第二章导数和微分
第二章 导数和微分
微分学是微积分的重要组成部分.微分学的基本概念是导数和微分，导数反映函数相对于自变量的变化快慢的程度，而微分则是描述当自变量有微小改变时，函数改变量的近似值.
本章我们将详细讨论导数、微分的概念，建立导数与微分的基本公式和运算法则，解决初等函数的求导与微分问题.
第一节 导数的概念
一、 引例
1.变速直线运动的速度
设某质点沿直线运动,在时刻t 时,质点所在位置()s s t =,当时间从时刻0t 变化到0t t +?时,质点经过的路程为
00()()s s t t s t ?=+?-,
则质点在0t 到0t t +?时间段内的平均速度为
00()()s t t s t s v t t
+?-?=
=??. 当t ?很小时,可用v 近似表示物体在0t 时刻的速度.当0t ?→时,如果极限0lim t s
t
?→??存在,
则称此极限为质点在时刻0t 的瞬时速度,即
0000()()lim
lim t t s t t s t s
v t t
?→?→+?-?==??.
2.切线问题
设曲线()y f x =的图形为图2-1, 点00(,)M x y 为曲线上一定点,在曲线上另取一点
00(,)N x x y y +?+?,作割线MN ,当点N 沿曲线趋于M 时,如果割线MN 绕点M 旋转而
趋于极限位置MT ,直线MT 就称为曲线()y f x =在点M 处的切线.当MN 趋向MT 时,其倾角?也趋向切线倾角α,因此切线MT 的斜率为
000
00()()tan lim tan lim
lim x x x f x x f x y
K x x
α??→?→?→+?-?====??.
二、导数的定义
上面的两个问题,虽然实际意义各不相同,但讨论方法是一致的,所求量都归结为0x ?→时
y
x
??的极限.一般地,我们有如下导数的概念. 定义 设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义,若极限
0000()()lim
lim x x f x x f x y
x x ?→?→+?-?=??
存在,则称函数()f x 在点0x 处可导,并称这个极限值为函数()y f x =在点0x 处的导数,记为
'0()f x ,0
'
x x y =,
d d =x x y
x
或
d d x x f x
=.
即
'00000()()()lim
lim x x f x x f x y
f x x x
?→?→+?-?==??.
令0x x x =+?,则0x ?→时有0x x →,因此
'000
()()
()lim
x x f x f x f x x x →-=-.
如果000()()
lim
x f x x f x x ?→+?-?不存在,则称函数()y f x =在0x 处不可导.如果
000()()lim x f x x f x x
?→+?-=∞?,此时()y f x =在0x 处不可导,但通常也说函数()y f x =在0x 处导数为无穷大.
下面利用导数的定义计算：
例1 已知0()1,f x '=求()()
000
2lim x f x x f x .x
→--
解：
()()()()
()00000002lim
22lim
222x x f x x f x x
f x x f x x f x .→→----=--'=-=- 如果函数()y f x =在开区间I 内每一点处都可导,就称函数()f x 在I 内可导,这时对于任意x I ∈,都对应着()f x 的一个确定的导数值,这样的对应关系就构成了一个新的函数,这个函数称为原来函数()f x 的导函数,简称为导数,记作
'
()f x ,'
y ,
d d y x 或d d f x
. 导函数定义为
'0
()()
()lim
x f x x f x f x x
?→+?-=?.
函数()f x 在0x 处的导数'0()f x 就是导函数'()f x 在0x 处的函数值,即
''0()()
x x f x f x ==.
下面根据导数的定义求一些简单函数的导数. 例2 求函数()f x C =(C 为常数)的导数.
解 ()()0y f x x f x C C ?=+?-=-=, '
000lim
lim 0,x x y y x x
?→?→?===??
即 '
()0C =.
例3 求函数()n
f x x =(n 为正整数)的导数.
解 ()()()n
n
y f x x f x x x x ?=+?-=+?-
122
[()]n n n n x nx C x x x --=??+?++? ,
'122
00
lim
lim[()]n n n n x x y y nx C x x x x --?→?→?==+?++??
1n nx -=.
即 '1()n n x nx -=.
后边我们将证明对一般幂函数y x α=(α为任意实数)也有'1()x x ααα-=.
例如,当0x ≠时,'1'2211()()x x x x --==-=-
,1
'
'2()x ==例4 求函数()sin f x x =的导数.
解 sin()sin 2cos()sin 22x x
y x x x x ???=+?-=+
, '00sin
2lim lim 2cos()cos 2x x x y x y x x x x
?→?→???==+=??, 即 '(sin )cos x x =. 同理可得 '(cos )sin x x =-.
例5 求函数x y a =(0,1a a >≠)的导数.
解 (1)x x x x x y a a a a +???=-=-,
ln '
000011lim lim lim
ln lim ln .
???→?→?→?→?--===????==?x x a x x x x x x x x y a e y a a x x x x a
a a a x
即 '()ln x x
a a a =.
特别地,当a e =时有
'()x x e e =.
极限000()()lim x f x x f x x ?→+?-?存在的充分必要条件是000()()
lim x f x x f x x -?→+?-?及
000()()lim x f x x f x x
+?→+?-?都存在且相等,这两个极限分别称为函数()f x 在点0x 处的左导数和右导数，记作
'0000()()
()lim x f x x f x f x x
-
-?→+?-=?,
'0000()()
()lim x f x x f x f x x ++?→+?-=?.
左导数和右导数统称为单侧导数.
由函数极限与其左、右极限之间的关系可知，
定理 函数()f x 在点0x 处可导的充分必要条件是左导数'0()f x -和右导数'0()f x +都存
在且相等.
如果函数()f x 在开区间(,)a b 内可导,且'()f a +及'()f b -都存在,则称()f x 在闭区间
[,]a b 上可导.
三、导数的几何意义
函数()y f x =在点0x 处的导数'0()f x 在几何上表示曲线()y f x =在点
00(,())M x f x 处切线的斜率.即
'0()tan f x α=.
其中α是切线的倾角,参见图2-1.
如果()y f x =在点0x 处可导,则曲线在点00(,())M x f x 处切线方程为
'000()()()y f x f x x x -=-.
过切点00(,())M x f x 且与切线垂直的直线叫做曲线()y f x =在点M 处的法线,如果
'0()0f x ≠,则法线方程为
00'01
()()()
y f x x x f x -=-
-. 特别地,若'0()0=f x ,则曲线在点00(,())M x f x 处的切线方程为0()=y f x ,法线方程为0=x x ;若()y f x =在0x 处的导数为∞,则切线方程为0=x x ,法线方程为0()=y f x .
例6
求曲线y =在点(1,1)处的切线方程和法线方程.
解
'
y =
,则在点(1,1)处切线斜率'11
2
x k y
===
,所以切线方程为 1
1(1)2
y x -=
-, 即
210x y -+=.
法线方程为
12(1)y x -=--,
即
230x y +-=.
四、函数的可导性与连续性的关系
定理 如果函数()y f x =在点0x 处可导,则它在点0x 处一定连续. 证 因为()f x 在点0x 处可导,即
'00lim
()x y
f x x ?→?=?,
所以
'00
00lim lim (
)lim lim ()00x x x x y y y x x f x x
x ?→?→?→?→???=?=??=?=??,
故()y f x =在点0x 处一定连续. 定理证毕.
注意 这个定理的逆命题不成立,即函数()f x 在某一点处连续,则在该点处()f x 未必可导.请看下面的例子.
例7 设函数()f x x =,讨论()f x 在0x =处连续性及可导性.
解
因为0
lim ()lim 0x x x f x x →→→===且(0)0f =，所以()f x x =在0x =处连续.
由于(0)(0)x
y f x f x x x
??+?-==???,所以 '0
00(0)lim lim lim 1x x x x y x
f x x x -
---?→?→?→??-?====-???, '0
00(0)lim lim lim 1x x x x y x f x x x
+
+++?→?→?→???====???, 显然''(0)(0)f f -+≠,因此()f x x =在0x =处不可导.
由以上讨论可知,函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件,但不是充分条件.
习题2-1
1. 设2()4f x x =,按定义求'
(1)f -.
2. 一物体的运动方程为3
S t =,求该物体在3t =时的瞬时速度.
3. 求下列函数的导数:
(1) y =
(2) y =
;
(3) y =
(4) y x =4.求曲线sin y x =在点1
(
,)62
π处的切线方程和法线方程. 5.讨论下列函数在指定点处的连续性与可导性.
(1) 2,
0,(),
x x f x x x ?≥=?
(2) 1arctan ,0,
()0,0x x f x x
x ?
≠?=??=?在0x =处; (3) 2
1sin ,0,
()0,
0x x f x x
x ?≠?=??=?在0x =处. 6.设函数2,
1,(),
0,
x x f x ax b x ?≤=?
+>?若函数()f x 在点1x =处连续且可导,则a 和b 应取
何值?
7.已知函数sin ,0,
(),
0,
x x f x x x
(1)设()f x 在点0x x =处可导,则'0()f x = [ ].
(A) 000()()lim
x f x x f x x ?→-?-?; （B ）000()()
lim 2h f x h f x h h
→+--;
（C ）000()(2)lim 2x f x f x x x →-+; （D ）0()(0)
lim x f x f x
→-;
(2)函数()f x 在点0x x =处连续是()f x 在点0x x =处可导的 [ ]. (A) 必要条件; (B) 充分条件;
(C) 充分必要条件; (D) 既非充分又非必要条件.
第二节 函数的求导法则
用导数的定义求函数的导数是复杂的和困难的,从本节开始将介绍函数的求导法则,利用这些求导法则和基本初等函数的导数公式,可以比较方便地求出常见初等函数的导数.
一、导数四则运算法则
定理1 设函数()u u x =及()v v x =都在点x 处可导,那么它们的和、差、积、商（分母不等于0）也均在x 点可导，且
'''[()()]()()u x v x u x v x ±=±. （2.1） '''[()()]()()()()u x v x u x v x u x v x ?=+ （2.2） '''2()()()()()
[]()()
u x u x v x u x v x v x v x -=
（2.3） 证 只证明（2.1）式，（2.2）和（2.3）可同样证明. 令()()y u x v x =±,则
[()()][()()]y u x x v x x u x v x x x
?+?±+?-±=?? ()()()()
u x x u x v x x v x x x
+?-+?-=±??,
所以
'0lim
x y y x
?→?=?
00()()()()lim lim x x u x x u x v x x v x x x
?→?→+?-+?-=±?? ''()()u x v x =±.
定理证毕.
公式（2.1），（2.2）可推广到有限多个函数的情况，如 推论1 设有限多个()i u x (1,2,,i n = )在x 处均可导,则
''''1212(()()())()()()n n u x u x u x u x u x u x +++=+++ .
推论2 设()u u x =,()v v x =,()w w x =在点x 处均可导,则
''''()uvw u vw uv w uvw =++.
推论3 设()u x 在点x 处可导,C 为常数,则
''[()]()Cu x Cu x =.
例1 设2
3cos ln 2y x x =+-,求'
y .
解 2'
'
'
(3)(cos )(ln 2)y x x =+-
6sin x x =-.
例2 设sin x y e x =,求'y .
解 '''()sin (sin )x x y e x e x =+
sin cos (sin cos ).
x x x
e x e x e x x =+=+
例3 设tan y x =,求'y .
解 '
''
sin (tan )(
)cos x y x x
== ''2
(sin )cos sin (cos )cos x x x x x
-= 22222
cos sin 1
sec cos cos x x x x x
+===. 即
'2(tan )sec x x =.
类似可求得
'2(cot )csc x x =-.
例4 设sec y x =,求'
y .
解 ''
'
'22
1(cos )sin (sec)()cos cos cos x x y x x x
-==== sec tan x x =,
即
'(sec )sec tan x x x =.
类似可得
'(csc )csc cot x x x =-.
二、反函数的求导公式
定理4 设函数()y f x =在区间x I 上单调、可导且'()0f x ≠,则它的反函数1
()
x f y -=在对应区间y I 上也单调、可导,且
1''1[()]()f y f x -=
或d 1
d d d x y
y x
=. 证 任取y y I ∈,给y 以增量0y ?≠,由()y f x =的单调性知1()x f y -=在y I 上也单调,从而
11()()0x f y y f y --?=+?-≠,
于是
1
x y y
x
?=???. 因为()y f x =连续,所以1()x f y -=也连续,故
lim 0y x ?→?=.
从而
1''
0011
[()]lim
()
lim y x x f y y y f x x
-?→?→?===???. 定理证毕.
例5 arcsin y x =,(1,1)x ∈-,求'y .
解 arcsin y x =,(1,1)x ∈-是sin x y =,(,)22
y ππ
∈-
的反函数,故
''11(sin )cos y y y =
===
即
'(arcsin )x =
.
类似可得下列导数公式
:
'(arccos )x ='2
1(arctan )1x x =
+, '2
1
(arccot )1x x =-+.
例6 求函数log a y x =(0,1)a a >≠的导数.
解 函数log a y x =是函数y
x a =的反函数,因为'()ln y y
a a a =,故
'11
(log )ln ln a y x a a x a
=
=,
即
'1
(log )ln a x x a
=
. 特别地,当a e =时,'
1(ln )x x
=
. 三、复合函数的求导法则
定理 5 设函数()u g x =在点x 处可导,函数()y f u =在对应点()u g x =处可导,则复合函数(())y f g x =在点x 处可导，且其导数为
''d ()()d y f u g x x =或d d d d d d y y u x u x
=?. 证 设x 取得增量x ?,则u 取得相应的增量u ?,从而y 取得相应的增量y ?,即
()()u g x x g x ?=+?-, ()()y f u u f u ?=+?-,
当0u ?≠时,有
y y u
x u x
???=????. 因为()u g x =可导,则必连续,所以0x ?→时,0u ?→,因此
000lim
lim lim x u x y y u x u x ?→?→?→???=????,
即
''d ()()d y
f u
g x x
=. 当0u ?=时,可以证明上述公式仍然成立. 定理证毕.
例7 设函数2
x y e =,求'
y .
解 2
x y e =是由u y e =,2
u x =复合而成的,因为
d d u y
e u =,d 2d u x x
=, 所以
2d d d 22d d d u x y y u e x xe x u x
=?==.
例8 设函数2ln(2)y x =+，求'y .
解 2ln(2)y x =+是由ln y u =,2
2u x =+复合而成的,故
2d d d 122d d d 2
y y u x x x u x u x =?=?=+. 当复合函数求导法则应用比较熟练后,可以不写出复合过程. 例9
设函数y 求'y . 解 2'
'1(12)(12)3y x x -=
--2
1(12)(2)3
x -=--
=
例10 设函数1
sin x
y e
=,求'y .
解 1sin '
211(cos )()x
y e
x x
=-
1sin 211
cos x e x x
=-.
例11 设函数ln cos()x y e =,求'y . 解 '
1
(sin())cos()
x x x
y e e e =
-? tan()x x e e =-.
例12 设0x >,证明:'1
()x x μμμ-=(其中μ为任意实数).
证 由于ln x
x e
μ
μ=,所以
'ln 'ln '11()()(ln )x x x e e x x x x μμμμμμμμ--====.
例13
设函数ln(y x =,求'
y . 解
'
y =
=
=
.
四、基本导数公式与求导法则
1. 基本导数公式
(1) '()0C =;
(2) '1()x x μμμ-=,特别地'
211()x
x =-
,'
=; (3) '(sin )cos x x =; (4) '(cos )sin x x =-; (5) '2(tan )sec x x =; (6) '2(cot )csc x x =-; (7) '(sec )sec tan x x x =; (8) '2(csc )csc cot x x x =-; (9) '()x x e e =; (10) '()ln x x a a a =; (11) '
1(ln )x x =
; (12) '
1(log )ln a x x a
=; (13) '
(arcsin )x =
; (14) '
(arccos )x =(15) '
21(arctan )1x x =
+; (16) '
2
1(cot )1arc x x
=-+. 2.函数的和、差、积、商的求导法则 设()u u x =，()v v x =均可导，则
(1) '''()u v u v ±=±; (2) '''()uv u v uv =+;
(3) '
'
()Cu Cu =; (4) ''
'2
()u u v uv v v -=.
3.复合函数的求导法则
设()y f u =,()u g x =,且()f u ,()g x 均可导,则
d d d d d d y y u x u x
=?或'''
()()()y x f u g x =.
例14 设函数y =
,求'y .
解 '
2)y x =
-
=
22
=例15 设函数2
sin
1x y x
=+,求'y . 解 '
''
222
(sin
)(cos )()111x x x y x x x ==+++ 222212(cos )
1(1)x x x x
x x +-?=++ 2222
1cos (1)1x x
x x
-=++. 习题2-2
1.求下列函数的导数:
(1) 2
35y x x =-+; (2) 212y x x
=+; (3) 3
y
=; (4) ln y x x =;
(5) 3
cos y x x =; (6) 2ln 3x
e y x
=+;
(7) 11x y x -=
+; (8) 2
51x
y x =+; (9) sin sin x x y x x
=+; (10) 2
ln cos y x x x =. 2.求下列函数在给定点的导数: (1)sin cos y x x =-，求'
6
x y
π
=和'4
x y
π=
；
（2）2
3()55
x f x x =
+-，求'(0)f 和'(2)f . 3.求曲线2
2y x x =+-的切线方程,使该切线平行于直线30x y +-=.
4.求下列函数的导数:
(1)7(35)y x =+; (2)sin(24)y x =-; (3)3
2x y e -=; (4)22ln()y a x =-;
(5)2cos y x =; (6) y =(7)arctan x y e =; (8)2(arcsin )y x =. 5.求下列函数的导数:
(1)2
(arccos )2
x y =; (2)ln cot 2
x y =;
(3)y =; (4)y e =
(5)y = (6)23(ln )y x =; (7)ln ln ln y x =; (8)ln tan
2
x y =; (9)1
ln sin y x
=; (10)1tan x y e =.
6.求下列函数的导数: (1)21
arctan ln(1)2
y x x x =-
+; (2)x x
x x
e e y e e
---=+. 7.设()f x 可导,求
d d y x . (1)1(arcsin )y f x
=; (2)()
()x f x y f e e =;
(3)2
2
(sin )(cos )y f x f x =+.
第三节 高阶导数
设一物体作直线运动,其速度()v t 是位移()s t 对时间t 的导数,而加速度()a t 又是速度
()v t 的变化率,即
d d d ()()d d d v s a t t t t
=
=. 我们把导数的导数称为二阶导数.
一般地,函数()y f x =的导数''()y f x =仍是x 的函数,因此,如果'()f x 在点x 处仍然
可导,则'
()f x 在点x 处的导数称为()f x 在点x 处的二阶导数,记为"
y 或22d d y
x
,即
''
''
()y y =或22d d d ()d d d y y
x x x
=.
类似地,二阶导数"y 的导数称作()f x 的三阶导数,三阶导数的导数称为四阶导数,分别记为"'y ,(4)y .
(1)
n y -的导数称作()f x 的n 阶导数,记作()
n y
,()
()n f
x ,d d n n y x
或d ()d n
n f x x .
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数, 相应地'()f x 称为一阶导数. 例1 求函数2325y x x =++的各阶导数.
解 '2'(325)62y x x x =++=+,
'''()(62)6,0(3).n y x y n =+==≥
一般地，若1
0110() (0),n n n n n y P x a x a x
a x a a --==++++≠ 则 ()()0!,0 (1).n k y n a y k n ==≥+
例2 求函数(0,1)x
y a a a =>≠的n 阶导数.
解 '
ln x
y a a =,''
2
ln x
y a a =,'''
3
ln x
y a a =,
(4)4ln x y a a =, ,()ln .n x n y a a =
特别地，
()
()
.n x x e e =
例3 求sin y x =的n 阶导数.
解 '
'
(sin )cos sin()2
y x x x π
===+
,
'''2[sin()]cos()sin()222y x x x πππ
=+=+=+,
'''
'223[sin()]cos()sin()222
y x x x πππ=+=+=+,
(4)
'334[sin()]cos()sin()222
y
x x x πππ=+
=+=+, ,
()sin()2
n n y x π
=+.
类似可得, ()
(cos )cos()2
n n x x π=+. 例4 求ln(1)y x =+的n 阶导数.
解 '
'
1[ln(1)]1y x x
=+=
+, ''2(1)y x -=-+, '''312(1)y x -=??+,
(4)4(1)23(1)y x -=-??+,
,
1()
(1)(1)!
(1)n n n
n y
x ---=
+. 如果函数()u u x =及()v v x =都在点x 处具有n 阶导数，那么显然()()u x v x +及
()()u x v x -也在点x 处具有n 阶导数，且
()()()()n
n n u v u v .±=±
但乘积()()u x v x ?的n 阶导数并不如此简单.由
()uv u v uv '''=+
首先得出
()2uv u v u v uv ,''''''''=++ ()33uv u v u v u v uv .'''''''''''''''=+++
用数学归纳法可以证明
()()()()()()
()()()()
()(
)
(
)
120
12!
11!
n
n n n n k k n n
n k k k n k n n u v u v nu v u v n n n k u v uv k C u v ----=-'''?=++
+--++
++=∑
上式称为莱布尼兹（Leibniz ）公式.
例5 22x y x e ,=求()20
y .
解 设22
x
u e ,v x ,==则
()()221220k k x
u e k ,,,,==
()()220
3420k v x,v ,v k ,,,,'''====
代入莱布尼兹公式，得
()()
()
()20202220221921822022201922022222!
22095.
x x x x
x y x e e x e x e e x x =?=?+??+?=++ 习题2-3
1.求下列函数的二阶导数:
(1)22ln y x x =+; (2)sin x y e x -=; (3)tan y x =;
(4)ln(y x =;
(5)21x y x
=-; (6)2
(1)arccot y x x =+;
(7)23x y x e =; (8)2cos ln y x x =. 2.求下列函数的导数值: (1)34()(10)f x x =+,求'''(0)f ; (2)2
()x f x xe =,求''
(1)f ;
(3)()x e f x x
=,求''
(2)f .
3.设()f u 二阶可导,求22d d y
x
.
(1)2
()y f x =; (2)1()y f x
=;
(3)ln[()]y f x =; (4)()
f x y e
-=.
4.验证函数cos x y e x =满足关系式:
'''220y y y -+=.
第四节 隐函数和参数方程所确定的函数的导数
一、隐函数的导数
函数()y f x =表示两个变量y 与x 之间的对应关系,这种对应关系可以用各种不同方
式表达,如sin y x =,y =这样的函数称为显函数.有些函数的表达式却不是这样的,
例如方程2310x y +-=表示一个函数y =但这个函数关系是隐含在这一方程中的,这样的函数称为隐函数.
一般地,如果变量x 和y 满足一个方程(,)0F x y =,在一定条件下,能确定y 是x 的函数,那么称方程(,)0F x y =确定了一个隐函数.与此相对应,具有()y f x =形式的函数称为显函数.
把一个隐函数化为显函数,称为隐函数显化.但有些隐函数显化是相当困难的,如
2sin()ln()0xy x y -+=.
下面通过具体例子说明不进行显化的隐函数求导方法.
例1 求由方程0x y
xy e e -+=确定的隐函数()y y x =的导数.
解 方程两边对x 求导并注意()y y x =,则得
''0x y xy y e e y +-+=,
解得
'
x y e y y e x
-=+ (0)y e x +≠.
例2 求由方程57
230y xy x x +--=所确定的隐函数在0x =处的导数
d d x y x
=.
解 方程两边对x 求导,有
4
6d d 5221210d d y y
y y x x x x
++--=, 由此得
644d 1212 (520)d 52
y x y y x y +-=+≠+. 因为当0x =时,由原方程得0y =,所以
60
040
d 12121d 52
2
x x y y x y x
y ===+-=
=+. 例3 求曲线224x xy y ++=在点(2,2)-处的切线方程. 解 方程两边对x 求导,有
''220x xy y yy +++=,
则
'(2)2x y y x y
-+=
+,'
(2,2)
1y
-=.
于是曲线在点(2,2)-处的切线方程为
(2)1(2)y x --=?-,
即
40x y --=.
例4 求由方程1sin 02x y y -+=所确定的隐函数的二阶导数22d d y
x
.
解 由原方程得
d 1d 1cos 0d 2d y y
y x x
-
-=. 于是
d 2d 2cos y x y
=-. 上式两边对x 再求导,仍注意()y y x =,得
2
223
d 2sin d 4sin d (2cos 0)d (2cos )(2cos )y
y y y x y x y y -?
-=
=-≠--. 例5 设函数sin (0)x
y x x =>,求'y .
解 在sin x
y x
=两边取对数,得