MATLAB-最优截断切割问题

建模案例：最优截断切割问题

一、 问 题

从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6 次截断切割.设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍.且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.试设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少.

二、 假 设

１、假设水平切割单位面积的费用为r ，垂直切割单位面积费用为1；

２、当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，调整刀具需额外费用e ；

３、第一次切割前，刀具已经调整完毕，即第一次垂直切割不加入刀具调整费用；

4 、每个待加工长方体都必须经过6次截断切割.

三、 模型的建立与求解

设待加工长方体的左右面、前后面、上下面间的距离分别为 a0、b0 、c0 ，六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下，将它们相应编号为M1、M2、M3、M4、M5、M6，这六个面与待加工长方体相应外侧面的边距分别为 u1、u2、u3、u4、u5、u6.这样，一种切割方式就是六个切割面的一个排列，共有P 66720=

种切割方式.当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则：两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工.

由此准则,只需考虑 P 66

22290!!!??=种切割方式.即在求最少加工费用时，

只需在90个满足准则的切割序列中考虑.不失一般性，设u1≥u2，u3≥u4，u5≥u6，故只考虑M1在M2前、M3在M4前、M5在M6前的切割方式.

1、 e=0 的情况

为简单起见,先考虑e=0 的情况.构造如图9-13的一个有向赋权网络图G(V,E).为了表示切割过程的有向性，在网络图上加上坐标轴x，y，z.

图9-13 G(V,E)

图G(V,E)的含义为：

(1)空间网络图中每个结点Vi(xi,yi,zi)表示被切割石材所处的一个状态.顶点坐标xi、yi、zi分别代表石材在左右、前后、上下方向上已被切割的刀数.例如：V24(2,1,2) 表示石材在左右方向上已被切割两刀，前后方向上已被切一刀，上下方向上已被切两刀，即面M1、M2、M3、M5、M6均已被切割.顶点V1(0,0,0) 表示石材的最初待加工状态，顶点V27(2,2,2)表示石材加工完成后的状态.

(2)G的弧（Vi,Vj）表示石材被切割的一个过程，若长方体能从状态Vi经一次切割变为状态Vj，即当且仅当xi+yi+zi+1=xj+yj+zj时，Vi(xi,yi,zi)到Vj(xj,yj,zj)有弧(Vi,Vj)，相应弧上的权W(Vi,Vj)即为这一切割过程的费用.

W(Vi,Vj)=(xj-xi)?(bi?ci)+(yj-yi)?(ai?ci)+(zj-zi)?(ai?bi)?r

其中，ai、bi、ci分别代表在状态Vi时，长方体的左右面、上下面、前后面之间的距离.

例如，状态V5（1，1，0），a5 = a0-u1,b5 = b0-u3,c5 = c0;状态V6（2，1，0）W(V5，V6) ＝（b0-u3)?c0

(3)根据准则知第一刀有三种选择，即第一刀应切M1、M3、M5中的某个面，在图中分别对应的弧为( V1,V2)，(V1,V4)，(V1,V10). 图G中从V1到V27的任意一条有向道路代表一种切割方式.从V1到V27共有90条有向道路，对应着所考虑的90种切割方式.V1到V27的最短路即为最少加工费用，该有向道路即对应所求的最优切割方式.

实例：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、145、19 和3、2、4，两者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9，则边距如下表：u1 u2 u3 u4 u5 u6

6 1

7 55 6 9

r=1时，求得最短路为V1－V10－V13－V22－V23－V26－V27，其权为374 对应的最优切割排列为M5－M3－M6－M1－M4－M2，费用为374元.

2、e≠0的情况

当e 0时，即当先后两次垂直切割的平面不平行时，需加调刀费e.希望在图9-13的网络图中某些边增加权来实现此费用增加.在所有切割序列中，四个垂直面的切割顺序只有三种可能情况：

<情况一>先切一对平行面，再切另外一对平行面，总费用比e=0时的费用增加e.

<情况二>先切一个，再切一对平行面，最后割剩余的一个，总费用比e=0时的费用增加2e.

<情况三>切割面是两两相互垂直，总费用比e=0时的费用增加3e.

在所考虑的90种切割序列中，上述三种情况下垂直切割面的排列情形，及在图G中对应有向路的必经点如下表：

我们希望通过在图9-13的网络图中的某些边上增加权来进行调刀费用增加的计算，但由于网络图中的某些边是多种切割序列所公用的.对于某一种切割序列，需要在此边上增加权e，但对于另外一种切割序列，就有可能不需要在此边上增加权e，这样我们就不能直接利用图9-13的网络图进行边加权这种方法来求出最短路径.

由上表可以看出，三种情况的情形（一）有公共点集{(2,1,z)|z=0,1,2}，情形（二）有公共点集{(1,2,z)|z=0,1,2}.且情形（一）的有向路决不通过情形（二）的

公共点集，情形（二）的有向路也不通过情形（一）的公共点集.所以可判断出这两部分是独立的、互补的.如果我们在图G中分别去掉点集{(1,2,z)|z=0,1,2}和{(2,1,z)|z=0,1,2}及与之相关联的入弧，就形成两个新的网络图，如图Ｈ1和Ｈ2.这两个网络图具有互补性.对于一个问题来说，最短路线必存在于它们中的某一个中.

由于调整垂直刀具为3次时，总费用需增加3e，故我们先安排这种情况的权增加值e，每次转刀时，给其待切弧上的权增加e.增加e的情况如图9-14中所示.再来判断是否满足调整垂直刀具为二次、一次时的情况，我们发现所增加的权满足另外两类切割序列.

综合上述分析，我们将原网络图G分解为两个网络图Ｈ1和Ｈ2，并在指定边上的权增加e，然后分别求出图Ｈ1和Ｈ2中从V1到V27的最短路，最短路的权分别为：d1,d2.则得出整体的最少费用为：d = min(d1,d2) ，最优切割序列即为其对应的最短路径.

实例：r=15,e=2时，求得图G1与G2的最短路为G2的路V1－V4－V5－V14－V17－V26－V27，权为4435，对应的最优切割序列为M3－M1－M6－M4－M5－M2，最优费用为4435.

图9-14 H1

图9-15 H2

数学建模 截断切割.

数学建模 截断切割问题 学号：1443205000041 姓名：杨德升 学号：1443205000108 姓名：李春红 学号：1443205000088 姓名：杨建明

问题描述： 某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6次截断切割。 设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍，且当先后两次垂直切割的平面(不管它们之间是否穿插水平切割)不平行时，因调整刀具需额外费用e。 试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。（由工艺要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的）详细要求如下： 1、需考虑的不同切割方式的总数。 2、给出上述问题的数学模型和求解方法。 3、试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。 4、对于e=0 5、用以下实例数据验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、14.5、19和3、2、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为 6、 7、9（单位均为厘米）。垂直切割费用为每平方厘米1元，r和e的数据有以下4组： a r = 1 e = 0; b r = 1.5 e = 0; c r = 8 e = 0; d r = 1.5 2<= e<=15; 对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。 解： （1）对于计算不同的切割方式总数，经过分析，能够用排列组合的知识来解决这个问题。我们对分别位于前、后、左、右、上、下的切割面进行编号，其相应的编号分别为1M，2M，M3，M4，M5，M6，然而每一种切割方式都是对这6个切割面的一个排列方式，所以总共就6！=720种排列方式。但是相继切割一对平行面时，交换切割次序，不影响切割费用，把费用相同的一项归到一类，最终的切割总数为： 720-3x5!+3x4!-3!=426种 (2)(3)(4)(5) 符号说明： a0,b0,c0分别表示待加工长方体的长、宽、高。 a,b,c分别表示成品长方体的长、宽、高。 1M、2M、3M、4M、5M、6M表示左、右、前、后、上、下， 1u,2u,3u,4u,5u,6u分别表示待加工长方体与成品长方体。 有向图顶点是vi，坐标为（xi,y i,z i），xi,y i,z i分别代表侧面（左右面）、正(前后面）、水平面（上下面）的切割次数。其中xi,y i,z i都在{0.1.2}中取值。a i,bi,c i

数学建模经典案例：最优截断切割问题复习进程

数学建模经典案例：最优截断切割问题

建模案例：最优截断切割问题 一、 问 题 从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6 次截断切割.设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍.且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.试设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少. 二、 假 设 １、假设水平切割单位面积的费用为r ，垂直切割单位面积费用为1； ２、当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，调整刀具需额外费用e ； ３、第一次切割前，刀具已经调整完毕，即第一次垂直切割不加入刀具调整费用； 4 、每个待加工长方体都必须经过6次截断切割. 三、 模型的建立与求解 设待加工长方体的左右面、前后面、上下面间的距离分别为 a0、b0 、c0 ，六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下，将它们相应编号为M1、M2、M3、M4、M5、M6，这六个面与待加工长方体相应外侧面的边距分别为 u1、u2、u3、u4、u5、u6.这样，一种切割方式就是六个切割面的一个排列，共有P 66720= 种切割方式.当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则：两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工. 由此准则,只需考虑 P 6622290!!! ??=种切割方式.即在求最少加工费用时，只 需在90个满足准则的切割序列中考虑.不失一般性，设u1≥u2，u3≥u4，u5≥u6，故只考虑M1在M2前、M3在M4前、M5在M6前的切割方式.

97b截断切割 参考答案

1997年B题截断切割 B题截断切割 某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长主体的对应表面是平行的）通常要经过6次截断切割。 设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍，且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e. 试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。（由工艺要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的）详细要求如下： 1、需考虑的不同切割方式的总数 2、给出上述问题的数学模型和求解方法。 1、试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。 2、对于e=0的情形有无简明的优化准则。 3、用以下实例验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、14.5、 19和3、2、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。 垂直切割费用为每平方厘米1元，r和e的数据有以下4组： a.r=1 e=0 ; b.r=1.5 e=0 ; c.r=8 ,e=0 ; d.r=1.5;2≤e≤15 对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。 B题截断切割 （1）需考虑的不同切割方式的总数 V中共有6!=720个不同的元素，因此有720种不同的切割方式，注意到相继二次切割一对平行的平面时，交换这二次切割的先后次序不影响对应切割方式的费用，将费用相同的切割方式归成一类，每类取一种切割方式作为代表，此时仅需考虑加工费用可能不同的切割方式426种。 （2）问题归结为求一个定义在6个切割面排列次序的全体或它的一个子集上的函数的最小值。目标函数应尽量用显式写出。求解可用枚举法，分支定界法或其它方法，从尽可能简便有效作为评价标准： （3）一种作法如下： 在直角坐标系中，表面平行于坐标平面的长方体可表示为{（x,y,z）,(a,b,c)},其中（x,y,z）为长方体某指定角点的坐标，a,b,c分别为它的长、宽、高。 设原材料长方体（简称母体）知成品长方体（简称子体）的长、宽、高分另为（a0,b0,c0）和（a,b,c）；取母体正前方左下角为原点，取长、宽、高方向为x.y,z轴，建立直角坐标系；设子体正前方左下角坐标为（x e,y e,z e）,6个切割平面分别为：x=x e,x=x e+a,y=y e y=y e+b,z=z e z=z e+c我们依次用1-6分别标记这6种切割。 对于一种给定的切割方式，i1i2i3 i4 i5 i6, i j∈{1,2,3,4,5,6},i j≠i k(j≠k j,k=1,2,3,4,5,6)可以用递推方法决定其加工费用，设第k次切割前的加工长方体为{（x k-1,y k-1,z k-1）,(a k-1,b k-1c k-1)},i k决定了加工后的长方体{（x k,y k,z k）,(a k,b k,c k)};由i k和i k-j(k-j>0,j=1,2,3)完全决定了k次切割的费用e k，例如：设i k=1(此时x k-1≠x e),{(x k,y k,z k),(a k,b k,c k)}={(x e,y k-1,z k-1),(a k-x e,b k-1,c k-1)}而e k=b k-1,c k-1+f k,其中

截断切割问题论文

截断切割问题论文 Prepared on 22 November 2020

题 目 截断切割问题 摘要 本文研究了实际生产过程中的截断切割问题，求出最优的切割顺序，使得在对待加工的长方体进行切割时，能够花费最少的切割费，得到最大的收益。 根据题中所给的数据，我们发现不同的切割顺序所花费的切割费用是不一样的，所以我们建立模型，通过图论来对其进行求解。 首先，我们建立了一个三维的有向赋权网络图，假设图中的弧表示长方体的切割过程，图中的定点表示长方体切割后所处的状态，并对弧权进行赋值，弧权值表示在切割过程中所花费的切割费用。 然后通过求最短路径来求出最少的切割费用。我们利用Lingo 软件得出了如下答 案： 当1,0r e ==时，最少加工费用为：374元；切割次序为： 1101322232627------，也就是按照615324M M M M M M -----的顺序切割。 当 1.5,0r e ==时，最少加工费用为：437.5元；切割次序为： 141314172627------，也就是按照163254M M M M M M -----的顺序切割。 当8,0r e ==时，最少加工费用为：540.5元；切割次序为： 1458171827------，也就是按照132645M M M M M M -----的顺序切割。（当1.5,215r e =≤≤时，答案较为复杂，请见正文） 并且，我们提出了最简明的优化准则，即为“每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。”当0e =时的情况下，对长方体进行截断切割时，就能够遵循这条准则对其进行切割，花费最小的切割费。 关键词：截断切割 最优化模型 图论 一、问题重述 某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6次截断切割。 设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍，且当先后两次垂直切割的平面(不管它们之间是否穿插水平切割)不平行时，因调整刀具需额外费用e 。 试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。（由工艺要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的）详细要求如下： 1、需考虑的不同切割方式的总数。 2、给出上述问题的数学模型和求解方法。 3、试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。 4、对于0e =的情形有无简明的优化准则。 5、用以下实例数据验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为 10、、19和3、2、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。垂直切割费用为每平方厘米1元，r 和e 的数据有以下4组： 对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。

数学建模经典案例：最优截断切割问题

建模案例：最优截断切割问题 一、 问 题 从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过 6 次截断切割.设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍.且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用 e.试设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少. 二、 假 设 １、假设水平切割单位面积的费用为r ，垂直切割单位面积费用为1； ２、当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，调整刀具需额外费用e ； ３、第一次切割前，刀具已经调整完毕，即第一次垂直切割不加入刀具调整费用； 4 、每个待加工长方体都必须经过6次截断切割. 三、 模型的建立与求解 设待加工长方体的左右面、前后面、上下面间的距离分别为 a0、b0 、c0 ，六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下，将它们相应编号为M1、M2、M3、M4、M5、M6，这六个面与待加工长方体相应外侧面的边距分别为 u1、u2、u3、u4、u5、u6.这样，一种切割方式就是六个切割面的一个排列，共有P 66720= 种切割方式.当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则：两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工. 由此准则,只需考虑 P 6622290!!! ??=种切割方式.即在求最少加工费用时， 只需在90个满足准则的切割序列中考虑.不失一般性，设u1≥u2，u3≥u4，u5≥u6，故只考虑M1在M2前、M3在M4前、M5在M6前的切割方式. 1、 e=0 的情况

数学建模截断切割的优化设计

工业中截断切割的优化设计 一摘要 本文讨论了加工业中截断切割的优化排序策略我们对于不同的切割 方式总数用穷举法得到720 种所可行解及其费用并对于原问题建立了决策 并对所给出的算法进行了分析和检验 1.当e=0时我归纳出解决问题的最优法则, 从而提出了将面间距统一成判断权重来作为排 序准则的算法,同时证明 了e = 0 的情况下根据这种最优准则能够实现题目所要求的优化目标 2.对于e 1 0 时我们提出了实用准则 最后我结合实际问题将本问题进行了拓展讨论了当最终产品(成品) 在毛坯(待加工长方体)中位置不预定时应如何实施加工方案以达到节省费用 和节约资源的目的,使我们的方案适用于更为广阔的领域 二问题的重述、 在工业生产中，常需要采取将物理一分为二的截断切割方式从一块长方体材料中切出一个小长方体，其加工费用取决于水平切割和垂直切割的截面面积，以及调整刀具时的额外费用。对本题所给出的问题我们首先面临的对加工次序的排序策略然后我们考虑当毛坯和产品位置不预定的时候如何采取策略以达到我们的优化目的 问题： 1> 需考虑的不同切割方式的总数。 2> 给出上述问题的数学模型和求解方法。 3> 试对某部门用的如下准则做出评价，每次选择一个加工费用最少的切割面进行切割。 4> 对于e=0 的情况有无简明的优化准则。 5> 用以下实例验证你的方法： 待加工长方体和成品长方体的长，宽，高分别为10，14.5,19 和3,2,4,两者左侧面，正面，底面之间的距离分别为6,7,5(单位为厘米，垂直切割费用为每平方厘米1 元，r 和e 的数据有 4 组： 1) r=1,e=0; 2) r=1.5,e=0; 3) r=8,e=0; 4) r=1.5, 2 ￡ e ￡15 ; 三模型的假设和符号说明 1 切割刀具为两个一个水平放置一个为垂直放置 2 目标长方体所在位置不与毛坯任一表面重合 3 水平方向只需平行移动水平刀具垂直方向只平行移动或调整后再平行 移动刀具因此调整费用e 是否付出仅取决于先后两次垂直切割是否平行而 不记是否穿插着水平切割 4毛坯与工作台接触的底面是事先指定的

数学建模 截断切割的优化设计之令狐文艳创作

工业中截断切割的优化设计 令狐文艳 一摘要 本文讨论了加工业中截断切割的优化排序策略我们对于不同的切割 方式总数用穷举法得到720 种所可行解及其费用并对于原问题建立了决策 并对所给出的算法进行了分析和检验 1.当e=0时我归纳出解决问题的最优法则, 从而提出了将面间 距统一成判断权重来作为排序准则的算法,同时证明 了 e = 0 的情况下根据这种最优准则能够实现题目所要求的优化目标 2.对于e 10 时我们提出了实用准则 最后我结合实际问题将本问题进行了拓展讨论了当最终产品(成品) 在毛坯(待加工长方体)中位置不预定时应如何实施加工方案以达到节省费用 和节约资源的目的,使我们的方案适用于更为广阔的领域 二问题的重述、 在工业生产中，常需要采取将物理一分为二的截断切割方式从一块长方体材料中切出一个小长方体，其加工费用取决于水平切割和垂直切割的截面面积，以及调整刀具时的额外费用。对

本题所给出的问题我们首先面临的对加工次序的排序策略然后我们考虑当毛坯和产品位置不预定的时候如何采取策略以达到我们的优化目的 问题： 1> 需考虑的不同切割方式的总数。 2> 给出上述问题的数学模型和求解方法。 3> 试对某部门用的如下准则做出评价，每次选择一个加工费用最少的切割面进行切割。 4> 对于 e=0 的情况有无简明的优化准则。 5> 用以下实例验证你的方法： 待加工长方体和成品长方体的长，宽，高分别为10，14.5,19 和3,2,4,两者左侧面，正面， 底面之间的距离分别为6,7,5(单位为厘米，垂直切割费用为每平方厘米1 元，r 和e 的数据有 4 组： 1) r=1,e=0; 2) r=1.5,e=0; 3) r=8,e=0; 4) r=1.5, 2 ￡e ￡15 ; 三模型的假设和符号说明 1 切割刀具为两个一个水平放置一个为垂直放置 2 目标长方体所在位置不与毛坯任一表面重合 3水平方向只需平行移动水平刀具垂直方向只平行移动或调整

截断切割的优化设计

长方 摘要 本篇论文着重讨论了长方体截断切割的最优排序策略，用排列组合得到720 种所可行解及其费用并对于原问题建立了决策并对所给出的算法进行了分析和检验。当E=3时我归纳出解决问题的最优法则, 从而提出了将面间距统一成判断权重来作为排序准则的算法, 最后我结合实际问题将本问题进行了拓展讨论了当最终产品(成品)在毛坯(待加工长方体)中位置不预定时应如何实施加工方案以达到节省费用和节约资源的目的,使我们的方案适用于更为广阔的领域 关键字:权重、捆绑法、排列组合、最小路径

一、问题的重述与分析 在日常的工业生产中，工人师傅会常常采取一分为二的截断切割方式从一块长方体材料中切出一个小长方体，其加工总费用与水平切割、垂直切割的截面面积、调整刀具时的额外费用e以及切割面的排列顺序。通常要经过6 次截断切割完成.水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍.先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e. 对于本问题我们首先面临的是各面加工次序的排列问题和我们当考虑到原成品和成品的位置不确定的时候我们如何采取策略来达到最优的切割方式 二、模型假设 1、机器切割与刀具无任何误差 2、人为操作（换刀，位置摆放等）完全正确 3、金属不会因为加工过程中环境因素而发生微小的变形 4、目标长方体所在位置与原成品任一表面不重合 5、切割刀具为一个且水平放置 6、水平方向只需平行移动水平刀具或调整后平行移动 三、符号说明 A，B，C分别表示原长方体的长、宽、高，单位：cm a，b，c分别表示目标长方体的长、宽、高，单位：cm 毛坯的左表面右表面前表面后表面上表面下 表面最终产品的左表面右表面前表面后表面上表面 下表面（为方便做题，分别记为253614） r 水平切割单位面积费用与垂直切割单位面积费用之比 e 调整一次垂直刀具的额外费用 p 垂直切割单位面积费用 ti 加工过程中的第i 刀切割第ti 个面 wi 第i 次切割的切割费用单位:元 vi 第i 次切割被切割掉部分的面积单位:平方厘米 di 最终产品与毛坯的对应表面的距离i = 1,2,，，，6 其它变量如果出现则在使用时另行说明

2021年数学建模 截断切割的优化设计

工业中截断切割的优化设计 欧阳光明（2021.03.07） 一摘要 本文讨论了加工业中截断切割的优化排序策略我们对于不同的切割方式总数用穷举法得到720 种所可行解及其费用并对于原问题建立了决策 并对所给出的算法进行了分析和检验 1.当e=0时我归纳出解决问题的最优法则, 从而提出了将面间距统 一成判断权重来作为排序准则的算法,同时证明 了 e = 0 的情况下根据这种最优准则能够实现题目所要求的优化目标 2.对于e 10 时我们提出了实用准则 最后我结合实际问题将本问题进行了拓展讨论了当最终产品(成品)在毛坯(待加工长方体)中位置不预定时应如何实施加工方案以达到节省费用 和节约资源的目的,使我们的方案适用于更为广阔的领域 二问题的重述、 在工业生产中，常需要采取将物理一分为二的截断切割方式从一块长方体材料中切出一个小长方体，其加工费用取决于水平切割和垂直切割的截面面积，以及调整刀具时的额外费用。对本题所给出的

问题我们首先面临的对加工次序的排序策略然后我们考虑当毛坯和产品位置不预定的时候如何采取策略以达到我们的优化目的 问题： 1> 需考虑的不同切割方式的总数。 2> 给出上述问题的数学模型和求解方法。 3> 试对某部门用的如下准则做出评价，每次选择一个加工费用最少的切割面进行切割。 4> 对于 e=0 的情况有无简明的优化准则。 5> 用以下实例验证你的方法： 待加工长方体和成品长方体的长，宽，高分别为10，14.5,19 和3,2,4,两者左侧面，正面， 底面之间的距离分别为6,7,5(单位为厘米，垂直切割费用为每平方厘米1 元，r 和e 的数据有 4 组： 1) r=1,e=0; 2) r=1.5,e=0; 3) r=8,e=0; 4) r=1.5, 2 ￡e ￡15 ; 三模型的假设和符号说明 1 切割刀具为两个一个水平放置一个为垂直放置 2 目标长方体所在位置不与毛坯任一表面重合 3水平方向只需平行移动水平刀具垂直方向只平行移动或调整后再平行

最优截断切割问题

B题截断切割 组号：14

截断切割 摘要 本文讨论的问题是实际生产加工中的截断切割问题，研究了采用何种切割顺序能使得材料切割所用费用最省。根据题中条件，待加工材料和成品均为长方体，且不同的加工顺序使得材料切割费用不同，我们考虑了将三维直角坐标系与有向图相结合的方式构造模型。本文构造的有向图是三维形式的，有向图的顶点坐标（x ，y ，z ）分别代表侧面（左右面）、正面（前后面）、水平面（上下面）的切割次数，其中x ，y ，z 都在{0.1.2}中取值。有向弧代表一个从弧的始点至弧终点的切割步骤，弧权值代表弧所代表的加工步骤所需加工费。那么切割问题就转化为了求解一个带权有向图的最短路径问题。通过编写数学软件，运用lingou 软件求得了最短路径。 最终我们解出了最优切割法： （1）当r=1，e=0时，最短切割路径为：5，3，1，6，4，2；5，3，6，1，4，2 （2）当r=1.5，e=0时，最短切割路径为：3，1，5，4，6，2；3，5，1，4，6，2 （3）当r=8，e=0时，最短切割路径为：3，1，4，5，2，6 （4）当r=1.5，e=2时，最短切割路径为：3，1，5，4，6，2；3，5，1，4，6，2 （1）（2）（3）（4）情况的最少费用分别为：374，437.5，540.5，443.5。（数字1,2,3,4,5,6分别代表切割左右前后上下面） 当然，本文是假设切割是在一定的切割原则，即在两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工这一原则下进行的，这是符合基本的切割作业常识的，也符合截断切割的同类换序定理（在截断切割方式()123456,,,,,,v v v v v v v → =中交换其内相邻同类切割的切割次序，总切割面积不因切割面积的交换而改变；若交换间隔一异类切割的的同类切割的切割次序，则割弃长较大的同类切割面先切割者，其总切割面积较小）。再者，由题意，成品与待切割品的相邻平行面的距离已经给定。那么也可以通过调整相邻平行面的距离而使得切割花费达到更省，这是本题可以改进的一个方向。 关键词：截断切割 最优切割次序

数学建模经典案例最优截断切割问题

建模案例：最优截断切割问题 一、 问 题 从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6 次截断切割.设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍.且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.试设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少. 二、 假 设 １、假设水平切割单位面积的费用为r ，垂直切割单位面积费用为1； ２、当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，调整刀具需额外费用e ； ３、第一次切割前，刀具已经调整完毕，即第一次垂直切割不加入刀具调整费用； 4 、每个待加工长方体都必须经过6次截断切割. 三、 模型的建立与求解 设待加工长方体的左右面、前后面、上下面间的距离分别为 a0、b0 、c0 ，六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下，将它们相应编号为M1、M2、M3、M4、M5、M6，这六个面与待加工长方体相应外侧面的边距分别为 u1、u2、u3、u4、u5、u6.这样，一种切割方式就是六个切割面的一个排列，共有P 66720 种切割方式.当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则：两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工.

由此准则,只需考虑 P 6 6 222 90 !!! ?? =种切割方式.即在求最少加工费用时，只 需在90个满足准则的切割序列中考虑.不失一般性，设u1≥u2，u3≥u4，u5≥u6，故只考虑M1在M2前、M3在M4前、M5在M6前的切割方式. 1、 e=0 的情况 为简单起见,先考虑e=0 的情况.构造如图9-13的一个有向赋权网络图G(V,E).为了表示切割过程的有向性，在网络图上加上坐标轴x，y，z. 图9-13 G(V,E) 图G(V,E)的含义为： (1)空间网络图中每个结点Vi(xi,yi,zi)表示被切割石材所处的一个状态.顶点坐标xi、yi、zi分别代表石材在左右、前后、上下方向上已被切割的刀数.例如：V24(2,1,2) 表示石材在左右方向上已被切割两刀，前后方向上已被切一刀，上下方向上已被切两刀，即面M1、M2、M3、M5、M6均已被切割.顶点V1(0,0,0) 表示石材的最初待加工状态，顶点V27(2,2,2)表示石材加工完成后的状态.

木材最优切割

五一数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了五一数学建模竞赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 , 如果引用别人的成果或其它公开 的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处 和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞 赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。 我们授权五一数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示 （包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 参赛题号（从 A/B/C 中选择一项填写）：B 参赛队号： 参赛组别（研究生、本科、专科、高中）： 所属学校（学校全称）： 参赛队员：队员1姓名：XXX 队员 2 姓名： XXX 队员 3 姓名： XXX 联系方式：Email ：联系电话： 日期：年月日（除本页外不允许出现学校及个人信息）

五一数学建模竞赛 题目：木料切割最优化问题 关键词： 矩形件下料切割问题guillotine 摘要： 随着社会的发展、人们对环境资源的重视，提高材料的利用率、获得最大利润就成了不可 避免的问题，而解决这个问题的关键就是对产品的生产进行紧凑型的布局。本文旨在解决家具 厂木料的切割问题，由一维问题（或者说是 1.5 维问题）递推到二维问题，通过寻找合适的切 割方法（采用 guillotine ，贪心启发式算法的多目标二维切割），使得我们从目标木板上切割出 的所需产品的面积和最大或者利润最大，后对方案进行优化处理，最终得出最优方案。问题一 用 guillotine 方法切割可得一块木板上P1 最多能切割 59 个。问题二在问题一的基础上，通过迭代的方法，分析得出前三甲利用率分别为99.64% ， 99.23%和 99.03% 的最佳方案。问题三又在问题二的基础上，引入了生产任务作为限制因素，并结合贪心启发式算法的多目标二维切割和 问题使问题得到解决。问题四在问题三的基础上，又增添了两个长宽不同的矩形件，用lingo 找寻它的最下限后，用循环得出最大利用率为99.64%，这时候使用的木板数为359 块。问题五改变了问题四的目标函数，消除了生产任务对木块切割的限制。在这种情形下，得到最优方案 是在一块木板上切割59 块矩形件P1，从而得出最大利润为1174100 元，木板的利用率为98.2979%。

数学建模-截断切割的优化设计

数学建模-截断切割的优化设计

工业中截断切割的优化设计 一摘要 本文讨论了加工业中截断切割的优化排序策略我们对于不同的切割 方式总数用穷举法得到720 种所可行解及其费用并对于原问题建立了决策 并对所给出的算法进行了分析和检验 1.当e=0时我归纳出解决问题的最优法则, 从而提出了将面间距统一成判断权重来作为排序准则的算法,同时证明 了e = 0 的情况下根据这种最优准则能够实现题目所要求的优化目标 2.对于e 1 0 时我们提出了实用准则 最后我结合实际问题将本问题进行了拓展讨论了当最终产品(成品) 在毛坯(待加工长方体)中位置不预定时应如何实施加工方案以达到节省费用 和节约资源的目的,使我们的方案适用于更为广阔的领域

二问题的重述、 在工业生产中，常需要采取将物理一分为二的截断切割方式从一块长方体材料中切出一个小长方体，其加工费用取决于水平切割和垂直切割的截面面积，以及调整刀具时的额外费用。对本题所给出的问题我们首先面临的对加工次序的排序策略然后我们考虑当毛坯和产品位置不预定的时候如何采取策略以达到我们的优化目的 问题： 1> 需考虑的不同切割方式的总数。 2> 给出上述问题的数学模型和求解方法。 3> 试对某部门用的如下准则做出评价，每次选择一个加工费用最少的切割面进行切割。 4> 对于 e=0 的情况有无简明的优化准则。 5> 用以下实例验证你的方法： 待加工长方体和成品长方体的长，宽，高分别为10，14.5,19 和3,2,4,两者左侧面，正面， 底面之间的距离分别为6,7,5(单位为厘米，垂直切割费用为每平方厘米1 元，r 和e 的数据有 4 组：

1997B题截断切割(南昌大学全国一等奖)

截断切割 李湖南 李浩来 杨 娥 指导教师：陈涛 （南昌大学 330047） 摘要 本文讨论了将一个待加工长方体经过六次截断切割成一个成品长方体的切割方式问题，利用重心偏移法，考虑了第七及第k+1次切割之间的联系，建立了动态规划的数学模型，并用直接搜索法进行了求解。 本文接着用此模型对某些部门的切割准则作了正确的评价，并给了当e=0时的简明优化准则，最后用具体实例验证了模型的可靠性，并对一些初值进行了详细的讨论，给出了所有的最优解。本文还对模型进行了误差分析，并对模型进行了推广。 关键词 动态规划 切割方式 f-原则 一、问题的提出与分析 某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。从一个长方体中加工出一个已知尺寸，位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6次截断切割。设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积的费用的r 倍，且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e 。 试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。并对某部门用的如下准则作出评论：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。 该问题可以采用重心偏移法。在切割之前，长方体的重心是确定的，每切割一次它的重心就偏移一次，而且偏移有一定的规律，它只是沿着长、宽或高的方向偏移。待原长方体加工成成品长方体之后，长方体的重心经过六次偏移已与成品长方体的重心重合了。这就是长方体的重心偏移过程。 该问题是一个动态规划问题，是分级决策方法和最佳化原理的综合应用。首先是建立分级决策的模型。用d k 表示第k 次决策，J k 表示第k 级的级收益，现在一定条件下，寻求一组可行决策变量{}621,,,d d d ，使问题的总收益J 为最佳。 二、基本假设与符号约定 （一） 基本假设 1． 由工艺要求，与水平工作台接触的待加工长方体底面是事先指定的，成品长方体的尺寸已知，位置预定，且两个长方体和对应表面是平行的。 2． 刀具的磨损情况很小，可忽略不计。 3． 切割热量对长方体所产生的影响很小，可忽略不计。 4． 我们称切割后的那些不含成品长方体的小长方体为切块，考虑切块的可应用性，设切块是带状切块。 5． 在切割过程中，设刀具对切块和待切割长方体不产生任何影响。 6． 设水平切割单位面积费用是垂直切割单位费用的r 倍。

数学建模经典案例：最优截断切割问题

建模案例:最优截断切割问题 一、问题 从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定得长方体（这两个长方体得对应表面就是平行得），通常要经过6 次截断切割、设水平切割单位面积得费用就是垂直切割单位面积费用得r倍、且当先后两次垂直切割得平面(不管它们之间就是否穿插水平切割)不平行时，因调整刀具需额外费用ｅ、试设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）得方法，使加工费用最少、 二、假设 1、假设水平切割单位面积得费用为r，垂直切割单位面积费用为１; ２、当先后两次垂直切割得平面（不管它们之间就是否穿插水平切割)不平行时,调整刀具需额外费用e; ３、第一次切割前,刀具已经调整完毕,即第一次垂直切割不加入刀具调整费用; 4 、每个待加工长方体都必须经过６次截断切割、 三、模型得建立与求解 设待加工长方体得左右面、前后面、上下面间得距离分别为a０、b０、ｃ0，六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下,将它们相应编号为M１、M2、M３、M4、M5、M6,这六个面与待加工长方体相应外侧面得边距分别为u １、u2、u3、u4、u5、ｕ６、这样,一种切割方式就就是六个切割面得一个排列，共有种切割方式、当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则:两个平行待切割面中,边距较大得待切割面总就是先加工、 由此准则,只需考虑种切割方式、即在求最少加工费用时,只需在90个满足准则得切割序列中考虑、不失一般性,设u1≥ｕ2，u3≥ｕ４,ｕ5≥u6，故只考虑M１在M2前、M3在Ｍ4前、Ｍ５在M6前得切割方式、 1、e＝0 得情况 为简单起见,先考虑e＝0 得情况、构造如图9—13得一个有向赋权网络图G(Ｖ,E)、为了表示切割过程得有向性，在网络图上加上坐标轴x，y，z、 图9—13 G（V，Ｅ） 图G（V，E)得含义为： (1）空间网络图中每个结点Vi(xｉ，ｙi，zi）表示被切割石材所处得一个状态、顶点坐标xi、yi、zi分别代表石材在左右、前后、上下方向上已被切割得刀数、例如:V24(2，1，2) 表示石材在左右方向上已被切割两刀,前后方向上已被