导数复习
第三章导数
目录
一．本章知识结构
二．学习内容与要求
（一）学习目标：
（二）本章知识精要
（1）导数的概念
（2）常见函数的导数
（3）导数的运算
（4）函数的单调性
（5）函数的极值
（6）函数的最大值与最小值
三．学习方法与指导
（一）学习方法点拨
1．导数的概念：
2．曲线的切线
3．导数运算
4．函数的单调性
5．可导函数的极值
6．函数的最大值与最小值
（二）典型例题讲解
1．导数的概念
2．几种常见函数的导数
3．函数和、差、积、商的导数
4．复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数5．函数的单调性和极值
6．函数的最大值和最小值
（三）能力培养与测试
参考答案
四．全国各地高考数学卷导数应用题型集锦
一．本章知识结构
二．学习内容与要求 （一）学习目标：
（1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。
（2）熟记函数y =c (c 为常数)，y =x m ，y =sin x ，y =cos x ，y =e x ，y =a x
，y =ln x ，y =log a x 的导数公式；掌握两个函数四则运算的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数；
（3）会从几何直观了解可导函数的单调性与其导数的关系；掌握函数极值的定义，了解可导函数的极值点的必要条件与充分条件，会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。
（二）本章知识精要
（1）导数的概念：
1．导数的定义：对函数y =f (x )，在点x =x 0处给自变量x 以增量?x ，函数y 相应有增量?y =f (x 0+?x )－f (x 0)，若极限000
()()
lim
lim
x x f x x f x y x
x
?→?→+?-?=??存在，则
此极限称为f (x )在点x =x 0处的导数，记为f ’(x 0)，或y ’|0
x x =；
2．导函数：如果函数y =f (x )在区间(a ，b )内每一点都可导，就说y =f (x )在区间(a ，b )内可导．即对于开区间(a ，b )内每一个确定的x 0值，都相对应着一个确定的导数f ’(x 0)，这样在开区间(a ，b )内构成一个新函数，把这一新函数叫做f (x )在(a ，b )内的导函数．简称导数．记作f ’(x )或y ’.
即f ’(x )=y ’=0
lim
x ?→y x
??=0
()()
lim
x f x x f x x
?→+?-?。
3．导数的几何意义：函数y =f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y =f (x )在P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即曲线y =f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线斜率为k ＝f ’(x 0)．函数 y ＝f (x )在点 P (x 0，f (x 0))处的切线方程为 y －y 0=f ’(x 0)·(x －x 0)．函数y =f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的法线方程为y －y 0＝－
01'()
f x (x －x 0)或x ＝x 0.
（2）常见函数的导数：
(c )’=0, (c 为常数)；(x m )’=mx 1m -；(sin x )’=cos x ； (cos x )’=－sin x ；(e x )’=e x ；(a x )’=a x ·ln a ；(ln x )’=1x
；(lig a x )’=1
log a e x
.
（3）导数的运算：
1．函数的和或差的导数
法则：两个函数的和或差的导数，等于两个函数的导数的和或差，即(u ±v )’＝u ’±v ’.
2．函数的积的导教
法则：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 (uv )’＝u ’v +v ’u . 3．函数的商的导。
法则：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．即(u
v )’=
2
''u v v u
v
- (v ≠0)。
4．复合函数的导数
法则：设函数u ＝g (x )在点x 处有导数u ’x ＝g ’(x )，函数f (u )在点x 处的u 处有导数y ’u =f ’(u )；则复合函数y =f [(x )]在点x 处也有导数，且 y ’x ＝y ’u ·u ’x ，也可简述为：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
（4）函数的单调性
设函数y =f (x )在某个区间内可导，如果f ’( x )>0时，则函数y =f ( x )为增函数；如果f ’(x )<0时，则函数y ＝f (x )为减函数；如果恒有f ’( x )＝0，则y =f (x )为常函数.
（5）函数的极值
1．设函数y =f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有点x 都有f (x )＜f (x 0)，则称f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)；
2．如果对x 0附近的所有点x ，都有f (x )＞f (x 0)称f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，极大值与极小值统称为极值。
3．判断法则：
①对于在x0处连续的函数，如果在x0附近的左侧f’(x)>0，右侧f’(x)<0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧f’(x)<0，右侧f’(x)>0，那么f(x0)是极小值．
（6）函数的最大值与最小值
1．定义：最值是一个整体性概念，是指函数在给定区向(或定义域)内所有函数值中最大的值或最小的值，最大数值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值记为M，最小值记为m.
2．存在性：在闭区间[a，b]上连续函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．3．求最大（小）值的方法：函数f(x)在闭区间[a，b]上最值求法：
①求出f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个是最大值，较小的一个是最小值.
三．学习方法与指导
（一）学习方法点拨
1．导数的概念：
设f (x )在点x =x 0 附近有定义，若极限0
00
()()
lim
x x f x f x x x →--存在，则称其为f (x )
在点x =x 0处的导数f ’(x 0)．可以证明这一结论与教科书上的导数定义是等价的．
另外，若lim ()0x a
g x →=，且存在a 的邻域（α，β），当x ∈(α, x 0)∪(x 0, β)时，
有g (x )≠0，则00(())()
'()lim
()
x a
f x
g x f x f x g x →+-=，又若0lim ()x a
g x x →=，且存在a 的邻
域(α，β)，当x ∈(α, x 0)∪(x 0, β)时，有g (x )≠x 0，则000
[()]()'()lim
()x a
f g x f x f x g x x →-=-. 设f (x )=(),()
,
g x x a h x x a ??
lim x a
x a
g x A h x A B
x a
x a
+
-
→→--==--
为f (x )在点x ＝a 处可导的充要条件，此时f ’(a )＝B ．
由此可知，若分段函数f (x )的表达式中的g (x )、h (x )可分别看做含有a 的区间(α，β)上的函数，且g (a )＝h (a )，g ’(a )=h ’(a )，则f (x )在点x =a 处可导；且有f ’(a )=＝g ’(a )＝h ’(a )．
2．曲线的切线：
设曲线S ：y =f (x )，若f ’(x 0)存在，则S 在点P (x 0，f (x 0)处的切线方程为 l ：y －f (x 0)＝f ’(x 0)(x －x 0)．
可见l 的方程被x 0所唯一确定；若f (x )在区间(α，β)内可导，则当点x 0在(α，β)内变动时，点P (x 0，f (x 0))在S 上变动，而l “贴着”曲线S 转动．所以要求具有某种性质的切线，可转化为这种性质对点x 0的要求，解出x 0，即可求出对应的切线方程．
应当了解可能一曲线在某点处不可导；但在这一点的切线还是存在的，例如
曲线y =1
3x 在点x ＝0处不可导，但在原点处有切线x ＝0．
3．导数运算
要熟练掌握基本导数公式以及函数的和、差、积、商的求导法则． 对复合函数求导法则，应首先搞清楚函数的复合过程，方法是研究运算顺序，例如给定函数y ＝ln(sin e x )，所谓运算顺序是指对自变量x ，应先计算u =e x ，再计算v =sin u ，最后算出y ＝ln v ，然后倒过来即得复合过程y ＝ln v ，v =sin u ，u ＝e x ，
从而有y ’=11cos cos()cot()
sin()
x x x x x
x
u e e e e e v
e ??=
??=．
对复合函数求导法则的掌握，要熟练到可以不写出复合过程而直接写出求导结果．
4．函数的单调性
应当理解函数的单调性与可导性并无本质的联系，甚至具有单调性的函数并不一定连续．我们只是利用可导来研究单调性，这样就将研究的范围局限于可导函数．
f (x )在区间I 上可导，那么f ’(x )> 0是f (x )为增函数的充分条件，例如f (x )=x 3是定义于R 的增函数，但f ’(0)=0，这说明f ’(x )>0非必要条件．
我们也可利用导数来证明一些不等式．如f (x )、g (x )均在[a 、b ]上连续，(a ，b )上可导，那么令h (x )＝f (x )－g (x )，则h (x )也在[a ，b ]上连续，且在(a ，b )上可导，若对任何x ∈(a ，b )有 h ’(x )>0且 h (a )≥0，则当x ∈(a ，b )时 h (x )>h (a )=0，从而f (x )>g (x )对所有x ∈(a ，b )成立．
5．可导函数的极值
从函数的极值定义看，极值的存在与可微性无必然联系．如f (x )=|x －1|，易见当x =1时f (x )取得极小值，但f ’(1)不存在．所以用研究导数的方法探求函数的极值，实际上是将研究的范围局限于可导函数．
对可导函数f (x )，在x =x 0取极值的必要条件是f (x 0)＝0．又设f (x )在点x =x 0处取得极小值，是否一定存在x 0的邻域(α，β)，使当x ∈(α，x 0)时f ’(x )<0，且当x ∈(x 0，β)时f ’(x )>0，答案是否定的，即f ’(x )在x 0的“左侧附近”为负，且在x 0“右侧附近”为正仅是f (x 0)为极小值的充分条件，为说明这一情况，我们考察函数f (x )=
2
1(2sin )000
x x x x ?+≠?
?
?=?
，由于0
()(0)
1lim
lim (2sin
)0
x x f x f x x x
→→-=+=-,故有
112(2sin )cos
0'()00
x x f x x x
x ?
+-≠?=??=?
，
即f (x )在R 上可导．又当x ≠0时f (x )>0，而f (0)=0，故当x ＝0时f (x )取得极小值0，但对任何α<0，总可取到充分小的 k ∈Z ，使 x 1＝12k ππ
+∈(α，0)，且
f ’(x 1)=
412k ππ
++>0，又对任何β>0，总可取到充分大的k ∈Z ，使x 2=
12k π
∈(0，
β)，且f ’(x 2)=
412k π
-<0．
6．函数的最大值与最小值
函数的极值是“局部性质”，例如极小值点是指存在一个邻域，在其中此点
的函数值最小，而函数的最大值、最小值是“全局性质”，即在函数的整体定义域内的某点处函数值最大（小），这两个概念是有区别的．但它们也有联系，即当最大（小）值点在区间内部时，它当然也是极值点，所以求定义于区间[a ，b ]上的函数f (x )的最大（小）值时，只需此较诸极值与区间端点处的函数值f (x )、f (b )即可．
我们知道，[a ，b ]上的连续函数 f (x )必有最大值与最小值．若又有 f (x )在(a ， b )上可导的条件，则由极值点处f ’(x )＝0可知最大（小）值点 x 0∈{x | f ’(x 0)=0或x ＝a 或x ＝b }．但由于f (x )在[a ，b ]上连续并不能保证其在(a ，b )内可导，而最大（小）值可能出现在f ’(x )不存在的点处（如f (x )=|x (x －1)|，易见最小值为0，出现在点x =0或x ＝1处，而此时f ’(x )不存在），所以若仅有f (x )在[a ，b ]连续的条件，为求f (x )的最大（小）值，还需要求出使f ’(x )不存在的点，将这些点处的函数值与诸极值及f (a )、f (b )比较，从而确定最大值与最小值．
根据上述分析，若f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，如果我们可从另外的途径，比如问题的实际背景判断出f (x )的最小值不可能出现在点x ＝a 、x ＝b 处，那么当方程f ’(x )＝0在(a ，b )内仅有一解x 0时，则可断定f (x 0)为最小值．
（二）典型例题讲解：
1．导数的概念
例1．已知曲线y P (0, 0)，求过点P 的切线方程·
解析：如图，按切线的定义，当x →0时，割线
PQ 的极限位置是y 轴（此时斜率不存在），因此过P 点的切线方程是x =0. 例2．求曲线y ＝x 2在点(2，4)处的切线方程·
解析：∵ y =x 2, ∴ ?y =(x 0＋?x )2－x 02＝2x 0?x ＋(?x )2 =4?x ＋(?x )2 ∴ k ＝0
lim
lim (4)4x x y x x
?→?→?=+?=?.
∴ 曲线y ＝x 2在点(2，4)处切线方程为y －4＝4(x －2)即4x －y －4＝0.
例3．物体的运动方程是 S ＝1＋t ＋t 2，其中 S 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在t ＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，5＋?t ]内相应的平均速度．
解析：∵ S =1+t +t 2, ∴ ?S =1+(t +?t )+(t +?t )2－(1+t +t 2)=2t ·
?t +?t +(?t )2
, ∴
21S t t
t
?=++??, 即()21v t t t =++?, ∴ (5)11v t =?+,
即在[5，5＋?t ]的一段时间内平均速度为(?t ＋11)米／秒
∴ v (t )=S ’＝0
lim
lim (21)21t t S t t t t
?→?→?=++?=+?
即v (5)＝2×5＋1＝11.
∴ 物体在t ＝5秒时的瞬时速度是11米／秒． 例4．利用导数的定义求函数y =
在x =1处的导数。
解析：?y
1=
, ∴
y x
??
∴ 0
lim
x y x
?→??
=0
1lim
2
x ?→=-
.
例5．已知函数
f (x )=2
1sin 000
x x x
x ?≠???=?
, 求函数f (x )在点x ＝0处的导数
解析：由已知f (x )=0，即f (x )在x =0处有定义，?y =f (0+?x )－f (0)=2
1()sin x x
??,
y x
??=1sin
x x
???, 0
lim
x y x
?→??=0
1lim sin
x x x
?→???=0, 即 f ’(0)＝0.
∴ 函数f (x )在x ＝0处导数为0. 例6．已知函数
f (x )=2
1(1)1
2
1(1)1
2
x x x x ?+???
?+>??≤, 判断f (x )在x ＝1处是否可导？
解析：f (1)=1, 2
1
[(1)1]1
12
lim
lim lim (1)12
x x x x y
x x
x -
--?→?→?→+?+-?==+
?=??,
1
(11)1
12
lim lim 2
x x x y x
x
+
+?→?→+?+-?==
??, ∵0
lim
lim x x y
y x
x
-
+
?→?→??≠??,
∴ 函数y =f (x )在x ＝1处不可导．
例7．已知函数 y ＝2x 3＋3，求 y ’.
解析：∵ y =2x 3+3, ∴ ?y =2(x +?x )3+3－(2x 3+3)=6x 2·?x +6x ·(?x )2+2(?x )3,
∴
y x
??=6x 2+6x ·
?x +2(?x )2
, ∴ y ’=0
lim x y x
?→??=6x 2.
例8．已知曲线y ＝2x 3＋3上一点P ，P 点横坐标为x ＝1，求点P 处的切线方程
和法线方程．
解析：∵ x =1, ∴ y =5, P 点的坐标为(1, 5), 利用例7的结论知函数的导数为y ’=6x 2,
∴ y ’1|x =＝6, ∴ 曲线在P 点处的切线方程为y －5＝6(x －1)
即6x －y －1＝0, 又曲线在P 点处法线的斜率为－6
1，
∴ 曲线在P 点处法线方程为y －5＝－
6
1( x －1)，即 6y ＋x －31＝0.
例9．抛物线y ＝x 2
在哪一点处切线平行于直线y ＝4x －5？
解析：∵ y ’=0
lim
x y x
?→??=2
2
()lim
2x x x x
x
x
?→+?-=?,
令2x ＝4．∴ x =2, y ＝4, 即在点P (2，4)处切线平行于直线y ＝4x －5. 例10．设mt ≠0，f (x )在x 0处可导，求下列极限值
(1) 000
()()
lim
x f x m x f x x
?→-?-?； (2) 000
()()lim
x x
f x f x t x
?→?+
-?.
解析：要将所求极限值转化为导数f ’(x 0)定义中的极限形式。 (1) 000
()()
lim
x f x m x f x x
?→-?-?=0000
()()
lim
()'()
x f x m x f x m m f x m x
?→-?-?-=-?-?,
（其中－m ·
?x →0） (2) 000
()()
lim
x x
f x f x t
x
?→?+
-?=0000
()()
11lim
'()
x x
f x f x t f x x t t t
?→?+
-?=??.
（其中1
0x t
?→）
例11．设函数f (x )在x ＝1处连续，且1
()
lim
21
x f x x →=-，求f ’(1).
解析：∵ f (x )在x ＝1处连续，∴ 1
lim ()x f x →=f (1).
而又1
1
1
1
()()lim ()lim (1)lim (1)lim
1
1
x x x x f x f x f x x x x x →→→→=-?
=-?=--×2=0.
∴ f (1)=0. ∴ f ’(1)=0
1
(1)(1)
()(1)
lim
lim
2
1
x x f x f f x f x
x ?→→+?--==?-（将?x 换成x －1）
即f ’(1)＝2.
例12．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)，通过点(1，1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值． 解析：由y ’＝0
lim
x y x
?→??=22
()()()
lim
2x a x x b x x c ax bx c ax b
x
?→+?++?+-++=+?,
由函数在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切, ∴ 2a ×2＋b ＝1， 又函数过点(1，1)，(2，－1), ∴ a ＋b ＋c =1， 4a ＋2b ＋c ＝－1， 由三式解得a ＝3，b ＝－11，c =9. 例13．设曲线y ＝sin x 在点A (6π
，
2
1)处切线倾斜角为θ，求tan(4π
－θ)的值.
解析：∵ y =sin x ，∴
?
y =sin(x +?x )－sin x =2cos(x +
2
x ?)sin
2
x ?,
∴ y ’=0
lim
x y x
?→??=0
002cos()sin
sin
222lim
lim cos()lim
cos 2
2
x x x x x
x x x x x x x
?→?→?→???+
?=+?=??.
即y ’＝(sin x )’＝cos x , 令在A 点处切线斜率为k =cos
6
π=
2
3, ∴ tan θ=
2
3, θ∈(0, π),
∴ tan(4
π－θ)
＝
11tan 71tan 2
θθ
--==-+H ，
例14．设f (x )是定义在R 上的函数，且对任何x 1、x 2∈R ，都有f (x 1＋x 2)=f (x 1)f (x 2)，若f (0)≠0，f ’(0)＝1，证明：对任何x ∈R ，都有f (x )=f ’(x )
解析：由f (x 1＋x 0)=f (x 1)f (x 2)，令x 1＝x 2＝0得f (0)＝f (0)f (0), 又f (0)≠0 ∴ f (0)=1 由f ’(0)=1即0
()(0)
()1lim
lim
1x x f x f f x x
x
?→?→?-?-==??,
∴ f ’(x )＝
()()
()()()
()1lim
lim
()lim
()x x x f x x f x f x f x f x f x f x f x x
x
x
?→?→?→+?-?-?-==?=???.
即f ’(x )=f (x )成立．
2．几种常见函数的导数
例1．已知f (x )=x 3，求f ’(x ) ，f ’(1)，(f (1))’，f ’( 0.5)
解析：f (x )=x 3, ∴ f ’(x )＝3x 2, f ’(1)=3, f ’( 0.5)＝3×(0.5)2= 0.75，(f (1))’=(1)’=0.
说明：导函数与函数在某点处导数要弄清区别与联系．后者是导函数的某一函数值，因此在求函数某一点处导数时可先求导函数，再直接求导函数值．
例2．已知曲线y =x 2上有两点A (1, 1), B (2, 4)，求 ① 割线AB 的斜率；②在[1， 1＋?x ]内的平均变化率；③ 过点A 处的切线斜率k AT ；④ 点A 处的切线方程．
解析：① k AB ＝4121
--＝3；
② 平均变化率
2
(1)(1)
(1)1
2y f x f x x x
x
x
?+?-+?-=
=
=+????,
③ y ’＝2x , ∴ y ’|x ＝1＝2. 即点A 处的切线斜率为K AT ＝2.
④ 点A 处的切线方程为y －1＝2(x －1)即2x －y －1＝0.
说明：通过本例搞清割线斜率，区间上平均变化率，某点处切线斜率与某点处的导数之间的区别与联系，再次验证了导数与平均变化率之间的关系
y ’=0
lim
x y x
?→??.
例3．利用导数定义和导数公式两种方法求曲线y =1x 在点P (1，1)处的切线倾斜
角及该点处的法线方程．
解析：解法一：f (x )=1x
,
?
y =f (1+?x )－f (1)=
1111x x
x
-?-=
+?+?,
∴ y ’|x =1=0
lim
x y x
?→??=0
1lim
11x x
?→-=-+?.
即在点P 处斜率为k ＝－1，∴ 倾斜角为135°， 法线方程y －1＝x －1即x －y ＝0. 解法(二)：y =f (x )＝
1x
，y ’=f ’(x )=2
1x
-
, ∴ y ’|x =1＝－1.
即在点P 处切线斜率为k =－1，以下同法(一)
说明：求导致方法有两种，一种是利用导致定义法求导数，第二种用导数公式，要注意题目要求，若无声明，用最简单的方法即可．
例4．已知曲线y
=P (0，0)，求过点P 的切线方程.
解析：由y
∴ y
’='=在x =0处导数不存在，由图形知
过P 点的切线方程是x =0. 例5．设曲线y ＝cos x 在A (6π
，
23)点处的切线倾斜角为θ，求cot(4
π
－θ)的值
解析：y =cos x , y ’=－sin x , x =
6
π时, k =－sin
6
π=－
2
1, ∴ tan θ=－
2
1，
∴ cot(4
π－θ)=
111
1tan 1211tan 3tan(
)
14
2
θπ
θ
θ-+===--+
.
例6．求曲线y ＝x 3在点(3，27)处的切线与坐标轴所围成的三角形面积．
解析：∵ y =x 3, ∴ y ’=3x 2, y ’|x =3=27,
∴ 曲线 y =x 3在点(3，27)处的切线方程为y －27＝27(x －3), 即y ＝27x －54. 其与x 轴，y 轴交点分别为(2，0)，(0，－54) ∴ 切线与坐标轴围成的三角形面积为 S =21
×2×54＝54.
例7．在抛物线y ＝x 2上取横坐标为x 1＝1及x 2＝3的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这一割线？
解析：已知两点A (1，1)B (3，9)，割线斜率为k AB =4,
∵ y ’＝2x ，令y ’=2x ＝4得x ＝2, 即在点(2，4)处切线平行于这一割线．
3．函数和、差、积、商的导数 例1．求下列函数的导数： ① y =3x 2＋x cos x ；② y =
tan x x
； ③ y =x tan x －
2cos x
；④ y =
111x
+
.
解析：① y ’=6x +cos x －x sin x ； ② y ’=2
2
2
(tan )'tan ()'
sec tan x x x x x x x
x
x
?-?-=
；
③ y =
sin 2
cos x x x
-, ∴ y ’=
2
(cos sin )cos (sin 2)(sin )
cos x x x x x x x x
+?--?-
=2
sin (cos 2)cos x x x
x -+. ④
y =1
111x x x =-++, y ’=22
11(1)(1)
x x --=++.
例2．已知函数f (x )=x 3－7x +1，求f ’(x )，f ’(1)，f ’(1.5).
解析：f (x )=x 3－7x +1, ∴ y ’= f ’(x )=3x 2－7, f ’(1)=－4，f ’(1.5)=－
4
1.
注意：导函数与导数的区别与联系，函数在某一点的导数是导函数在这一点处的函数值．
例3．已知函数y ＝x 3＋ax 2－3
4a 的导数为0的x 值也都使y 值为0，求常数a 的
值．
解析：y ’=3x 2+2ax , 令y ’=0, 则3x 2+2ax =0, x 1=0, x 2=－3
2a ,
当x =0时，y =0=－3
4a ，∴ a =0，即a ＝0满足条件,
当x =－
3
2a 时．y ＝0=3
2
844279
3
a a a
-
+
-
得a ＝0或a ＝±3
检验知a ＝±3不满足条件，
∴ 常数的值为0.
例4．曲线y ＝－x 2＋4x 上有两点A (4，0)，B (2，4)，求① 割线AB 的斜率k AB ； ② 过点A 处的切线斜率k A ；③ 点A 处的切线方程。
解析：① 割线AB 的斜率k AB =
4024
--=－2；
② y ’=－2x +4，∴ y ’|x =4=－4，即k A =－4；
③ 过A 点的切线方程为y －0＝－4(x －4)，即 y ＝－4x ＋16.
例5．已知F (x )=f (x )＋g (x )，就下列两种情形判断F (x )在x ＝x 0处是否可导？ ① f (x )在x ＝x 0处可导，g (x )在x ＝x 0处不可导． ② f (x )，g (x )在x ＝x 0处均不可导． 解析： ① F (k )在x ＝x 0处不可导．
假设F (x )在x ＝x 0处可导， 由F (x )=f (x )＋g (x ), ∴g (x )＝F (x )－f (x ).
∵ f (x )在x ＝x 0处可导，∴ g (x )在x =x 0处可导，与条件g (x )在x ＝x 0处不可导矛盾， ∴ F (x )在x ＝x 0处不可导． ② F (x )在x ＝x 0处不一定可导． 如设 f (x )=sin x +
1x
, g (x )=cos x －1
x
, 则f (x )，g (x )在x ＝0处均不可导，
但F (x )=f (x )+g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导． 另：若．g (x )=tan x +1
x
上，在x ＝0处不可导，
F (x )=f (x )+g (x )=sin x +tan x +
2x
在x ＝0处也不可导．
例6．曲线y ＝x 3
＋x －1上求一点P ，使过P 点切线与直线y =4x －7平行． 解析： y ’=(x 3＋x －1)’＝3x 2＋1，
由过P 点切线与直线y ＝4x －7平行， 令3x 2＋1＝4得x ＝±1，
当x =1时，y =1，此时切线为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3与直线y ＝4x －7平行，∴ P 点坐标为(1，1)。
当x ＝－1时，y ＝－3，此时切线为y ＋3=－3(x ＋1)，即y ＝4x ＋1也满足条件，∴ P 点坐标为(－1，－3).
综上得P 点坐标为(1，1)或(－1，－3).
例7．证明：过抛物线y ＝a (x －x 1)(x －x 2), (a ≠0，x 1＜x 2)上两点A (x 1，0)，B (x 2，
0)的切线倾斜角互补．
解析： y ’=2ax －a (x 1+ x 2).
∴ 1
12'|()x x y a x x ==-, 即k 1=a (x 1－x 2), 1
21'|()x x y a x x ==-, 即k 2=a (x 2－x 1),
∵ k 1=－k 2，∴ 两切线倾斜角互补．
例8．已知曲线y =f (x )及y =f (x )sin ax ，(a ≠0)，其中f (x )＞0，且为可导函数，求证：两曲线在公共点处彼此相切．
解析：由f (x )=f (x )sin ax , f (x )>0，∴ sin ax =1，ax =2k π+
2
π (k ∈Z ),
∴ x =
22
k a
π
π+
，设曲线交点(x 0, y 0)， 即x 0=
22
k a
π
π+
.
又两曲线y 1=f (x )，y 1’=f ’(x )，y 1=f (x )sin ax ，y 2’=f ’(x )sin ax +a ·cos x ·f (x )
010'|'()x x y f x ==, 0
2000'|'()sin(2)()cos(2)'()2
2
x x y f x k af x k f x π
π
ππ==+
++
=,
∴ k 1=k 2，即两曲线在公共点处相切.
例9．已知直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，求k 的值．
解析：由y ’=3x 2－6x +2=k , 又由kx =x 3－3x 2+2x ，∴ 3x 3－6x 2+2x =x 3－3x 2+2x , 即2x 3－3x 2＝0得x 1＝0或x 2=23
．∴ k ＝2或－
4
1．
4．复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数
例1．函数y ＝(sin x 2
)2
3是由函数y ＝ ，u ＝ ，v = 三个函数复合而成．
解析：答案分别为：y =u 2
3, u =sin v . v =x 2. 例2．求下列函数的导数：
① y =(x 2
+2x )3
；② y =2
54x
e
+；③ y
=；④ y ＝(sin x 2
)1
3；
⑤ y ＝ln(x
)；⑥ y ＝x 3lig 3x ；⑦ y =
cos 5sin 2x x
；⑧ y =x n , (x ∈R +, n ∈R ).
解析：① y =(x 2+2x )3， y ’=3(x 2+2x )2·(2x +2)=6(x +1)(x 2+2x )2.
② y =2
54x e +, y ’= 2
54x e +·(8x )=8x ·2
54x
e
+. ③ y
=, y ’=3
122
3
()
ax bx x -++·(2ax +b ).
④ y =(sin x 2
)1
3
, y ’=
3
122
3
(sin )
x -·cos x 2
·2x
2⑤ y ＝ln(x
), y
1
2(1x +
1⑥ y ＝x 3lig 3x , y ’=3x 2·lig 3x +x 3·1x
lig 3e =3x 2lig 3x +x 2lig 3e =x 2lig 3(ex 3).
⑦ y =cos 5sin 2x
x
,
y ’=
2
2
(cos 5)'(sin 2)cos 5(sin 2)'
5sin 5sin 22cos 5co s 2(sin 2)
(sin 2)
x x x x x x x x
x x -?--=.
⑧ y =x n =ln ln ()x n n x e e =, y ’=ln 1n x e n x
??=n ·1
x
·x n =1n nx -.
说明：本例集中训练常见函数求导公式，导数的四则运算法则，复合函数的
求导法则等，这些要反复熟记· 例3．求函数
f (x )=22
()()0或x a x b a x b x a x b
?--?
<>?
≤≤的导数。
解析：f ’(x )= 2()()[()()]
或x a x b x b x a a x b x a x b
---+-??
<>?
≤≤,
∴ f ’(x )= 2()()(2)
或x a x b x a b a x b x a x b
----??
<>?
≤≤
例4．若f (x )=x ＋ln(x －5)，g (x )＝ln(x －1),解不等式f ’(x )>g ’(x ).
解析：f ’(x )=1+15
x -, g ’(x )=
11
x -, 由f ’(x )>g (x )，有 1+
15
x ->
11
x -, 即
2
(3)
0(5)(1)
x x x ->--,
∴ x >5或x <1.
又两函数定义域为x >5, 所以，不等式f ’(x )>g ’(x )的解集为(5，＋∞).
说明：求导数有关问题时还要注意原函数定义域． 例5．证明：可导奇函数的导数是偶函数。 解析： 法一：定义法：
设f (x )为可导奇函数，则f (－x )＝－f (x ),
∴ f ’(－x )=0
()()[()()]
lim
lim
x x f x x f x f x x f x x
x
?→?→-+?----?-=??
=0
()()
lim
x f x x f x x
?→-?--?=f ’(x ).
即f ’(－x )=f ’(x )．∴导函数为偶函数. 法二：复合函数求导法：
设f (x )为可导奇函数，则f (－x )＝－f (x )，两边对x 求导 得：[f (－x )]’=－f ’(x ) 即 －f ’(－x )＝－f ’( x ),
∴ f ’(－x )＝f ’(x )．∴ f ’(x )为偶函数，即命题成立． 同理可证：可导偶函数的导数是奇函数．
例6．石头落在平静水面上，产生同心波纹，若最外一圈波半径增大速度总是am /s ，问在b 秒末波扰动水面积的增大速度是多少？
解析：设b 秒末最外一圈波纹的半径为R ，则R =ab , ∴ S ＝πR 2，又 R ’＝a ， ∴ S ’|R =ab =2πR ·R ’(t )|R =ab =2πa 2b .
即b 秒末波扰动水面积的增大率为2πa 2b m 2/s .
例7．将水注入锥形容器中，其速度为4米3/分，设锥形容器的高为8米，顶口直径为6米，求当水深为5米时，水面上升的速度．(如图
)
解析：设注入水t 分钟后，水深为h 米， 由相似三角形对应过之比可得水面直径为
4
3h 米，
这时水的体积温V =3
1
π(8
3
h )2·h =
3
364
h
π，由于水面高度h 随时间t 而变化，因
此h 是t 的函数h ＝h (t )，由此可得水的体积关于时间t 的导数为V ’t ＝V ’h ·h ’t ，∴ V ’t =3
2
39(
)'''64
64
t t
h h h h ππ?=
?，
由假设，注水的速度为 4米3／分． ∴ Vt ’=
2
9'64
t
h h π?=4, 即h ’t =2
4649h
π?,
∴ 当h ＝5米时，水面上升的速度为h ’|h =5=
256225π
(米/分).
5．函数的单调性和极值
1．求函数y ＝e x －x ＋1的单调区间
解析：y ’=(e x －x +1)’=e x －1, 由e x －1>0得x >0，即函数在(0, +∞)上为增函数； 由e x －1<0得x <0，即函数在(－∞，0)上为减函数． ∴ 函数的单增区间为(0，＋∞)，单减区间为(－∞，0).
例2．证明：函数y (0，1)上单调递增，在区间(1，2)上单调递减．
解析：∵ y ’=
1x -,
当x ∈(0，1)时，y ’>0，∴ f (x )在(0，1)上递增； 当x ∈(1，2)时，y ’<0，∴ f (x )在(1，2)上递减． 例3．讨论函数y =x －2sin x 在(0，2π)内的单调性.
∵ y ’=1－2cos x , x ∈(0, 2π)，由y ’>0，得3
π 53 π, 即y =f (x )在( 3 π, 53 π)内是 单调递增；同理，由y ’<0，得0 3 π或 53 π ∴ y =f (x ) 在(0, 3 π)和( 53 π, 2π)内都是单调递减。 例4．设f (x )ax (a ＞0)，求a 的范围，使函数f (x )在(0，＋∞)上是单调函数． 解析：f ’(x x a ，当x ∈(0, +∞)时，x ∵ a ＞0，且f (x )在(0，＋∞)上是单调函数， 则必有f ’(x )<0，∴a ≥1. 即a ≥1时，函数f (x )在(0，＋∞)上是单调函数． 例5．已知函数f (x )＝lg(2)ax a -(a ＞0且a ≠1)在定义域(0，1)上是减函数，求a 的取值范围． 解析：∵ 定义域要求2－ax >0, x <2a , 又函数在(0, 1)上都有意义， ∴ 2a ≥1，∴ a ≤2, ∵ y ’=lg(2)lg(2) 1011ln log ()lg 22ax ax a a e a a a ax x a --?? ??-=?? -- ， 由 y ’<0，得lg 0lg 0 或2 20 a a x x a a ?> ? ?? -<->????， 若 0 ->0，则x > 2a >2与定义域x ∈(0, 1)矛盾， ∴ 只有a >1，此时lga >0, 2x a -<0, x <2a <2, ∴ 1 ln(1)1x x x x <+<+ 解析：设f (x )= ln(1)1x x x -++=1 1ln(1)1x x --++, 则 f ’(x )=22 11(1)1(1) x x x x -=-+++, 当x >0时，f ’(x ) =2 (1) x x - +<0, 即f (x )在(0，＋∞)上是递减函数， 又当x ＝0时，f (0)＝0．∴ f (x ) ln(1)1x x x -++<0, ∴ ln(1)1x x x <++. 令g (x )＝ln(1＋x )－x , g ’(x )＝1111x x x --= ++ 当x >0时，g ’(x ) 又当x ＝0时，g (x )＝0，∴ g (x ) ln(1)1x x x x <+<+ 例7．右图是函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的图象，试结合图形说明函数的极值情况： 解析：f ’(x )=3x 2+2x －5=(3x +5)(x －1), 令f ’(x )=0, 得x 1=－35 , x 2=1， ∴ x =－3 5 和x ＝1是f (x )可能的极值点， 又由图象可以看出，f (－3 5 )比它临近点的函数值大，f (1)比它临近点的函数 值要小， ∴ f (－35 )，f (1)分别是函数的极大值和极小值，除此之外，没有其它极值点． 例8．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，在x ＝1与x ＝－1处有极值，且f (1)＝－1 ，求 f (x )表达式. 解析：∵ f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，∴ f ’(x )=3ax 2+2bx +c , x ∈(－∞, +∞)， 由已加f (x )在x =一1与x ＝1时有极值． ∴ f ’(1)＝f ’(－1)＝0， 又f (1)＝－1， ∴ 3203201a b c a b c a b c ++=?? -+=??++=-? ，解得 a =2 1, b =0, c =－ 2 3. ∴ f (x )= 2 1x 3－ 2 3x . 例9．已知f (x )=x 2 ＋c ，且g (x )=f [f (x )]=f (x 2＋1)，设φ(x )＝g (x )－λf (x )，问：是否存在实数λ，使φ(x )在(－∞，－1)上是减函数，并且在(－1，0)上是增函数． 解析：由f [f (x )]＝f ( x 2＋1)得 (x 2＋c )2＋c ＝(x 2＋1)2＋1，得c ＝1， ∴ φ(x )＝g (x )－λf (x )＝x 4＋(2－λ)x 2＋(2－λ)是连续函数， φ’(x )＝2x (2x 2＋2－λ) 由φ(x )在(－∞，－1)上是减函数，且在(－1，0)上是增函数， ∴ φ’(x )|x =－1=φ’(－1)=0，∴ λ=4， 即存在实数λ＝4，使φ(x )满足条件． 说明：本题若用函数单调性定义太繁！ 6．函数的最大值和最小值 例1．求函数f (x )＝5x ＋ . 解析：由3040 x x +?? -?≥≥得f (x )的定义域为－3≤x ≤4，原问题转化为求f (x )在区 间[－3, 4]上的最值问题。 ∵ y ’＝f ’(x ) ＝5+ 在[－3，4]上f ’(x )＞0恒成立, ∴ f (x )在[－3，4]上单调递增． ∴ 当x ＝－3时y min ＝－15－7， 当x =4时y max =20＋27， ∴ 函数的值域为[－15－7，20＋27]. 例2．设32 2 3ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为 － 2 ,求a , b 的值。 解析：f ’(x )=3x 2－3ax =3x (x －a )，当x 变化时，f ’(x ), f (x )的变化情况列表如下： 当x =0时, f (x )取极大值b ，而f (0)>f (a )，f (－1) ∴ 需要比较f (0)与f (1)的大小， ∵ f (0)－f (1)＝ 23a －1>0，∴ f (x )的最大值为f (0)＝b －1， 又f (－1)－f (a )= 2 1 (a 3－3a －2)= 2 1(a +1)2(a －)<0， ∴ f (x )|min =f (－1)，∴ － 2 3a －1+b =－2 3a = － 2 , ∴ a = 3 ，b =1. 例3．若函数f (x )在[0，a ]上单调递增且可导，f (x )<0，f (x )是严格单调递增的，求 ()f x x 在(0，a ]上的最大值。 解析：2 ()'()() []'f x f x x f x x x ?-= ，∵ f (x )是严格单调递增的， ∴ f ’(x )>0，∵ f (x )<0，x >0，∴f ’(x )·x －f (x )>0， ∴ 2 ()'()() []'f x f x x f x x x ?-= >0，∴ ()f x x 在(0，a ]上是增函数。 ∴ ()f x x 在(0，a ]上最大值为 ()f a a ． 例4．设g (y )＝1－x 2 ＋4 xy 3 －y 4 在y ∈[－1，0]上最大值为f (x )，x ∈R ， ① 求f (x )表达式；② 求f (x )最大值。 解析：g ’(y )=－4y 2(y －3x ), y ∈[－1, 0]， 当x ≥0时，g ’(y )≥0，∴ g (y )在[－1, 0]上递增, ∴ f (x )=g (0)=1－x 2. 当－31 ∴ f (x )=g (3x )=1－x 2+27x 4. 当x ≤－31 时，g ’(y )，g (y )在[－1，0]上递减, ∴ f (x )=g (－1)=－x 2－4x , ∴ f (x )=2 24 2 1011270 3143x x x x x x x x ? ?-?? -+-< ?? ≥≤. ② 当x ≥0时，f (x )≤f (0)=1， 当x ∈(－31 ，0)时，f (x )=27[(x － 154 )2－ 2 154 ]+1 1)= 119 , 当x ≤－31时， f (x )＝－( x ＋2)2＋4≤f (－2)＝4, ∵ 1< 119 < 4，∴ f (x )|max ＝f (－2)＝4. 例5．设函数f ( x )＝3x 2+ 3 a x (x ∈(0，＋∞))，求正数a 的范围，使对任意的x ∈(0， ＋∞)，都有不等式f (x )＞20成立。 解析：f ’(x )＝6x － 4 3a x ，令f ’(x )=0得 x ＝1 5()2 a ， 当0 5()2 a 时，f ’(x )＜0，当x >1 5()2 a 时f ’(x )＞0， ∴ x ＝1 5()2 a 是唯一的极值点，是极小值点且是最小值点. 要使f (x )≥20恒成立，∴ f (x )|min ≥20, ∴ 1 2 2 5553 2 55 5 (())3()20 2 2 ()22 a a a f a a =?+ = ?≥, 解得a ≥64. 例6．圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大？ 解析：设圆柱的高为h ，底面半径为R ，则S =2πRh +2πR 2， ∴ h = 2 22S R R ππ-, ∴ V (R )＝S 底面·h = 2 2 2 2122 S R R SR R R ππππ-?= -, 由V ’(R )=0得 2 1S －3πR 2=0得S =6πR 2，∴ 6πR 2=2πRh +2πR 2，∴ h =2R ， 即当罐的高和底面直径相等时容积最大． 例7．已知三次函数f (x )=x (x －a )(x －b )，其中0＜a ＜b ． （1）设f (x )在x ＝s 及x =t 处取最值，其中s ＜t ，求证：0＜s ＜a ＜t ＜b ； （2）设A (s ，f (s ))，B (t ，f (t ))，求证：AB 中点C 在曲线y ＝f (x )上； （3）若a ＋b ＜22，求证：过原点且与曲线y ＝f (x )相切的两直线不可能垂直。 解析：（1）f ’(x )＝3x 2－2(a ＋b )x +ab ， 由f (x )在x ＝s 和x ＝t 处取最值，∴ s ，t 分别是方程f ’(x )＝0的两实根． ∵ f ’(0)=ab >0，f ’(a )＝3a 2－2(a ＋b )a +ab =a (a －b )<0， f ’(b )＝b 2－ab =b (b －a )>0，∴ f ’(x )＝0在(0，a )及(a ，b )内分别有一个实根， ∵ s （2）由s ，t 是方程f ’(x )＝0的两根．∴ 2()33a b s t ab st +? +=??? ?= ?? , ∴ f (s )+f (t )=3 42 ()()273 a b ab a b -++ +, ∵ 3211()()()()[()()]232732 s t a b f f a b ab a b f s f t ++==-+++=+, ∴ AB 的中点C ( 2 s t +，f ( 2 s t +))在曲线y =f (x )上. （3）过曲线上点(x 1，y 1)的切线方程为y －y 1=[3x 12－2(a ＋b )x 1+ab ](x －x 1), 由y 1=x 1(x 1－a )(x 1－b )且切线过原点． ∴ －x 1(x 1－a )(x 1－b )=－x 1[3x 12－2(a ＋b )x 1＋ab ], 当x 1=0时，切线的斜率为k 1=ab ， 当x 1= 2 a b +时，切线斜率为－ 4 1(a +b )2+ab ， ∵ a , b >0，a +b <22，∴ k 1k 2=[－4 1(a +b )2+ab ], Ab =(ab )2－ 4 1(a +b )2+ab >(ab )2－2ab =(ab －1)2－1≥－1 ∴ k 1k 2≠－1，即两切线不可能垂直。 函数与导数压轴题方法归纳与总结 题型与方法 题型一 切线问题 例1 (二轮复习资料p6例2) 归纳总结： 题型二 利用导数研究函数的单调性 例2 已知函数f (x )＝ln x －a x . (1)求f (x )的单调区间； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为3 2，求a 的值； (3)若f (x ) 归纳总结： 题型三 已知函数的单调性求参数的围 例 3.已知函数()1 ln sin g x x x θ=+?在[)1,+∞上为增函数， 且()0,θπ∈, ()1 ln ,m f x mx x m R x -=--∈ （1）求θ的值. （2）若[)()()1,f x g x -+∞在上为单调函数，求m 的取值围. 归纳总结： 题型四 已知不等式成立求参数的围 例4..设f (x )＝a x ＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3. (1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ； (3)如果对任意的s ，t ∈????12，2都有f (s )≥g (t )成立，数a 的取值围. 归纳总结： 跟踪1.已知()ln 1 m f x n x x =++（m,n 为常数）在x=1处的切线为x+y －2=0（10月重点高中联考第22题） （1） 求y=f(x)的单调区间； （2） 若任意实数x ∈1,1e ?? ???? ，使得对任意的t ∈[1,2]上恒有32()2f x t t at ≥--成立，数a 的取值围。 跟踪2. 设f (x )＝－13x 3＋12 x 2＋2ax .（加强版练习题） (1)若f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间，求a 的取值围； (2)当0 a - a (- ),( , +∞) 单调递增， 在 (- （ 2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 含参数的分类讨论 例1 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 12 x ，导函数为 f '( x) ， （1）求函数 f ( x ) 的单调区间； （2）若 f '(1)= -6, 求函数f ( x ) 在[—1，3]上的最大值和最小值。 【答案】略 【解析】（I ） f '( x ) = 3ax 2 - 12 = 3(ax 2 - 4) ，（下面要解不等式 3(ax 2 - 4) > 0 ，到了分类讨论的时机，分 类标准是零） 当 a ≤ 0时, f '( x ) < 0, f ( x )在(-∞, +∞) 单调递减； 当 a > 0时,当x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化如下表： x (-∞, - 2 ) 2 2 2 , ) a a 2 a ( 2 a , +∞) f '( x ) + 0 — + f ( x ) 极大值 极小值 此时， f ( x )在(-∞, - 2 2 6 a 2 2 , ) 单调递减； a a （II ）由 f '(1) = 3a -12 = -6, 得a = 2. 由（I ）知， f ( x )在(-1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。 【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底 【思维点拨】分类讨论的难度是两个， 1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理， 由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不 重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。 题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例 1 已知函数 f ( x) = 1 3 x 3 + x 2 + ax - 5 ， 若函数在[1,+∞) 上是单调增函数，求 a 的取值范围 导数在研究函数中的应用 【自主归纳，自我查验】 一、自主归纳 1．利用导函数判断函数单调性问题 函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若____ ___，则f(x)在这个区间上是增加的． (2)若____ ___，则f(x)在这个区间上是减少的． (3)若_____ __，则f(x)在这个区间内是常数．2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f′(x)． (2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0. (3)根据结果确定f(x)的单调区间． 3．函数的极大值 在包含 x的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值 都_____ x点的函数值，称点0x为函数y＝f(x)的极大值点，其函数 值f( x)为函数的极大值． 4．函数的极小值 在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都_____ x点的函数值，称点0x x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数 值f( x)为函数的极小值．极大值与极小值统称为_______，极大值 点与极小值点统称为极值点． 5．函数的最值与导数 1．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值点 x指的是：函数在这个区间上 所有点的函数值都_________f( x)． 2．函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值点 x指的是：函数在这个区间上 所有点的函数值都_________f( x)． 二、自我查验 1．函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为() A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R 2．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________． 3.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x) 在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a， b)内有极小值点() A．1个B．2个 C．3个D．4个 4．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于() A．2 B．3 C．4 D．5 5.函数ln x =的最大值为（） y x A．1e-B．e C．2e D．10 3 【典型例题】 考点一利用导数研究函数的单调性 【例1】(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围． 函数与导数 1．映射：注意①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性； ⑤换元法；⑥利用均值不等式；⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ①若f(x)的定义域为〔a，b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意：外函数的定义域是内函数的值域。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； ⑵是奇函数； ⑶是偶函数； ⑷奇函数在原点有定义，则； ⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； （6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①在区间上是增函数当时有； ②在区间上是减函数当时有； ⑵单调性的判定 1 定义法： 注意：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； ②导数法（见导数部分）； ③复合函数法（见2 （2））； ④图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性 (1)周期性的定义： 对定义域内的任意，若有（其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周（2）三角函数的周期： ⑶函数周期的判定 ①定义法（试值）②图像法③公式法（利用（2）中结论） ⑷与周期有关的结论 导数题型分析及解题方法 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1． 32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2) ()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ； 3．函数331x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程 1．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0） 3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --= 4．求下列直线的方程： （1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线； 解：（1） 123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P 所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则200x y =①又函数的导数为x y 2/=， 所以过 ),(00y x A 点的切线的斜率为0/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有35 2000--=x y x ②，由①②联立方程组得，??????====255 110000y x y x 或，即切点为（1， 1）时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 1．已知函数 ))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 解：（1）由 .23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得 过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为： ).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即 而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上 ① 集合与函数、导数部分易错题分析 1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2．你会用补集的思想解决有关问题吗？ 3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？ [问题]:{}1|2-=x y x 、{ }1|2-=x y y 、{}1|),(2-=x y y x 的区别是什么？ 4．绝对值不等式的解法及其几何意义是什么？ 5．解一元一次不等式（组）的基本步骤是什么？ [问题]:如何解不等式：()0122>--b x a ？ 6．三个二次（哪三个二次？）的关系及应用掌握了吗？如何利用二次函数求最值？注意到对二次项系数及对 称轴进行讨论了吗？ 7．简单命题与复合命题有什么区别？四种命题之间的相互关系是什么？如何判断充分与必要条件？ [问题]：请举例说明“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 什么是映射、什么是一一映射？ [问题]：已知：A={1，2，3}，B={1，2，3}，那么可以作 个A 到B 上的映射，那么可以作 个 A 到 B 上的一一映射. 9．函数的表示方法有哪一些？如何判断函数的单调性、周期性、奇偶性？单调性、周期性、奇偶性在函数的 图象上如何反应？什么样的函数有反函数？如何求反函数？互为反函数的图象间有什么关系？求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，你注明函数的定义域了吗？ [问题]：已知函数()[],9,1,2log 3∈+=x x x f 求函数()[]() 22x f x f y +=的单调递增区间.（你处理函数问题是是否将定义域放在首位） [问题]：已知函数()()的函数x g y x x x f =-+=,132图象与()11+=-x f y 的图象关于直线()的值对称，求11g x y =. 10、如何正确表示分数指数幂？指数、对数的运算性质是什么？ 11、你熟练地掌握了指数函数和对数函数的图象与性质吗? [问题]：已知函数()[)+∞∈=,3log x x x f a 在上，恒有()1>x f ，则实数的a 取值范围是： 。 12．你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗？（定义法、导数法） 13．如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小；②解抽象函数不等式；③求参数的范围（恒 成立问题）.这几种基本应用你掌握了吗？ [问题]：写出函数)0()(>+=m x m x x f 的图象及单调区间.],[d c x ∈时,求函数的最值.这种求函数的最值的方法与利用均值不等式求函数的最值的联系是什么？ [问题]：证明“函数)(x f 的图象关于直线a x =对称”与证明“函数)(x f 与函数)(x g 的图象关于直线a x =对称”有什么不同吗？ 例题讲解 1、忽略φ的存在： 例题1、已知A ={x|121m x m +≤≤-}，B ={x|25x -≤≤}，若A ?B ，求实数m 的取值范围． 【错解】A ?B ?? ?≤-+≤-?5 1212m m ，解得：33≤≤m － 【分析】忽略A =φ的情况. 导数的综合应用 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．（06江西卷）对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1) f ' (x ) ≥0，则必有（ C ） A ． f (0)＋f (2)<2f (1) B. f (0)＋f (2) ≤2f (1) C. f (0)＋f (2) ≥2f (1) D. f (0)＋f (2) >2f (1) 解：依题意，当x ≥1时，f ' (x )≥0，函数f (x )在（1，＋∞）上是增函数；当x <1时，f ' (x )≤0，f (x )在（－∞， 1）上是减函数，故f (x )当x ＝1时取得最小值，即有f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，故选C 2．（06全国II ）过点（－1，0）作抛物线y=x 2+x +1的切线，则其中一条切线为 （A ）2x+y +2=0 （B ）3x-y +3=0 （C ）x+y+1=0 （D ）x-y+1=0 解：y '=2x +1，设切点坐标为(x 0,y 0)，则切线的斜率为2x 0+1，且y 0=x 02+x 0+1 于是切线方程为y -(x 02+x 0+1)=(2x 0+1)(x-x 0)，因为点（－1，0）在切线上，可解得 x 0＝0或－4，代入可验正D 正确。选D 3.（06四川卷）曲线y =4x-x 3在点(-1,-3)处的切线方程是D （A ）y=7x+4 （B ）y=7x+2 （C ）y=x-4 （D ）y=x-2 解：曲线y =4x-x 3，导数y '=4-3x 2，在点(-1,-3)处的切线的斜率为k=1，所以切线方程是y=x-2，选D. 4.（06天津卷）函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个 解析：函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A. 5.（浙江卷）f (x )=x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是 (A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 解：f ' (x )=3x 2-6x =3x (x -2)，令f ' (x )=0可得x ＝0或2（2舍去），当－1≤x <0时，f ' (x )>0，当0 第二课时 导数在函数中的应用 【学习目标】 1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用； 2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。 3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 【重点难点】 ①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。 【高考要求】B 级 【自主学习】1． 函数的单调性 ⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则)(x f 为 .（逆命题不成立） (2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f . 注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数)(x f 的 ； ② 求)(x f '，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； ③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间； ④ 确定)(x f '在各小开区间内的 ，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性. 2．可导函数的极值 ⑴ 极值的概念：设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有 （或 ），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点. ⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '； 高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1 x －a . 若a≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈? ???? 0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈? ?? ?? 1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ? ?? ??1a ＝ln 1 a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ?? 1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性. 导数在经济分析中的应用 一、 边际分析与弹性分析 1、边际分析 例1 某小型机械厂主要生产某种机器配件，其最大生产能力为每日100件，假设日产品的成本C （元）是日产量x （件）的函数 求：（1）日产量为75件时的成本和平均成本； （2）当日产量由75件提高到90件时，成本的平均增量； （3）当日产量为75件时的平均成本。 例 2 设某糕点厂生产某种糕点的成本函数和收入函数分别是2()10020.02C x x x =++和2()70.01.R x x x =+ 求边际利润函数和当日产量分别为200公斤、250公斤和300公斤时的边际利润，并说明其经济意义。 2、弹性 例3 某日用消费品的需求量Q （件）与单价p （元）的函数关系为 求：（1）需求的价格弹性函数； （2）当单价为4元，5元时的需求弹性。 二、函数最值在经济中的应用 1、平均成本最小 例4 某工厂生产产量为x （件）时，生产成本函数（元）为 问该厂生产多少件产品时，平均成本达到最小？并求出最小平均成本和边际成本. 2、最大利润 例5 某商家销售某种商品的价格满足关系70.2(/)p x =-万元吨，且x 为销售量（单位：吨），该商品的成本函数为()31C x x =+（万元）。 （1） 若每销售1吨商品政府要征税t （万元），求该商家获得最大利润时的销售量； （2） t 为何值时，政府税收总额最大。 3、最佳批量和批数 例6 某厂年需某种零件8000个，需分期分批外购，然后均匀投入使用（此时平均库存量为批量的一半）。若每次订货的手续费为40元，每个零件的库存费为4元。试求最经济的订货批量和进货批数。 4、最佳时间决策 例7 某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在（假定0t =）就出售，售价为0R 元. 如果窖藏起 来待将来按陈酒价格出售（假设不计储藏费），那未来收入就是时间t 的函数0R R =设资金的贴现率为r ，并以连续复利计息，为使收入的现值最大，应在何时出售这批酒？ 习题函数与导数压轴题方法归纳与总结
2020年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练
导数在研究函数中的应用(含标准答案)
函数与导数知识点总结
高中数学高考导数题型分析及解题方法(下载)[1]
高三数学培优补差辅导专题讲座-集合、函数与导数单元易错题分析与练习p
导数的综合应用
导数在函数中的应用
高中数学函数与导数常考题型归纳
导数在经济分析中的应用
导数中的易错题