2014年高考文数函数与导数复习答案
m m m f 则1
32)2(+-
=3
2
2014年高考文数函数与导数复习答案
一、选择题
1. 已知函数()x f 是周期为4的函数,当40≤≤x 时,()12--=x x f ，若()x f 的图象与射线
()02
1
≥=
x y 交点的横坐标由小到大依次组成数列{}n a ,则1922a a -=（ ） A.4 B.5 C.7 D.8
2. 对于函数f (x )，若在其定义域内存在两个实数a ，b (a ＜b )，使当x ∈[a ，b ]时，f (x )的值域也是[a ，
b ]，则称函数f (x )为“科比函数”.若函数2)(++=x k x f 是
“科比函数”，则实数k 的取值范围（ ） A ．]0,4
9(- B ．]2,49
(-- C ．]0,2[- D ．),2[+∞-
3. 设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若)(x f 的最小正周期为3，且1)1(>f ， 的取值范围．．．．
是( ) A ．
132-≠<
m m 且 B ．32
32-<>m m 或 4. 当]2,0[∈x 时，函数23)1(4)(2=--+=x x a ax x f 在时取得最大值，则a 的取值范围是( ) A ．] ,21 [+∞- B ．),0[+∞ C ．),1[+∞ D ．),32[+∞ 5. 已知函数6 (3)3(7) ()(7)x a x x f x a x -?--≤?=?>??{}()(),n n a a f n n N *=∈若数列满足且{}n a 是递增数列，那么实数a 的取值范围是 （ ） A . 9 [,3)4 B . 9 (,3)4 C. (2,3) D. (1,3). 6. 已知a b 、都是正实数， 函数2x y ae b =+的图象过（0,2）点，则11 a b +的最小值是（ ） B ．3+ C ．4 D ．2 A ． 7.已知函数32()4 f x x ax =-+-在x =2处取得极值，若[1,1]m n ∈-、，则()'()f m f n +的最小值为 ( ) A ．-13 B ． -15 C ． 10 D ． 15 8. 已知函数1()log [(2)1]a f x x a =-+在区间上[1,3]的函数值大于0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(,1)2 B ．13(,)25 C ．(1,)+∞ D ．3(0,)5 9. 若函数(21)x y f =-的定义域为[1，2]，则函数(21)f x +定义域为 （ ） A ．1 [0,]2 B ．[1，2] C ．[0，1] D ．[1，3] 恒成立，时，若设函数0)1()cos (2 0,)(3>-+≤ ≤=m f m f x x f θπ θ10. 已知函数2 ()(21)3f x x a x =-+-+在[1，2]上的值恒为正，则a 的取值范围是（ ） A ．1324 a - << B ．1 2 a <- C ．13 24 a a <-> 或 D ．34a > 11.已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件3 ()()2 f x f x +=-，且函数3()4 y f x =-是奇函数，由下列四个命题中不正确．．．的是 （ ） A ．函数f （x ）是周期函数 B ．函数()f x 的图象关于点3 (,0)4- 对称 C ．函数f （x ）是偶函数 D ．函数()f x 的图象关于直线 3 4x = 对轴 12. 若存在负实数使得方程 1 1 2-= -x a x 成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．),2(+∞ B. ),0(+∞ C. )2,0( D. )1,0( 13. 已知函数)(x f 是定义在区间)0](,[>-a a a 上的奇函数，)(1 )()(x F x f x F ，则+=的最大值与最小值之和为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不能确定 14. 已知函数x x f x 2log )31 ()(-=，正实数a 、b 、c 满足()0()()f c f a f b <<<，若实数d 是函数() f x 的一个零点，那么下列四个判断：①a d <；②b d >；③c d <；④c d >．其中可能成立的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 的取值范围是则实数m ( ) A ．()0， ∞- B ．? ?? ? ? ∞-21， C ．()10， D ．()1，∞- 16. 设函数()f x 是定义在R 上的以5为周期的奇函数，若23 (2)1,(3)3 a a f f a ++>=-，则a 的取值范 围是 （ ） A ．(,2)(0,3)-∞-? B ．(2,0)(3,)-?+∞ C ．(,2)(0,)-∞-?+∞ D ．(,0)(3,)-∞?+∞ 17. 已知函数①23 ()5f x x -=②cos ()5x f x e =；③()5x f x e =；④()5ln f x x =。其中对于()f x 定义 域内的任意一个自变量1x ，都存在唯一的自变量2x 5=成立的函数为（ ） A ．①③④ B ．②④ C ．①③ D ．③ 18.已知()f x 是定义在R 上的函数，对任意x R ∈都有(4)()2(2)f x f x f +=+，若函数(1)f x -的 图象关于直线1x =对称，且(1)2f =，则(2011)f 等于 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 19. 已知函数()()()() 0340x a x f x a x a x ? 0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是 （ ） A . 1 (0,) 4 B .(1,2] C. (1，3) D 1(,1)2 二、解析题 1. 已知函数()3 2 f x x ax bx c =-+++在(),0-∞上是减函数，在()0,1上是增函数，函数()f x 在R 上 有三个零点． （1）求b 的值； （2）若1是其中一个零点，求()2f 的取值范围； （3）若()()' 21 3ln a g x f x x x ==++，，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线 y=g(x )相切？请 说明理由。 （3）解： ()g x =2x +ln x , 设过点（2，5）与曲线g (x )的切线的切点坐标为00(,)x y ∴/ 0005()(2)y g x x -=-即000012ln 5(2)(2)x x x x +-=+ - ∴00 2 ln 20x x +-= 令h(x )=2 ln 2x x + -∴/h (x)=212x x -=0∴2x = ∴h(x )在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增 又1()2ln 202h =->，h(2)=ln2-1<0，222 ()0h e e =>∴h(x )与x 轴有两个交点 ∴过点（2，5）可作2条曲线y=g(x )的切线. 2. 定义在(－1，1)上的函数f (x )满足：对任意x 、y ∈(－1，1)都有f (x )+f (y )=f ( 1x y xy ++)． (1)求证：函数f (x )是奇函数； (2)如果当x ∈(－1，0)时，有f (x )＞0，求证：f (x )在(－1，1)上是单调递减函数； (1)证明：令x ＝y ＝0，则f (0)＋f (0)＝f (0)，故f (0)＝0. 令y ＝－x ，则f (x )+f (－x )=f ( 2 1x x x --)=f (0)=0.∴f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数． (2)证明：设x 1＜x 2∈(－1，1)，则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)+f (－x 2)=f ( 1212 1x x x x --). ∵x 1＜x 2∈(－1，1)，∴x 2－x 1＞0，－1＜x 1x 2＜1.因此 1212 1x x x x --＜0 ∴f ( 1212 1x x x x --)＞0，即f (x 1)＞f (x 2).∴函数f (x )在(－1，1)上是减函数． 3. 如图所示，A 、B 为函数)11(32 ≤≤-=x x y 图象上两点，且AB//x 轴，点M （1，m ）（m>3）是△ABC 边AC 的中点. （1）设点B 的横坐标为t ，△ABC 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式)(t f S =； （2）求函数)(t f S =的最大值，并求出相应的点C 的坐标. 答案：解：（1）设]1,0(),3,(),3,(2 2 ∈-t t t A t t B ，点M 是△ABC 边AC 的中点，则 ),3(2)3(22 1 2222t m t t m t S S ABM -=-??==?…………3分 ).10)(3(2)(2≤<-==∴t t m t t f S …………4分（不写定义域的扣1分） （1）设),(00y x C ，因为M 是△ABC 边AC 的中点， ∴???-=+=????????=+=-∴2 002003222 312 t m y t x m t y t x 点C 的坐标为（2+t ，2m －3t 2），…8分 )9(2218)(22m t m t t f S +-=+-='=' ①当3 0m t S = ='得， 在区间（0，)(,0)3 t f S S m =>'上，递增；在区间)(,0]1,3(t f S S m =<'上，递减； ∴3m t = 时，函数)(t f S =取最大值，最大值是9 4)3(m m m f = 此时点C 的坐标为（)3 5,32m m + …………11分 ②当m>9时，]1,0()(,0)9(2218)(2 2 是t f S m t m t t f S =>--=+-='='增函数， ∴当t=1时，函数)(t f S =取最大值2m －6，此时点C 的坐标为（3，2m －3） …13分 4. 已知函数f(x)= 2 12(0),()ln ,2 ax x a g x x +≠= （1） 若h(x)=f(x)-g(x)存在单调增区间，求a 的取值范围； （2） 是否存在实数a>0，使得方程 ()()(21)g x f x a x '=-+在区间1 (,)e e 内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出a 的取值范围？若不存在，请说明理由。 答案：解：（1）由已知，得h(x)= 212ln ,2ax x x +- 且x>0, 则h ˊ(x)=ax+2-1x =221 ax x x +-, ∵函数h(x)存在单调递增区间, ∴h ˊ(x) > 0有解, 即不等式ax 2+2x-1>0有解. （2分） ① 当a<0时, y=ax 2+2x-1的图象为开口向下的抛物线, 要使ax 2+2x-1>0总有解,只需Δ=4+4a>0, 即a>-1. 即-1 ② 当a>0 时, y= ax 2+2x-1的图象为开口向上的抛物线, ax 2+2x-1>0 一定有解. 综上, a 的取值范围是(-1, 0)∪(0, +∞) （5分） （2）方程 () ()(21)g x f x a x '=-+ 5. 已知函数3 2 ()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． （I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是8-，求,a b 的值； （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．． ，求a 的取值范围． 答案：解（1）由题意得)2()1(23)(2 +--+='a a x a x x f 又???-=+-===8)2(00)0(a a f b f ） （’， 解得0=b ，42-=或a （2）函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到 小于0的实数 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点， 根据零点存在定理，有0)1()1(<'-'f f ， ……10分 即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a 整理得：0)1)(1)(5(2 <-++a a a ，解得15-<<-a 6. 已知函数x x x g x x x f 14)(,ln 8)(2 2+-=-=，． （Ⅰ） 求函数)(x f 在点(1，)1(f )处的切线方程； （II ） 若函数)(x f 与)(x g 在区间)1,(+a a 上均为增函数,求a 的取值范围； （Ⅲ） 若方程m x g x f +=)()(有唯一解,试求实数m 的值． 答案：解：（Ⅰ）因为 8 ()2f x x x '=- ,所以切线的斜率(1)6k f '==-…………………2分 又(1)1f =,故所求切线方程为16(1)y x -=--,即67y x =-+…………………4分 （II ）因为2(2)(2) ()x x f x x +-'= ,又x>0,所以当x>2时,()0f x '>； 当0 2 ()(7)49g x x =--+,所以()g x 在(,7)-∞上递增,在(7,)+∞上递减……………6分 欲()f x 与()g x 在区间(),1a a +上均为增函数,则2 17a a ≥?? +≤?, 解得26a ≤≤…………8分 （Ⅲ） 原方程等价于2 28ln 14x x x m --=,令2 ()28ln 14h x x x x =--,则原方程即为()h x m =． 因为当0>x 时原方程有唯一解,所以函数()y h x =与y m =的图象在y 轴右侧有唯一的交点 ……………10分 又, 82(4)(21) ()414x x h x x x x -+'=--= 且x>0,所以当x>4时,()0h x '>； 当0 即()h x 在(4,)+∞上递增,在（0,4）上递减． 故h （x ）在x=4处取得最小值 从而当0>x 时原方程有唯一解的充要条件是(4)16ln 224m h ==--……………12分 7. 已知函数x e x f x -=2)( （1）求)(x f 在区间)1](,1[->-m m 上的最小值； （2）求证：对2ln ,21ln >>x m 时，恒有x x e x )2ln 1(22 1 22+>-- 答案：解（1）当012)('=-=x e x f ，2 1 ln =x 当21 ln ≤m 时，0)(' 当21ln >m 时，)21ln ,1(-上递减，),21(ln +∞上递增，则)(x f 的最小值为2 1 ln 1)21(ln -=f （2）x x e x g x )2ln 1(221 2)(2+---= 2ln 1)(2ln 12)('--=---=x f x e x g x 由（1）知当21ln >m 时，)(x f 的最小值为2ln 12 1 ln 1)21(ln +=-=f ，所以当2ln >x 时0)('>x g ， )(x g 在),2(ln +∞上单调递增，所以02ln )2(ln 2 3 2)2(ln )(2>--=>g x g 所以x x e x )2ln 1(22 1 22+>-- 8. 已知函数2 ()(42)1([,1])f x x a x x a a =+-+∈+的最小值为().g a 求函数()y g a =的解析式。 答案：()f x 函数的对称轴方程为12.x a =- ………………1分 （1）当112,0,()[,1]a a a f x a a +≤-≤+时即时在上是减函数， 22 ()(1)(1)(42)(1)154 g a f a a a a a a =+=++-++=+；…………4分 （2）当 1 121,0 3 a a a a <-<+<< 时即时， 22 ()(12)(12)(42)(12)144 g a f a a a a a a =-=-+--+=-+…………7分 （3）当 1 12,,()[,1] 3 a a a f x a a -≤≥+ 时即时在上是增函数， 22 ()()(42)152 1. g a f a a a a a a ==+-+=-+………………10分 所以 2 2 2 54(0) 1 ()44(0) 3 1 521() 3 a a a g a a a a a a a ? ?+≤ ? ? =-+<< ? ? ? -+≥ ?? ………………12分