甘肃省兰州一中2012-2013学年高二上学期期末考试数学试题
2012~2013学年第一学期高二期末考试数学试题
一、选择题：(本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在试卷的答题卡中．)
1．若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆22
162
x y +=的右焦点重合，则p 的值为( ) A ．-2 B ．2 C ．-4 D ．4
2．(理)已知向量a =(3，5，-1)，b =(2，2，3)，c =(4，-1，-3)，则向量2a -3b +4c 的坐标为( )
A ．(16，0，-23)
B ．(28，0，-23)
C ．(16，-4，-1)
D ．(0，0，9) (文)曲线y =4x -x 2上两点A (4，0)，B (2，4)，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标为( )
A ．(1，3)
B ．(3，3)
C ．(6，-12)
D ．(2，4)
3．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条
4．已知双曲线222112x y a -=的离心率2，则该双曲线的实轴长为( ) A ．2 B ．4 C ．23 D ．43
5．在极坐标系下，已知圆C 的方程为=2cos θ，则下列各点中，在圆C 上的是( )
A ．(1，-3π)
B ．(1，6π)
C ．(2，34π)
D ．(2，54
π) 6．将曲线y =sin3x 变为y =2sin x 的伸缩变换是( )
A ．312x x y y '=???'=??
B ．312x x y y '=???'=??
C ．32x x y y '=??'=?
D ．32x x y y '=??'=? 7．在方程sin cos 2x y θθ=??=?
(为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是( ) A ．(2，-7) B ．(1，0) C ．(12，12) D ．(13，23
) 8．极坐标方程=2sin 和参数方程231x t y t =+??=--?
(t 为参数)所表示的图形分别为( ) A ．圆，圆 B ．圆，直线
C ．直线，直线
D ．直线，圆 9．(理)若向量a =(1，，2)，b =(2，-1，2)，a 、b 夹角的余弦值为8
9
，则=( ) A ．2 B ．-2 C ．-2或255 D ．2或-255
(文)曲线y =e x +x 在点(0，1)处的切线方程为( )
A ．y =2x +1
B ．y =2x -1
C ．y =x +1
D ．y =-x +1
10．(理)已知点P 1的球坐标是P 1(4，2π，53π)，P 2的柱坐标是P 2(2，6
π，1)，则|P 1P 2|=( ) A ．21 B ．29 C ．30 D ．42 (文)已知点P 在曲线f (x )=x 4-x 上，曲线在点P 处的切线垂直于直线x +3y =0，则点P 的坐标为( )
A ．(0，0)
B ．(1，1)
C ．(0，1)
D ．(1，0)
11．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点M ，若点M 在以AB 为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e 的取值范围为
( )
A ．(32，+∞)
B ．(1，32)
C ．(2，+∞)
D ．(1，2)
12．从抛物线y 2=4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |=5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为( )
A ．5
B ．10
C ．20
D ．15
二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填在试卷的答题卡中．)
13．(理)已知空间四边形ABCD 中，G 是CD 的中点，则1()2
AG AB AC -+= ．
(文)抛物线y=x2+bx+c在点(1，2)处的切线与其平行直线bx+y+c=0间的距离是．
14．在极坐标系中，设P是直线l：(cosθ+sinθ)=4上任一点，Q是圆C：2=4cosθ-3上任一点，则|PQ|的最小值是________．
15．(理)与A(-1，2，3)，B(0，0，5)两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件为__________．
(文)函数f(x)=ax3-x在R上为减函数，则实数a的取值范围是__________．16．如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点，且
双曲线过C、D两顶点．若AB=4，BC=3，则此双曲线的标准方程为
_____________________．
三、解答题：(本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本题满分12分)
双曲线与椭圆
22
1
2736
x y
+=有相同焦点，且经过点(15，4)，求其方程．
18．(本题满分12分)
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：
4
1
5
3
1
5
x t
y t
?
=+
??
?
?=--
??
(t为参数)，若以O为
极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为=2cos(θ+
4
π)，求直线l被曲线C所截的弦长．
19．(本题满分12分)
已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值．
20．(本题满分12分)
(文)已知函数f(x)=x2(x-a)．
(1)若f(x)在(2，3)上单调，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)在(2，3)上不单调，求实数a的取值范围．
(理)(本题满分12分)
如图，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，PA⊥面ABCD，PA=219，AB=8，BC=6，点E是PC的中点，F在AD上且AF：FD=1：2．建立适当坐标系．
(1)求EF的长；
(2)证明：EF⊥PC．
参考答案
一、 选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．
( )内为文科答案
二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．)
13．(理)12BD (文)322
14．21- 15．(理)2x -4y +4z =11 (文)a ≤0 16．x 2-23
y =1 三、解答题：(本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(本题满分12分)
解：椭圆22
13627
y x +=的焦点为(0，3)，c =3，………………………3分 设双曲线方程为22
22
19y x a a -=-，…………………………………6分 ∵过点154)，则22161519a a
-=-，……………………………9分 得a 2=4或36，而a 2<9，∴a 2=4，………………………………11分
双曲线方程为22
145
y x -=．………………………………………12分 18．(本题满分12分)
解：将方程
415315x t y t ?=+????=--??
(t 为参数)化为普通方程得，3x +4y +1=0，………3分 将方程=2cos(θ+4
π)化为普通方程得，x 2+y 2-x +y =0， ……………6分 它表示圆心为(12，-12
)，半径为22的圆， …………………………9分 则圆心到直线的距离d =110
， …………………………………………10分 弦长为222117221005
r d -=-=． …………………………………12分 20．(文)(本题满分12分)
解：由f (x )=x 3-ax 2得f ′(x )=3x 2-2ax =3x (x -23
a )．…………3分 (1)若f (x )在(2，3)上单调，则23a ≤0，或0<23
a ≤2，解得：a ≤3．…………6分
∴实数a的取值范围是(-∞，3]．…………8分
a<6，解得：6 (2)若f(x)在(4，6)上不单调，则有4<2 3 ∴实数a的取值范围是(6，9)．…………12分 20．(理)(本题满分12分) 解：(1)以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立直角 坐标系，…………2分 由条件知：AF=2，…………3分 ∴F(0，2，0)，P(0，0，219)，C(8，6，0)．…4分 从而E(4，3，19)，∴EF=222 -+-+-=6．…………6分 (40)(32)(190) (2)证明：EF=(-4，-1，-19)，PC=(8，6，-219)，…………8分 ?=-4×8+(-1)×6+(-19)×(-219)=0，…………10分∵EF PC ∴EF⊥PC．…………12分