圆周角和圆心角的关系—知识讲解(基础)

圆周角和圆心角的关系--知识讲解(基础)

【学习目标】

1 ?理解圆周角的概念，了解圆周角与圆心角之间的关系；

2 ?理解圆周角定理及推论；

3 ?熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力.

【要点梳理】

要点一、圆周角

1. 圆周角定义：

像图中/ AEB / ADB / ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

2. 圆周角定理：

圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半

3. 圆周角定理的推论：

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；

推论2:直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

要点诠释：

(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交

(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中

(3)圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周

要点二、圆内接四边形

1.圆内接四边形定义：

四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆

2.圆内接四边形性质：

圆内接四边形的对角互补?如图，四边形ABCD是O 0的内接四边形，则/ A+Z C=180°, / B+Z D=180°

D

要点诠释：当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补

【典型例

题】

类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用

C^1?如图，在O 0中 , _ ；i| '，求/ A的度数.

【答案与解析】

v AB =腮:.AB =腮?債

养

【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的弦也相等.

举一反三：

【变式】如图所示，正方形ABCD内接于O 0,点E在劣弧AD上，则/ BEC等于（）

A . 45°

B . 60°

C . 30°

D . 55

【答案】A.

AB = BC= CD= DA

AB =BC =CD 二DA =90°,

/ BEC= 45°.

类型二、圆周角定理及应用

C"2.观察下图中角的顶点与两边有何特征

?指出哪些角是圆周角？

(C) (d)

【思路点拨】根据圆周角的定义去判断，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角?【答案与解析】

⑻/1顶点在O O内，两边与圆相交，所以/ 1不是圆周角；

(b) / 2顶点在圆外，两边与圆相交，所以/ 2不是圆周角；

(c) 图中/ 3、/ 4、/ BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以/ 3、/ 4、/ BAD是圆周角.

(d) / 5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以/ 5不是圆周角；

(e) / 6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知/ 6不是圆周角.

【总结升华】紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角.

3. (2015?台州)如图，四边形ABCD内接于O O,点E在对角线AC上，EC=BC=DC .

(1)若/ CBD=39 °,求/ BAD 的度数；

(2 )求证：/ 1 = / 2 .

【答案与解析】

(1)解：T BC=DC ,

???/ CBD= / CDB=39 °

???/ BAC= / CDB=39 ° / CAD= / CBD=39 °

? / BAD= / BAC+ / CAD=39 °+39°=78 °

(2)证明：T EC=BC ,

:丄 CEB= / CBE ,

而/ CEB= / 2+ / BAE ，/ CBE= / 1 + Z CBD ,

???/ 2+Z BAE= / 1 + / CBD ,

???/ BAE= / CBD ,

???/ 仁/2.

【总结升华】 本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键.

BD 是O 0的弦，延长BD 到C ,使AC=AB BD 与CD 的大小有什么关系?

【思路点拨】BD=CD 因为AB=AC 所以这个厶ABC 是等腰三角形，要证明 D 是BC 的中点，只要连结 AD,

证明AD 是高或是/ BAC 的平分线即可.

【答案与解析】

BD=CD.

理由是：如图，连接 AD

?/ AB 是O 0的直径

???/ ADB=90 即 ADL BC 又??? AC=AB ? BD=CD.

【总结升华】 解题的关键是正确作出辅助线 举一反三：

【变式】(2015?安顺)如图，O O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ,/ A=22.5 ° OC=4 , CD 的长为

( )

.如图，AB 是O 0的直径,

为什么?

【思路点拨】 根据圆内接四边形的性质可求得四个角的比值，再根据四边形的内角和为 得/ D 的度数.

【答案与解析】 解：???圆内接四边形的对角互补,

??? / A: / B:/ C:/ D=2:3:4 : 3

设/ A=2x ，则/ B=3x ,/ C=4x,/ D=3x,

? 2x+3x+4x+3x=360 ° ,

? x=30°

? / D=90° .

【总结升华】本题考查圆内接四边形的性质和四边形的内角和为

提示：T/ A=22.5°,

? / BOC=/A=45 ,

TOO 的直径AB 垂直于弦CD

? C E=DE △ OCE 为等腰直角三角形,

? C E= ：OC=2 匚,

2

? CD=2CE=4 匚.

故选：C.

类型三、圆内接四边形及应用

5 ?圆内接四边形 ABCD 勺内角/ A : / B:Z C=2:3:4，求/ D 的度数.

360 °，从而求 360°的运用. B . 4

【答案】

C.

举一反三：

【变式】如图，O O中，四边形ABCD是圆内接四边形，/ BOD=110，则/ BCD的度数是（）

A.110 °

B.70 °

C.55 °

D.125 °

【答案】D.