感染率为_IS_1_R_的SIR流行病脉冲接种模型

脉冲响应函数简析

3-2 脉冲响应函数 对于线性定常系统，其传递函数)(s Φ为 )() ()(s R s C s =Φ 式中)(s R 是输入量的拉氏变换式，)(s C 是输出量的拉氏变换式。 系统输出可以写成)(s Φ与)(s R 的乘积，即 )()()(s R s s C Φ= （3-1） 下面讨论，当初始条件等于零时，系统对单位脉冲输入量的响应。因为单位脉冲函数的拉氏变换等于1，所以系统输出量的拉氏变换恰恰是它的传递函数，即 )()(s s C Φ= （3-2） 由方程(3-2)可见，输出量的拉氏反变换就是系统的脉冲响应函数，用)(t k 表示，即 1 ()[()]k t s -=Φ 脉冲响应函数)(t k ，是在初始条件等于零的情况下，线性系统对单位脉冲输入信号的响应。可见，线性定常系统的传递函数与脉冲响应函数，就系统动态特性来说，二者所包含的信息是相同的。所以，如果以脉冲函数作为系统的输入量，并测出系统的响应，就可以获得有关系统动态特性的全部信息。在具体实践中，与系统的时间常数相比，持续时间短得很多的脉动输入信号就可以看成是脉冲信号。 设脉冲输入信号的幅度为11t ，宽度为1t ，现研究一阶系统对这种脉动信号的响应。如 果输入脉动信号的持续时间t )0(1t t <<，与系统的时间常数T 相比足够小，那么系统的响应将近似于单位脉冲响应。为了确定1t 是否足够小，可以用幅度为12，持续时间(宽度)为 21t 的脉动输入信号来进行试验。如果系统对幅度为11t ，宽度为1t 的脉动输入信号的响应，与系统对幅度为12t ，宽度为21t 的脉动输入信号的响应相比，两者基本上相同，那么1t 就可以认为是足够小了。图3-3(a)表示一阶系统脉动输入信号的响应曲线；图3-3(c)表示一阶系统对脉冲输入信号的响应曲线。应当指出，如果脉动输入信号T t 1.01<(图3-3(b)所示)， 则系统的响应将非常接近于系统对单位脉冲信号的响应。 这样，当系统输入为一个任意函数)(t r 时，如图3-4所示。那么输入量)(t r 可以用n 个连续脉冲函数来近似。只要把每一个脉冲函数的响应求出来，然后利用叠加原理，把每个脉冲函数的响应叠加起来，就可得到系统在任意输入函数)(t r 作用下的响应。

数学建模之传染病模型

第五章 微 分 方 程 模 型 如果实际对象的某特性是随时间（或空间）变化的，那么分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立此实际对象的动态模型，这就是微分方程模型. §1 传 染 病 模 型 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等，一直是各国有关专家和官员关注的课题. 考虑某地区的传染病的传染情况，设该地区人口总数为N ，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为计量单位. 一. SI 模 型 假设条件： 1. 人群分为易感染者(Susceptible )和已感染者(Infective )两类人，简称为健康人 和病人，在时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记作()t s 和()t i . 2. 每个病人每天有效接触的平均人数是λ(常数)，λ称为日接触率，当病人与健康 人有效接触时，使健康者受感染变为病人. 试建立描述()t i 变化的数学模型. 解： ()()1=+t i t s ()()N N t i N t s =+∴ 由假设2知，每个病人每天可使()t s λ个健康者变为病人，又由于病人数为 ()t i N ，∴每天共有()()t i N t s λ个健康人被感染. 于是i s N λ就是病人数i N 的增加率，即有 i s N dt di N λ= (1)

i s dt di λ=∴ 而1=+i s . 又记初始时刻(0=t )病人的比例为0i ，则 ()()?????=-=0 01i i i i dt di λ 这就是Logistic 模型，其解为 ()t e i t i λ-??? ? ??-+= 11110 ［结果分析］ 作出()t t i ~和i dt di ~的图形如下： 1. 当2 1=i 时，dt di 取到最大值m dt di ?? ? ??，此时刻为 ??? ? ??-=-11ln 01i t m λ 2. 当∞→t 时，1→i 即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）. 二. SIS 模 型 在前面假设1、2之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，此模型称SIS 模型.

数学建模传染病模型剖析

传染病的传播 摘要：本文先根据材料提供的数据建立了指数模型，并且全面地评价了该模型的合理性与实用性。而后对模型与数据做了较为扼要地分析了指数模型的不妥之处。并在对问题进行较为全面评价的基础上引入更为全面合理的假设和建立系统分析模型。运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法结合

MATLAB 编程(程序在附件二)拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测。同时运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议以及指出建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难本文的最后，通过本次建模过程中的切身体会，说明建立如SARS 预测模型之类的传染病预测模型的重要意义。 关键词：微分方程 SARS 数学模型 感染率 1问题的重述 SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： 1)建立传染病传播的指数模型，评价其合理性和实用性。 2)建立你们自己的模型，说明为什么优于指数模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件1提供的数据供参考。 3)说明建立传染病数学模型的重要性。 2 定义与符号说明 N …………………………………表示为SARS 病人的总数； K （感染率）……………………表示为平均每天每人的传染他人的人数； L …………………………………表示为每个病人可能传染他人的天数； dt d N(t)………………………… 表示为每天（单位时间）发病人数； N(t)-N(t-L)………………………表示可传染他人的病人的总数减去失去传染能力的病人数； t …………………………………表示时间； R 2 ………………………………表示拟合的均方差； 3 建立传染病传播的指数模型 3.1模型假设 1) 该疫情有很强的传播性，病人（带菌者）通过接触（空气，食物，……）将病菌传播给健康者。单位时间（一天）内一个病人能传播的人数是常数k ； 2) 在 所传染的人当中不考虑已治愈的人是否被再次被传播，治愈的人数占该地区的总人数是绝对的少数，治愈者不会再被传播并不影响疫情在该时间内的感染率常数k; 3) 病者在潜伏期传播可能性很小， 仍按健康人处理； 4) SARS 对不同的年龄组的感染率略有不同（相差不大），但我们只考虑它健康人的感染率是一样的；

利用相关分析法辨识脉冲响应

利用相关分析法辨识脉冲响应 1 生成输入数据和噪声 用M 序列作为辨识的输入信号，噪声采用标准正态分布的白噪声。 生成白噪声时，首先利用乘同余法生成U[0,1]均匀分布的随机数，再利用U[0,1]均匀分布的随机数生成标准正态分布的白噪声。白噪声循环周期为 15232768=。 2 过程仿真 模拟过程传递函数)(s G ，获得输出数据y(k)。)(s G 采取串联传递函数仿真， 2 12111 11)(T s T s T T K s G ++= ，用M 序列作为辨识的输入信号。()G s 采样时间0T 设为 1Sec ，12120, 8.3Sec, 6.2Sec K T T === (1) 惯性环节 其中，T 为惯性环节的时间常数，K 为惯性环节的静态放大倍数。若采样时 间记作0T ，则惯性环节的输出可写成： [] 011111000T k u k u T e T TK k u e TK k y e k y T T T T T T )()() )() ()()()(///--+-+--+-=--- (2) 传递函数()G s 仿真（串联） 21211111T s T s T T K s G //)(++=

令112 K K T T ＝，则()G s 的表达框图为： [] 011111000T k u k u T e T TK k u e TK k y e k y T T T T T T )()() )() ()()()(///--+-+--+-=--- 编程语句可写成： [][][][]}; );()();()();()(; /)()(*)(**)(*)(*)(*)(;/)()(*)(***)(*)(**)(*)({) ;;(; )(;)();/();/();*/(k y k y k x k x k u k u T k x k x T E T T k x E T k y E k y T k u k u T E T K T k u E K T k x E k x k k k y x T T E T T E T T K K =-=-=---+-+--+-=--+-+--+-=++<===-=-==11111111111112521for 0000EXP EXP 002222220011111111202101211 3、白噪声生成 ● 利用乘同余法生成U[0,1]均匀分布的随机数 ) (,)(mod ) (,,],[~)(mod ,奇数循环周期其中118317923276821002151=====?????==-+x A M U M x M Ax x k i i i i ξ ● 利用U[0,1]均匀分布的随机数生成正态分布的白噪声

数学建模论文资料传染病模型)

传染病模型 摘要 “传染病的传播过程”数学模型是通过控制已感染人群来实现的。利用隔离等手段来保护未被感染的人群，减少其对健康人群的危害。由于传染病具有研究新型病例有着重要的意义，利用数学知识联系实际问题，作出相应的解答和处理。问题一：描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。问题二，在区分健康人群和已经感染人群的情况下，要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型，必须在问题一的条件下作出合理假设，同时得出该模型，最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。问题三，传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染，问题三加入健康人可以再次感染，一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。 一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把问题简化，建立相应的数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。从而使模型逐步完善。下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。

一．问题的提出 描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。问题二，在区分健康人群和已经感染人群的情况下，要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型，必须在问题一的条件下作出合理假设，同时得出该模型，最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。问题三，传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染，问题三加入健康人可以再次感染，一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。 二．问题的分析 2.1 问题分析 描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。 2.2模型分工

总人口在变化的流行病动力学模型

2001年第22卷第4期华　北　工　学　院　学　报V o l.22　N o.4　2001 (总第78期)JOURNAL OF NORTH CH INA INSTITUTE OF TECHNOLOG Y(Sum N o.78) 文章编号:100625431(2001)0420262210 总人口在变化的流行病动力学模型 Ξ 马知恩1,靳　祯2 (1.西安交通大学应用数学系,陕西西安,710049;2.华北工学院理学系,山西太原,030051) 摘　要:　目的　综述总人口在变化的流行病模型研究进展.方法　检索分析国内外相关资料.结果　重点 介绍在移民或出生以及死亡率不相等的情况下给出决定疾病绝灭或形成地方病、种群规模是绝灭、保持有 限或无穷的阈值,在总人口变化且满足修正的logistic方程的情况下也给出了相应的阈值.结论　指出了总 人口在变化的流行病模型的研究方法. 关键词:　流行病模型;稳定性;阈值;种群动力学 中图分类号:　O175.13 文献标识码:A 0　引　言 关于传染病传播的数学模型的研究是从En′ko(1889)开始的,作为奠基性的工作是1927年Kerm ark和M ekendrick的工作.他们将总人口分为易感者(S)、染病者(I)和恢复者(R)三类,利用动力学的方法建立了S I R传染病模型,并对其传播规律和流行趋势进行了研究,提出了阈值理论:若种群中易感者的数量高于阈值,传染病将维持;低于阈值,传染病将趋向绝灭.近20年来,国际上传染病动力学的研究进展迅速,大量的数学模型被用于分析各种各样的传染病问题.这些数学模型大多是适用于各种传染病的一般规律的研究,也有部分是针对诸如麻疹(m easles)、疟疾(m alaria)、肺结核(tubercu lo sis)、流感(influenza)、天花(s m allpox)、淋病(gono rrhea)、爱滋病(A I D S)等诸多具体疾病的模型.从传染病的传播机理来看,这些模型涉及接触传染、垂直传染、媒介传染等不同传染方式以及是否考虑因病死亡,因病或预防接种而获得暂时免疫或终身免疫,种群生长的不同动力学规律等因素构成了丰富多彩的传染病动力学模型. 早期的传染病模型大多假设种群总数为常数或者渐近常数,在某些条件下是合理的,如:疾病在种群中传播速度很快且在短期内没有出生和死亡或出生率和死亡率能够相互平衡、环境封闭等.但在实际问题中,不论是动物还是植物的数量总是随着外界扰动(如:种内或种间的相互作用、资源的限制、迁入和迁出不相等、疾病传播而产生额外死亡等)而发生波动.因此,假设总人口大小为常数是不合理的,需要研究总人口具有种群动力学的流行病模型.关于这类模型已被A nderson and M ay(1979)[1]在实验室所验证,M c N eill(1976)也研究疾病对人类总人口的影响.从数学上看,这类模型的研究更加困难,因为总人口的变化增加了方程的维数. 1　S I R S类模型及一些基本概念 在流行病模型里,一般把总人口N分为易感者类S,染病者类I和恢复者类R.一个S I R S类模型,它表示易感者被染病者传染成为染病者个体,染病者具有免疫后从感染者类移出变为恢复者.恢复者渐渐失去免疫力后又变为易感者类.假设在t时刻易感者类、染病者类和移出者类数量分别为X(t),Y(t) Ξ收稿日期:2001205222 　基金项目:国家自然科学基金资助项目,山西省青年基金资助项目.

流行病学整理资料12.22

问答题： 1．病例对照研究的概念、特点、类型和用途。 概念：病例对照研究选择有特定疾病的人群组与无病的对照组，比较两组人群过去暴露于某因素的比例，分析暴露是否与疾病有关，如病例组的暴露比作队a/a+c，大于对照组的暴露比b/b+d，且经统计学检验有显著意义，则暴露与疾病有联系。 特点：1）属于观察性研究方法。2）必须事行设立对照组。3）观察方向由“果”及“因”，又称回顾性研究。4）证实病因因果关联的力度较弱。 类型：1）非配比病例对照研究。2）配比病例对照研究。3）衍生类型，（如巢式病例对照研究、病例队列研究，单纯病例研究，病例交叉设计，病例时间对照研究）。 用途：1）探索疾病病因，检验病因假设。2）探讨影响疾病预后的因素。3）研究药物有害作用。 2．队列研究的概念、特点、类型、用途。 概念：将特定的人群中按其是否暴露于某因素或按不同暴露水平分成几个队列，追踪观察一定时间，比较两组或多组间的发病率或死亡率，以检验该暴露因素与某病联系的假设。（如果暴露组的发病率或死亡率高于非暴露组，且经统计学检验有显著性意义，则表示该病与该因素有联系。） 特点：1）属于观察性研究方法。2）设立对照。3）观察方向由“因”至“果”。4）能确切证实暴露与疾病的因果关系。 分类：1）前瞻性队列研究。2）历史性队列研究。3）双向性队列研究。 用途：1）检验病因假设。2）评价自发预防的效果。3）描述疾病自然史。4）预后研究。3．流行病学实验研究的定义，分类，临床试验的目的和适用范围及特点，基本要素。 流行病学实验是按随机化分配原则，将实验人群分为两组，人为地给一组以某种因素、措施或新药作为试验组；另一组不给予该种因素、措施或仅给予安慰剂作为对照组，然后随该观察一段时间，比较两组的发病率、死亡率或某种结局。这种有计划地进行的实验研究称流行病学实验研究。 目的和适用范围：1）了解某药功某疗法的实际效果。2）新药的临床试验（I、II、III、IV 期临床试验）。3）预后判断。4）病因学研究。4）前瞻性研究。 特点：1）以病人为研究对象。2）人为给予干预措施。3）必须设立均衡可比的对照组。 基本要素：处理因素、受试对象、试验效应。 4．诊断实验和筛检试验的定义。 诊断试验：用于疾病的诊断、随访、疗效考核及药物监测等方法，进一步把病人和可疑有病但实际无病者区分开来的实验方法。 筛检试验：应用快速的试验、检查或其他方法，从表面上无病的人群中查出某病的阳性者或可疑阳性者。 5．提高筛检效率的方法。 1）选择合适的方法和指标。2）选择患病率较高人群进行检查。3）联合试验（串联试验、并联试验）可提高灵敏度或特异度。 6．实施筛检的原则有哪些？ 1）被筛检的疾病是当前重大的公共卫生问题。 2）被筛检的疾病应当有恰当的治疗方法。 3）被筛检的疾病，应有可识别的早期客观指征。 4）有合适的筛检方法，易为群众接受，筛检试验必须具有快速、经济、有效等特点。 5）对被筛检出的疾病应提供进一步确诊的条件。 6）对确诊的病例，应当提供治疗，并有统一的治疗方案和标准。

利用相关分析法辨识脉冲响应

利用相关分析法辨识脉冲响应 自1205 刘彬 41251141 1 实验方案设计 1.1 生成输入数据和噪声 用M 序列作为辨识的输入信号，噪声采用标准正态分布的白噪声。 生成白噪声时，首先利用乘同余法生成U[0,1]均匀分布的随机数，再利用U[0,1]均匀分布的随机数生成标准正态分布的白噪声。 1.2 过程仿真 模拟过程传递函数)(s G ，获得输出数据y(k)。)(s G 采取串联传递函数仿真， 2 12111 11)(T s T s T T K s G ++= ，用M 序列作为辨识的输入信号。 1.3 计算互相关函数 ∑++=-= p p N r N i p Mz i z k i u rN k R )1(1 )()(1 )( 其中r 为周期数，1+=p N i 表示计算互相关函数所用的数据是从第二个周期开始的，目的是等过程仿真数据进入平稳状态。 1.4 计算脉冲响应估计值、脉冲响应理论值、脉冲响应估计误差 脉冲响应估计值[] )1()()1()(?2 --?+=p Mz Mz p p N R k R t a N N k g 脉冲响应理论值[] 21//2 10)(T t k T t k e e T T K k g ?-?---=

脉冲响应估计误差 ()() ∑∑==-= p p N k N k g k g k g k g 1 2 1 2 )()(?)(δ 1.5 计算噪信比 信噪比()()2 2 )()(v k v y k y --=η 2 编程说明 M 序列中，M 序列循环周期取 63 126=-=p N ，时钟节拍t ?=1Sec ，幅度1=a ， 特征多项式为1)(56⊕⊕=s s s F 。白噪声循环周期为32768215=。 )(s G 采样时间0T 设为1Sec ，Sec 2.6 Sec,3.8 ,12021===T T K 3 源程序清单 3.1 均匀分布随机数生成函数 function sita=U(N) %生成N 个[0 1]均匀分布随机数 A=179; x0=11; M=2^15; for k=1:N x2=A*x0; x1=mod(x2,M); v1=x1/(M+1); v(:,k)=v1; x0=x1; end sita=v; end 3.2 正态分布白噪声生成函数 function v=noise(aipi) %生成正态分布N(0,sigma)

传染病模型(微分方程)

t 微分方程建模（传染病模型）的求解。 1、模型1：SI 模型。 假设： （1）t 时刻人群分为易感者（占总人数比例的()s t ）和已感染者（占总人数比例的()y t ） （2）每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ，λ称为日接触率，当健康者与病人接触时，健康者受感染成为病人。 分析：根据假设，每个患者每天可以使()s t λ个健康者变为病人，因为病人数为()Ny t ，所以每天共有()()Ns t y t λ个健康者变为病人。即： dy N Nsy dt λ=，且()()1s t y t +=，设初始时刻病人比例为b ，则： (1) (0)dy y y dt y b λ?=-???=?，用MATLAB 解此微分方程： >> syms a b >> f=dsolve('Dy=a*y*(1-y)','y(0)=b','t') f = 1/(1-exp(-a*t)*(-1+b)/b) %11 ()1111(1)t t y t b e e b b λλ--= = --+- 当0.09,0.1b λ==时，分别在坐标系oty 中作出()y t 的图像，坐标系oyy '中作出 (1)y y y λ'=-的图像， >> a=0.1; >> b=0.09; >> h=dsolve('Dy=a*y*(1-y)','y(0)=b','t') h = 1/(1-exp(-a*t)*(-1+b)/b) >> f=subs(h) f = 1/(1+91/9*exp(-1/10*t)) ()y t 的图像 >> ezplot(f,[0,60]) >> grid on >> figure (2) >> fplot('0.1*y*(1-y)',[0,1])

传染病传播数学模型

第二节传染病传播的数学模型很多医学工作者试图从医学的不同角度来解释传染病传播时的一种现象，这种现象就是在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。结果都不能令人满意，后来由于数学工作者的参与，用建立数学模型来对这一现象进行模拟和论证，得到了较满意的解答。 一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把问题简化，建立相应的数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。从而使模型逐步完善。下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。 一.最简单的模型 假设：(1) 每个病人在单位时间内传染的人数是常数k；(2) 一个人得病后经久不愈，并在传染期内不会死亡。 以i(t)表示t时刻的病人数， k表示每个病人单位时间内传染的人 数，i(0)= i表示最初时有0i个传染病人，则在t?时间内增加的病人 数为 ()()() i t t i t k i t t +?-=?

两边除以t ?，并令t ?→0得微分方程 ()()()000di t k i t dt i i ?=???=? ………… （2.1） 其解为 ()00 k t i t i e = 这表明传染病的转播是按指数函数增加的。这结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播很快，被传染人数按指数函数增长。但由(2.1)的解可知，当t →∞时，i(t)→∞，这显然不符合实际情况。最多所有的人都传染上就是了。那么问题在那里呢？问题是就出在于两条假设对时间较长时不合理。特别是假设(1)，每个病人单位时间内传染的人数是常数与实际情况不符。因为随着时间的推移，病人越来越多，而未被传染的人数却越来越少，因而不同时期的传播情况是不同的。为了与实际情况较吻合，我们在原有的基础上修改假设建立新的模型。 二. 模型的修改 将人群分成两类：一类为传染病人，另一类为未被传染的人，分别用i(t)和s(t)表示t 时刻这两类人的人数。i (0)= 0i 。 假设：(1) 每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正比。即()0k ks t =； (2) 一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。 由以上假设可得微分方程

传染病的数学模型

传染病模型详解 /,SI SIS SIR 经典模型 经典的传播模型大致将人群分为传播态S ，易感染态I 和免疫态R 。S 态表示该个体带有病毒或谣言的传播能力，一旦接触到易感染个体就会以一定概率导致对方成为传播态。I 表示该个体没有接触过病毒或谣言，容易被传播态个体感染。R 表示当经过一个或多个感染周期后，该个体永远不再被感染。 SI 模型考虑了最简单的情况，即一个个体被感染，就永远成为感染态，向周围邻居不断传 播病毒或谣言等。假设个体接触感染的概率为β，总人数为 N ，在各状态均匀混合网络中建立传播模型如下： dS SI dt N I SI d t N ββ?=-????=?? 从而得到 (1)di i i dt β=- 对此方程进行求解可得： 0000(),01t t i e i t i i i i e ββ==-+（） 可见，起初绝大部分的个体为I 态，任何一个S 态个体都会遇到I 态个体并且传染给对方，网络中的S 态个数随时间成指数增长。与此同时，随着I 态个体的减少，网络中S 态个 数达到饱和，逐渐网络中个体全部成为S 态。 然而在现实世界中，个体不可能一直都处于传播态。有些节点会因为传播的能力和意愿 的下降，从而自动转变为永不传播的R 态。而有些节点可能会从S 态转变I 态，因此简单的SI 模型就不能满足节点具有自愈能力的现实需求，因而出现SIS 模型和SIR 模型。 SIR 是研究复杂网络谣言传播的经典的模型。采用与病毒传播相似的过程中的S ，I ，R 态 代表传播过程中的三种状态。Zanetee ，Moreno 先后研究了小世界传播过程中的谣言传播。 Moreno 等人将人群分为S （传播谣言）、I （没有听到谣言），R （对谣言不再相信也不传播）。 假设没有听到谣言I 个体与S 个体接触，以概率()k λ变为S 个体，S 个体遇到S 个体 或R 个体以概率()k α变为R ，如图 所示。建立的平均场方程：

流行病学知识点【完整版】

病因与病因推断 Causation and Causal Inference 病因的概念 Concepts of Disease Causes ?一、病因的定义Definition of Disease Causes 任何一种疾病发生都有其相应的致病因素，即病因（cause of disease）。疾病的种类不同，病因的种类亦不同，如传染性疾病，其病因相对简单；而有些疾病，如慢性非传染病，其病因复杂而且绝大多数疾病的病因尚不完全明确。因此研究病因尤其是研究慢性非传染病的病因，已成为当今医学界的重要内容。也是流行病学研究的重点内容之一。因为只有了解疾病发生的原因，才有可能对其做出正确的诊断，有效的预防和治疗，才有可能采取特异性的干预措施，从而有效地预防和控制疾病。 第一节病因的概念 Section One Concepts of Disease Causes ?Koch病因假说在传染研究中起了很大作用，但随着科学的发展，发现这一学说不能解释许多其他疾病，例如肺结核病，除了肺结核感染外，其他像营养不良，过度疲劳，遗传因素等都可影响肺结核的发生，此外，一些慢性病如恶性肺癌，心血管疾病，糖尿病等更不能用Koch学说来解释，因此，目前人们对病因的认识已发展成“多病因学说”。 ?目前关于流行病学病因的定义为那些能使人们发病概率增加的因素，就可以认为是疾病的病因, 当它们之中的一个或多个不存在时，疾病频率就下降。也系指，能引起人们发病的概率增加的内外环境的因素，一般在非传染病的病因，称为危险因素（risk factors）。 ?其中有直接病因（direct cause），有些是间接病因（indirect cause）；有的是主要病因（primary cause ），有的是辅助病因（auxiliary cause），还有人将病因分为必要病因（necessary cause）和充分病因（sufficient cause）。 ?必要病因指缺乏某种因素即不能引起某疾病，该因素称为该病的必要病因（necessary cause），一般适应于解释传染性疾病，职业病和地方病，都有一个比较明确的必要病因，而大多数的慢性非传染病尚未发现他们的必要病因。 ?充分病因指有某种因素的存在，必然会发生某疾病，该因素称病的充分病因（sufficient cause），如结核杆菌传染只是结核发生的一个必要病因，是必不可缺少的原因而不是结核病的充分病因，因为结核杆菌感染后不一定会发生结核病，如果结核杆菌的存在，再加上营养不良，过度疲劳，年龄等因素存时，才可能发生结核病，这些因素是构成结核病的充分病因。 ?大多数非传染疾病其充分病因不止一个，有的可能多个充分病因，因此这些疾病可能没有必要病因。吸烟既不是肺癌的必要病因，也不是肺癌的充分病因（因为有的肺癌者终身未吸过烟，有许多长年吸烟者并没有发生肺癌）。 ?二、病因模型 A General Model of Causation 在疾病的病因学研究中，用流行病学研究提出了一些疾病发生的模型。 （一）疾病发生的三角模型Epidemiologic triangle ?疾病发生的三角模型，亦称流行病学三角（epidemiologic triangle），该模型由致病因素（agent），宿主（host）和环境（environment）三个要素共同组成，三个要素相当于等边三角形的三个角，三者间保持动态平衡，就不会发生变化，另两者不能产生适应性变化，这种平衡就可能被打破。就会发生疾病。 （二）轮状模型Wheel model 该模型由致病因素，宿主和环境所组成，宿主处于环境的周围之中，好像一个车轮，故称

数学建模 传染病模型

传染病模型 医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。 社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。 一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。 问题提出 请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？ 关键字:传染病模型、建模、流行病 摘要：随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍 乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今带来极大的危害。还有最近的SARS病毒和禽流感病毒，都对人类的生产生活造成了重大的损失。长期以来，建立制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。 不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。 模型1 在这个最简单的模型中，设时刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数， 方程（1）的解为 结果表明，随着t的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的。 建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别健康人和病人这两种人。 模型2 SI模型 假设条件为 1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为易感染者即健康人（Susceptible）（S）和已感染者即病人（Infective）（i）两类（取两个词的第一个字母，称之为SI模型），以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作s(t)和i(t)。 2.每个病人每天有效接触的平均人数是常数 ，称为日接触率。当病人与健康者接触时，使健康者受感染变为病人。

数学建模—传染病模型

传染病模型 摘要 当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。 不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。 本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。 关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。

一、问题重述 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。 1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。 2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的感染人数。 3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t 时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。 二、问题分析 1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。 2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。 3、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。 因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。

实验一利用相关函数辨识脉冲响应

北京工商大学 《系统辨识》课程 实验报告 （2014-2015 1学期） 课程名称：系统辨识 题目：利用相关分析法辨识脉冲响应 专业班级：控制工程 学生姓名： 指导教师：刘刘 成绩： 2015年1月18日 一、实验目的

通过仿真实验掌握利用相关分析法辨识脉冲响应的原理和方法。 二、实验内容 图1为本实验的原理框图。过程传递函数为) (s G,其中 Sec 2 6 T Sec, 3 8 120 2 1 . . ,= = =T K；) ( ) (k z k u和分别为过程的输入和输出变量；) (k v 为过程测量白噪声，服从正态分布，均值为零，方差为2 v σ，记作) , ( ~ ) (2 v N k vσ； ) (k g 为过程的脉冲响应理论值，) ( ? k g为过程脉冲响应估计值，) (~k g为过程脉冲响应估计误差。 过程的输入驱动采用M序列，输出受到白噪声) (k v的污染。根据过程的输入和输出数据{})( ), (k z k u，利用相关分析算法根据输出过程的脉冲响应值) ( ? k g，并与过程脉冲响应理论值) (k g 比较，得到过程脉冲响应估计误差值) (~k g，当∞ → k 时，应该有0 → ) (~k g。 图1 相关分析法辨识脉冲响应原理框图 三、实验要求 进行方案设计，模拟过程传递函数，获得输出数据，用M序列作为辨识的输入信号，噪声采用标准正态分布的白噪声，计算互相关函数，不同λ值的脉冲响应估计值、脉冲响应理论值和脉冲响应估计误差，计算信噪比，画出实验流程图，用MATLAB编程实现。 四、实验原理 相关分析法 v(k) u(k) z(k) )1 )( 1 ( ) ( 2 1 + + = s T s T K s G y(k)

SI传染病模型

SI传染病模型 1.模型的建立 由题意知道：在此环境中仅存在健康者（即易感者）和已感者（即病人），且在t时刻人数分别为S(t),L(t),不考虑人口的出生与死亡，此环境中的人口数量 不变N即K，于是在单位时间内每天每个病人感染的人数βS（t）L（t），它是 病人的增加率，所以有： d L =β*S()t*L()t L()0=L1 (1) d t 在t时刻健康者与已感者满足关系式：S()t+L ()t=K(2) 此模型满足Logistic模型，所以它的解为： L（t）=1/1+((1/L1)-1)*exp(-β*t) 1.求平衡点 syms r S L K y y=r*L*(K-L); solve(y) ans = SIS传染病模型 1.模型假设SIS模型的假设条件1.2与SI模型相同，增加的条件为：每天被治

愈的病人数占病人的总数为m ，此称为日治愈率。病人治愈后仍然可以成为被感染的健康者，显然，平均传染期为1/m 。 2. 模型建立 此模型可以修整为：（a 代表β） ()()()()***dL t a S t L t m L t dt =- ()()L t S t K += ()01L L = 求平衡点：（s, l ，k 分别代表S ， L ，K ） syms a t s l m k f f=a*l*(k-l)-m*l; solve(f) ans = -a*(-k+l) 1.δ大于时的图像,10,0.8a a b b δ? ? = == ??? 2.δ小于1时的图像)(0.2,0.8a b ==

模型假设：在SIS 模型中我们增加：人群可分为健康者，病人，病疫免疫的移出者，且三种人群的数量分别为S ()t ，L ()t ，R ()t ；病人的日接触率和日治愈率分别为β，m 所以传染期为 m β δ = 1. 模型建立 ()()()()***dL t a S t L t m L t dt =- ()()L t S t K += ()01L L = (1) ()()()**dS t a S t L t dt =- ()()00S K L =- (2) 求平衡点 syms a t s l m k [s,l]=solve('a*l*(k-l)-m*l','-(a*s*(k-s))') s = a*k-a*l a*k-a*l l = 0 k 健康者与病人数量在总人数中的比例()s t ，()i t 对时间的变化关系图为：

matlab传染病模型

传染病模型实验 实验目的： 理解传染病的四类模型，学会利用Matlab软件求解微分方程（组）。 实验题目： 利用Matlab求解传染病的SIS微分方程模型，并绘制教材P139页图3-图6。 SIS模型 假设： (1)、t时刻人群分为易感者(占总人数比例的s(t))和已感染者(占总人数比例的i(t))。 (2)、每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ，λ称为日接触率，当健康者与病人接触时，健康者受感染成为病人。 (3)、病人每天被治愈的占病人总数的比例为μ，称为日治愈率，显然1 为这种传染病的平均传染期。 μ 则建立微分方程模型为： 令，则模型可写作 分别作图： 页脚内容1

当sigma>1时 Step1:先定义函数 function y=pr1(i,lambda,sigma) y=-lambda.*i.*(i-(1-1./sigma)) step2:作图 lambda=0.3;sigma=2; i=0:0.01:1; y=pr1(i,lambda,sigma) plot(i,y) 页脚内容2

页脚内容3 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 -0.16 -0.14-0.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.020 0.02 当sigma<1时 Step1:先定义函数 function y=pr1(i,lambda,sigma) y=-lambda.*i.*(i-(1-1./sigma)) step2:作图 lambda=0.3;sigma=0.5; i=0:0.01:1; y=pr1(i,lambda,sigma) plot(i,y)

10流行病学习题

1.下列那种说法正确，流行病学是：E A. 从个体的角度研究疾病与健康 B．只研究慢性病的危险因素 C．只研究疾病的预防 D．只研究传染病的流行和防治 E．研究人群中疾病和健康状况的分布及其影响因素 2.流行病学研究中所指的群体是C A. 只限于一个家庭 B．只限于非病人 C．一定范围内的人群 D．只限于全人类 E．只限于病人 3.流行病学的特征E A. 群体特征 B．以分布为起点的特征 C．预防为主的特征 D．对比的特征 E．以上均是 4.流行病学的主要研究方法包括：E A. 描述性研究 B. 分析性研究 C. 实验性研究 D. 理论性研究 E. 以上均是 5.第二次卫生革命的任务C A. 防治传染病 B. 治理水源 C．慢性非传染病的防治 D．研究治疗方案 E．以上均不对 6.流行病学研究对象的三个层次B A. 病人，非病人，一般人群 B.疾病，伤害，健康 C.传染病，慢性病，伤害 D. 身体，精神，社会 E. 以上均不对 7.欲调查某病在某地的危害状况，进行现况调查，宜选用B A. 普查 B．抽样调查 C．典型病例调查

D．住院病例调查 E．个案调查 8.对病因不明的疾病，描述性研究的主要任务B A. 因果推断 B．寻找病因线索，提出病因假设 C．验证病因 D．确定病因 E．以上均不是 9. A. 为了早发现，早诊断，早治疗宫颈癌 B．为了调查大学生乙肝感染情况，可不必调查所有大学生C．一次聚餐引起的食物中毒调查 D．一项在健康人群中发现可疑的肺结核患者的调查 E. 对个别发生的艾滋病进行调查 1．抽样调查B 2．普查A 3．筛选D 10.在沿江农村用皮肤试验来筛检肝血吸虫病，试验结果见表 试验 肝血吸虫病 合计有无 阳性阴性117 53 170 8 312 320 合计125 365 490 1．该试验的正确指数B A. 1.79 B. 0.79 C. 0.94 D. 0.85 E. 0.15 2．该试验的阳性预测值A A. 0.69 B. 0.98 C. 0.02 D. 0.94 E. 0.79 3．该试验的假阳性率C A. 0.06 B. 0.21 C. 0.15 D. 0.02 E. 0.69 11.以下符合生态学研究的特点的是C A. 属于分析流行病学 B．以个体为观察分析单位 C．群体水平上研究因素与疾病之间的关系 D．确定病因 E．以上均不是 12.以下关于描述性研究正确地是D