直线与方程复习讲义
第一节 直线与方程
【考纲知识梳理】
一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角
①关于倾斜角的概念要抓住三点： ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向.
②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0
0. ③倾斜角α的范围0
0180α≤<. （2）直线的斜率
①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为0
90的直线斜率不存在。
②经过两点
的直线的斜率公式是
③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。 2、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行
对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。
（2）两条直线垂直
如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=-
注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。
二、直线的方程
1、直线方程的几种形式
为直线上一定点，k为斜率
是直线上两定点
注：过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）若x1= x2且y1≠y2，直线垂直于x轴，方程为；（2）若，直线垂直于y轴，方程为；（3）若，直线方程可用两点式表示）
2、线段的中点坐标公式
若点的坐标分别为，且线段的中点M的坐标为（x,y），则
此公式为线段的中点坐标公式。
三、直线的交点坐标与距离公式
1.两条直线的交点
设两条直线的方程是，两条直线的交
点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。
2.几种距离
（1）两点间的距离
平面上的两点间的距离公式
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距离
（2）点到直线的距离
点到直线的距离；
（3）两条平行线间的距离
两条平行线间的距离
注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；
（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。
四、两条直线的位置关系
【要点名师透析】
一、直线的倾斜角与斜率 （一）直线的倾斜角 ※相关链接※
2．已知斜率k 的范围，求倾斜角α的范围时，若k 为正数，则α的范围为(0,)2
π
的子集，且k=tan α
为增函数；若k 为负数，则α的范围为(
,)2
π
π的子集，且k=tan α为增函数。若k 的范围有正有负，则可
所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。
※例题解析※
〖例〗已知直线的斜率k=-cos α(α∈R ).求直线的倾斜角β的取值范围。
（二）直线的斜率及应用 ※相关链接※ 1、斜率公式：21
21
y y k x x -=
-与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中前后次序相同；
2、求斜率的一般方法：
（1）已知直线上两点，根据斜率公式 21
2121
()y y k x x x x -=
≠-求斜率；
（2）已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； 3、利用斜率证明三点共线的方法：
已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 注：斜率变化分成两段，0
90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 ※例题解析※
〖例〗设,,a b c 是互不相等的三个实数，如果333(,)(,)(,)A a a B b b C c c 、、在同一直线上，求证：
0a b c ++=
（三）两条直线的平行与垂直
〖例〗已知点M （2，2），N （5，-2），点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标。 （1）∠MOP=∠OPN （O 是坐标原点）； （2）∠MPN 是直角。 二、直线的方程 （一）直线方程的求法 ※例题解析※
〖例〗求过点P （2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。
（二）用一般式方程判定直线的位置关系 ※相关链接※
两条直线位置关系的判定
已知直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，则 （1）
12122112211221111222222
//00(0)(0).
l l A B A B AC A C B C B C A B C
A B C A B C ?-=-≠-≠=≠且或或记为：、、不为
（2）121212//0.l l A A B B ?+= （3）
（4）
※例题解析※
〖例〗已知直线1:260l ax y ++=和直线22:(1)10l x a y a +-+-=，（1）试判断1l 与2l 是否平行；（2）1l ⊥2l 时，求a 的值。
（三）直线方程的应用 ※相关链接※
利用直线方程解决问题，可灵活选用直线方程的形式，以便简化运算。一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式。
另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，常选用截距式或点斜式。 注：（1）点斜式与斜截式是两种常见的直线方程形式，要注意在这两种形式中所要求直线的斜率存在。 （2）“截距”并非“距离”，可以是正的，也可以是负的，还可以是0。 ※例题解析※
〖例〗如图，过点P （2，1）作直线l ，分别为交x 、y 轴正半轴于A 、
B 两点。
（1）当⊿AOB 的面积最小时，求直线l 的方程； （2）当｜PA ｜·｜PB ｜取最小值时，求直线l 的方程。 三、直线的交点坐标与距离公式 （一）有关距离问题 ※相关链接※
1、点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握。
2、点到几种特殊直线的距离
（1）点00(,)P x y 到x 轴的距离0||d y =。 （2）点00(,)P x y 到y 轴的距离0||d x =.
（3）点00(,)P x y 到与x 轴平行的直线y=a 的距离0||d y a =-。 （4）点00(,)P x y 到与y 轴平行的直线x=b 的距离0||d x a =-.
注：点到直线的距离公式当A=0或B=0时，公式仍成立，但也可不用公式而直接用数形结合法来求距离。
※例题解析※
〖例〗已知点P （2，-1）。
（1）求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；
（2）求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？
（3）是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。
（二）有关对称问题 常见的对称问题： （1）中心对称
①若点及关于对称，则由中点坐标公式得
②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用，由点斜式得到所求直
线方程。
（2）轴对称 ①点关于直线的对称 若两点关于直线l ：Ax+By+C=0对称，则线段
的中点在对
称轴l 上，而且连接
的直线垂直于对称轴l 上，由方程组
可得到点
关于l 对称的点
的坐标（其中）
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。
※例题解析※
〖例〗求直线1:23l y x =+关于直线:1l y x =+对称的直线2l 的方程。
（三）解析法（坐标法）应用
〖例〗（12）如图，已知P 是等腰三角形ABC 的底边BC 上一点，P M ⊥AB 于M ，PN ⊥AC 于N ，用解析法证明|PM|+|PN|为定值。
【感悟高考真题】
1．（2011·北京高考文科·T8）已知点(0,2)A ，(2,0)B .若点C 在函数2
y x =的图象上，则使得ABC ?的面积为2的点C 的个数为（ ） （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1
2．（2011·安徽高考理科·Ｔ15）在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）. ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点
④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线
3．（2011·安徽高考理科·Ｔ17）如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，1,2,OA OD ==△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形。 （Ⅰ）证明直线BC ∥EF ；
（Ⅱ）求棱锥F —OBED 的体积.
4．（2011·安徽高考文科·Ｔ17）设直线11221212:x+1:y=k x 1k ,k k k +20l y k l =-=，，其中实数满足， （I ）证明1l 与2l 相交；
（II ）证明1l 与2l 的交点在椭圆2
2
2x +y =1上.
直线与方程复习大全
一、 直线与方程：
1. 直线的倾斜角 x 轴正方向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.当直线与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 因此，直线倾斜角的取值范围是[0°,180°).
2. 直线的斜率 ①定义：倾斜角α不是90°的直线，α的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率通常用k 表示. 即tan k α=. 当α＝0°时，k ＝0；当α∈(0°, 90°)时，k ＞0；当α∈(90°, 180°)时，k ＜0；当α＝90°时，k 不存在.
②经过两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)的直线的斜率公式：)(211
21
2x x x x y y k ≠--=
（1）.若直线过点（１，２），（４，２＋3），则此直线的倾斜角是――――――（ ） Ａ ３０° Ｂ ４５° Ｃ ６０° Ｄ ９０° （2）．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）
A 0
45,1 B 0
135,1- C 0
90，不存在 D 0
180，不存在
（3）. 如图1，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，
则必有（ ） A. k 1 a. 点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率为k ，且过点(x 1, y 1). 注意：当直线的倾斜角为0°时直线的斜率k ＝0，直线的方程是y ＝y 1； 当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，直线的方程是x ＝x 1； b. 斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b （b ∈R ） c. 两点式： 11 2121 y y x x y y x x --= --（1212,x x y y ≠≠）直线经过两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2) d. 截矩式：1x y a b += 直线l 过点(,0)a 和点(0,)b , 即l 在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b （a ≠0且b ≠0） 注意：直线l 在坐标轴上的截距相等时，斜率为－1或经过原点； 直线l 在坐标轴上的截距互为相反数时，斜率为1或经过原点； e. 一般式：Ax ＋By ＋C ＝0（A , B 不全为0） 注意： ①平行于x 轴的直线：y ＝b （b 为常数）, 直线的斜率为0； ②平行于y 轴的直线：x ＝a （a 为常数）, 直线的斜率不存在； ③直线在坐标轴上的截距可以为一切实数 1．把直线l 的一般式方程2x-y+6=0化成斜截式方程是 . 2．直线l:13 2=-+-y x 在x 轴上的截距是 . 3．过点Ｐ（１，２）且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程是 . 4．线过原点且倾角的正弦值是 5 4 ，则直线方程为 . 5．直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是（ ） A.213, B.-- 213, C.--1 2 3, D.－2，－3 6.mx ＋ny ＝1（mn ≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为 . 7．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 8 设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A 1=+b a B 1=-b a C 0=+b a D 0=-b a 9已知A （1，2）、B （-1，4）、C （5，2），则ΔABC 的边AB 上的中线所在的直线方程为（ ） （A ）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=0 10．已知直线1l 过点P (2,2)-， （1）若1l 的倾斜角是直线210l y ++=倾斜角的 1 2 ，求直线1l 的方程； （2）若1l 在两坐标轴上的截距相等，求直线1l 的方程； （3）若1l 与两坐标轴构成单位面积的三角形，求直线1l 的方程。 11 过点(5,4)A --作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5 12 经过点(1,2)A 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程 13．一条光线从点P （6,4）射出，与x 轴相交于点Q （2,0），经x 轴反射，求入射光线和反射光线的方程。 14.已知A （2，－3），B （-3，－2），直线l 过P （1,1）且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是－――――――――――――――――――――――――――――――（ ） （A ）k ≥3/4或k ≤-4 (B)-4≤k ≤3/4 (C) –3/4≤k ≤4 (D)以上都不对 4、 两条直线的平行与垂直 设直线l 1：11b x k y +=，直线l 2：22b x k y +=. 则 ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ②12121-=?⊥k k l l 注意：利用斜率判断直线的平行或垂直时，要注意斜率的存在与否. 1. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= ――――――――（ ） A 、 -3 B 、-6 C 、2 3- D 、3 2 2. 直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是 （A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交但不垂直 （D ）不能确定 3．直线l: 2x －y ＋C=0与直线m: 4x －2y ＋C=0的位置关系是 . 4．直线x+m 2 y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0 没有公共点，求实数m 的值. 5．直线062=++y ax 和直线0)1()1(2 =-+++a y a a x 垂直，求a 的值. 6．若N a ∈，又三点A(a ，0)，B （0，4+a ），C （1，3）共线，求a 的值. 7. 已知点A （1,2），B （3,4），C （5,6），D （7,8），则直线AB 与CD 直线的位置关系是（ ） （A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交但不垂直 （D ）重合 8. 已知点A （7,－4），B （－5,6），求线段AB 的垂直平分线的方程。 9．原点Ｏ在直线l 上的射影为点Ｈ（－２，１），则直线l 的方程为 . 10．已知直线l 与直线3x+4y －7=0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l 的方程为________________ 11. 点Ｍ（４，m ）关于点Ｎ（n, － 3）的对称点为Ｐ（６，－９），则（ ） Ａ m ＝－３，n ＝１０ Ｂ m ＝３，n ＝１０ Ｃ m ＝－３，n ＝５ Ｄ m ＝３，n ＝５ 12．点（-1，2）关于直线y = x -1的对称点的坐标是 （A ）（3，2） （B ）（-3，-2） （C ）（-3，2） （D ）（3，-2） 13．与直线l ：3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程为 （A ）3x ＋4y －5＝0（B ）3x ＋4y ＋5＝0（C ）－3x ＋4y －5＝0（D ）－3x ＋4y ＋5＝0 14．与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ） A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0 5 两条直线的交点 1. 若直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0 ，与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交 则交点坐标为方程组?? ?=++=++0 0222111C y B x A C y B x A 的一组解. 方程组无解21//l l ? ；方程组有无数解?l 1与l 2重 合 6. 过定点的直线系 ①斜率为k 且过定点(x 0 , y 0)的直线系方程为y －y 0＝k (x －x 0)； ②过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0 ，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为 (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ( A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0（λ为参数），其中直线l 2不在直线系中. 1. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 ――――――――――（ ） A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2） 2．直线,31k y kx =+-当k 变动时，所有直线都通过定点（ ） （A ）（0，0） （B ）（0，1） （C ）（3，1） （D ）（2，1） 3．若0a b c -+=，则直线0ax by c ++=必经过一个定点是（ ）. A ．(1,1) B ． (1,1)- C ． (1,1)- D ． (1,1)-- 7．平面上两点间的距离 设A(x 1 , y 1) , B(x 2 , y 2) 是平面直角坐标系中的两点，则||AB 若线段AB 的中点为M(x 0 ,y 0) , 则2 ,22 10210y y y x x x +=+= 1.过点Ｍ（２,１）的直线与Ｘ轴，Ｙ轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜, 则Ｌ的方程是（ ）Ａ x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x+y-5=0 D x+2y-4=0 2.已知点(5,4)A -和(3,2)B 则过点(1,2)C -且与A,B 的距离相等的直线方程为 . 3．已知直线012:=+-y x l 和点A （-1，2）、B （0，3），试在l 上找一点P ，使得PB PA +的值最小，并求出这个最小值。 4. 已知点(1,1)A ，(2,2)B ，点P 在直线x y 21=上，求22PB PA +取得最小值时P 点的坐标。 5. 求函数()f x = 8 点到直线的距离 1. 点到直线距离公式：点P(x 0 , y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离2 2 00| |B A C By Ax d +++= 2. 两条平行直线 l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0 ，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离 1.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）A 2 B 2 1 C 1 D 2 7 2．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是 . 3 与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是____________ 4．已知直线l 方程为y=kx+k+1，则当点P （2，－1）与直线l 的距离最远时，直线l 的斜率为 . 5．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．360x y +-= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y -+= 6. ①求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的距离是7的直线的方程; ②求垂直于直线x+3y-5=0, 且与点P(-1,0)的距离是105 3 的直线的方程. 7．已知直线l 被两平行直线063=-+y x 033=++y x 和所截得的线段长为3，且直线过点（1，0），求 直线l 的方程. 【考点模拟演练】 一、选择题 1．倾斜角为45?，在 y 轴上的截距为1-的直线方程是（ ） A ．1y x =+ B ．1y x =-- C ．1y x =-+ D ．1y x =- 2．倾斜角为45?，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ ） A ．01=+-y x B ．01=--y x C ．01=-+y x D ．01=++y x 3．过原点和 在复平面内对应点的直线的倾斜角为（ ） A ． B ． C ． D ． 4．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ） A. 0 B. 8- C. 2 D. 10 5．在平面直角坐标系中，点A(1，2)、点B(3，1)到直线l 的距离分别为1和2，则符合条件的直线条数为 ( ) A ．3 B ．2 C ．4 D ．1 6．设 分别是 中 所对边的边长,则直线与 的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．重合 D ．相交但不垂直 7．点P(2,3)到直线：ax+(a －1)y+3=0的距离d 为最大时，d 与a 的值依次为 （ ） A ．3,-3 B ．5,1 C ．5,2 D ．7,1 8．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 9．若方程014)()32(2 2 =+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A. 0≠m B. 2 3 - ≠m C. 1≠m D. 1≠m ，2 3 - ≠m ，0≠m 10．若点 到直线的距离为4，且点 在不等式 表示的平面区域内， 则实数的值为（ ） A.7 B.－7 C.3 D.－3 11．已知点到直线 的距离相等，则实数的值等于（ ） A ． B ． C ． D ． 12．过点 () 2,1M 的直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于P 、Q 两点，且 2MQ MP =，则直线l 的方 程为（ ） A.x+2y-4=0 B.x-2y=0 C.x-y-1=0 D.x+y-3=0 二、填空题 13．已知A 、B 、C 三点的坐标分别是(0,-2)、(0,0)、(3,1),若点M 满足2=,点N 满足3-=，点P 满足⊥，则P 点的轨迹方程是 . 14．若直线 1:10l mx y +-=与2:250l x y -+=垂直，则m 的值是 ． 15．函数x e y 2=图像上的点到直线042=--y x 距离的最小值是 _ 16．直线为参数）上与点的距离等于的点的坐标是 三、解答题 17．已知直线Ax By C ++=0， （1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线； （2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交； （3）系数满足什么条件时只与x 轴相交； （4）系数满足什么条件时是x 轴； （5）设() P x y 00，为直线Ax By C ++=0上一点， 18．（本小题满分14分） 已知函数 x a x x f + =)(的定义域为),0(∞+，且 222)2(+ =f . 设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为N M 、 ． （1）求a 的值；（2分） （2）问：||||PN PM ?是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；（5分） （3）设O为原点，求四边形OMPN面积最小值（7分） 直线与方程 1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 4、直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之， 如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 直线的点斜式方程 1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k )(00x x k y y -=- 2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b b kx y += 3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211 y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠ y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0） 2、各种直线方程之间的互化。 3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两直线的交点坐标 1、给出例题：两直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 3420 2220x y x y +-=??++=? 得 x=-2，y=2 第三章直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1．1 倾斜角与斜率 【知识点归纳】 1.直线的倾斜角： 2.直线的斜率： 3.直线的斜率公式： 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角 例 1 已知直线的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（）. A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 变式训练： 设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕原点沿逆时针方向旋转45°， 得到直线，则的倾斜角为（）。 A. B. C. D. 当0°≤α＜135°时为，当135°≤α＜180°时，为 题型二求直线的斜率 例2如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 变式训练：已知过两点, 的直线l的倾斜角为45°，求实数的值. 题型三直线的倾斜角与斜率的关系 例3右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）. A .k1＜k2＜k3 B. k3＜k1＜k2 C. k3＜k2＜k1 D. k1＜k3＜k2 拓展一三点共线问题 例4 已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值． 变式训练: 若三点P（2，3），Q（3，），R(4，)共线，那么下列成立的是（）. A． B． C． D． 拓展二与参数有关问题 例 5 已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线与线段AB始终有公共点，求直线的斜率的取值范围. 变式训练： 已知两点，直线过定点且与线段AB相交，求直线的斜率的取值范围. 拓展三利用斜率求最值 例 6 已知实数、满足当2≤≤3时，求的最大值与最小值。 变式训练：利用斜率公式证明不等式：且 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 【知识点归纳】 1.直线平行的判定 2.两条直线垂直的判定（注意垂直与x轴和y轴的两直线）： 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例 1 已知直线经过点M（-3，0）、N（-15，-6），经过点R（-2，）、S（0，），试判断与是否平行？ 变式训练：经过点和的直线平行于斜率等于1的直线，则的值是（）. A．4 B．1 C．1或3 D．1或4 高一数学第一学期教学工作计划 （2011年下学期） 一、学情分析 高一班全班人，男生人，女生人，高一班全班人，男生人，女生人。由于学生人数多，数学基础的差异程度加大，为教学的因材施教增加了难度。相当一部分学生还没有真正树立良好的学习习惯和自觉性意识，部分学生自我控制能力不强，计算能力较弱,书写和表达能力较差,解题过程逻辑性不强，分析、解决问题的能力有待进一步加强。同时,由于初中课改的原因,高中教材与初中教材衔接力度不够,需在新授时适机补充一些内容。因此在教学时间上可能仍然吃紧。另一方面，透过中考成绩可知,有很多学生底子薄弱,基础知识掌握的很不牢固。二、指导思想 使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。 三、教材分析 本学期的数学教学内容是人教A版《普通高中课程标准试验教科书数学（必修1、2）》，包括集合与函数的概念、基本初等函数(I)、函数的应用、空间几何体、点、直线、平面之间的位置关系、直线与方程、圆与方程共七章内容。 1. 集合是现代数学的一个重要基础，它与其他教学内容有着的联系，它是学习、掌握和使用数学语言的基础。函数是中学数学中最重要的基本概念之一，它是描述客观世界变化规律的基本数学模型。函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用；它与代数式、方程、不等式等内容联系非常密切；函数概念所反映的思想方法是进一步学习数学的重要基础。 2.第一章：空间几何体；重点是空间几何体的三视图和直观图及表面积与体积；难点是空间几何体的三视图；第二章：点、直线、平面之间的位置关系；重点与难点都是直线与平面平行及垂直的判定及其性质；第三章：直线与方程；重点是直线的倾斜角与斜率及直线方程；难点是如何选择恰当的直线方程求解题目；第四章：圆与方程；重点是圆的方程及直线与圆的位置关系；难点是直线与圆的位置关系； 四、教学措施 直线与方程专题复习 专题复习直线与方程 【基础知识回忆】 1. 直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点：i ?与x轴相交；ii.x轴正向；iii.直线向上方向? ②直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 ③倾斜角的范围 _____________ . (2)直线的斜率 ①直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是 ②经过两点P l(X!，y!),P2(X2, y2)(X! X2)两点的斜率公式为：k ③每条直线都有倾斜角，但并 不是每条直线都有斜率。倾斜角为_的直线斜率不存 在。 2. 两直线垂直与平行的判定 (1) 对于不重合的两条直线I i,l2，其斜率分别为k「k2,，则有： l l〃l2 ______________ ____________________________________ ；I l l2 (2) ___________________________________________________ 当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线 ____________________________________ ;当一条直线斜率为 0，另一条直线斜率不存在时，两条直线. 3. 直线方程的几种形式 一般式 Ax By c 0 (A2 B20) 注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式? 4. 三个距离公式 (1) ____________________________________________________ 两点只(人，浙),卩2匕2°2)之间的距离公式是：|P l P2| ___________________________________ ? (2)点P(x0, y0)到直线l : Ax By c 0的距离公式是：d _____________ . (3)两条平行线l : Ax By & 0,1: Ax By c? 0间的距离公式是：d . 【典型例题】 题型一：直线的倾斜角与斜率问题 例1、已知坐标平面内三点A( 1,1), B(1,1),C(2, ..3 1). (1) 求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角. (2) 若D为ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围. 例2、图中的直线11、12、|3的斜率分别为k1、k2、k3,贝U： A . k1 < k2 v k3 B. k3< k1< k2 C. k3< k2< k1 < k2 例3、利用斜率证明三点共线的方法： D. k1 < k3 直线与方程 知识点复习： 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[ ) 90,0∈α时，0≥k ； 当( ) 180,90∈α时，0 2014年高考一轮复习考点热身训练：8.1直线与方程 一、选择题(每小题6分，共36分) 1.直线经过原点和点(-a,a)(a≠0)，则它的倾斜角是( )[ (A)45° (B)135° (C)45°或135° (D)0° 2.(20132福州模拟)一条直线经过点P1(-2,3),倾斜角为α=45°,则这条直线方程为( ) (A)x+y+5=0 (B)x-y-5=0 (C)x-y+5=0 (D)x+y-5=0 3.直线ax+by+c=0同时要经过第一、第二、第四象限，则a、b、c应满足( ) (A)ab＞0,bc＜0 (B)ab＞0,bc＞0 (C)ab＜0,bc＞0 (D)ab＜0,bc＜0 4.设△ABC的一个顶点是A(3,-1)，∠B,∠C的平分线方程分别为x=0,y=x，则直线BC的方程为( ) (A)y=2x+5 (B)y=2x+3 (C)y=3x+5 (D) 15 y x 22 =-+ 5.(易错题)设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a、b是关于x的方程x2+x+c=0的两个实数 根，且0≤c≤1 8 ，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( ) (A)1 2 ， 1 2 (D) 1 2 6.(20122泉州模拟)若点A(3,5)关于直线l：y=kx的对称点在x轴上，则k是 ( ) (D) 二、填空题(每小题6分，共18分) 7.(2012?莆田模拟)过点P(－5，－4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是_____________. 8.已知A(4,0),B(0,4),从点P(2，0)射出的光线被直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经OB反射后回到P点，则光线所经过的路程是__________. 9.设直线l1经过点A(3，0),直线l2经过点B(0,4)，且l1∥l2，则l1与l2间的距离d的取值范围为__________. 三、解答题(每小题15分，共30分) 10.已知两直线l1:x+ysinθ-1=0和l2:2xsinθ+y+1=0,试求θ的值，使得:(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2. 11.两互相平行的直线分别过A(6,2)，B(-3,-1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行线间的距离为 d. (1)求d的变化范围； (2)求当d取得最大值时的两条直线方程. 【探究创新】 直线与方程小结复习 教学目标: (1)在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素. （2）理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式． (3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直． （4）掌握确定直线的几何要素,掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式及一 般式），了解斜截式与一次函数的关系. （５）能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标. （６)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离． 教学方法：探究、交流、讲授结合 教学计划：2课时 教学过程: 第一课时: 知识点梳理: 1.倾斜角:一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角,叫做直线的倾斜角,范围为[)0,π. 斜率:当直线的倾斜角不是90?时，则称其正切值为该直线的斜率,即tan k α=； 当直线的倾斜角等于90?时，直线的斜率不存在。 说明:（１)每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率; （２） 斜率为倾斜角的函数： 2．斜率的求法: （１)定义法:tan k α=（?≠90α) （2)坐标法:过两点()111,P x y ,()222,P x y ()12x x ≠的直线的斜率 公式:21 21 tan y y k x x α-== - 若12x x ≠，则直线12P P 的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90?． (3）由直线方程求其斜率：直线0Ax By C ++=的斜率为B A k - = 3.直线方程的几种形式： 基本题型: 问题1:斜率与倾角 : 例1：已知两点()1,2A -，(),3B m . （1）求直线AB 的斜率k ; (2）若实数1m ?? ∈???? ，求AB 的倾斜角α的范围. 例2．已知直线l 过点()0,0P 且与以点()2,2A --,()1,1B -为端点的线段相交, 求直线l 的斜率及倾斜角α的范围． 问题2．直线l 的方程 例3:求满足下列条件的直线l 的方程: （1）过两点()2,3A ,()6,5B ;(2）过()1,2A ，且斜率为2 3= k ; （3）过()3,2P ,倾斜角是直线30x +=的倾斜角的2倍; (4)过()5,2A -，且在x 轴，y 轴上截距相等; （５）在y 轴上的截距为3-，且它与两坐标轴围成的三角形面积为6. 考点1：倾斜角与斜率 （一）直线的倾斜角 例1例1. 若θ为三角形中最大内角，则直线0tan :=++m y x l θ的倾斜角的范围是（ ） A.??? ?????? ??32,22,0πππ B.??? ?????? ??32223ππππ，， C.??? ?????? ??πππ，，330 D.?? ? ?????? ??πππ，，3220 2 若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．,63ππ?????? B ．,62ππ?? ??? C ．,32ππ?? ??? D ．,62ππ?????? （二）直线的斜率及应用 3、利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 例2、设,,a b c 是互不相等的三个实数，如果333(,)(,)(,)A a a B b b C c c 、、在同一直线上，求证：0a b c ++= 1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 2．过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为（） A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 3．已知直线l 则直线的倾斜角为（ ） A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 4．若三点P （2，3），Q （3，a ），R (4，b )共线，那么下列成立的是（ ）. A ．4,5a b == B ．1b a -= C ．23a b -= D ．23a b -= 5．右图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）. A .k 1＜k 2＜k 3 B. k 3＜k 1＜k 2 C. k 3＜k 2＜k 1 D. k 1＜k 3＜k 2 6．已知两点A (x ，－2)，B (3，0)，并且直线AB 的斜率为2，则x ＝ . 7．若A (1，2)，B (-2，3)，C (4，y )在同一条直线上，则y 的值是 . 8．已知(2,3),(3,2)A B ---两点，直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围. 9、直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________． 考点2：求直线的方程 例3. 已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程； (2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 1、求过点P （2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。 2、设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是（ ）A. x ＋y －5＝0 B. 2x －y －1＝0 C. 2y －x －4＝0 D. 2x ＋y －7＝0 3、直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则该直线方程为________． 4、过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为_____________． 5、已知点A (2，－3)是直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0与直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点，则经过两个不同点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x －3y ＋1＝0 B ．3x －2y ＋1＝0 C ．2x －3y －1＝0 D ．3x －2y －1＝0 6、.过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)的距离相等的直线方程是( ) A ．y ＝1 B ．2x ＋y －1＝0 C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0 D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0 7.如图，过点P （2，1）作直线l ，分别为交x 、y 轴正半轴于A 、B 两点。（1）当⊿AOB 第三章：直线与方程的知识点 一、基础知识 倾斜角与斜率 1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<或),0[πα∈ 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点 1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2 1 21y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?< 直线与方程 一．选择题（共18小题） 1．（2004?黑龙江）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条 2．设直线l：x+y=0，若点A（a，0），B（﹣2b，4ab）（a＞0，b＞0）满足条件AB∥l，则的最小值为（）A．B．C．D． 3．设直线x+my+n=0的倾角为θ，则它关于x轴对称的直线的倾角是（） A．θB．C．π﹣θD． 4．已知，，直线l过原点O且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A．B．C．D． 5．将直线l1：y=2x绕原点逆时针旋转60°得直线l2，则直线l2到直线l3：x+2y﹣3=0的角为（） A．30°B．60°C．120°D．150° 6．已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率的范围是（） A． k≥k≤﹣4 B． ﹣4≤k≤ C． k＜ D． ≤k≤4 7．三条直线l1：x﹣y=0，l2：x+y﹣2=0，l3：5x﹣ky﹣15=0构成一个三角形，则k的取值范围是（）A．k∈R B．k∈R且k≠±1，k≠0 C．k∈R且k≠±5，k≠﹣10 D．k∈R且k≠±5，k≠1 8．“m=﹣2”是“直线（m+1）x+y﹣2=0与直线mx+（2m+2）y+1=0相互垂直”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 9．以下四个命题： ①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直； ②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面； ③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线； ④两个互相垂直的平面，一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线． 其中正确的命题是（） A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④ 10．下列命题中正确的是（） A．经过点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0=k（x﹣x0）表示 B．经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示 C．经过任意两个不同点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可用方程（x2﹣x1）（y﹣y1）=（y2﹣y1）（x﹣x1）表示 D． 不经过原点的直线都可以用方程表示 11．过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（） A．3x﹣2y=0 B．x+y﹣5=0 C．3x﹣2y=0或x+y﹣5=0 D．2x﹣3y=0或x+y﹣5=0 12．过点P（5，﹣2），且与直线x﹣y+5=0相交成45°角的直线l的方程是（） A．y=﹣2 B．y=2，x=5 C．x=5 D．y=﹣2，x=5 13．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0与bx﹣ysinB+sinC=0的位置关系是（） A．垂直B．平行C．重合D．相交但不垂直 14．若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=﹣2x+4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是（） A． k＞﹣B．k＜2 C． ﹣＜k＜2 D． k＜﹣或k＞2 15．已知点A（﹣1，﹣2），B（2，3），若直线l：x+y﹣c=0与线段AB有公共点，则直线l在y轴上的截距的取值范围是（） A．[﹣3，5]B．[﹣5，3]C．[3，5]D．[﹣5，﹣3] 16．已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2），直线l：λx﹣4y+4﹣λ=0与线段AB恒有公共点，则λ的取值范围是（）A．λ≥3或λ≤﹣16 B． 或λ≤﹣4 C．﹣16≤λ≤3 D．3≤λ≤16 17．点P在直线3x+y﹣5=0上，且点P到直线x﹣y﹣1=0的距离为，则P点坐标为（） A．（1，2）B．（2，1）C．（1，2）或（2，﹣1）D．（2，1）或（﹣2，1） 18．△ABC中，点A（4，﹣1），AB的中点为M（3，2），重心为P（4，2），则边BC的长为（） A．5B．4C．10 D．8 第三章直线与方程 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角与斜率 设直线I斜率为k且1 3.1.2两条直线平行与垂直的判定 【 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例1 已知直线l i 经过点M (-3, 0)、N (-15,-6), 12 经过点R (-2, - )、S (0, 2 5)，试判断^与12是否平行？ 2 变式训练：经过点P( 2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，贝U m的值是(). A . 4 B. 1 C. 1 或3 D. 1 或4 题型二两条直线垂直关系 例2已知ABC的顶点B(2,1), C( 6,3)，其垂心为H( 3,2)，求顶点A的坐标. 变式训练：(1) h的倾斜角为45 ° 12经过点P (-2，-1 )、Q (3，-6)，问h与12是否垂直？ (2)直线11,12的斜率是方程x2 3x 1 0的两根，则h与12的位置关系是—. 题型三根据直线的位置关系求参数 例3已知直线h经过点A(3,a)、B (a-2,-3)，直线S经过点C (2，3)、D (-1，a-2) (1)如果I1//I2，则求a的值；(2)如果11丄12，则求a的值 题型四直线平行和垂直的判定综合运用 例4四边形ABCD的顶点为A(2,2 2 2)、B( 2,2)、C(0,2 2.. 2)、D(4,2)，试判断四边形ABCD的形状. 直线与方程 一．选择题（共2小题） 1．（2007?安徽）若圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为（）A．﹣2或2 B．或C．2或0 D．﹣2或0 2．（2004?黑龙江）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（） A．4x+2y=5 B．4x﹣2y=5 C．x+2y=5 D．x﹣2y=5 二．解答题（共21小题） 3．已知直线l过点P（1，2），并且l在x轴与y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程． 4．直线l过点（1，2）和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程． 5．已知直线l过点P（﹣1，﹣2） （1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； （2）若直线l与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，求△AOB的面积的最小值，并求此时直线l的方程． 6．求过点P（2，3）且满足下列条件的直线方程： （1）倾斜角等于直线x﹣3y+4=0的倾斜角的二倍的直线方程； （2）在两坐标轴上截距相等的直线方程． （1）直线l1过点（﹣3，﹣1），且直线l1在x轴和y轴上的截距相等； （2）直线l1与l2平行，且坐标原点到直线l1、l2的距离相等． 8．已知三角形ABC的顶点是A（﹣1，﹣1），B（3，1），C（1，6）．直线L平行于AB，且分别交AC，BC于E，F，三角形CEF的面积是三角形CAB面积的．求直线L的方程． 9．求过点P（5，﹣2），且与直线x﹣y+5=0相交成45°角的直线l的方程． 10．已知△ABC的顶点A为（0，5），AB边上的中线所在直线方程为4x+11y﹣27=0，∠B的平分线所在直线方程为x﹣2y+5=0，求BC边所在直线的方程． 11．已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3），M是BC边的中点． （1）求AB边所在的直线方程； （2）求中线AM的长． （3）求BC的垂直平分线方程． 12．已知直线l：x+ay+1﹣a=0． （Ⅰ）若l与线段AB有交点，其中A（﹣2，﹣1），B（1，1），求实数a的取值范围； （Ⅱ）若l与x轴的负半轴交M点，交y轴正半轴于N，求△OMN的面积最小时直线l的方程． 必修二直线与方程专题讲义 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ① 关于倾斜角的概念要抓住三点： ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0 0. ③ 倾斜角α的围00 0180α≤<. ④ 090,tan 0k αα?≤ 注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定） （1）若2121y y x x ≠=且，直线垂直于x 轴，方程为1x x =； （2）若2121y y x x =≠且，直线垂直于y 轴，方程为1y y =； （3）若2121y y x x ≠≠且，直线方程可用两点式表示） 3、两条直线平行与垂直的判定 （1） 两条直线平行 斜截式：对于两条不重合的直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，则有 121212//,l l k k b b ?=≠ 注：当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行. 一般式：已知 1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=，则 1212211221//,l l A B A B AC A C ?=≠ 注：1212211221=,l l A B A B AC A C ?=与重合 1l 与2l 相交01221≠-?B A B A （2）两条直线垂直 斜截式：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=- 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1.如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直. I直线方程知识点总结 一、基础知识梳理 知识点 1：直线的倾斜角与斜率 （ 1）倾斜角：一条直线向上的方向与X 轴的所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为 （ 2）斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称倾斜角的为该直线的斜率，即k=tan 注记：所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.（当=90 0时，k 不存在）（3）过两点 p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠ x2)的直线的斜率公式： k=tan y 2 y 1（当x 1＝x2时，k不存在，此时直线的倾斜角为900） . x2x1 知识点 2：直线的方程名称方程 斜截式y=kx+b 点斜式y-y0=k( x-x0) 两点式y y 1 =y y1 y2y1y2y1 截距式x y +=1 a b 一般式Ax+By+C=0已知条件局限性 k——斜率 b——纵截距 (x0， y0)——直线上 已知点， k——斜率 (x1，y1) ，(x2，y2)是直线上 两个已知点 a——直线的横截距 b——直线的纵截距 A C C ，，分别为 B A B A、 B 不能同时为零斜率、横截距和纵截距 直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。 二、规律方法提炼 1、斜率的求法一般有两种方式 （ 1）已知倾斜角,利用k tan ；（2）已知直线上两点，利用 k y2y 1 ( x1 x 2 ) x2x1 2、求直线的一般方法 （1）直接法：根据已知条件选择适当的直线方程，选择时应注意方程表示直线的局限性； （2）待定系数法：先设直线方程，根据已知条件求出待定系数，最后先出直线方程； 3、与直线方程有关的最值问题的求解策略： ○1 首先，应根据问题的条件和结论，选取适当的直线方程形式，同时引进参数； ○2 然后，可以通过建立目标函数，利用函数知识求最值；或通过数形结合思想求最值. II两直线的位置关系 直线与方程 一．选择题（共2小题） 1．（2007?安徽）若圆x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0的圆心到直线x ﹣y+a=0的距离为，则a 的值为（ ） 或 二．解答题（共21小题） 3．已知直线l 过点P （1，2），并且l 在x 轴与y 轴上的截距互为相反数，求直线l 的方程． 4．直线l 过点（1，2）和第一、二、四象限，若直线l 的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程． 5．已知直线l 过点P （﹣1，﹣2） （1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； （2）若直线l 与x 轴，y 轴的负半轴交于A 、B 两点，求△AOB 的面积的最小值，并求此时直线l 的方程． 6．求过点P （2，3）且满足下列条件的直线方程： （1）倾斜角等于直线x ﹣3y+4=0的倾斜角的二倍的直线方程； （2 ）在两坐标轴上截距相等的直线方程． 7．已知两直线 l 1：ax ﹣by+4=0，l 2：2x+y+2=0，求满足下列条件的a 、b 的值． （1）直线l 1过点（﹣3，﹣1），且直线l 1在x 轴和y 轴上的截距相等； （2）直线l 1与l 2平行，且坐标原点到直线l 1、l 2的距离相等． 8．已知三角形ABC 的顶点是A （﹣1，﹣1），B （3，1），C （1，6）．直线L 平行于AB ，且分别交AC ，BC 于E ，F ，三角形CEF 的面积是三角形CAB 面积的．求直线L 的方程． 9．求过点P （5，﹣2），且与直线x ﹣y+5=0相交成45°角的直线l 的方程． 10．已知△ABC 的顶点A 为（0，5），AB 边上的中线所在直线方程为4x+11y ﹣27=0，∠B 的平分线所在直线方程为x ﹣2y+5=0，求BC 边所在直线的方程． 11．已知三角形ABC 的顶点坐标为A （﹣1，5）、B （﹣2，﹣1）、C （4，3），M 是BC 边的中点． （1）求AB 边所在的直线方程； （2）求中线AM 的长． （3）求BC 的垂直平分线方程． 讲义：直线与方程 内容讲解： 1、直线的倾斜角和斜率： （1）设直线的倾斜角为α() 0180α≤<，斜率为k ，则tan 2k παα??=≠ ?? ?.当2 π α=时，斜率不存在. （2）当090α≤<时，0k ≥；当90180α<<时，0k <. （3）过111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线斜率21 2121 ()y y k x x x x -=≠-. 2、两直线的位置关系： 两条直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+斜率都存在，则： （1）1l ∥2l ?12k k =且12b b ≠； （2）12121l l k k ⊥??=-； （3）1l 与2l 重合?12k k =且12b b = 3、直线方程的形式： （1）点斜式：()00y y k x x -=-（定点，斜率存在） （2）斜截式：y kx b =+（斜率存在，在y 轴上的截距） （3）两点式： 11 21212121 (,)y y x x y y x x y y x x --=≠≠--（两点） （4）一般式：( ) 22 00x y C A B A +B += +≠ （5）截距式： 1x y a b +=（在x 轴上的截距，在y 轴上的截距） 4、直线的交点坐标： 设11112222:0,:0l A x B y c l A x B y c ++=++=，则： （1）1l 与2l 相交1122A B A B ? ≠；（2）1l ∥2l 111 222 A B C A B C ?=≠；（3）1l 与2l 重合 111 222 A B C A B C ? ==. 5、两点111(,)P x y ，222(,)P x y 间的距离公式2 2 122121()()PP x x y y = -+- 原点()0,0O 与任一点(),x y P 的距离22OP x y = + 6、点000(,)P x y 到直线:0l x y C A +B +=的距离002 2 Ax By C d A B ++= + （1）点000(,)P x y 到直线:0l x C A +=的距离0Ax C d A += （2）点000(,)P x y 到直线:0l y C B +=的距离0By C d B += （3）点()0,0P 到直线:0l x y C A +B +=的距离2 2 C d A B = + 7、两条平行直线10x y C A +B +=与20x y C A +B +=间的距离122 2 C C d A B -= + 8、过直线1111:0l A x B y c ++=与2222:0l A x B y c ++=交点的直线方程为 ()111222()()0A x B y C A x B y c R λλ+++++=∈ 9、与直线:0l x y C A +B +=平行的直线方程为()0x y D C D A +B +=≠ 与直线:0l x y C A +B +=垂直的直线方程为0x y D B -A += 10、中心对称与轴对称： （1）中心对称：设点1122(,),(,)P x y E x y 关于点00(,)M x y 对称，则12012 022 x x x y y y +?=??? +?=?? （2）轴对称：设1122(,),(,)P x y E x y 关于直线:0l x y C A +B +=对称，则： a 、0B =时，有 122x x C A +=-且12y y =； b 、0A =时，有122y y C B +=-且12x x =(推荐)高中数学直线与方程知识点总结
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