圆锥曲线的优美性质

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圆锥曲线的优美性质

作者：杨红利

来源：《理科考试研究·高中》2013年第11期

黄海波老师在《数学通讯》“椭圆的一个性质”一文中给出了椭圆的一个与面积比有关的优美性质。笔者经过研究发现双曲线也有一个类似的美妙性质，具体阐述如下：

定理3双曲线x21a2-y21b2=1 （a>0，b>0），A（a，0），B（0，b），点M满足

BM=λMA （λ>1），直线OM交双曲线于C，D两点（其中O为坐标原点），△ABC与△ABD 的面积分别记为S1，S2，则S11S2∈（0，1）.

证明因为BM=λMA （λ>1），所以M（λa11+λ，b11+λ），所以直线OM的方程为

y=b1λax。与双曲线x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）联立方程组，消元整理得x2=λ2a21λ2-1，于

是C（λa1λ2-1，b1λ2-1），D（-λa1λ2-1，-b1λ2-1）。记dC，dD分别表示点C，D到直线AB：bx+ay-ab=0的距离，则

S11S2=dC1dD=|λab1λ2-1+ab1λ2-1-ab|1|-λab1λ2-1-ab1λ2-1-ab|

=λ+1-λ2-11λ+1+λ2-1

=1-2λ2-11λ+1+λ2-1=1-21λ+11λ-1+1。

又因为λ+11λ-1=1+21λ-1>1，

所以1-21λ+11λ-1+1∈（0，1），于是S11S2∈（0，1）.

在定理3中值得关注的有两方面，一方面，向量等式BM=λMA中的λ必须大于1，如果λ小于等于1，那么直线OM与双曲线没有交点；另一方面，根据定理3可知S11S2没有最大值。

笔者经过研究未能发现抛物线的一个与面积比有关的性质，但是笔者发现抛物线一个与线段长度比有关的美妙性质，具体阐述如下：

定理4设点M是抛物线y2=2px（p>0）上一个动点，F为焦点，O为坐标原点，则

MO1MF∈[0，2313].

证明设M（x，y），则MO1MF=x2+y21x+p12，

于是MO21MF2=x2+y21（x+p12）2=x2+2px1（x+p12）2。