题1以下二元二次方程在平面直角坐标系中所对应的是什么类型的二次曲线？ x2-2y2+4xy-6x+16y-7=0.（1） 此问题对于高中生来说是比较棘手的，中学阶段接触到的二次曲线通常是不含交叉项的，如果（1）中去掉4xy，只需分别对x，y配方不难判断其所对应的曲线类型. 容易发现，（7，0）、（-1，0）均为（1）所对应的二次曲线上的点. 由于二次方程所对应的曲线（若存在）有且仅有圆、椭圆、双曲线、抛物线、一个点及两条（相交或平行或重合）直线这几种类型[1]. 圆与点的情形可排除，为了判断该曲线是余下哪种类型之一，我们可考虑其与如下一族平行直线的交点情况： 问题2（1）中所对应的二次曲线离心率是多少？试求出其焦点坐标及准线方程. 问题1中我们给出了对二次曲线类型做定性判断的方法，但要进行精确的定量计算还需另辟蹊径. 注在高等代数（大学课程）中对此问题常规的处理方法是对二次型所对应的实对称矩阵做正交相似变换从而消掉交叉项再行配方，正交相似变换的本质即为旋转（或反射）坐标轴，与我们所采取的上述办法是殊途同归的. 另外，对更一般的二次曲线ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0，判断其类型甚至作定量计算都可采取上述方法，并且利用此法我们能证明（图象存在的）二次曲线确实有且仅有上文提到过的圆、椭圆、双曲线、抛物线、点和两条（相交或平行或重合）直线这几种类型. 下面我们将尝试利用待定系数法求解问题2. 若（1）的方程可写为如下形式： 注当含有交叉项的二次曲线ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0为椭圆、双曲线、抛物线、两条相交或重合直线时均可写为类似（11）或（13）的如下形式用待定系数法求解： 其中k≥0且A，B不全为0. 当k=0时显然为两条重合直线. 当k>0时将（16）改写作 参考文献 [1]陈志杰.高等代数与解析几何（下）[M].北京：高等教育出版社，2005.
§5.6 二次曲线方程的化简与分类
§5.6 二次曲线方程的化简与分类 一、平面坐标变换 1.移轴和转轴： 如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为 (x, y)与(x', y')，则移轴公式为 或 式中(x0, y0)为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标. 转轴公式为 或 式中α为坐标轴的旋转角. 前一公式为正变换公式，后一公式为逆变换公式. 注意两个变换的矩阵互为逆矩阵，因是正交变换，从而互为转置矩阵. 2. 一般坐标变换公式为 或 3.设在直角坐标系里给定了两条相互垂直的直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0, 其中A1A2＋B1B2＝0，如果取l1 为新坐标系中的横轴O'x'，而直线l2为纵轴O'y'，并设平面上任意点M的旧坐标与新坐标分别是 (x, y)与 (x'，y'), 则有 其中正负号的选取应使第一式右端x的系数与第二式右端y的系数相等，即要使得这两项的系数是同号的. 二、坐标变换对二次曲线方程系数的影响 1．在移轴下，二次曲线F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为
即新方程为 这里 因此，在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律为： （1）二次项系数不变； （2）一次项系数变为 2F1(x0, y0)与 2F2(x0, y0)； （3）常数项变为F(x0, y0). 从而当二次曲线有中心时，可作移轴，使原点与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失. 2．在转轴下，二次曲线 F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 的方程变为 即新方程为 这里 因此，在转轴下，二次曲线方程系数的变化规律为： （1）二次项系数一般要改变. 新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关. （2）一次项系数一般要改变. 新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，而与二次项系数及常数项无关. 当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项，当原方程无一次项时，通过转轴也不能产生一次项. （3）常数项不变. 从而当二次曲线方程中a12≠0时，选取旋转角α，使 , 则在新坐标系下二次曲线的新方程中xy项消失. 三、二次曲线的方程化简 1．利用坐标变换化简二次曲线的方程，在中心曲线时一般应先移轴后转轴；在非中心曲线时则一般应先转轴后移轴. 例1．利用移轴与转轴, 化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.
二次曲线方程的化简与分类
2015届本科毕业论文（设计）论文题目：二次曲线方程的化简与分类 学院：数学科学学院 专业班级：数学与应用数学11-1班 学生姓名：努尔麦麦提.艾则孜 指导教师：候传燕老师 答辩日期：2015年5月6日 新疆师范大学教务处
目录 摘要 (1) 1前言 (3) 2二次曲线方程的化简与分类 (4) 2.1方程的化简 (4) 2 .1.1 中心曲线方程的化简.... . (4) 2 .1.2 无心曲线方程的化简 (4) 2 .1.3 线心曲线方程的化简 (5) 2.2 二次曲线的分类 (6) 2 .2 .1 二次曲线方程的不变量 (7) 2 .2 .2用不变量确定二次曲线的标准方程 (10) 2 .2 .3用配方法化简二次曲线方程 (11) 3总结 (16) 4参考文献 (17) 致谢 (18)
二次曲线方程的化简与分类 摘要：本文基本研究了二次方程化简和分类的多种方法：坐标变换法；不变量法；配方法等.并在此基础归纳总结出两种新的简便的方法，即不变量法和配方法详细介绍了二次曲线化简具体方法与步骤. 关键词：二次曲线；标准方程；不变量；参数法；配方法；
The two curve equation simplification and classification Abstract：This paper studies the method of two kinds of equation simplification and classification: the method of coordinate transformation; invariant method; factorization method. And on the basis of summarizing two new simple method, namely the method and parameter method, described in detail the specific methods and steps two times curve simplification. Key words：Two standard curve; equation; invariant method; parameter method;
二次曲线方程的化简与应用
山西师范大学 现代文理学院（数计系） 毕业论文 论文题目：二次曲线方程的化简与应用 学生姓名：刘彦雪 学号： 1290110415 专业：数学与应用数学 班级： 1204班 指导教师：范青龙 二零一四年十一月四号
目录 摘要 (2) （一）、二次曲线的相关定义 (2) （二）、平面直角坐标变换 (3) 2.1二次曲线方程的化简与分类 (3) 2.2 利用系数的影响规律化简方程 ............................................. 错误！未定义书签。（三）、应用举例.. (7) （四）、结束语 (10) 参考文献 (11)
二次曲线方程的化简与应用 刘彦雪 摘要 二次曲线方程的化简是二次曲线理论的重要内容，是教学的一个难点，这方面的研究文献较多，分别总结出很多有效的方法。 文献给出了通过对二次曲线方程配方变形、直角坐标变换对二次曲线方程进行分类、化简;然后根据直线与二次曲线相交时参数t 的几何意义,确定二次曲线的标准方程.从而解决了利用坐标系 的平移,旋转对二次曲线方程分类,化简时运算复杂或无法确定图形具体位置等问题.本论文首先对定义进行归纳总结，运用验证类比以及大量的举例对二次曲线化简作了说明，其次给出了一些方法和过程及证明，然后作出了归纳总结。 关键词 定义； 二次曲线； 平面直角坐标变换 （一）、相关定义 1.1.在平面上，由二元二次方程 ()22111222132333,2220 F x y a x a xy a y a x a y a =+++++= 所表示的曲线,叫做二 次曲线. 1.2 有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线;没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线;有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线.无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次曲线. 1.3 把一个点对于某一坐标系的坐标变换称为同一个点对于另一种坐标系的坐标,这种变换称为坐标变换. 1.4 由曲线方程的系数给出的函数,如果在经过任意一个直角坐标变换后,
高三圆锥曲线复习教案理科
圆锥曲线概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于 21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一 定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．6 21=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122 2 2 1=+PF PF （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）? { cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为 参数），焦点在y 轴上时2222b x a y +＝1（0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什 么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 如（1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____
二次曲线方程的化简
二次曲线方程的化简 一、平面坐标变换 1.移轴和转轴： 如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为 (x, y)与(x', y')，则移轴公式为 或 式中(x0, y0)为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标. 转轴公式为 或 式中α为坐标轴的旋转角. 前一公式为正变换公式，后一公式为逆变换公式. 注意两个变换的矩阵互为逆矩阵，因是正交变换，从而互为转置矩阵. 2. 一般坐标变换公式为 或 3.设在直角坐标系里给定了两条相互垂直的直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0, 其中A1A2＋B1B2＝0，如果取l1 为新坐标系中的横轴O'x'，而直线l2为纵轴O'y'，并设平面上任意点M的旧坐标与新坐标分别是 (x, y)与 (x'，y'), 则有 其中正负号的选取应使第一式右端x的系数与第二式右端y的系数相等，即要使得这两项的系数是同号的. 二、坐标变换对二次曲线方程系数的影响 1．在移轴下，二次曲线F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为
即新方程为 这里 因此，在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律为： （1）二次项系数不变； （2）一次项系数变为 2F1(x0, y0)与 2F2(x0, y0)； （3）常数项变为F(x0, y0). 从而当二次曲线有中心时，可作移轴，使原点与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失. 2．在转轴下，二次曲线 F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 的方程变为 即新方程为 这里 因此，在转轴下，二次曲线方程系数的变化规律为： （1）二次项系数一般要改变. 新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关. （2）一次项系数一般要改变. 新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，而与二次项系数及常数项无关. 当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项，当原方程无一次项时，通过转轴也不能产生一次项. （3）常数项不变. 从而当二次曲线方程中a12≠0时，选取旋转角α，使 , 则在新坐标系下二次曲线的新方程中xy项消失. 三、二次曲线的方程化简 1．利用坐标变换化简二次曲线的方程，在中心曲线时一般应先移轴后转轴；在非中心曲线时则一般应先转轴后移轴. 例1．利用移轴与转轴, 化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.
关于不同类型缓和曲线的判断及起点
目前在匝道或线路施工坐标计算中经常遇到缓和曲线，实际中相信有很多测友选择用积木法或叫线元法正反算程序进行线路坐标计算，这就牵涉到线元的起点终点曲率半径判断的问题，一般的直线元，圆曲线元的起点终点半径判断，比较容易，可能令大家感觉麻烦的就是缓和曲线起点终点半径判断问题，缓和曲线有时候判断算对了，有时候却坐标算不对，究其原因，其实问题出于该缓和曲线是否是完整缓和曲线引起的。关于这点，相关的课本教材上没有明确的讲述，网上对此问题的解释也是散见于不同的论文著作中，对于测量新手来说，线元法程序是非常适用上手的，但却往往因为遇到不完整缓和曲线的起点或终点的半径判断计算不出来导致坐标计算错误，的确是件令人恼火的事情，在此我就把自己的判断经验做一论述，给用线元法程序的测友们一同分享，当然高手们请一笑而过，也可留下你的经验与大家一起分享交流学习。 第一：先说说完整缓和曲线和不完整缓和曲线以及不对称缓和曲线与对称缓和曲线的概念问题，以免混为一谈. 1.当对于单独一段缓和曲线从其完整与否来讲是分为完整与不完整两类；当对于一个单交点内的两段缓和曲线（即常说的第一缓和曲线和第二缓和曲线而言）又有对称缓和曲线与不对称缓和曲线之分。由此看来，完整与对称与否是针对缓和曲线两个方面来看待区分的。 2.缓和曲线我们的测量教材上讲述的其实就是完整缓和曲线，也可以知道缓和曲线上：各个点的半径是不同的，起点到终点的半径值过度是从正无穷大到所接圆曲线半径之过度如从ZH向HY方向；或者是从所接圆曲线半径值向正无穷大过度的，如从YH向HZ方向。那么由此可以不难判断出来，完整缓和曲线就是符合上述特征的，那么不完整的缓和曲线就是不符合上述特征的，但是线路上的平曲线设计时候一般缓和曲线不单独存在的，整体上缓和曲线前或后一般都是要连接一个圆曲线的，那么不完整缓和曲线其实就是在完整缓和曲线上截取的一段，一般就是去掉了半径无穷大的那端而是从某个点开始的半径值向所接圆曲线半径值过度的。 3.对称与不对称缓和曲线是相对于一个单交点内的两段缓和曲线（即常说的第一缓和曲线和第二缓和曲线而言），当两个缓和曲线长度相等时候则称之为对称缓和
圆锥曲线教案课案
椭圆 椭圆及其标准方程 ◆ 知识与技能目标 理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法． ◆ 过程与方法目标 （1）预习与引入过程 当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究P 41页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm 长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm ，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗2．1．1椭圆及其标准方程． （2）新课讲授过程 （i ）由上述探究过程容易得到椭圆的定义． 〖板书〗把平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse ）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={} 12|2M MF MF a +=． （ii ）椭圆标准方程的推导过程 提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系． 无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理． 设参量b 的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、,,a b c 的关系有明显的几何意义． 类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆的标准方程()22 2210y x a b a b +=>>． （iii ）例题讲解与引申 例 1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22??- ??? ，求它的标准方程． 分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出,,a b c ．引导学生用其他方法来解． 另解：设椭圆的标准方程为()22 2210x y a b a b +=>>，因点
二次曲线方程的化简
万方数据
万方数据
万方数据
万方数据
万方数据
二次曲线方程的化简 作者：朱玉清， 柳静 作者单位：南阳理工学院,河南,南阳,473004 刊名： 南阳理工学院学报 英文刊名：JOURNAL OF NANYANG INSTITUTE OF TECHNOLOGY 年，卷(期)：2009，1(6) 被引用次数：0次 参考文献(9条) 1.吕林根,许子道.解析几何[M].北京:高等教育出版社,1987. 2.张卯.化简二次曲线方程的一种简捷方法[J].周口师专学报,1996,13(4):11-16. 3.翟娟,席芳渊.参数法化简二次曲线方程[J].中学数学教学,1994(4):24-25. 4.苏婷.二次曲线方程化简[J].陕西师范大学继续教育学报,2006(23):247-249. 5.文开庭.二次曲线的一种化简方法[J].毕节师专学报,1995(2):66-71. 6.林梦雷.二次曲线方程的化简[J].漳州师范学院学报,1999,12(1):22-26. 7.席高文,刘晓君.二次曲线方程分类与化简的新方法[J].许昌师专学报,2001,20(2):6-13. 8.廖民勋.二次曲线方程的化简及作图[J].广西师院学报,1997,14(2):76-81. 9.崔萍,高真秋.二次曲线方程化简与作图的简易方法[J].曲靖师范学院学报.2007,11(16):26-87. 相似文献(4条) 1.期刊论文张万生.董文瑾综合直角坐标变换对二次曲线方程的作用规律-数学教学研究2008,27(7) 本文进一步总结、探究直角坐标系的移轴和转轴,特别是综合变换对二次曲线方程的作用规律,为利用综合变换一次性化简曲线方程及作图做好必要的准备. 2.期刊论文崔萍.高真秋.Cui Ping.Gao Zhenqiu二次曲线方程化简与作图的简易方法-曲靖师范学院学报2007,26(6) 针对二次曲线方程化简与作图的方法,有的化简简单,但难于作图;有的化简繁琐,但易于作图.寻找一种既易于化简又易于作图的简便方法是一个值得研究的问题.文章在深入探讨二次曲线方程化简并作图的四种方法:坐标变换法、主直径主方向法、不变量与半不变量法、因式分解法的基础上,通过分析,归纳这四种方法之间的联系,给出一种相对于前四种方法对化简二次曲线方程并作图更为简便的方法,得到两个主要结论. 3.期刊论文张宇浅谈二次曲线方程的化简-网络财富2009(17) 二次曲线的化简是解析几何的中心研究问题,本文主要讨论二次曲线方程化简的几种常用的方法:坐标变换法,主直径、主方向法,不变量法,参数法和综合法,并给出各种方法优缺点的比较. 4.期刊论文夏艳.苏中.吴细宝.鄂盛国.XIA Yan.SU Zhong.WU Xi-bao.E Sheng-guo基于结构光的柱体工件直径测量-火力与指挥控制2008,33(12) 为实现柱状工件直径的实时快速非接触测量,利用结构光原理,对柱体直径的视觉测量方法进行了研究.详细介绍了结构光法测直径的原理和步骤,以及激光平面的标定和坐标变换求解空间二次曲线方程及特征参数的方法.实验证明该方法测量速度快,精度适中的特点,适用于大批量产品在线测量,亦适用于恶劣环境下的测量. 本文链接：https://www.wendangku.net/doc/fa5210029.html,/Periodical_nylgxyxb200906017.aspx 授权使用：武汉大学(whdx)，授权号：7161b81c-341e-437d-9f57-9ecd00ff9e62 下载时间：2011年4月22日