微积分II(第七到第九章)

第七章 无 穷 级 数

基 本 要 求 习 题 七

1、 填空题：

（1） 设级数

∑∞

=1

n n u 收敛于s ，则级数)(11

u u n n n +∞

=+∑收敛于___________；

（2） 设a u n n =∞

→lim

,则=-+∞

=∑)(11

u u n n n ____________；

（3） 若级数∑∞

=12)

!(n n n n 收敛，则=∞→)!(2lim n n n n ________. 2、 判别下列级数是否收敛.若收敛，求其和. （1）

++++!

54

!43!32!21； （2） ++++n 001.0001.0001.0；

（3）∑

∞

=0

2)3(ln n n

n ； （4）∑∞=-12

1

2n n n （5）∑

∞

=+++13211

n n

.

3.用比较判别法判别下列正项级数的敛散性： （1）∑

∞

=+11

1

7n n ； （2）∑

∞

=++12

6

58

n n n

（3）∑

∞=11

n n n

n

； *(4)∑

-+∞

=1]

)1(4[n n n

n

.

3、 用比值判别法判别下列级数的敛散性：

（1）∑∞

=?12!2n n

n n ； （2）∑∞

=123

sin n n n π； （3）∑∞=+12

2

n n

n ； （4）

+?+?+?23233

32232213

4、 用适当的方法判别下列级数的敛散性.

（1）∑∞

=>>+1)0,0(,1

n b a b na ； （2）∑∞=+1

1n n n ；

（3）∑

∞

=++1)

2(1n n n n ； （4） +++!3!2!132144

4.

5、 用莱布尼兹判别法判别下列级数的敛散性：

（1）∑-∞

=-1

311

)1(n n n ； （2）∑-∞

=--1

1

)1cos

1()

1(n n n

.

6、 判别下列级数是条件收敛？绝对收敛？发散？ （1）∑

-∞

=-1

)1(n n

n π ； （2）∑

-∞

=1

22sin )1(n n n

n ；

（3）

-+-4

ln 1

3ln 12ln 1 ； （4）∑-∞

=+11!2

)

1(2

n n n n ；

（5）∑

-∞

=--11

ln )1(n n n

n *(6)∑-∞

=+1

2

)

1(n n

n n

k ,(k 为常数)

（7）∑-∞

=++1

1)

1ln()

1(n n n

n ；

（8）),(,sin 12

+∞-∞∈∑∞=x nx

n n

； *(9)∑-∞

=-1

11

)

1(n p

n n

7、 求下列幂级数的收敛区间： （1） ------n

x x x x

n

323

2

； （2）

+++++3333322323n

n

x x x n x ； （3）

+?++?+?+?+33334433224323n

n n x

x x x x ；

（4）∑∞=--1222

1

2n n n

x n ； （5） ++++++x n x x n n x 3322321 ； （6）∑

+∞

=?12

3

)1(n n

n x ；

（7）

+?????++??+?+)

2(64264242232n x x x x n

； （8）∑-∞

=++1

1

21

2)1(n n n

n x

；

*(9)∑+∞

=1

2)3(2

n n

n x ； *(10)∑∞

=1

)(lg n n

x .

8、 若∑∞

=1

n n

n x a 的收敛半径是8，求级数∑∞

=+1

1

3n n n x a 的收敛半径

9、 求下列级数的和函数： （1） ++++7

537

5

3

x x x

x ； （2） ++++x x x x 7538642；

（3）1+ +++x x x 32432 ； *(4)∑∞

=+1)1(n n

x n n .

10、

将下列函数展开成x 的幂级数：

（1）x

x -110

； （2）

x x x 2

21-+；

（3）x

x -+11； （4）e x x 23-；

（5*）x

x

-+11arctan 11、 将

x

x f 1)(=

展开成(x-3)的幂级数.

12、

将函数

2

31

)(2++=

x x f x 展开成 （x+4）的幂级数. 第七章 单 元 测 验 题

1、判断题.

（1）若0lim =∞

→u n n ，则级数∑∞

=1n n u 收敛；

（2）若级数∑∞=1n n u 发散，则级数∑∞

=1

n n u c （c 为常数）也发散；

（3）改变级数的有限个项，级数的敛散性不变； （4）若级数∑∞

=1

n n u 收敛，则

∑∞

=-+1

212)(n n n u u 收敛.

2、下列级数是否收敛？是绝对收敛？还是条件收敛？

（！）∑∞

=+-13

23

2n n n n n ； （2）∑-∞

=22ln )1(n n n n ；

（3）∑-∞

=-1

2

1)!2()

!()

1(n n n n ； *(4)∑+∞

=++121

)

1(n n n n n . 3、（1）求级数∑

∞=12

n n n x n

的收敛区间. *（2）求级数∑??

?

??+-∞

=112)1(n n

n x x n 4、将函数)

1(1

)(-=x x x f 展开成 （x-3）的幂级数.

第八章 多 元 函 数

基 本 要 求 习 题 八

1、设有两点A （5，4，0）和B （-4，3，4），求满足条件2|PA| = |PB| 的动点P 的轨迹方程.

2、已知空间四点A （3，4，-4），B （-3，2，4），C （-1，-4，4），D （2，3，-3）判定

其中哪些点在曲线????

?

=+=++-0

36

222

)1(z y z y x

上.

3、求 y 轴上的一点，使它到A （1，2，3），B （0，1，-1）两点距离相等.

4、画出下列平面或曲面的草图.

（1）0532=+-y x ； (2)083=-y ； (3)1222=++z y x ； (4)y x z 223+= (5) x+z=1； (6) 02=-y x ； 5、写出以点O （1，3，-2）为球心，并过原点的球面方程. 6、已知函数

y

x

xy y x f y x tan

),(22-+=，试求f (tx,ty).

7、证明函数F （x,y ）= lnxlny 满足关系式 F （xy,uv ）=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v). 8、确定下列函数的定义域D ： （1）

)]4)(8ln[(),(2

22

2-+

-

-=y x y

x y x f ； （2）b

y a x z 22221--=；

（3）

xy

y x f x

21

),(2-=

； （4）)

1ln(4222y x y x z ---=

.

9、求下列极限. （1）y

x xy y x y x ++→→2

22

1

3lim

； （2）y x y x 22

5

.00arcsin lim +→→；

（3）

y x

y x y x 2

2220

0)

(3sin lim

++→→； （4）

xy

xy y x 4

2lim

0+-→→；

*（5）???? ?

?++∞→+∞→y x xy x y x 222

lim . 10、证明：极限 y x y

x y x +-→→0

0l i m

不存在.

11、求下列函数的偏导数：

（1）x y z y x 33-= ； （2）)ln(xy z =

；

（3）)()sin(cos 2xy xy z +=； （4）)(arctan y x z

u -=. 12、求下列函数的二阶偏导数：

（1）)sin(by ax z += （a,b 为常数） （2）z = arcsin(xy) * (3)y

x

z ln =； * (4))ln(

e e

y

x

z +=

13、求下列各函数的全微分： （1）y

x xy z +=； （2）e x y

z =； （3）y

x

xy

z 2

2+

=

； （4）a

xyz

u =.

14、求函数)1ln(22y x z ++=当x=1,y=2时的全微分.

15、求函数y x z 32=当x=2,y=01.0,02.0,1-=?=?-y x 时的全微分及全增量的值. 16、设v u u v z 22-=，而u = xcosy,v = xsiny,求y

z x z ????,.

17、设e y x z 2-=，而t y t x 3,sin ==，求dt

dz .

18、设),,(ζηξf u =为可微函数，而y

u x u xy y x y x ????=-=+=和求

,2,,2222ζ

ηξ.

19、求下列各函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）. （1）)(222z y x f u -+=

； （2）u = f(x,xy,xyz).

20、求由下列各方程所确定的隐函数z 的偏导数. （1）

y

z

y x ln = ； （2）0sin sin 2=+++xyz y x x z z ；

*（3）、a z xyz 333=-.

*21、设x

e z xyz z 22,0?=-?求.

22、求下列函数的极值.

（1）y x y x z 22)(4---= ； （2）)4)(6(22y x y x z --=； (3))2(22y x z y e x ++=； *（4）y x xy z 333--=.

23、从斜边为a 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.

24、欲围一个面积为60m 2的矩形场地，正面所用材料每平方米造价10元，其余三面每平方米造价5元，求场地长、宽各为多少米时，所用材料费最少？

25、设生产某种产品的数量与所用的两种原料A ，B 的数量x,y 之间有关系式y x y x f 31

2

12),(=

，已知

A ，

B 的单价分别为每吨1万元，2万元，现有150万元购料，

问如何购进这种原料，可使产量最大？

26、根据二重积分的性质比较积分??+??+D

D

d d y x y x σσ)()(32与的大小，其中D 是由 x 轴、

y 轴与直线x+y =1所围成.

27、利用二重积分的性质估计下列积分的值： （

1

）

2

0,10,)1(≤≤≤≤++??y x D d y x D

是矩形其中σ； （2）

3,)9(2

222≤+--??y x y x D d D

是圆域：

其中σ. 28、化二重积分

??D

d y x f σ),(为二次积分（分别列出对两个变化量先后次序不同的两

个二次积分）.其中积分区域D 为 （1） 由直线y = x 及抛物线

x y

42

=所围成的区域；

（2） 由x 轴及半圆周)0(222>=+y R y x 所围成的区域； 29、改变下列二次积分的积分次序； （

1

）

??x

x dy

y x f dx 221),( ； （2）

????----+x

x x x

dy y x f dx dy y x f dx 2

2210201),(),(；

30、计算下列积分： （1）

??+D dxdy y x )6( D ：y = x ,y = 5x ,x = 1所围成的区域；

（2）??D

dxdy y x D ：x y x y 2,==所围成的区域；

（3）

??+

D

dxdy y x )(2

2

D ：1,1≤≤y x ；

* (4)??13

10sin x

dy x dx y . 31、将下列直角坐标形式的累次积分变化为极坐标形式的累次积分：

（1）??-+x ax a dy dx y x 220

2220)( （2）??-+x R R dy f dx y x 220220)(

32、利用极坐标计算下列二重积分.

（1）??+D

y x dxdy e 2

2

，D 是由圆周422=+y x 所围成的区域；

（2）??D

d x y

σarctan ，D 是由圆周1,42222=+=+y x y x 及直线y = 0,y = x 所围成的在第

一卦限内的区域； （3）

??++

D

dxdy y

x )1ln(2

2

，D 是由122=+y x 所围在第一卦限中的区域；

（4）??

++D y

x dxdy

22

1，D 是由圆122≤+y x 所围成的区域. *（5）??--D

d y x σ221 D 是由圆x y x =+22所围成的区域.

第八章 单 元 测 验 题

1、设y

x y

x y x f -+=

),(，求f(x+y,x-y). 2、 知函数)sin(),(y x y x f e

x

+=

，求).4

,0(),4

,0(π

πf f y x

3、 z = f(x+y,xy)是可微两次的函数，求x z

2

2??，

y

x z

???2，

y z

2

2??.

4、 求函数y

x

z arctan =的全微分.

5、设函数x

x z y 2

-= （1）求当点P （x,y ）沿直线y = kx 趋于原点时的极限；

（2）当点P （x,y ）沿抛物线

kx y

=2

趋于原点的极限是否与k 有关；

（3） 函数在原点的极限是否存在？

6、计算??D

xdxdy 的值.其中区域D 是抛物线y x =及直线x = 0与3x-2y+2=0 所围成.

7、计算

??+D

y

x d e

σ，其中D 是由|x|+|y|≤1 所确定.

第九章 微分方程与差分方程简介

习 题 九

1、 试说出下列微分方程的阶数：

（1）x y x y y =-//2

2)( ； （2）02)22(=+-xydy dx y x ； （3）022//

///

=++y

x x

y y （4）

x y y

y =++)1(2/

//

/.

2、 验证下列各题中所给函数是否是所对应的微分方程的解： （1）y x y y x 2,5/2==； （2）02,sin ///=-+=xy x x

x

y y y . 3、 求下列微分方程的通解：

（1）0/2=+y y x ； （2）xy dx

dy

x =+)

1(2 （3）

e x y y x dx dy 12+= ； （4）y

y x xy x 3/

ln +=； 4、 解下列初值问题： （1）0)1(,12=+=y dx dy y ； （2）1)0(,==-y dx

dy e y x ； （3）

1)0(,)1(21

2-=-+=y y x dx dy ； （4）2)2(,1

32=++=y x yx dx dy x . 5、 求下列齐次方程的通解：

（1）x y

x y -=/ ； （2）y x y x y -+=/；

（3）e y x y

x y x +=/ ； （4）x x

y

y x y x y -=sin sin

/；

（5）1,02)3(|022==--=x y xydx dy x y . 6、 求下列微分方程的通解： （1）e

y x

y =-3/

； （2）e y x y x 2

2/

=+；

（3）y e x xy x /=+ ； （4）

)2

,2(,1tan ππθθθ-∈=-y d dy ； （5）)0(,/>=++-x y xy x e y x ； *（6）y

x dx dy 21

+=. 7、 求下列微分方程的通解：

（1）x x y sin //+= ； （2）y y y x /////44+=；

（3）0///=+y y x ； （4）x x

d d y

222= ；

（5）x

x y y y /

/

//ln

=； （6）y y y y y /2/2

//)(=-；

（7）x x y y sin cot 2///=-； （8）y y /////=；

（9）2,1,3||0/

0//=====x x y y y y

8、 求下列函数的差分. （1）

C y

x

= （C 为常数）； （2）a y x

x

=；

（3）ax y x sin = ； （4）x y x 2=； 9、确定下列差分方程的阶：

（1）23123=+-++y y x y x x x ； （2）y y y x x x 242+--=-； 第九章 单 元 测 验 题

1、指出下列题的叙述是否正确：

（1）方程y xy x

y y

2

/

2

)(=

-是齐次的；

（2）方程0)13()2(3/

2

2

=+++y x x

xy 是线性的；

（3）方程

1623/

-+-=xy x y y

是可分离的.

2、求下列微分方程的通解：

（1）)(cos 2/x y

x y x y += ； （2）x

y x x y 1ln 1/=+

*（3）

0)2(2

2

=-+-dy x xy dx y y

； （4）0)1(///2=--y y x x ，且满足

1,0||/00====y y x x .

3、求曲线方程 y =y(x)，它满足方程

y dx

dy

x 34=，且在y 轴上的截距等于7. 4、求一条曲线，使该曲线的切线，坐标轴与切点的纵坐标所围成的梯形面积等于a

2

，

并且该曲线过（a,a ）点.

无穷级数 习题七

1、（1）u s 12- （2）a u -1 （3）0

2、（1）收敛、1 （2）发散 （3）收敛、

3

ln 22

- （4）收敛、3 （5）收敛、2 3、（1）收敛 （2）收敛 （3）收敛 （4*）收敛 4、（1）收敛 （2）收敛 （3）收敛 （4）发散 5、（1）发散 （2）发散 （3）发散 （4）收敛 6、（1）收敛 （2）收敛 7、（1）绝对收敛 （2）绝对收敛 （3）条件收敛 （4）发散 （5）条件收敛 （6*）条件收敛 （7）条件收敛 （8）绝对收敛

*（9）条件收敛，发散，100≤<≤p p p>1绝对收敛

8、（1）)1,1[- （2）（-3，3） （3）)3,3[- （4）)2,2(- （5）0 （6）)2,4[- （7）),(+∞-∞ （8）[-1，1] （9*）)2

3

3,233(+--- （10*）)10,101(

9、2 10、（1）

x x -+11ln 21 （2）)

1(22

2x x

- （3）)1(21x - *（4）)1(32x x - 11、（1）∑∞

=10n n

x （2）∑-∞

=-0]1[31)2(n n n x （3）∑∞=+121n n x （4）∑

-∞=+0

3!2)1(n n n

n x n （5*）

∑-∞

=+++0

121214

)1(n n n

x n π

提示：x x 2/11

)(arctan +=

∑-∞==0

2)1(n n n x 12、∑

--∞

=+0

1

)3(3)1(n n n n x

13、∑-∞

=++-0

1

1

)4(3

2

)1

1

(

n n n n x 第七章 单元测验题

1、（1）错 （2）对 （3）对 （4）对

2、（1）绝对收敛 （2）条件收敛 （3）绝对收敛 （4*）发散

3、（1）)21,21[- （2）),3

1]1,(+∞---∞或（

4、∑--∞

=++-0

1

1

)3(3

2

)1()1

1

(

n n n n n x

第八章 多元函数

习题八

1、012382648333222=++--++z y x z y x

2、A 点和C 点

3、（0，6，0）

4、略.

5、14)2()3()1(222=++---z y x

6、),(2y x f t

7、略.

8、（1）(){

}

84|,2

2<+

y x （2）}1|

),{(2

22

2≤+

b y a x y x

（3）{(x,y)|x>0,x>2y}{(x,y)|x<0,x<2y} （4）(){

}

x y x y y

x 4,10|,2

2

2

≤<+

<

9、（1）310 （2）6

π （3）3 （4）41

- *（5）0

10、略. 11、（1）x y

z

y x z y x y x 23323,3-=??-=?? （2）

)ln(21,)ln(21xy y y z xy x x z =??=?? （3）

)(2sin )cos(),(2sin )cos(xy x xy x y

z

xy y xy y x z -=??-=?? （4）)()()()()()(221211)

ln(,1,1y x y x y x y x y x y x z

z z z z z y x z u z y u z x u ------+-=??+-=??+=??--

12、（1）)sin(),

sin(),sin(22

2222

2

by ax z

by ax ab y

x z

by ax z b y

a x +-=?+-=??+-=????

（2）

)

1()1()1(2223

32

22223

2222

3

3

2

2,1

,y x x y y x y x y x y

z

y

x z

x z

-?-?-?=

?=

??=

?

（3）y y

y y y x

x

x x x x x x z

x y y x y

x z

y y

z 2ln 221ln ln 2ln 22

2)1(ln ln ),ln ln 1(1),ln 1(ln ---=?+=

??+-?=???? （4）

)()

()

(2

2

22

22

2

2,,e

e

e e y e

e

e e e

e

e e x y x y x y x y x y x y x z

y

x z

z

+?+?+?=

?-

=??=

?

13、（1）dy x x dx y y dz y

)()1(2-++= （2）dy x dx y dz e

x e x y

x y +-=2

（3）dy dx dz y x x y x y )

()

(222

332223

3

+++

=

（4）)(ln xydz xzdy yzdx a du a

xyz ++=

14、dy dx dz 3

2

31+=

15、2040401.0,2.0-=?-=z dz 16、

)()cos (sin 2sin ),sin (cos cos sin 3cos sin 33332y y y y y y

z

y y y y x z x x x +++-=??-=?? 17、)cos 6(22sin 3

t dt

dz t e t t +-=- 18、

.222,222/

/////x y y y

u y x x x u f f f f f f ?+?-?=???+?+?=??ζηξζηξ 19、（1）)2(,2,2//////z y x f u f u f u z y x -?=?=?=

（2）xy xz x yz y f u f f u f f f u z y x ?=?+?=?+?+=/

3//3/2//3/2/1

/,, 20、（1）

)1

(,2y x z y z y z x z y

+-=??=?? （2）xy

z x xz

y x y z xy z x yz y x z x z +++-

=??++++-=??2sin cos ,2sin sin cos （3）

xy

xz

y z xy yz x z z z -=??-=??2

2,

21、

)

1()1(3

22

2

2--?+-

=?z x z x z z z

22、（1）极大值f(2,-2)=8 （2）极大值f(3,2)=36 （3）极大值f(1,1)=1 （4）极小值f(e 2

1)1,21-=-

23、当直角边为

2

a 的直角等腰三角形时，周长最大.

24、场地长为米宽为米102,103时，所用材料最少. 25、购进A 原料90吨，B 原料30吨时，可使产量最大. 26、??+??+≥D

D

d d y x y x σσ)()(32

27、（1）8)1(2≤++≤??D

d y x σ （2）πσπ27)9(1822≤--≤??D

d y x

28、（1）??x

x

dy y x f dx 440),(??=y

y dx y x f dy 4

402

),( （2）??--x R

R R dy y x f dx 220

),(?

?---=

y R

y R R dx y x f dy 222

2),(0

29、（1）????+2

2

42121),(),(y y dx y x f dy dx y x f dy

（2）????----+y

y y y dx y x f dy dx y x f dy 222110),(),( 30、（1）

376 （2）556

（3）3

8 （4）)1cos 1(61-

31、（1）??θπθcos 20

3

20a dr d r （2）??R

rdr d r f 0

220)(π

θ 32、（1）)1(4-e π

（2）64

32

π （3）42ln 2ππ- （4）2ln π *（5）)34(31-π

第八章

单元测验题

1、

y

x

2、2

2,

2

3、

f x f f y

f f f f f y f f x

x z

xy y x y

x z

y z

//22

2//12//112

2/

2//22//12//112//222//12//112

22,

)(,2++=?+++=??++=??+??

4、dy x

dx y dz y x

y x 2222+-+=

5、（1）1 （2）有关 （3）不存在

6、2

7、e

e 1

-

第九章

微分方程与差分方程简介 习题九

1、（1）1阶 （2）1阶 （3）3阶 （4）2阶

2、（1）是 （2）不是

3、（1）e x c y 1= （2）)1(22x y c += （3）c y x e y +=-+)1(2233

1)1(

（4）c x y +=+|||ln |ln 4)1(22

4、（1）y = tan(x-1) (2)1-+=e e e x y （3）412

++-=x y x

（4）)1(522)3(+=+x y

5、（1）)(21x

c x y -= （2）c y x x y

c arctan

22=+ （3）y = -xln(c-ln|x|)

(4)cx x

y

ln cos

= (5)15325=-y x y 6、（1）e e x x c y 2

1

3-= （2）

x

e

x

x c

y 22

22

+=

（3）)||(ln c x y e x

+=

（4）y=tan θ+Csec （5）e x

x

c y -+=)1( （6*）e y y c y x ++--=222 7、（1）c c x x x y 2

13sin 6

1

++-=（2）c c y 22

1411+=??

?

??- （3）c c x y 21||ln +=

（4）c c x x y 2

14121++=

（5）c e c c x c x y 21111)1(1+-=+ （6）e

c e c c x c x c y 112211-=

（7）c c x x x y 21sin 3

1

csc 31cot +-+= （8）c e c c x x y 321++= （9）2241+=x y

8、（1）0=?y x （2）a y x x a )1(-=? （3）a x a y x 2

1

sin )21(cos 2+=?

（4）12+=?x y x

9、（1）3阶 （2）6阶

第九章 单元测验题 1、（1）错 （2）正确 （3）正确

2、（1）)arctan(ln

cx x y = （2）x

c

x y ln ln 21+

= （3） x y arcsin = *（4）e y y y c x 1

22+= 3、

e x y 4

7=

4、]2[313

2x

a y a x +=

(完整版)第7章多元函数微积分测试题讲义

第7章 多元函数微积分 测试题 一、单项选择题。 1．设23)12(++=y x z ，则 =??y z （ D ）。 A ．13)12)(23(+++y x y B ．13)12)(23(2+++y x y C ．)12ln()12(23+++x x y D ．)12ln()12(323+++x x y 2．设)ln(y x z +=，则=) 0,1(d z （ B ） 。 A ．y x d d +- B ．y x d d + C ．y x d d - D ．y x d d -- 3．下列说法正确的是（ A ）。 A ．可微函数),(y x f 在),(00y x 处达到极值，则必有),(00y x f x 0),(00==y x f y ； B ．函数),(y x f 在),(00y x 处达到极值，则必有),(00y x f x 0),(00==y x f y ； C ．若),(00y x f x 0),(00==y x f y ，则函数),(y x f 在点),(00y x 处达到极值。 D ．若),(00y x f x 或),(00y x f y 有一个不存在，则函数),(y x f 在点),(00y x 处一定没有极值。 4．设uv z =，v u x +=，v u y -=，若把z 看作y x ,的函数，则 =??x z （ A ） 。 A ．x 21 B ．)(21 y x - C ．x 2 D ．x 5．下列各点中（ B ）不是函数x y x y x z 9332233-++-=的驻点。 A ．)0,1( B ．)1,0( C ．)2,1( D ．)0,3(- 6．二元函数?????=≠+=)0,0(),( 0)0,0(),( ),(2 2y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处（ C ）。 A ．连续，偏导数存在 B ．连续，偏导数不存在 C ．不连续，偏导数存在 D ．不连续，偏导数不存在 7．函数xy y x z ++=22的极值点为（ A ）。 A ．)0,0( B ．)1,0( C ．)0,1( D ．不存在

高等数学习题详解-第7章 多元函数微分学

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。

第7章 多元函数微分学

§7.1 空间解析几何基本知识 教学内容提要 1. 空间直角坐标系； 2. 空间两点间的距离公式与两点连线的中点坐标公式； 3. 简单的曲面方程。 教学目的与要求 1. 了解空间直角坐标系和空间两点间的距离公式及两点连线的中点公式； 2. 了解常用二次曲面的方程及其图形。 教学重点与难点 常用二次曲面的方程及其图形的简单描绘. 教学时数 4 教学过程： 一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系的建立 过空间定点0，作三条互相垂直的数轴，他们都以0为原点 且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别称为x 轴，y 轴， z 轴，统称坐标轴。通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，z 轴 z 在铅垂方向，他们的指向符合右手法则. 2、空间两点间的距离公式 空间任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M 21221221221)()()(z z y y x x M M -+-+-= 特殊地，点),,(z y x M 与坐标原点)0,0,0(O 的距离为222z y x OM ++= 。 例1 在z 轴求与两点)7,1,4(-A 和)25,3(-B 等距离的点的坐标。 二、曲面及其方程的概念 1．曲面方程 在空间解析几何中，任何曲面都可以看作满足一定条件的点的几何轨迹 ，如果曲面S 上任一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F ，不在曲面S 上的点的坐标都不满足该方程，则称此方程0),,(=z y x F 为曲面的方程，而曲面S 就叫做方程的图形。 例2 动点),,(z y x P 与两定点)1,3,2(),0,2,1(21-P P 的距离相等，求此动点P 的轨迹。 三、几种常见的曲面及其方程 1、平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示 .任一三元一次方程Ax +By +Cz +D =0的图形总是一个平面. 例3 求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解 平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为

多元函数微积分复习题

多元函数微积分复习题 一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ). C A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22 z y ??. 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( ). C A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2

《微积分(下)》第7章 多元函数微积分学--练习题

第七章 多元函数微积分学 第一部分：多元函数微分学 一、二元函数的极限专题练习： 1.求下列二元函数的极限: (1) ()2 1 1(,)2,2lim 2;y xy x y xy +? ? →- ? ? ?+ (2) () ()2222 (,),3 lim sin ;x y x y x y →∞∞++ (3) ()(,)0,1sin lim ;x y xy x → (4) ( (,)0,0lim x y → 2．证明：当()(,)0,0x y →时，() 44 3 4 4(,)x y f x y x y =+的极限不存在。 二、填空题 3. 若22),(y x y y x f -=+，则=),(y x f ； 4. 函数22(,)ln(1)f x y x y =+-的定义域是D = ； 5. 已知2 (,)x y f x y e = ，则 '(,)x f x y = ； 6. 当23(,)5f x y x y =,则 '(0,1)x f = ； 7. 若2yx e z xy +=，则=??y z ； 8. 设)2ln(),(x y x y x f + =，则'(1,0)y f =； 9. 二元函数xy xe z =的全微分=dz ；

10.arctan()Z xy =设，则dz= . 三、选择题 11.设函数 ln()Z xy =，则 Z x ?=? ( ) A 1y B x y C 1x D y x 12.设2sin(),Z xy = 则 Z x ?=? ( ) A 2cos()xy xy B 2cos()xy xy - C 22cos()y xy - D 22cos()y xy 13.设 3xy Z =，则 Z x ?=? ( ) A 3xy y B 3ln 3xy C 13xy xy - D 3ln 3xy y

多元函数微分学练习题

多元函数微分学练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ．

《数学分析》第十七章 多元函数微分学

第十七章 多元函数微分学 ( 1 6 时 ) §1 可微性 ( 4 时 ) 一． 可微性与全微分： 1． 可微性：由一元函数引入. ))()((22y x ?+?ο亦可写为y x ?+?βα, →??) , (y x ) 0 , 0 (时→) , (βα) 0 , 0 (. 2． 全微分: 例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性. [1]P 105 E1 二. 偏导数: 1. 偏导数的定义、记法: 2. 偏导数的几何意义: [1]P 109 图案17—1. 3. 求偏导数: 例2 , 3 , 4 . [1]P 142—143 E2 , 3 , 4 . 例5 设 . 0 , 0, 0 ,),(222222 2 3? ????=+≠+++=y x y x y x y x y x f 证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 , 并求) 0 , 0 (x f 和) 0 , 0 (y f . 证 ρ θθρρρθ ρθρ) sin cos (lim ),(lim 2320sin ,cos ) 0,0(),(+===========→==→y x y x y x f =)0,0(0)sin cos (lim 2 30 f ==+→θθρρρ. ),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 . ) 0 , 0 (x f =0||lim )0,0()0,(lim 300==-→→x x x x f x f x x , ) 0 , 0 (y f ||lim )0,0(),0(lim 2 00y y y y f y f y y →→=-= 不存在 . Ex [1]P 116—117 1⑴—⑼，2 — 4 . 三. 可微条件:

第七章 多元函数微分【高等数学】

第七章 多元函数微分学 一、内容分析与教学建议 （一） 本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数，一方 面充实微分学，另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。 在教学方法上，在一元函数微分学基础上，通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法，并注意比较它们的异同。 （二） 多元函数、极限、连续 先通过介绍平面点集的几个基础概念，引入二元函数由点函数再过渡到多元函数，并引入多元函数极限，讲清它的概念，并指出二元函数与一元函数极限点0P P →方式的异同，可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法，如换元化为一元函数两边夹准则，运用连续性等。在理解极限概念之基础上，不难得到求一个二元函数极限不存在之方法，最后可介绍累次极限与重极限之关系。 （三） 偏导数与全微分 1、可先介绍偏增量概念，类比一元函数，引入偏导数，通过例题说明，偏导与连续之关系，在偏导数的计算中，注意讲清分段函数分界点处的偏导数。 2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例，类比一元函数的微分，引入全微分的定义，并指出用定义判断),(y x f z =可微，即求极限[] ρ y y x z x y x z z y x y x ?+?-?→?→?),(),(lim 0 是 否为0。 3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件，重点指出可微与偏导之关系，让学生理解关系式dy y z dx x z dz ??+??= 之意义，最后可通过列表给出多元函数连续、偏导存在、可微之相互关系。 （四） 复合函数求偏导 1、可先证明简单情形的全导数公式，画出函数关系图，通过关系图中“分线相加，连线相乘”法则推广至偏导数或全微分的各种情形),(v u f z =，)(x u ?=，)(x v ?=从中让学生理解口诀的含义。

微积分第2版-朱文莉第7章 多元函数微分学习题祥解

习题7.1(A) 1、求点(2,1,3)A -关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点的对称点的坐标。 解 (1)(2,1,3)--,(2,1,3)--, (2,1,3)； (2)x 轴：(2,1,3)-，y 轴：(2,1,3)---，z 轴：(2,1,3)-； (3) (2,1,3)--。 2、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ (4,3,5)A -，(2,3,4)B -，(2,3,4)C --，(2,3,1)D -- 并求点(4,3,5)A -分别到(1)坐标原点；(2)各坐标轴；(3)各坐标面的距离。 解 A 点在第4卦限； B 点在第5卦限； C 点在第8卦限； D 点在第3卦限。 (1) A =(4,3,5)- (2) A 到x = A 到y = A 到z 5=； (3) A 到坐标面xy 5=； A 到坐标面yz 4=； A 到坐标面xz 3=。 3、在z 轴上求一点M ，使该点与点(4,1,7)A 和(3,5,2)B 的距离相等。 解 因为所求点在z 轴上, 所以设该点为(0,0,)M z , 由题意有MA MB , 即 22 222 2(4)1(7 )35(2 )z z 两边平方, 解得149z , 于是所求点为14(0,0,)9 M . 4、写出球心在点(1,3,2)--处，且通过点(1,1,1)-的球面方程。 解 由2 2 2 2000()()()x x y y z z R ，得 2 222(1())(113())(12)R

则3R ，从而球面方程为 2 2 2 2(1)(3)(2)3x y z 5、下列各题中方程组各表示什么曲线？ (1) 2248, 8; x y z z (2) 22 25, 3;x y z x (3) 22 2 4936, 1; x y z y (4) 2244, 2. x y z y 解 (1) 双曲线；(2) 圆；(3) 椭圆；(4) 抛物线。 6、描绘下列各组曲面在第一卦限内所围成的立体的图形。 (1) 0,0,0,1x y z x y z ===++=； (2) 2 2 2 2 2 2 0,0,0,,x y z x y R y z R ===+=+=。 解 (1)、(2)题的图如下： (1)题图 (2)题图 7、由上半球面 224 z x y 和圆锥面223()z x y 围成一个立体，求它在xy 面上 的投影区域。 解 将上半球面和圆锥面的方程联立得到方程组 2 22 2 43() z x y z x y 在该方程组中, 消去z , 得到2 2 1x y . 这是准线为 221 x y z , 母线平行于z 轴 的柱面, 且它在xy 面上的投影是xOy 坐标平面上的一个圆. 故题设中两个已知曲面所围成立体在xy 面上的投影区域为: 2 21x y . 习题7.1(B) 1、指出下列各题中平面位置的特点，并画出各平面。 (1) 0y =； (2) 1z =； (3) 23x y +=； (4) 20x y +=；

经济数学基础讲义-第7章-多元函数微分学(新)

第4章 多元函数微分学 4.2.1 二元函数的概念 多元函数与一元函数类似，学习时应注意比较． 一元函数是含有一个自变量的函数：)(x f y =。多元函数是含有多个自变量的函数，例如： 二元函数：),(y x f z =，三元函数：),,(z y x f u =等等． 例1 如果圆锥体底半径为r ,高为h ，则其体积v 它是二元函数.其中，r 和h 是自变量，v 是因变量（函数）.定义域： {} 0,0),(>>=h r h r D . 例2黑白电视：在t 时刻屏幕上坐标为),(y x 处的灰度z 为：),,(t y x z z =，它是三元函数. 例3在一个有火炉的房间里，在t 时刻，点),,(z y x 处的温度u 是t z y x ,,,的函数： ),,,(t z y x u u =，称为温度分布函数，它是四元函数． 例4 求函数222y x a z --= 的定义域． 解：02 22≥--y x a ，定义域为{ } 2 22),(a y x y x D ≤+= 例5 求y y x z ) ln(+= 的定义域． 解：由所给函数，对数真数为正，又分母根式为正，有 ? ? ?>+>00 y x y {}0,0),(>+>=y x y y x D 4.3 ——4.4偏导数 二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处关于x 的偏导数 x y x f y x x f x ?-?+→?) ,(),(lim 00000 （注意到：y 取值不变，恒为0y ） 记作： ) ,(00y x x z ??或),(00y x f x '.类似地，关于y 的偏导数： y y x f y y x f y ?-?+→?) ,(),(lim 00000 例如：y x z 3sin 2 =

第七章 多元函数微分学及其应用汇总

第七章 多元函数微分学及其应用 7.1 多元函数的基本概念 7.1.1 二元函数的概念 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于该平面上的任意一点),(y x ，按照一定的对应法则f 都有确定的数值z 与之对应，则称z 是f 的二元函数，记为),(y x f z = 。其中y x ,为自变量， z 为因变量，f 为对应法则，D 为定义域，值域 {}D y x y x f z z R f ∈==),(),,(。 （1）二元及二元以上的函数称为多元函数。 （2）一元函数与二元函数的区别：①定义域不同；②自变量的个数。 （3）多元函数的定义域和表达式可以参照一元函数求解。 例1：设x y x x e e x y x y x f ln )1()ln ,(-=-，求),(y x f 的表达式。 例 2：求函数) 1ln(4)2arcsin(2 22 y x y x x z ---+=的定义域。 7.1.2 二元函数的极限 设二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某去心领域内有定义，当动点),(y x P 趋向于点),(000y x P 时，函数),(y x f 无限趋近于常数 A ，则数A 是函数),(y x f 当),(),(00y x y x →时的极限，记为 A y x f y x y x =→),(lim ) ,(),(00 （1）动点),(y x P 趋近于定点),(000y x P 的方向是任意的。 ①若函数),(y x f 以某一方向趋近于定点),(000y x P 时函数的极限

不存在，则),(y x f 在定点),(000y x P 处的极限不存在。 ②若函数),(y x f 以某一方向趋近于定点),(000y x P 时函数的极限 存在，则),(y x f 在定点),(000y x P 处的极限不一定存在。 ③若函数),(y x f 以不同方向趋近于定点),(000y x P 时函数的极限 存在但是不相等，则),(y x f 在定点),(000y x P 处的极限不存在。 （2）求二重极限的方法与技巧 ①直接代入法；②根式有理化；③无穷小的性质； ④等价无穷小的替换；⑤夹逼准则； ⑥不等式的性质（xy y x 222≥+；1sin ≤x 等等） ⑦若函数),(y x f 中含有22y x +的式子，令θθsin ;cos r y r x ==，则 )0,0(),(→y x 等价于0→r 。 备注：求二重极限的极限不能使用洛必达法则。 例3：求下列极限 （1）xy xy y x 42lim )0,0(),(+-→ （2）y xy y x sin lim )0,2(),(→ （3）2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→ 例4：设 ??? ??=≠+) 0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f ，证明：),(lim ) 0,0(),(y x f y x →不存在。 例5：设 ?????=≠+)0,0(),(,0) 0,0(),(,),(2 63y x y x y x y x y x f ，证明：),(lim ) 0,0(),(y x f y x →不存在。 例6：设 ?? ???=≠+)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22 y x y x y x xy y x f ，求),(lim ) 0,0(),(y x f y x →。 7.1.3 二元函数的连续性 设函数),(y x f 在点),(00y x 的领域内有定义，若

多元函数微分学复习题含答案

第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1.极限= （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 ； (D)存在且不等于0或 （提示：令22y k x =） 2、设函数，则极限= （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ， 20000(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以，(,)f x y 在 整个定义域内处处连续。） 4、函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设 ，则= （ B ） (A) ； (B) ； (C) ； (D) 6、设，则 （ A ） （A ）； （B ）； （C ）； （D ）

7、若)ln(y x z -=，则=??+??y z y x z x （ C ） （A ）y x +； （B ）y x -； （C ）21； （D ）2 1-． 8、设y x z arctan =，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ） （A ）22v u v u --； （B ）22v u u v --； （C ）22v u v u +-； （D ）22v u u v +-． 9、若 ，则= （ D ） (A) ； (B) ； (C) ； (D) 10、设，则 （ A ） (A) 2 ； (B) 1+ln2 ； (C) 0 ； (D) 1 11、设函数，则点 是函数 的 （ B ） （A ）极大值点但非最大值点； （B ）极大值点且是最大值点； （C ）极小值点但非最小值点； （D ）极小值点且是最小值点。 12、设函数具有二阶连续偏导数，在处，有 （ C ） 2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则 （A ）点 是函数的极大值点； （B ）点是函数的极小值点； （C ）点 非函数的极值点； （D ）条件不够，无法判定。 二、填空题 1、极限= ??????? 。答： 2、极限=??????? 。答： 3、函数 的定义域为 ??????? 。答： 4、函数的定义域为 ??????? 。答：， 5、设函数，则= ??????? 。答：

第七章-多元函数微积分简介-自测题

第七章-多元函数微积分简介-自测题

第七章 多元函数微积分简介 自测题 一．选择题 1．二元函数z=f(x,y)在点(0 ,x y )处可微的充分条件 是 （ ） A f(x,y)在点（0 ,x y ）处连续； B 00(,),(,),x y f x y f x y x y ''在（） 的某邻域存在； C 220000(,)(,),0 x y f x y x f x y y x y ''??-??+?→z-当时，是无穷小量； D 222 2 (,)(,)0 f x y x f x y y x y x y ''??-??+??+?z-，当时，是无穷小 量。 2． 22 22 1()sin ,(,)0,x y x y f x y ?+?+=? ?? 222 2 00x y x y +≠+=，。 则在原点（0,0） 处f(x,y) ( ) A 偏导数不存在； B 不可微 C 偏导数存在且连续 D 可微 3．设x ?（）为任意一个x 的可微函数，ψ（y ）为任意一个y 的可微函数，若已知 22F f ,(,)F x y x y x y ??≠????则是 （ ） A f(x,y)+ x ?（） B f(x,y)+ ψ（y ） C f(x,y)+ x ?（）+ψ（y ） D f(x,y)+ x ?（）ψ（y ）

4．已知 3 2 22 （axy -y cosx ）dx+(1+bysinx+3x y )dy 为某一函数f(x,y)的全微分，则a 和b 的值分别是 （ ） A -2和2， B 2和-2， C -3和3 D 3和-3. 5．设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=? ?? ? ?22 2222000 ，则 (,) f x y （ ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 6．函数z f x y =(,)在点(,)x y 0 处具有偏导数是它在该 点存在全微分的 （ ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 7．设函数z x y =-+122 ，则点 (,) 00是函数 z 的 （ ） （A ）极大值点但非最大值点； （B ）极大值点且是最大值点；

第七章多元函数的微分(教师用)

第七章 多元函数的微分法及其应用 习题7-1 7求下列各极限： 8证明极限： 2 lim xy 不存在; (x,y)_；(0,0) x 2 - y 4 2 所以：lim xy 不存在. (x,y) >(0,0) x 2 y 4 练习册 1 填空：1 设 f(x, y) =3x+2y,则f (xy, f (x, y)) =3xy+6x|4y. 2 设 f (y,0^) =x §y 2,则f (x,y) =x 2卜 x y _1 注:记 u =y,v = _y =lR U ，冒 x = —^则f (u,v) =—^ +u 2 x x y-1 v-1 3 设 z =屮刑 f (扳―1),若当 y =1 时 z = x,则 f (x) =x(x 02). 注：当y =1 时z =X,収=1 (J7 -1), 9f (仮 -1) =x _1 =(/)2 _1 =(/x _1)(/x -1 +2)H f (x) =x(x +2). 为： 6 函数 u =ln( 1 -x 2 -y 2)在x 2^^2 =1 是间断的。 2 x 2*y 2 2sin 2(——) =lim 2 2 T"2 (等价无穷小) H x 2y 2(x?y 2) y >0 2 xy (2) lim lim (x,y) >(0,0) , xy 4 _2 (xy))(0,0) sinxy — sinxy xy (3) lim lim (x,y)_』2,0) y (x,y)_；(2,0) (4) lim (x,y) >(0,0) 2 2 1 . .cos(x 亠 y ) ,2 2 2 xy (x 亠y ) e ' ^yL ^-』0『xy ，2)=4 xy ?x(由=1) =2, 2 2 2 x 2 * * * +y 2 2sin ( ) 2 (x,y)》(0,O) (x 2 - y 2)2e xy lim _ 2 证明：沿y =o 令x —. 0,有:lim 2°— =0,y = .. x 令x —. 0,有:lim x 「0x 2 0 JO x -.-x 5函数 2求极限 1 -cos(xtty 2 ) ⑴ lim 一2 0 x 2y 2(x^ffly 2) L 2 ,4x _y 2 2； ln(1 - x - y )

第七章多元函数微积分学解读

第七章 多元函数微积分学 A 组 一、填空 下列各点所在象限分别是： ()()()()_______;1,3,2________4,3,2________4,3,2_________3,2-,1 a 在、 ；在、；在、； 在、-----d c b 向量是_________的量； 向量的___________叫做向量的模；___________的向量叫做单位向量； _____________的向量叫做零向量； {}{}7,5,6,1,2,3a b =--=-- 的向量积 = . {}{} 7,5,6,1,2,3a b =--=-- 的数量积为 . 已知k j i a +-=32，k j i b 3+-=和j i c 2-=， 则()b c a c b a ?-?)( 为 。 曲面z y x 1092 2 =+与yoz 平面的交线是_____； 方程组?? ?-=+=3 21 5x y x y 在平面解析几何中表示______； 平面0=++Cz By Ax 必通过_______，（其中 C B A ,,不全为零）； 平面0=++D Cz By __________x 轴； 12+-= x y z 的定义域为 函数 )1ln(4222 y x y x z ---= 的定义域为 。 曲面z y x 1092 2 =+与yoz 平面的交线是_____； 方程组? ??-=+=3215x y x y 在平面解析几何中表示______； 平面0=++Cz By Ax 必通过_______，（其中 C B A ,,不全为零）； 平面0=++D Cz By __________x 轴； 12+-= x y z 的定义域为