精品!数值分析 第五版课后习题完整答案(李庆扬等)

第一章 绪论（12）

1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*

****1)()(ln )(ln x x

x x x ， 相对误差为*

*

**

ln ln )

(ln )(ln x x x x r

δ

εε=

=

。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n

x 的误差为n

n x x n

x

n x x n x x x **

1

***

%2%2)

()()()(ln *

?=='=-=εε，

相对误差为%2)

()

(ln )(ln ***

n x x x n

r

==

εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：

1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5

?=x 。 [解]1021.1*1

=x 有5位有效数字；0031.0*

2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*

4

=x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*

4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给

的数。

（1）*

4*2*1x x x ++；

[解]3

334*

4*2*11**

*4*2*1*1005.1102

1

10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=?

??? ????=++∑x x x x x f x x x e n

k k k εεεε；

（2）*

3*2

*1x x x ；

[解]5

2130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.0102

1)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(33

33334*3*2*1*2*3*1*1*3*21**

*

3*2*1*=?=?+?+?=??+??+??=++=???

?

????=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k k

εεεε；

（3）*4*2/x x 。

[解]5323

2

323*42*4*

2*2*41**

*4*2*1088654.0102

1)430.56(461.561021)430.56(461.561021)430.56(031.01021430.561)()()(1)()/(-----=?≈??=??=??+??=

+=???

?

????=∑x x x x x x x f x x e n k k k

εεε。 5、计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R 允许的相对误差是多少？

[解]由3*3**3**)(3

4)

)(34

())(3

4(%1R R R r ππεπε==可知，

)()(4)()(34)(34%1))(34(**2***3*3*3**R R R R R R επεπππε?='

??

?

???=?=， 从而**

*

3

1%1)(R R ?=ε，故300131%1)()(*

***

*=?==R R R r εε。 6、设280=Y ，按递推公式),2,1(783100

1

1 =-

=-n Y Y n n 计算到100Y ，若取982.27783≈（五位有效数字，）试问计算100Y 将有多大误差？

[解]令n Y 表示n Y 的近似值，n n n Y Y Y e -=)(*，则0)(0*=Y e ，并且由

982.2710011?-

=-n n Y Y ，783100

1

1?-=-n n Y Y 可知， )783982.27(1001

11-?--=---n n n n Y Y Y Y ，即

=-?-=-?-=--)783982.27(1002

)()783982.27(1001)()(2*1**n n n Y e Y e Y e ，从

而982.27783)783982.27()()(0*100*-=--=Y e Y e ，

而31021982.27783-?≤

-，所以3100*102

1

)(-?=Y ε。 7、求方程01562=+-x x 的两个根，使它至少具有四位有效数字（982.27783≈） [解]由78328±=x 与982.27783≈（五位有效数字）可知，

982.55982.2728783281=+=+=x （五位有效数字）。

而018.0982.2728783282=-=-=x ，只有两位有效数字，不符合题意。 但是22107863.1982

.551

783

28178328-?==

+=

-=x 。

8、当N 充分大时，怎样求?++12

11

N N

dx x ？ [解]因为N N dx x

N N

arctan )1arctan(11

12

-+=+?

+，当N 充分大时为两个相近数相减，设)1arctan(+=N α，N arctan =β，则αtan 1=+N ，βtan =N ，从而

1

1

)1(1)1(tan tan 1tan tan )tan(2++=++-+=+-=

-N N N N N N βαβαβα，

因此1

1

arctan 112

1

2++=-=+?

+N N dx x N N

βα。 9、正方形的边长大约为100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过12cm ? [解]由)(2)(])[())((*****2*2**l l l l l εεε='=可知，若要求1))((2**=l ε，则

2001100212)

)(()(*

2***

*=?=

=

l l l εε，即边长应满足200

1

100±=l 。

10、设2

2

1gt S =

，假定g 是准确的，而对t 的测量有1.0±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。 [证明]因为****

**1.0)()()(

)(gt t gt t dt

dS S ===εεε， ***2****

**51)(2)(2

1)()

()(t t t t g t gt S S S r

====

εεεε，所以得证。 11、序列{}n y 满足递推关系),2,1(1101 =-=-n y y n n ，若41.120≈=y （三位有效数字），计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

[解]设n y 为n y 的近似值，n n n y y y -=)(*ε，则由?????-==-1

102

10n n y y y 与

???-==-1

1041.110n n y y y 可知，20

*

1021)(-?=y ε，)(1011---=-n n n n y y y y ，即 )(10)(10)(0*1**y y y n n n εεε==-，

从而82100*1010*1021

102110)(10)(?=??==-y y εε，因此计算过程不稳定。

12、计算6)12(-=f ，取4.12≈，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好？

6

)

12(1+，3)223(-，

3

)

223(1+，27099-。

[解]因为1*1021

)(-?=

f ε，所以对于6

1)12(1+=

f ， 2

417

*11*10211054.61021)

14.1(6)4.1()(---?

'

=e f f e ，有一位有效数字； 对于32)223(-=f ，

1112*22*102

11012.01021)4.123(6)4.1()(---?

=e f f e ，没有有效数

字； 对于3

3)

223(1+=

f ，

23

14

*33*10211065.21021)

4.123(6)4.1()(---?

'

=e f f e ，有一位有效数字；

对于270994-=f ，111*44*102

11035102170)4.1()(?

=--e f f e ，没有

有效数字。

13、)1ln()(2--=x x x f ，求)30(f 的值。若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式)1ln()1ln(22-+-=--x x x x 计算，求对数时误差有多大？

[解]因为9833.298991302==-（六位有效数字），4*102

1

)(-?=

x ε，所以

2

44

2**11*102994.0102

1

9833.293011021

)13030(1

)()()(---?=??-=

??---='=x e f f e ，

6

44

2**22*108336.0102

1

9833.293011021

11

)()()(---?=??+=

??-+-='=x x x e f f e 。

14、试用消元法解方程组???=+=+210102110

2101x x x x ，假定只有三位数计算，问结果是否

可靠？

[解]精确解为1102

10,110101*********--=-=x x 。当使用三位数运算时，得到

1,121==x x ，结果可靠。

15、已知三角形面积c ab s sin 21=

，其中c 为弧度，2

0π

<

c

c

b b a a s s ?+?+?≤?。 [解]因为

c c ab b c a a c b x x f s n

k k k ?+?+?=???=?∑

=cos 2

1

sin 21sin 21)()(1

， 所以c

c b b c c c c b b c c c ab c

c ab b c a a c b s

s ?+?+?≤?+?+?=

?+?+?=

?tan sin 2

1cos 2

1

sin 21sin 21。

第二章 插值法（40-42）

1、根据（2.2）定义的范德蒙行列式，令

????

?

?

????????=----n

n n n n n

n n x x x

x x x x x x x x x x V

2

121

10

2

01101

11),,,,(，证明)(x V n 是n 次多项式，它的根是121,,,-n x x x ，且)())(,,,(),,,,(101101110------=n n n n n x x x x x x x V x x x x V 。

[证明]由

∏∏∏∏-=---=-=-=--?=-?-=1

11011

101

0110)

(),,,()

()(),,,,(n j j n n n j j n i i j j i n n x x x x x V x x x x x x x x V 可得求证。

2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。

[解]3

72365)1(34)23(21)12)(12()

1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0)

)(())(())(())(())(()

)(()(2221202102

21012012010210

2-

+=-++--=+-+-?

+------?-+-+-+?

=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。

3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln

-0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144

[解]若取5.00=x ，6.01=x ，

则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则

604752

.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(01011010

1-=---=--?---?-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，

从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-?=L 。 若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，

693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则

217097.2068475.404115.2)

2.09.0(541

3.25)2

4.0(3147.69)3.01.1(8145

5.45)5.0

6.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()

6.05.0)(4.05.0()

6.0)(4.0()69314

7.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0)

)(())(())(())(())(()

)(()(22221202102

21012012010210

2-+-=+--+-?++-?-=----?

-+----?

-+----?

-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，

从而

61531984

.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-?+?-=L 。

4、给出 900,cos ≤≤x x 的函数表，步长 )60/1(1='=h ，若函数具有5位有效数字，研究用线性插值求x cos 近似值时的总误差界。

[解]设插值节点为h x x x x +=<<010，对应的x cos 值为10,y y ，函数表值为

10,y y ，则由题意可知，5001021-?≤

-y y ，511102

1

-?≤-y y ，近似线性插值多项式为0

101101

1)(x x x x y x x x x y x L --+--=，所以总误差为 ()100

101110100100101110100101111,,)()())((2cos )

()())((!2)

()

()()()()()()(x x x x x x y y x x x x y y x x x x x x x x y y x x x x y y x x x x f x L x L x L x f x L x f x R ∈---+---+---

=---+---+--''=-+-=-=ξξ

ξ，从而

5

555520

1051015100

101110100101047.3102

11094.621102114400121102142110211021

))((21))((cos 21

)(-------?=?+??=?+?=?+≤--?

?+--??+---≤---+---+--≤

h x x x x x x x x x x x x x x x x y y x x x x y y x x x x x R ξ。

5、设3,2,1,0=+=k kh x x k ，求)(max 22

0x l x x x ≤≤。

[解])3)()((max 21

)()2()

3)()((max

))()(()

)()((max

)(max 00030003

2120231023

030303

0h x x h x x x x h h h h h x x h x x x x x x x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x x -----=

------=------=≤≤≤≤≤≤≤≤。

令

)

34()383()43()

3)()(()(02

20

30

2

020

2

03

000x h hx x x h h x x x h x x h x x h x x x x x f ++-++++-=-----=，则

)383()43(23)(202

002h h x x x h x x x f ++++-='，从而极值点可能为

h

x h h x h h x x h x h x x 3

7

437)43(6

)

383(12)43(4)43(200202

0200±+=±+=

++-+±+=，又因为

30)20714(271

375371374)374(h h h h h x f -=--?-?-=-+

， 30)71420(27

1

357371374)374(h h h h h x f +-=-?+?+=++

， 显然)3

7

4()374(00h x f h x f ++≤-+

，所以 277710)71420(27

121)374(21)(max 3

3

0323

0+=+=++=

≤≤h h h x f h x l x x x 。 6、设),,1,0(n j x j

=为互异节点，求证：

1）),,1,0()(0n k x x l x k

n

j j

k j =≡∑=；

2）),,2,1()()(0

n k x x l x x k

n

j j k j =≡-∑=；

[解]1）因为左侧是k x 的n 阶拉格朗日多项式，所以求证成立。

2）设k x y y f )()(-=，则左侧是k x y y f )()(-=的n 阶拉格朗日多项式，令x y =，即得求证。

7、设[]b a C x f ,)(2∈且0)()(==b f a f ，求证)(max )(8

1

)(max 2x f a b x f b x a b x a ''-≤≤≤≤≤。

[解]见补充题3，其中取0)()(==b f a f 即得。

8、在44≤≤-x 上给出x e x f =)(的等距节点函数表，若用二次插值求x e 的近似值，要使截断误差不超过610-，问使用函数表的步长h 应取多少？

[解]由题意可知，设x 使用节点h x x -=10，1x ，h x x +=12进行二次插值，则

插值余项为

()201112102,)],()[)](([6

))()((!

3)

()(x x h x x x x h x x e

x x x x x x f x R ∈+----=

---'''=

ξξξ

，

令)()3(3)]()[)](([)(2211221213111h x x x h x x x x h x x x x h x x x f -+-+-=+----=，则)3(63)(22112h x x x x x f -+-='，从而)(x f 的极值点为h x x 3

3

1±

=，故39

32)331()331(33)(ma x 2

0h h h h x f x x x =-?+?=

≤≤，而 3

43422739326)(max 6)(20h e h e x f e x R x x x =≤≤≤≤ξ，要使其不超过610-，则有

63

41027

3-≤h e ，即222

2

6

210472.010389.74863.310243---?=?≈?≤e

e h 。 9、若n n y 2=，求n y 4?及n y 4δ。

[解]n

n n n n n n

n n n n n n n n n j j

n j j n j j

n n y y y y y y j y E j y I E y 22282242322162242624244)1(34)1(24)1(14)1(04)1(4)1(4)1()(12344132231404

044

044

4

=+?-?+?-?=+?-?+?-=???? ??-+???? ??-+???? ??-+???? ??-+???? ??-=???

? ??-=???? ??-=-=?++++++++=-+=-∑∑。

2

222122

1122413211204

024024

021

)4(214

2

121

4

22282242322162242624244)1(34)1(24)1(14)1(04)1(4)1(4)1(4)1()(--------++--++=-+=-=---

=+?-?+?-?=+?-?+?-=???? ??-+???? ??-+???? ??-+???? ??-+???? ??-=???

? ??-=???? ??-=???

? ??-=-=∑∑∑n n n n n n n n n n n n n n n n j j

n j j n j j j n

j

j j

n n y y y y y y j y E j y E E

j y E E y δ。 10、如果)(x f 是m 次多项式，记)()()(x f h x f x f -+=?，证明)(x f 的k 阶差分

)0()(m k x f k ≤≤?是k m -次多项式，并且0)(=?+x f l m （l 为正整数）。

[证明]对k 使用数学归纳法可证。 11、证明k k k k k k g f g f g f ?+?=?+1)(。 [证明]

k

k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k g f g f g g f g f f g f g f g f g f g f g f g f ?+?=-+-=-+-=-=?++++++++++1111111111)()()(。

12、证明∑∑-=+-=?--=?1

1001

n k k k n n n k k k f g g f g f g f 。

[证明]因为

01

111

1111

110

11

)()]()([)

(g f g f g f f g f f g g g f f g g f f g g f

n n n k k k k k n k k k k k k k n k k k k k n k k k n k k k

-=-=-+-=?+?=?+?∑∑∑∑∑-=++-=+++-=+-=+-=，故得证。

13、证明：01

2y y y n n j j ?-?=?∑-=。

[证明]01

110

2)(y y y y y n n j j j n j j ?-?=?-?=?∑∑-=+-=。

14、若n n n n x a x a x a a x f ++++=--1110)( 有n 个不同实根n x x x ,,,21 ，证明

???-=-≤≤='-=∑

1

,20,

0)(11

n k a n k x f x n n

j j k j

。 [证明]由题意可设∏=-=---=n

i i n n n x x a x x x x x x a x f 1

21)()())(()( ，故

∏≠=-='n

j

i i i j n j x x a x f 1)()(，再由差商的性质1和3可知：

)!

1()(1],,[1)

()

()1(11

1

1

-==-='-=≠==∑

∏∑n x a x x x a x x a x x

f x n k n n k n n

j n

j i i i j n k j

n

j j k j

，从而得证。 15、证明n 阶均差有下列性质：

1）若)()(x cf x F =，则],,,[],,,[1010n n x x x cf x x x F =；

2）若)()()(x g x f x F +=，则],,,[],,,[],,,[101010n n n x x x g x x x f x x x F +=。

[证明]1）

]

,,,[)()

()

()

()

()

(],,,[100

00

00

010n n

j n

j

i i i j

j n

j n

j

i i i j

j n

j n

j

i i i j

j n x x x cf x x

x f c x x

x cf x x

x F x x x F =-=-=-=∑

∏∑

∏∑

∏=≠==≠==≠=。

2）

]

,,,[],,,[)

()

()

()

()

()

()()

()

(],,,[10100

00

0000

010n n n

j n

j

i i i j

j n

j n

j

i i i j

j n

j n

j

i i i j

j j n

j n

j

i i i j

j n x x x g x x x f x x

x g x x

x f x x

x g x f x x

x F x x x F +=-+-=-+=-=∑

∏∑

∏∑

∏∑

∏=≠==≠==≠==≠=。

16、13)(4

7

+++=x x x x f ，求]2,,2,2[7

1

f ，0!

80

!8)(]2,,2,2[)8(8

10===ξf f 。 [解]1!

7!

7!7)(]2,,2,2[)7(7

1

===

ξf f ，]2,,2,2[810 f 。 17、证明两点三次埃尔米特插值余项是

()1212)

4(3,,!4/)())(()(++∈--=k k k k x x x x x x f

x R ξξ，

并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限。

[解]见P30与P33，误差限为k n

k f h h '+

≤≤0max 278

)(ω。 18、XXXXXXXXXX ．

19、求一个次数不高于4次的多项式)(x P ，使它满足0)0()0(='=P P ，

1)1()1(='=P P ，1)2(=P 。

[解]设01223344)(a x a x a x a x a x P ++++=，则122334234)(a x a x a x a x P +++='，再由0)0()0(='=P P ，1)1()1(='=P P ，1)2(=P 可得：

?????????++++==+++='=++++==='===0

12341

2340

12341024816)2(1234)(1)1(1)0(0)0(0a a a a a P a a a a x P a a a a a P a P a P 解得???

??????????

??==-===4321

4

1234

9

00a

a a a a 。从而 4

)3()96(4492341)(2

222234-=+-=+-=x x x x x x x x x P 。

20、设],[)(b a C x f ∈，把[]b a ,分为n 等分，试构造一个台阶形的零次分段插值函数)(x n ?，并证明当∞→n 时，)(x n ?在[]b a ,上一致收敛到)(x f 。

[解]令n i x f x f x i

i i

i x x x x x x i ,,3,2,1,2

)

(inf

)(sup )(11 =+=

≤≤≤≤--?。

21、设)1/(1)(2x x f +=，在55≤≤-x 上取10=n ，按等距节点求分段线性插值函数)(x I h ，计算各节点中点处的)(x I h 与)(x f 的值，并估计误差。 [解]由题意可知，1=h ，从而当[]1,+∈k k x x x 时，

)(]

)1(1[1

)()1(1)1(11

11)(2

121211211k k k

k k k k k k k k k h x x k h x x k h x x x x k x x x x k l f l f x I -+++-+-=--+++

--+=

+=++++++。

22、求2)(x x f =在[]b a ,上的分段线性插值函数)(x I h ，并估计误差。

[解]设将[]b a ,划分为长度为h 的小区间b x x x a n =≤≤≤= 10，则当

[]1,+∈k k x x x ，1,,2,1,0-=n k 时，

k

k k k k

k k

k k

k k

k k

k k k k k k k k k k k k k k k k k h x x x x x x x x

x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l f l f x I 1112

121221

112

2112111211)()()()()(+++++++++++++++-+=--+-=----=--+--=+=

从而误差为))(())((!

2)

()(112++--=--''=

k k k k x x x x x x x x f x R ξ， 故4

))(()(2

12h x x x x x R k k ≤--=+。

23、求4)(x x f =在[]b a ,上的分段埃尔米特插值，并估计误差。

[解]设将[]b a ,划分为长度为h 的小区间b x x x a n =≤≤≤= 10，则当

[]1,+∈k k x x x ，1,,2,1,0-=n k 时，

)(4)(42121)

()(12

1312113112

1

4112

1141111++++++++++++++++-???

?

??--+-?

??? ??--???? ?

?--+???

? ??--+???? ??--+?

??? ??--='+'++=k k k k

k k k k k k k k k k k k

k k k k

k k

k k

k k k k k k k k h x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x f f f f x I ββαα， 从而误差为212212)4(2)()()()(!4)

()(++--=--=

k k k k x x x x x x x x f x R ξ， 故16

)()()(4

2

12

2h x x x x x R k k ≤--=+。

24、给定数据表如下：

j x 0.25

0.30 0.39 0.45 0.53

j y 0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280

试求三次样条函数)(x S ，并满足条件： 1）6868.0)53.0(,0000.1)25.0(='='S S ； 2）0)53.0()25.0(=''=''S S 。

[解]由05.025.030.00=-=h ，09.030.039.01=-=h ，06.039.045.02=-=h ，

08.045.053.03=-=h ，及（8.10）式)

1,,1(,,111-=+=

+=

---n j h h h h h h j

j j j j

j j j μλ可知，14909.005.009.01011=+=+=

h h h λ，5

2

06.009.006.02122=+=+=

h h h λ， 7

408.006.008.03233=+=+=

h h h λ，

14509.005.005.01001=+=+=

h h h μ，53

06.009.009.02112=+=+=

h h h μ， 7

3

08.006.006.03223=+=+=

h h h μ，

由（8.11）式)1,1(]),[],[(311-=+=+-n j x x f x x f g j j j j j j j μλ可知，

7541

.2700019279)900768145500477149(3)

30.039.05477

.06245.014525.030.05000.05477.0149(3]

)

()(145)()(149[3]),[],[(3121201012111011==?+??=--?+--??=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ。

413

.2100046332564)6004635390076852(3)

39.045.06245

.06708.05330.039.05477.06245.052(3]

)

()(53)()(52[

3]),[],[(32

32312123222122=?+?=?+??=--?+--??=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ。 0814

.2700

1457140011894634)8004727360046374(3)

45.053.06708

.07280.07339.045.06245.06708.074(3]

)

()(73)()(74[

3]),[],[(33

43423234333233==?+?=?+??=--?+--??=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ。从而

1）矩阵形式为：??????????=???????????????-?-=??????????????????

?

?????????7871.1413.21112.26868.0730814.2413.20000.114

97541.227405325201452321m m m ，解得

??????

????=??????????6570.08278.09078.0321m m m ，从而∑=+=n

j j j j j x m x y x S 0

)]()([)(βα。

2）此为自然边界条件，故

862.2500477

325.030.05000.05477.03)()(3],[30101100=?=--?=--?

==x x x f x f x x f g ；

145.2800

572

345.053.06708.07280.03)()(3],[3111=?=--?=--?

==---n n n n n n n x x x f x f x x f g ，

矩阵形式为：???

??

?????

??????=???????????????????????????

??

?????????

?????

?

145.20814.2413.27541.2862.227

4

00732

7

400053

2520

0014521490001

243210m m m m m ，可以解得?????

??

?????????43210m m m m m ，从而∑=+=n

j j j j j x m x y x S 0

)]()([)(βα。

25、若],[)(2b a C x f ∈，)(x S 是三次样条函数，证明

1）????''-''''+''-''=''-''b

a

b

a

b

a

b

a

dx x S x f x S dx x S x f dx x S dx x f )]()()[(2)]()([)]([)]([222；

2）若),,1,0()()(n i x S x f i i ==，式中i x 为插值节点，且b x x x a n =<<<= 10 则)]()()[()]()()[()]()()[(a S a f a S b S b f b S dx x S x f x S b

a '-'''-'-'''=''-''''?。

[解]1）????????

''-''=''-''=''-''''+''=''-''''+''-''=''-''''+''-''=''-''''+''-''b

a

b a

b

a

b a

b

a

b a

b

a

b

a

dx

x S dx x f dx

x S x f dx x S x f x S x f dx

x S x f x S x S x f dx

x S x f x S x S x f dx

x S x f x S dx x S x f 222222)]([)]([)]([)]([)]()()][()([)]()()}[(2)]()({[)]()()[(2)]()([)]()()[(2)]()([。

2）由题意可知，[]b a x A x S ,,)(∈='''，所以

)]()()[()]()()[()]()([)]()()[()]()()[()]()([)]()()[()]()()[()()]()([)]}()()[({)]()()[(a S a f a S b S b f b S x S x f A a S a f a S b S b f b S dx x S x f A a S a f a S b S b f b S dx

x S x S x f x S x f x S dx x S x f x S b a

b a

b

a

b a b

a

'-'''-'-'''=--'-'''-'-'''='-'-'-'''-'-'''=''''-'-'-'''=''-''''???

。

补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。

[解]由1)(000===-e x y y ，111)(-==e x y y 可知，

x

e x e x x e x x x x x y x x x x y x L )1(1)1(0101011)(11101011010

1-+=+--=--?+--?=--+--=---，

余项为()1,0),1(2

))((!2)()(101∈-=--''=-ξξξ

x x e x x x x f x R ， 故8

141121)1(max max 21)(10101=??=-??≤

≤≤-≤≤x x e x R x ξξ。

2、设4)(x x f =，试利用拉格朗日插值余项定理写出以2,1,0,1-为插值节点的三次插值多项式。

[解]由插值余项定理，有

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f

x R 22)1)(2()2)(1()1(!

4!

4))()()((!

4)

()(234223210)

4(3+--=--=--+=----=

ξ，

从而x x x x x x x x x R x f x L 22)22()()()(23234433-+=+---=-=。 3、设)(x f 在[]b a ,内有二阶连续导数，求证：

)(max )(8

1

)]()()()([)(max 2x f a b a x a b a f b f a f x f b x a b

x a ''-≤---+

-≤≤≤≤。

[证]因为)()

()()(a x a

b a f b f a f ---+

是以a ，b 为插值节点的)(x f 的线性插值多项

式，利用插值多项式的余项定理，得到：

))()((21

)]()()()([)(b x a x f a x a b a f b f a f x f --''=---+-ξ，从而

)

(max )(81

)(41)(max 21)

)((max )(max 21

)]()()()([)(max 22x f a b a b f b x a x f a x a b a f b f a f x f b x a b a b x a b

a b x a ''-=-?''=--?''≤---+

-≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤ξξξξ。

4、设15)(37++=x x x f ，求差商]2,2[10f ，]2,2,2[210f ，]2,,2,2[710 f 和

]2,,2,2[810 f 。

[解]因为7)1()2(0==f f ，1691252)2()2(371=+?+==f f ，

167051454)4()2(372=+?+==f f ，所以16271691

2)

1()2(]2,2[10=-=--=

f f f ，

82682

169

1670524)2()4(]2,2[21=-=--=

f f f ，

27023162

826822]2,2[]2,2[]2,2,2[0

210212

1

=-=--=f f f ，

1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(7

1

===ξf f ，0!

80!8)(]2,,2,2[)8(8

10===ξf f 。

5、给定数据表：5,4,3,2,1=i ，

i x

1 2 4 6 7

)(i x f 4 1 0 1 1

求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。

[解]

i x )(i x f 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商

1 4

2 1

-3 4 0

21- 65

6 1

2

1 41 607-

7 1 0

6

1- 12

1- 180

1 由差商表可得4次牛顿插值多项式为：

)6)(4)(2)(1(180

1)

4)(2)(1(60

7

)2)(1(65)1(34)6)(4)(2)(1(180

1)

4)(2)(1(60

7

)2)(1(65)1(34)(4----+------+--=----+------+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x N ，插值余项为

()7,1),7)(6)(4)(2)(1(!

5)

()()5(4∈-----=ξξx x x x x f x R 。

6、如下表给定函数：4,3,2,1,0=i ，

i x

0 1 2 3 4

)(i x f 3 6 11 18 27

试计算出此列表函数的差分表，并利用牛顿向前插值公式给出它的插值多项式。 [解]构造差分表：

i x

i

f i f ? i f 2? i f 3? i f 4?

0 3 3 2 0 0 1 6 5 2 0 2 11 7 2 3 18 9 4

27

由差分表可得插值多项式为：

3

2)1(3322

)

1(332

)1()(202

0004++=-++=?-++=+?-+

?+=+t t t t t t t t f t t f t f th x N 。

第三章 函数逼近与计算（80-82）

1、（a ）利用区间变换推出区间为[]b a ,的伯恩斯坦多项式；

（b ）对x x f sin )(=在??

?

???2,0π上求1次和3次伯恩斯坦多项式并画出图形，并与

相应的马克劳林级数部分和误差做出比较。

[解]（a ）令t a b a x )(-+=，则[]1,0∈t ，从而伯恩斯坦多项式为

∑=-=n

k k n x P n k a b f x f B 0)())((

),(，其中k

n k k x a b x k n x P ---???

? ??=)()(。 （b ）令t x 2

π=

，则[]1,0∈t ，从而伯恩斯坦多项式为

∑==n

k k n x P n k

f x f B 0

)()2(

),(π，其中k

n k k x x k n x P --???

? ??=)2()(π。 x

x x x x x x f x x f x P k

f x f B k k =+??

?

??-?=?+??? ??-?=???

??-???? ??+??? ??-???? ??==∑=202sin 20sin 211)2(201)0()()2(),(0

101

01πππππππ；

3

223

323223

223

223

3122

1303

3)533(21)32(4383)2(233)4(23)2(233)2(232sin )2(33sin )2(36sin 20sin )2(33)2()2(23)3()

2(13)6()2(03)0()

()6

(

),(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x x f x x f x x f x P k f x f B k k ----=+-++-=+-+-=?+-?+-?+???

??-?=-???

? ??+-???? ??+-???? ??+-???? ??==∑=πππππππππππππππππππππ。

2、求证：（a ）当M x f m ≤≤)(时，M x f B m n ≤≤),(； （b ）当x x f =)(时，x x f B n =),(。

[证明]（a ）由∑==n

k k n x P n k

f x f B 0

)()(),(及M x f m ≤≤)(可知，

∑∑∑∑====≤≤≤≤n

k k n k k n n k k n k k x P M x MP x f B x mP x P m 0

)()(),()()(，

而1)]1([)1()(00=-+=-?

??

? ??=∑∑=-=n

n

k k n k n

k k x x x x k n x P ，从而得证。 （b ）当x x f =)(时，

x

x x x x x k n k n x x xx k n k n x x k n k n n k x x k n n k f x P n k f x f B n n k k n k n k k n k n

k k

n k f n

k k n k

n

k k n =-+=----=------=--?==-???? ??==--=--=----=-==-=∑

∑∑∑∑11

0)1(1)1()1(110)0(0

0)]1([)1()!

1(!)!

1()1()]!

1()1[()!1()!1()1()!(!!)1()()()(),(。

3、在次数不超过6的多项式中，求x x f 4sin )(=在[]π2,0的最佳一致逼近多项式。 [解]由[]π2,0,4sin ∈x x 可知，14sin 1≤≤-x ，从而最小偏差为1，交错点为

ππππππππ8

15

,813,811,89,87,85,83

,8，

此即为6)(H x P ∈的切比雪夫交错点组，从而)(x P 是以这些点为插值节点的拉格朗日多项式，可得0)(=x P 。

4、假设)(x f 在[]b a ,上连续，求)(x f 的零次最佳一致逼近多项式。 [解]令)(inf x f m b

x a ≤≤=，)(sup x f M b

x a ≤≤=，则2

)(m

M x f +=

在[]b a ,上具有最小偏差2

m

M -，从而为零次最佳逼近一次多项式。 5、选择常数a ，使得ax x x -≤≤31

0max 达到极小，又问这个解是否唯一？

[解]因为ax x -3是奇函数，所以ax x ax x x x -=-≤≤-≤≤31

131

0max max ，再由定理7可知，

当)34(4

141333x x T ax x -==-时，即43

=a 时，偏差最小。

6、求x x f sin )(=在??

?

???2,0π上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。

[解]由π

π

π2

2

sin 2sin

cos )()

()(221=--=

='=--=x x f a b a f b f a 可得π

2

arccos 2=x ，从

而最佳一次逼近多项式为

数值分析课后题答案

数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q

(1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= --

数值分析习题集及答案[1].(优选)

数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若

数值分析习题集及答案

（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令

数值分析课后答案

1、解：将)(x V n 按最后一行展开，即知)(x V n 是n 次多项式。 由于 n i i i n n n n n i n x x x x x x x x x x V ...1...1... ......... ...... 1 )(21110 20 0---= ，.1,...,1,0-=n i 故知0)(=i n x V ，即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。又)(x V n 的最高 次幂 n x 的系数为 )(...1...1... ...... .........1),...,,(101 1 21 11 2 2221 02001101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -== ∏-≤<≤-----------。 故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V 6、解：（1）设 .)(k x x f =当n k ,...,1,0=时，有.0)()1(=+x f n 对 )(x f 构造Lagrange 插值多项式， ),()(0 x l x x L j n j k j n ∑== 其 0)()! 1() ()()()(1)1(=+=-=++x w n f x L x F x R n n n n ξ， ξ介于j x 之间，.,...,1,0n j = 故 ),()(x L x f n =即 .,...,1,0,)(0 n k x x l x k j n j k j ==∑= 特别地，当0=k 时， 10) (=∑=n j x j l 。 （2） 0)()1(1) ()1()()(0000=-=??? ? ??-??? ? ??-=--=-===∑∑∑∑k j j i j i k j k i i j i i k j n j k i i j k n j j x x x x i k x l x x i k x l x x ）利用（。 7、证明：以b a ,为节点进行线性插值，得 )()()(1 b f a b a x a f b a b x x P --+--= 因 0)()(==b f a f ，故0)(1=x P 。而 ))()(("2 1 )()(1b x a x f x P x f --= -ξ，b a <<ξ。 故)("max )(8 122)("max )(max 2 2 x f a b a b x f x f b x a b x a b x a ≤≤≤≤≤≤-=??? ??-≤。 14、解：设 ))...()(()(21n n x x x x x x a x f ---=， k x x g =)(，记)() (1 ∏=-=n j j n x x x w ，则 ),()(x w a x f n n =).()(' j n n j x w a x f = 由差商的性质知 [])! 1()(1,..,,1) (' 1 )(')('1 211 11 -== ==-===∑∑∑ n g a x x x g a x w x a x w a x x f x n n n n n j j n k j n n j j n n k j n j j k j ξ， ξ介于n x x ,...,1之间。 当20-≤≤ n k 时，0)()1(=-ξn g ， 当 1-=n k 时，)!1()(1-=-n g n ξ， 故 ???-=-≤≤=-= --=∑1,,20,0)!1()(1) ('1 11 n k a n k n g a x f x n n n n j j k j ξ 16、解：根据差商与微商的关系，有 [] 1! 7! 7!7)(2,...,2,2)7(7 10===ξf f ， [ ] 0! 80 !8)(2,...,2,2)8(8 1 ===ξf f 。 （ 13)(47+++=x x x x f 是7次多项式， 故 ,!7)()7(=x f 0)()8(=x f ）。 25、解：（1） 右边= [][]dx x S x f x S dx x S x f b a b a ??-+-)(")(")("2)(")("2 = [] d x x S x f x S x S x S x f x f b a ?-++-)("2)(")("2)(")(")("2)(" 222 = [] d x x S x f b a ?-)(")(" 22 = [][]dx x S dx x f b a b a 2 2 )(")("??- =左边。 （2）左边= ? -b a dx x S x f x S ))(")(")(("

李庆扬数值分析第五版习题复习资料清华大学出版社

第一章 绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值* x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= = = 而ln x 的误差为()1 ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -=Q , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈?Q 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,* 57 1.0.x =? 解：* 1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中**** 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：

*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ===g g (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g 又(*)1r V ε=Q

数值分析课后题答案

数值分析 2?当x=1,—1,2时，f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。解： X 0 =1,x j = — 1,x 2 = 2, f(X。)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4; l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2) (x o -X/X o _x2) 2 (x -x0)(x -x2) 1 l i(x) 0 2(x-1)(x-2) (x i ~x0)(x i ~x2) 6 (x—x0)(x—x,) 1 l2(x) 0 1(x-1)(x 1) (X2 -X°)(X2 - X i) 3 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X)= ' y k 1 k ( x) kz0 = -3l°(x) 4l2(x) 1 4 =(x_1)(x—2) 4 (x-1)(x 1) 2 3 5 2 3 7 x x - 6 2 3 6?设Xj, j =0,1,||(,n 为互异节点，求证： n (1 )7 x：l j(x) =x k(k =0,1川,n); j=0 n (2 )7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n); j ￡ 证明 (1)令f(x)=x k

n 若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n，则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。 j=0 f (n 十)(?) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X) n1(X) (n +1)!

.f(n1)( ^0 R n(X)=O n 二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n); j ：o n ⑵、(X j -x)k l j(x) j卫 n n =為(' C?x j(—x)k_L)l j(x) j =0 i =0 n n i k i i =為C k( -x) (、X j l j(x)) i =0 j=0 又70 _i _n 由上题结论可知 n .原式二''C k(-x)k_L x' i=0 =(X -X)k =0 -得证。 7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证: max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x). 解：令x^a,x^b，以此为插值节点，则线性插值多项式为 L i(x^ f(x o) x x f (xj X o —人x -X o X —X o x-b x-a ==f(a) f(b)- a - b x -a 又T f (a) = f (b)二0 L i(x) = 0 1 插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1 f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj

数值分析第四版习题及答案

第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、

李庆扬-数值分析第五版第7章习题答案(0824)汇编

第7章复习与思考题

求f (X )= 0的零点就等价于求(x )的不动点，选择一个初始近似值X 0，将它代入X =「(X ) 的右端，可求得 X 1 h%X °)，如此反复迭代有 X k 1 二(X k ), k =0,1,2,..., (X)称为迭代函数，如果对任何 X 。? [a,b]，由x k 卜h%x k ),k =0,1,2,...得到的序列 〈X k 1有极限 则称迭代方程收敛，且X* =?(x*)为?(X )的不动点 故称 X k q 二(X k ), k =0,1,2,...为不动点迭代法。 5?什么是迭代法的收敛阶？如何衡量迭代法收敛的快慢？如何确定 X k 1 二「(X k )(k =0,1,2,...)的收敛阶 P219 设迭代过程X k 1'h%X k )收敛于 (X)的根X*，如果当k > 时，迭代误差 e k = x k - x *满足渐近关系式 —t C,C =const 式 0 e/ 则称该迭代过程是 p 阶收敛的，特别点，当 p=1时称为线性收敛，P>1时称为超线性收敛， p=2时称为平方收敛。 以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。 6?什么是求解f(x)=0的牛顿法？它是否总是收敛的？若 f(X*) =0，X*是单根，f 是光 滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。 牛顿法: 当| f (X k )卜J 时收敛。 7?什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。 在牛顿法的基础上使用 2点的的斜率代替一点的倒数求法。就是弦截法。 收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2 计算量弦截法 <牛顿法(减少了倒数的计算量) 8?什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？ P229 X - m X k 1 =X k f (X k ) f (X k )

最新数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1

第一章 绪论（12） 1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。 [解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=* ****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为* * ** ln ln ) (ln )(ln x x x x r δ εε= = 。 2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 [解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x ** 1 *** %2%2) ()()()(ln * ?=='=-=εε， 相对误差为%2) () (ln )(ln *** n x x x n r == εε。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： 1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5 ?=x 。 [解]1021.1*1 =x 有5位有效数字；0031.0* 2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56* 4 =x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中* 4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给 的数。 （1）* 4*2*1x x x ++； [解]3 334* 4*2*11** *4*2*1*1005.1102 1 10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=? ??? ????=++∑x x x x x f x x x e n k k k εεεε； （2）* 3*2 *1x x x ；

数值分析课后习题答案

第一章 题12 给定节点01x =-，11x =，23x =，34x =，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项： （1） （1） 3 ()432f x x x =-+ （2） （2） 4 3 ()2f x x x =- 解 （1）(4) ()0f x =， 由拉格朗日插值余项得(4)0123() ()()()()()()0 4!f f x p x x x x x x x x x ξ-=----=； （2）(4) ()4!f x = 由拉格朗日插值余项得 01234! ()()()()()() 4! f x p x x x x x x x x x -= ----(1)(1)(3)(4)x x x x =+---. 题15 证明：对于()f x 以0x ，1x 为节点的一次插值多项式()p x ，插值误差 012 10()()()max () 8x x x x x f x p x f x ≤≤-''-≤. 证 由拉格朗日插值余项得 01() ()()()()2!f f x p x x x x x ξ''-= --，其中01x x ξ≤≤， 01 0101max ()()()()()()()() 2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤''''-=--≤-- 01210()max () 8x x x x x f x ≤≤-''≤. 题22 采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p '==，(1)(1)1p p '==的插值多项式 ()p x ： （1） （1） 用待定系数法； （2） （2） 利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0p p '==，(1)1p =的插值多项式 ()p x . 解 （1）有四个插值条件，故设230123()p x a a x a x a x =+++，2 123()23p x a a x a x '=++， 代入得方程组001231123010231 a a a a a a a a a =? ?+++=?? =? ?++=? 解之，得01230 021 a a a a =??=?? =??=-?

数值分析课后题答案

数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4; ()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--= =-+-----= =------==-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 1 4(1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1）0 ()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2） 0()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0()()n k n j j j L x x l x ==∑。 插值余项为(1)1()()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+ 又,k n ≤Q

(1)()0()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0 ()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 000(2)()() (())()()(())n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 0()n k i j j j x l x x ==∑ 0()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10101010()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =()()x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0 ()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-=-- 011()()()()2 f x f x x x x x ''∴=--

数值分析复习题答案

数值分析复习题 一、填空 Chapter1 绪论 近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有 3 位有效数字. 用1000.1近似真值1000时，其有效数字有 4 位， 已知准确值x*与其有t 位有效数字的近似值12 10.10(0)s n x a a a a =?≠的绝对误差为 1 x*-x 102s t -≤ ?。 设 2.40315x * =是真值 2.40194x =的近似值，则x * 有 3 位有效数字。 设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字，则其相对误差限是44 11 1010224--?=?? ，其绝对误差限是4 1 102-?。 当x 很大时，为防止损失有效数字，应该使 = 。 Chapter2 插值方法 设642 ()3651f x x x x =+-+，则[3,2,1,0,1,2,3]f ---= 3 。 若 42 f(x)=2x +x -3, 则f[1,2,3,4,5,6]= 0 。 对 32f(x)=x +3x -x+5,差商f[0,1,2,3,4]= 0 。 设 643()35f x x x x =-+-，则差商[0,1,2,3,4,5,6]f = 1 。 已知y=f(x)的均差 021[,,]5f x x x =, 402[,,]9f x x x =, f[x4, x3, x2]=14， f[x0, x3, x2]=8 ,.那么 均差f[x4, x2, x0]= 9 。（交换不变性） 设有数据112 032 x y -则其 2 次 Larange 插值多项式为 32 (1)(2)(1)(1)23x x x x -+-++-，2次拟合多项式为 （最佳平方逼近可求）。？？？ 以n + 1个 整 数 点k ( k =0,1,2,…,n) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基 函 数 为 ()k l x ( k =0,1,2,…,n)，则 n k k=0 kl (x)= ∑ x 。？？（注： k y k =，则有拉格朗日插值公式：

数值分析课后题答案

解: X 0 1,X 1 1,X 2 2, f(x 。) 0,f(X 1) 3,f(X 2) 4; 1 -(X 1)(x 2) 2 1 -(x 1)(x 2) 6 1 3(x 1)(x 1) 6?设X j , j 0,1,L ,n 为互异节点，求证： n (1) x ：l j (x) x k (k 0,1,L ,n); j 0 n (2) (X j x)k l j (x) 0 (k 0,1,L ,n); j 0 证明 (1)令 f (x) x k n 若插值节点为X j ,j 0,1,L , n ，则函数f (x)的n 次插值多项式为 x k l j (x)。 j 0 f (n 1}() 插值余项为 R n (x) f (x) L n (x) n 1(x) (n 1)! 又Q k n, 第二章 2?当 x 1, 1,2 时，f(x) 数值分析 0, 3,4,求f (x)的二次插值多项 式。 X 2 (X 4 一 3 2) (X X /V 1 - 2(X X 1)(x X 2) (X 。 X 1)(X ° X 2) (X X 0)(X X 2) (X 1 沧)任 X 2) (X X °)(X X 1) (X 2 X °)(X 2 X 1) l °(x ) h(x) 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X ) y k l k (x) k 0

f (n 1)( ) 0 FUx) 0 n x ：l j (x) x k (k 0,1,L ,n); j 0 n ⑵(X j x)k l j (x) j 0 n n (C?x j ( x)ki )l j (x) j 0 i 0 n n i k i i C k ( x) ( X j l j (x)) i 0 j 0 又Q 0 i n 由上题结论可知 n x ：l j (x) x i j 0 n 原式 C k ( x)k i x i i 0 (x x)k 又 Q f (a) f(b) 0 L i (x) 0 插值余项为R(x) 1 f (x) J(x) - f (x)(x x °)(x x i ) 7 设 f (x) 2 C 2 a,b 且 f (a) f(b) max f (x) a x b 1(b a) 2 max a x b f (x). 解：令X 。 a, x i b ， 以此为插值节点 x X X X 0 L i (x) f(x 。) f (X i ) X 0 X i X X 0 X b X a = f(a) f(b)- 得证。 a b x a 0,求证: 则线性插值多项式为 f(x) 2f (x)(x x))(x X i )

数值分析习题答案

1第一章 习题解答 1 设x >0，x 的相对误差限为δ，求 ln x 的误差。 解：设 x 的准确值为x *，则有 ( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ 所以 e (ln x )=| ln x – ln x * | =| x – x * | ×| (ln x )’|x=ξ·≈ ( | x – x * | / | x *| ) ≤ δ 另解： e (ln x )=| ln x – ln x * | =| ln (x / x *) | = | ln (( x – x * + x *)/ x *) | = | ln (( x – x * )/ x * + 1) |≤( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ 2 设 x = – 2.18 和 y = 2.1200 都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。求绝对误差限ε( x ) 和 ε( y ) 。 解：| e (x ) | = |e (– 2.18)|≤ 0.005，| e (y ) | = |e ( 2.1200)|≤ 0.00005，所以 ε( x )=0.005， ε( y ) = 0.00005。 3 下近似值的绝对误差限都是 0.005，问各近似值有几位有效数字 x 1=1.38，x 2= –0.0312，x 3= 0.00086 解：根据有效数字定义，绝对误差限不超过末位数半个单位。由题设知，x 1，x 2， x 3有效数末位数均为小数点后第二位。故x 1具有三位有效数字，x 2具有一位有效数字，x 3具有零位有效数字。 4 已知近似数x 有两位有效数字，试求其相对误差限。 解：| e r (x ) | ≤ 5 × 10– 2 。 5 设 y 0 = 28，按递推公式 y n = y n-1 – 783/ 100 ( n = 1，2，…) 计算到y 100。若取≈78327.982 （五位有效数字），试问，计算 y 100 将有多大的误差？ 解：由于初值 y 0 = 28 没有误差，误差是由≈78327.982所引起。记 x = 27.982，783?=x δ。则利用理论准确成立的递推式 y n = y n-1 – 783/ 100 和实际计算中递推式 Y n = Y n-1 – x / 100 (Y 0 = y 0) 两式相减，得 e ( Y n ) = Y n – y n = Y n-1 – y n-1 – ( x – 783)/ 100 所以，有 e ( Y n ) = e ( Y n-1) – δ / 100 利用上式求和 δ?=∑∑=?=100111001)()(n n n n Y e Y e 化简，得 e ( Y 100) = e ( Y 0) – δ = δ 所以，计算y 100 的误差界为 4100105001.05.0)(?×=×=≤δεY 6 求方程 x 2 – 56x + 1 = 0的两个根，问要使它们具有四位有效数字，D=ac b 42 ?至少要取几位有效数字？ 如果利用韦达定理，D 又应该取几位有效数字？ 解：在方程中，a = 1，b = – 56，c = 1，故D=4562?≈55.96427，取七位有效数字。

数值分析第一章绪论习题答案

第一章绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值* x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= == 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -= , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, * 456.430x =,*57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) * * * 124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：

*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为34 3 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=

数值分析课后习题部分参考答案

数值分析课后习题部分参考答案

数值分析课后习题部分参考答案 Chapter 1 （P10）5. 求2的近似值* x ，使其相对误差不超 过%1.0。 解： 4.12=。 设* x 有n 位有效数字，则n x e -??≤10105.0|)(|* 。 从而， 1 105.0|)(|1* n r x e -?≤ 。 故，若% 1.0105.01≤?-n ，则满足要求。 解之得，4≥n 。414 .1* =x 。 （P10）7. 正方形的边长约cm 100，问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过12 cm 。 解：设边长为a ，则cm a 100≈。 设测量边长时的绝对误差为e ，由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计:e ??≈1002。按测量要求，1|1002|≤??e 解得，2 105.0||-?≤e 。 Chapter 2

（P47）5. 用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵： ?? ?? ? ??--=011012111A 。 解：设() γβα =-1 A 。分别求如下线性方程组： ?? ?? ? ??=001αA ， ?? ?? ? ??=010βA ， ?? ?? ? ??=100γA 。 先求A 的LU 分解（利用分解的紧凑格式）， ???? ? ??-----3)0(2)1(1)1(2)0(1)1(2)2(1)1(1)1(1)1(。 即， ?? ?? ? ??=121012001L ，?? ?? ? ??---=300210111U 。 经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组， ?? ??? ??=001Ly 和y U =α，得， ?? ?? ? ??-=100α； ?? ?? ? ??=010Ly 和y U =β，得， ???? ??? ? ??=323131β； ?? ?? ? ??=100Ly 和y U =γ，得，； ???? ??? ? ??--=313231γ。

数值计算课后答案5

习 题 五 解 答 1、用矩形公式、梯形公式、抛物线公式计算下列积分，并比较结果。 (1)120(8)4x dx n x =+?，(2)20sin (8)x xdx n π=? (3)1 (4)n =? ，(4)1 (4)x e dx n -=? 1*、用矩形公式、梯形公式、抛物线公式计算下列积分，并比较结果。 (1)12 0(4)4x dx n x =+? 解：解：将区间［0，1］4等分，5个分点上的被积函数值列表如下（取2位小数） (1)矩形法。 用矩形法公式计算（取 2位小数） 或者 (2)梯形法 用梯形法公式计算（取2位小数）： (3)抛物线法 用抛物线法公式计算（取2位小数）： 2、用复化梯形公式计算积分841dx x ?，由此计算ln2（注：841 ln 2dx x =?），精度要求为410-。 解：8418 ln8ln 4ln ln 24 dx x =-==?， 要求精度为410-，即误差不超过41 102 ε-=?。 将积分区间［4，8］n 等份，则步长844 h n n -== 在本题中，复化梯形公式的余项为2228484416 ()()()()12123r h f f f n n ηηη--''''''=-=-=- 注意到 231 (),(),()2f x f x x f x x x --'''==-=， 所以在［4，8］区间上3()24f x -''≤?， 则3 2232 161621283346r n n n -?≤ ??==?， 要使4211 1062n -≤? ，需有42421110310577.36757862n n n n n -≤??≥?≥ ?≥?=。 3、用复合梯形公式计算积分()b a f x dx ?，问将积分区间[a,b]分成多少等份，才能保证误差不超过 ε（不计舍入误差）？ 解：对于复合梯形公式来说，如果()f x ''在积分区间上连续，则其余项为 2 (),[,]12 b a r h f a b ηη-''=-∈， 设max ()a x b M f x ≤≤''=，