【答案】2019合肥二模理科数学

合肥市2019届高三第二次教学质量检测

1．答案：A 解析：221(1)(1)2z i i i i =

===+++- 2．答案：C 解析：由2

01

≤x x +-，可得(2)(1)0≤x x +-且10x -≠，解得21≤x -<，所以

{|21}≤A x x =-<，又{|12}B x x =-<<，所以(1,1)A B =-．

3．答案：C 解析：由题意可知2,2b b a a =∴=，故222214x y a a -=，将4)P 代入，得：22616

14a a

-=，解

得22

2,8a b ==，所以双曲线的方程是22128x y -

=． 4．答案：B

解析：()

1121

3333

AD AB BD AB BC AB AC AB AB

AC =+=+

=+-=+．

5．答案：B

解析：该公司2018年度小家电类电器营业收入占比．．和净利润占比．．相同，但营业收入和净利润不相同． 6．答案：C 解析：()(2)2sin 216g x f x x π?

?

==+- ??

?

， 选项A ，当12x π=-

时，206x π

+

=，112f π??-=- ???，所以函数()g x 的图象关于点,112π??

-- ???

对称，A 错；

选项B ，函数()g x 的周期2T π

选项C ，当0,6x π??∈ ???时，选项D ，因为函数()g x 在? ?有最大值，D 错．

7．答案：D

解析：因为点P 在以线段1F 又因为2//F B AP ，所以2F 所以12F F B △222

OF c e a BF ===．

8．答案：B

解析：若任务A 22若任务A 排在第二位，则B ，C 可以选择的位置组合有4种，此时共有排列方法22

22416A A =；

A

B C

D

若任务A 排在第三位，则B ，C 可以选择的位置组合有4种，此时共有排列方法22

22416A A =；

所以不同的执行方案共有12161644++=种．

A E A

E A E

9．答案：A

解析：()f x 为偶函数，排除选项B ，2

()sin (sin )f x x x x x x x =+=+，

设()sin g x x x =+，则()1cos 0≥g x x '=+恒成立，所以()g x 单调递增，所以当0x >时，()(0)0g x g >=， 所以当0x >时，()()0f x xg x =>，且()f x 单调递增，故选A ． 10．答案：C

解析：该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，

易知平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAB ⊥平面PAD ， 平面PCD ⊥平面PAD ，平面PAB ⊥平面PCD ， 所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．

11．答案：D 解析：设第n 层的总价值为n a 万元，则1

910n n a n -??

=? ???

万元，设总价为n S 万元，则

01221

123

1

99999123(1)1010101010999999123(1)101010101010n n n n n

n S n n S n n ---??????????=?+?+?++-?+? ? ? ? ? ???????????

????????

??=?+?+?++-?+? ? ? ? ?

?

????????

??

①

②

-①②，得：

2

191199999910110(10)9101010101010101

n

n n n n

n S n n n -??- ???????????

??=++++-?=-?=-+? ? ? ? ? ???

????????-，

所以910010(10)10n

n S n ??=-+? ???

12．答案：D 解析：显然102f ??=

?

??

，由1()210x x f x e e b x -=---=，得121x x

e e b x --=-，设1()x x g x e e -=-， ()21h x b x =-，因为1

()0x x g x e e -'=+>恒成立，所以()g x 单调递增，且1(1)()x x g x e e g x --=-=-，

所以()g x 关于点1,02A ??

???对称，当

0b >时，函数()y g x =与()y h x =在

1,12??

???

内有一个交点，因为12g ??

'= ???

(1)1g e =-，(1,1)B e -，2(1)AB k e =-，所以22(1)b e <<-，1b e <<-， 当0b <时，同理可得1e b -<

13．答案：2 解析：2114131

46162

a a

d a S a d d =+==????

?=+==??． 14．答案：49- 解析：

1sin cos 23παα??+== ???

，则2

214cos 2cos 2cos 1cos 1939αααα+=-+=-+=-． 15

P

A

B

C

D

解析：2222222

2

2

()()2()222

≥a b a b a b ab a b a b +++++++==，当且仅当a b =时等号成立，

所以222

22

1()1()2()≥≥a b a b a b a b ++++=++22()12()a b a b +=+时取等号， 所以当342a b -==时，22

2

1()

a b a b +++

． 16

．答案：

3

解析：设ABC △所在截面圆的圆心为1O ，AB 中点为D ，连接1,OD O D ，则1ODO ∠即为二面角C AB O

--的平面角，160ODO ∠=?，

因为4,OA OB AB ===，所以OAB △

是等腰直角三角形，OD ∴=

在1Rt ODO △中，

可得11O D OO ==四面体OABC 外接球的球心E 在射线1OO 上，设外接球半径为

R ，在1Rt O BE △

中，11,O B BE R O E R ====，由勾股定理可得：

22211O B O E BE +=

，即2210(R R +-=

，解得R =

．

17．解析：(Ⅰ) 由sin 2

S abc ab C ==

可知2sin c C =， ∴222sin sin sin sin sin A B A B C ++=. 由正弦定理得222

a b ab c ++=.

由余弦定理得1cos 2C =-，∴23

C π

=. …………………………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知2sin c C =，∴2sin a A =，2sin b B =.

ABC △的周长为()1

sin sin sin 2

a b c A B C ++=

++

111sin sin sin cos sin 2342224111sin sin 2223A A A A A A A A ππ????

??=+-+=+-+ ? ??? ???????????=+=++ ? ? ?????

∵0 3A π??∈ ??

?，

，∴2,333

A π

ππ??+∈ ?

??，∴sin 3A π??

?+∈? ??

???， ∴

ABC △

的周长的取值范围为??

. …………12分

18．解：(Ⅰ)取BC 的中点为D ，连结DF .

由ABC EFG -是三棱台得，平面//ABC 平面EFG ，从而//BC FG .

∵2CB GF =，∴CD GF ，

∴四边形CDFG 为平行四边形，∴//CG DF . ∵BF CF =，D 为BC 的中点， ∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥.

∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ?平面BCGF ， ∴CG ⊥平面ABC ，而AB ?平面ABC ，

∴CG AB ⊥. ………………………5分 (Ⅱ)连结AD .

由ABC △是正三角形，且D 为中点得，AD BC ⊥. 由(Ⅰ)知，CG ⊥平面ABC ，//CG DF ， ∴DF AD DF BC ⊥⊥，，

∴DB DF DA ，，两两垂直.

以DB DF DA ，，分别为x y z ，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.

设2BC =，则13(0,0,3),,3,,(1,0,0),(1,3,0)2A E B G ??

-

- ? ??

?， ∴13,3,22AE ??=-- ? ???，(2,3,0)BG =-，33 3 2

2BE ??

=- ? ???，，. 设平面BEG 的一个法向量为(,,)n x y z =.

由00

BG n BE n ??=???=??可得，230 33

302x y x y z ?-+=?

?-++=??，. 令3x =，则21y z ==-，，∴(3,2,1)n =-.

设AE 与平面BEG 所成角为θ，则6

sin cos 4

AE n AE n AE n

θ

?==

=

?，. …………………………12分 19．解：(Ⅰ)X 所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6.

111(0)1010100P X ==

?=，111(1)210525P X ==??=

，11213

(2)25551025P X ==?+??=， 131211(3)2210105550P X ==??+??=

，22317

(4)25510525P X ==?+??=， 236(5)251025P X ==??=，339

(6)1010100

P X ==?=

， ∴X X

0 1 2 3 4 5 6 P

1100 125 325 1150 725 625 9100 (Ⅱ)选择延保方案一，所需费用Y 元的分布列为：

1Y

7000 9000 11000 13000 15000

P

17

100 1150 725 625 9100

1177000900011000130001500010720100502525100EY =

?+?+?+?+?=(元). 选择延保方案二，所需费用2Y 元的分布列为：

26761000011000120001042010025100

EY =

?+?+?=(元). ∵12EY EY >，∴该医院选择延保方案二较合算. …………………………12分 20．解：(Ⅰ)已知(,9)M m 到焦点F 的距离为10，则点M 到其准线的距离为10．

∵抛物线的准线为2p y =-，∴9102

p

+=，

解得，2p =，∴抛物线的方程为2

4x y =. …………………………5分 (Ⅱ)由已知可判断直线l 的斜率存在，设斜率为k ，因为(0,1)F ，则:1l y kx =+. 设2114x A x ?? ???，，2224x B x ?? ??

?，，由214y kx x y =+??=?消去y 得，2440x kx --=，∴124x x k +=，124x x =-.

由于抛物线C 也是函数214y x =的图象，且1

2

y x '=

，则()21111:42x PA y x x x -=-

. 令0y =，解得112x x = ，∴P 11 02x ??

???，

，从而AP =.

同理可得，

BQ =

∴

AP BQ ?===∵2

0k ≥，∴AP BQ ?的取值范围为[2,)+∞. ……………………………12分 21．解：(Ⅰ)()f x 的定义域为(1)-+∞，，()ln(1)2f x a x x '=+-. 由()f x 是减函数得，对任意的(1)x ∈-+∞，，都有()ln(1)20f x a x x '=+-≤恒成立.

设()ln(1)2g x a x x =+-.∵212()1a x g x x ??

??--- ???

????'=

+，由0a >知，112

a ->-，

∴当112a x ??∈-- ???，时，()0g x '>；当12a x ??

∈-+∞ ???，

时，()0g x '<， ∴()g x 在112a ??-- ???，上单调递增，在12a ??

-+∞ ???

，

上单调递减，∴()g x 在12a x =-时取得最大值. 又∵(0)0g =，∴对任意的(1

)x ∈-+∞，，()(0)g x g ≤恒成立，即()g x 的最大值为(0)g . ∴102

a

-=，解得2a =. ……………………………5分 (Ⅱ)由()f x 是减函数，且(0)0f =可得，当0x >时，()0f x <，

∴()0f n <，即2

2(1)ln(1)2n n n n ++<+.

两边同除以2

2(1)n +得，ln(1)121211n n n n n n ++

从而12311123345212

22341234121

n n n n n n n T a a a a n n n +++????=??

+++????， 所以[]21(2)ln (2)ln 2ln(2)ln(1)(1)ln 22(1)n n n n T n n n n +??

++<=+-+-+??

+??

①.