数形结合主要是指数与形之间的一一对应关系
数形结合主要是指数与形之间的一一对应关系，其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，将抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。因此，数形结合不仅仅是一种简单的关系，更是一种数学思想（方法）。
数与形是数学中最古老、最基本的两个研究对象，它们之间存在着对立统一的辩证关系，一方面各自独立存在于自己的领域，另一方面两者又完美地结合在一起，在宇宙空间释放着关于空间形式与数量关系的无穷无尽的能量。从古到今，很多人曾经对数与形的关系做过生动的描绘：从《九章算术》里的“析理以辞，解体用图”到华罗庚“数形本是相倚依，怎能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；几何代数统一体，永远联系莫分离”的诗句；从古希腊数学家毕达哥拉斯的数阵图、毕达哥拉斯定理（勾股定理）到美国数学家斯蒂恩提出的“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且创造性思索问题的解法”，等等，所有这些都向我们深刻地描绘了数形之间那种美妙的契合关系。
小学阶段的数学学习中数形结合的思想具有得天独厚的优势。第一，从小学数学教材的编写来看，有关数形的内容没有被人为割裂，而是交替呈现，螺旋上升，为渗透数形结合的思想提供了可能；第二，小学是学生系统地学习数学的初级阶段，他们头脑中关于数与形没有明显的分隔符，是建构数形结合思想的极佳时期，为今后的数学学习乃至良好思维方式的形成奠定了基础；第三，小学生的身心特点决定了他们的学习特点，在以形象思维为主渐渐向抽象思维的过渡中，数形的结合正是顺利完成这个过渡的最好的媒介，借助形的形象来理解数的抽象，利用数的抽象来提升形的内在逻辑，这也正是数学学习的本质。
在课堂教学中，教师运用数形结合思想的领域常见于数概念、数的计算及数量（关系）的问题解决中。通常情况下以代数为出发点，通过各种形式揭示隐含在它内部的几何背景，启发学生的思维，找到解题的途径。但是，这并不是数形结合思想的全貌，在解决几何问题时同样要用到数形结合，即以几何为出发点，将直观的图形与抽象的数学语言结合起来，将形象思维和抽象思维结合起来，实现具体形象、表象与抽象概念的联系和转化，化直观为抽象，通过数量关系的研究来解决问题。可以想象，当学生的思维能够自觉并且自由地穿梭在数与形之间，那是一个多么美妙的教与学的境界。
数缺形时少直觉，形少数时难入微
数形结合的思想要完全落实在课堂教学中绝非易事，或左或右都会有形而上和形而下的嫌疑。因此，需要找到一些可操作、可检测的点，让数形结合的思想实实在在地刻画于学生的头脑中。经过大量的课堂实践，我认为数形结合思想在教学中有四种不同的表现形式，下面以一些教学片段为例逐一解释说明。一、数形分工。
在学生的学习中，数与形一方面分别以不同的方式存在于各自的领域，另一方面又因为存在方式的不足互相补充。
在教学“小数的意义”一课中，学生初步掌握了一位小数的意义，转而学习两位小数的意义时，我设计了这样一个情境：
学生能自动把两个分数转化为小数0.01和0.99，如果让学生就此对两个小数进行意义上的解释并不是一件难事，但很容易陷入机械照搬一位小数意义理解的误区。在这句话的下面配上两幅图后，学生会在头脑中经过快速的分析与比较，用百格图把0.01和0.99的意义表达出来。这里，表面上数与形各有分工，实质上却是在学生头脑中补充0.01和0.99的存在方式，最后达到数形结合的目的，
使学生对小数意义的理解更为完整。
二、数形对应。
数与形虽然存在于两个系统中，但数系统中某一项的组成要素和形系统中某一项的要素在某种意义上有着一一对应的关系。
以“1000以内数的认识”一课为例，在学生通过例题学习初步理解数意义的基础上，我设计了下面一项独立作业：
这道题目跟例题相比，在呈现方式上的最大区别是，一改例题的“具体的数—半具体半抽象的数—抽象的数”的顺序，让学生经历“抽象的数—半具体半抽象的数—具体的数”的过程：学生们首先从写数的角度书写803这个数；接着从数意义理解的角度，在计数器上画出表示803所应该拨的珠子；然后从回归生活的角度，在小棒图中圈出803根小棒。反馈的重点则放在对十位上“0”的意义理解上，“书写时十位上的零能不能省略？”“计数器上这个零在哪里？表示什么意思？”“圈小棒时如何表示十位上的零？”借助上面三个问题突破“数中间有零”的教学重点与难点。这道题目的另一个重要目的是帮助学生多角度理解803的意义，通过三个连续动作把具体的小棒图、半具体半抽象的计数器、抽象的三位数中的各个数位一一对应在一起后，“八个百、零个十、三个一”就清晰、生动、准确地刻画在学生的头脑中了。
三、数形联系。
即在数与形独立、对应的基础上，让两者接上关系，互相作用互相影响，以便于学生更深刻地理解知识，更全面地揭示知识的本质。
在“分数的意义”一课中，学生借助大量的图形操作，经历比较、归纳，抽象出分数意义的文字表达后，再要求他们运用所学知识解释具体分数的意义时，很多学生往往只会停留在抽象的模仿阶段，习惯用“把单位1平均分成若干份，
表示这样的一份或几份”来解释所有具体情境中的分数意义，虽然在教师的引导下，部分学生能够及时纠正认识中的偏差，但这并不能完全证明学生已经达到了学习目标。因此，我在这个教学环节中尝试着适时添加或转化为图的形式，较好地改变了学生理解分数局限于语言文字层面的尴尬局面。同时也进一步诠释了“如果一个特定的分数可以被转化为一个图形，那么有关分数意义的思想就整体地把握了，并且还具有学生各自的特点”。教学实录如下：
师：接下来请你运用刚才所学的知识，说说下面几个分数的意义。
生：1／8就是把单位“1”平均分成8份，表示这样的1份的数。
师：你能结合题目说得具体一点吗？
生：就是把人平均分成8份，头部的长度表示了这样的1份。
师：是把人的体重平均分成8份吗？这里的单位“1”是指什么？
生：不是，是把人的身高平均分成8份，单位“1”是人的身高。
师：对，找准单位“1”很重要，假设这条线段（教师画草图）表示单位“1”即人的身高，你能通过画图来进一步说明它的意义吗？
生：（边画图边讲解）把这条线段也就是身高平均分成8份，第1份就是头部。师：一个普通成年人的身高相当于8个头部的长度，你们知道最美的身材是怎样的吗？——九头身，是什么意思呢？
生：身高相当于9个头部的长度，他们头部的长度占身高的九分之一。
生：第二题表示把长江干流平均分成5份，其中的3份受到了不同程度的影响。师：说说谁是单位“1”？
生：长江所有的干流（水体）。
师：如果这个正方形代表长江所有干流水体，你能把这个分数的意思在图上表示吗？（学生尝试画草图）。……
生：下一题是把死海的含盐量平均分成10份，表层的含盐量占了3／10。
师：这里单位“1”是指谁？
生：死海的含盐量。
生：错了，单位“1”应该是死海表层的水。
生：把死海表层的水平均分成了10份，盐占了其中的3份，叫做3/10。
师：你能用图来解释这个分数的意义吗？四、数形变换。
下面以几何教学为例谈谈数形变换。
这是小学数学（人教版四年级下）“三角形三边关系”中的一道习题：
从表面上看这道题非常简单，绝大部分学生都能解答。如果我们的教学目标仅仅停留于此，那么本课教学就没有意义。这道习题既然归属几何领域，在设定教学目标时，我们就不能只关注它代数领域的逻辑推理，把目标降低为会用“a+b>c”进行准确而迅速的判断，而要重视作为几何的空间观念的建立以及空间观念中数的变化引起形的变化的规律。正是因为看到了这一点，我在挖掘这道习题背后的数学内容时强调了形与数的结合，使简单的判断上升为复杂的数形变换。教学实录如下：
师：请同学们独立完成此题，之后同桌交流。
师：第1题你是怎么判断的？
（学生把每两个数相加，与第3个数比较得出结果。）
师：判断正确，但老师有一个疑问，每道题都加三遍，有点麻烦。
生：只要最短的两边之和大于第三条边就行了。
师：为什么呢？
生：连最短两边的和都大于第三边，其他比它长的两边加起来肯定大于第三边了。
师：好，这是判断三边关系最优的方法，我们用它来判断其余三道题。……师：第一组的三条线段非常有意思，3，4，5是三个连续的自然数，那是否可以得出这样的结论，只要三边的长度是三个连续自然数都可以围成三角形呢？生：不一定。1，2，3不行，1加2等于3。
生：一条边是0也不行，0就表示其中一条线段没有。
师：对，除了0，1，2和1，2，3以外呢？举举例子看。
生：都可以，比如：三条边长度是7，8，9；100，101，102……
师：有很多。大家想象一下，3，4，5三条线段围成的图形会是什么样子的？（大多数学生无法想象。）
生：是直角三角形。
师：你的空间观念太棒了！我们来看一看到底是什么三角形？（课件演示。）师：到中学我们还会学到这个三角形，有一个勾股定理，三边分别称作勾三股四弦五。
师：第2题三条边是3，3，3。它围成的又是怎样的三角形呢？
生：是一个等边三角形。（课件演示。）
师：三条边相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形。
生：2，2，6，不能围成三角形。（课件演示。）
师：3，3，5，这一组线段围成的三角形又是怎样的呢？
生：是等腰三角形。
师：因为两条边相等是吗？知识学得还真多。
（课件演示。）
师：第4题的等腰三角形我很感兴趣。如果把5厘米的边换一条，可以怎么换呢？为了方便研究，线段取整厘米数。
生：1～5，第三条边不能等于或大于6，因为3加3等于6。
师：想象第三条边是1厘米的时候，这个三角形是怎样的？能用手表示一下吗？生：是很尖的。（课件）
师：第三条边是2厘米的时候呢？
生：再胖一些。
师：第三条边是3呢？4呢？（课件演示三边分别为1，2，3，4时的三角形，以帮助学生感知图形的变化。）
师：现在如果保留5厘米的边，把其中3厘米的边换掉，又可以怎么换呢？……师：想象一下，第三条边分别是5，6，7时，这条边所对应的那个角会有什么变化？
生：会越来越大。
师：真厉害，我们一起来看图，是否真的像这个同学所说的那样？（屏幕显示三条边分别是5，6，7时的三角形图形。）
生：这条边所对应的那个角也在慢慢变大，开始是锐角，后来是钝角了。
从上面的教学片段中不难看出学生的学习变得分外有价值：从“优化围成三角形三条边的判断方法”到“三条边的长度分别是三个连续自然数的推理”、从“勾三股四弦五直角三角形的想象”到“等边、等腰三角形的勾勒”、从“不能围三角形的小棒的调换”到“三角形第三边范围的猜想”、从“边的长度变化引起三角形形状的变化”到“边所对应的角也同时发生变化”等等，通过数与形之间的变化、联系及自然的转化引起学生的思考和讨论，让学生自己发现规律，纠正、补充着关于三角形三边关系的错误或片面的认识，从而把三角形三边关系的知识一步步引向深入。因此，这个片段对学生的学习起到了两个方面的作用：一是让学生从各自的经验背景出发，推出关于三角形三边关系的合乎逻辑的知
识假设变得相对严谨，二是让学生感知到观察、分析、解决问题需要从（数、形）多个角度去完善的思维方式。在教学中，三角形三边关系的意义建构始终穿梭在数与形之间，学生比较深刻地体会到在三角形这个简单的图形中数的变化引起形的变化，形的背后是数的支撑，形与数互相影响、互相制约，学习显得更具数学味和生命力。
一个系统结合的例子
数形分工、数形对应、数形联系、数形变换四个维度既是数形结合思想的不同表现形式，又可以作为在教学中落实数形结合思想的一般顺序。在“两位数笔算乘法”的新知教学中，我一直在思考一个问题：如何在算理算法上突破以往的思维惯性，让计算教学体现数形结合的思想呢？于是，我按照这个顺序进行了尝试，没想到也取得了意想不到的效果。
第一步：数形分工——为笔算乘法的引入打下伏笔。
师：看大屏幕，我们一起来解决一个问题：6位小朋友参加羽毛球训练，教练员要求“每人准备30只羽毛球”，他们训练了一个月后剩下的羽毛球只数分别是（如图）：
师：看到6个小朋友用剩下的羽毛球只数，你有什么想说的？
生：6个人中有3个人训练后剩下的羽毛球只数是一样的，另外3个人也一样。师：这个小朋友的眼睛真亮，他马上看到了这6个数中有3个数是相同的，还有3个数也是相同的，一下子找准了这组数的特点。我按照这个小朋友的意思，把它们排排队。老师把图形也进行了整理：
赵阳、孙虹、钱凡剩下的羽毛球只数都是12个，王芳、陈园、张晴剩下的羽毛球只数都是21只。
师：老师想提一个数学问题：（板书）训练前，6人一共有羽毛球多少只？你能
不能也提一个问题，跟我这个问题能够相对应的？
生：训练后，6人一共有多少只羽毛球？
第二步：数形对应——充分展示笔算乘法的算理。
师：刚才同学们分别用口算的方法、竖式的方法尝试计算了21×3的积。这两种方法你看懂了吗？为了证明大家已经理解了，老师想和同学一起合作一下，我点竖式中的一个（部分）数，你们点出它相当于横式中的哪一步？在这幅图中，又是指哪一部分呢？
（师点“3”，生点“3×1=3”，另一生指出了图中王芳、陈园、张晴所剩下的羽毛球中，零散的3只。师再指6，生圈3×20=60，另一生指出3人剩下的6盒羽毛球。）
第三步：数形联系——为进一步理解算理与算法提供丰富的支撑。
师：竖式中的每一步和口算、图都是有密切联系的，我们一起仔细观看大屏幕：第四步：数形变换——比较全面地展示算理与算法的多样性。
师：刚才我们计算了21×3和12×3，再把两个积相加，算出还剩羽毛球99只。老师也解答了这个问题，但是我的算式是这样的：33×3=99，请你猜一猜，老师是怎么想的？
生：知道了，21和12加起来是33，再把33和3乘起来。
师：请你在图上指给大家看，21和12加起来是什么意思？……
师：请你用竖式计算33×3。
（学生独立计算、互相说明计算方法。）
数形结合既是教师教学中的一种重要手段，也是学生数学学习的目的。在具体的教学中，数与形没有谁轻谁重、谁先谁后的规定性，数形结合只是一种思想使然。每一个教师根据自己对数学及学生的理解，透过不同的滤镜看到的是千
姿百态的数与形，关键是要找到数形结合的那个起点，然后在教学中潜移默化地引导学生往这个方面发展，为他们今后的学习创设妙不可言的境界。
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小学数学总结_数形结合
数形结合总结 数形结合之规律 【典型例题】 例1 观察下列算式： , 65613,21873,7293,2433, 813,273,93,338 7 6 5 4321======== …… 用你所发现的规律写出20043的末位数字是__________。 例2 观察下列式子： 326241?==+?；4312252?==+?；5420263?==+?；6530274?==+?…… 请你将猜想得到的式子用含正整数n 的式子表示来__________。 例4 图3—4①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，得到图3—4②；再分别连结图3—4②中间的小三角形三边的中点，得到图3—4③，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题。 …… (1)将下表填写完整 （2）在第n 个图形中有____________________个三角形（用含n 的式子表示）。 例6．如图，把一个面积为1的正方形分等分成两个面积为21的矩形，接着把面积为21的矩形等分成两个面积为4 1 的正方形，再把面积为 41的矩形等分成两个面积为8 1 的矩形，如此进行下去，试利用图形提示的规律计算： =+++++++256 11281641321161814121 例7．把棱长为a 的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层1个，第二层3个……按这种规律摆放，第五层的正 方体的个数是 例8.观察下列图形并填表。 ① ② ③ 1 1
例9．把1到200的数像下表那样排列，用正方形框子围住横的3个数，竖的3个数，这9个数的和是162。如果在表的另外的地方，也用正方形围住另外的9个数。 （1） 当正方形左上角的数是100时，这9个数的和是多少？ （2） 当正方形中9个数的和是1557时，最大的数是多少？ 200 199198197196 19528272625 242322212019181716151413121110987654321 例10．将1至1001个数如下图的格式排列。用一个长方形框入12个数，要使这12个数的和等于（1）1986；（2）2529；（3）1989是否办得到？如果办不到，简单说明理由：如果办得到，写出长方形框里的最大的数和最小的数。 1001 10009999989979969952827262524232221 2019181716151413121110987 654321 例11.把2012个正整数1，2，3，4，…，2012按如图方式排列成一个表． （1）用如图方式框住表中任意4个数，记左上角的一个数为x ，则另三个数用含x 的式子表示出来，从小到大依次是______，______，______． （2）由（1）中能否框住这样的4个数，它们的和会等于244吗？若能，则求出x 的值；若不能，则说明理由．
数形结合思想在高中数学解题中的应用
第5讲 数形结合思想在解题中的应用 一、知识整合 1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。 2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 如等式()()x y -+-=21422 3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。 4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。 二、例题分析 例1.的取值范围。之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322 -=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令 ()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >， ()()02b f f k a - =-<10(10) k k -<<∈-同时成立，解得，故， 例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法： 原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>??? ? ?<+≥??? 020 20202
数形结合思想在高中数学教学中的应用
数形结合思想在高中数学教学中的应用 更新时间：2018-9-25 19:11:00 浏览量:1250 【摘要】数形结合思想是一种重要的数学思想，在高中数学教学中，必须要注重对这种思想的应用，培养学生的数形结合意识，从而提高学生的知识能力。针对这种情况，文章对数形结合思想在高中数学教学中的应用进行了相应的分析和探讨。 【关键词】数形结合思想；高中数学教学；应用 数形结合思想在高中数学教学中的应用，有利于提高学生的数学知识能力，培养学生的思维能力和解题能力，提升学生的学习效果。但是在当前高中数学教学过程中，对于数形结合思想的实际教学应用尚有不足，因此需要注重强化数形结合思想在教学中的应用，采取有效的应用措施，从而提升教学质量和效果。 一、高中数学数形结合教学的现状 （一）数形结合教学意识不足 当前在我国高中数学教学过程中，数形结合的教学思想还没有得到充分应用，对于相应思想的教学运用尚有不足。随着我国课程教学改革工作的不断推进，传统的应试教学观念已经逐渐被人们所摒弃，在高中数学教学中越来越注重对学生数学能力和思维能力的培养。但是在实际教学中，大部分教师还停留在传统的教学模式上，只重视对学生数学基础和应试能力的培养，忽视了数形结合教学思想在教学中的应用。在这种教学观念的影响下，
学生的综合素质发展受到了一定的限制，教学过程忽视了对学生的数学思维能力和数形结合意识的培养，使得教学效果受到了一定的影响。并且在教学过程中，由于教师过于注重学生的成绩，导致学生在学习中逐渐出现了高分低能的现象，不利于学生未来的发展。 （二）传统教学模式的制约 传统的教学模式是影响高中数学教学发展的一个重要因素，同时也限制了数形结合思想在高中教学中的应用。在高中数学教学中，传统的教学模式大都采用填鸭式、满堂灌的教学方式，由教师主导整个课堂教学活动，向学生进行知识的灌输。在这种教学模式下，学生只能被动地接受教师的知识灌输。数形结合教学思想分散在教学之中，没有形成一定的教学规模，导致学生的数形结合意识较弱。并且严重忽视了学生的学习主体性以及学生之间的个体差异，导致学生的学习积极性和学习兴趣逐渐下降，甚至会影响到学生的学习质量和效率。 二、数形结合思想在高中数学教学中的应用分析 在高中几何数学中，可以通过观察图形，建立“数”与“形”的对应关系，找到解决问题的方法。也可以通过几何图形将数量的关系形象地展示出来，在图形上分析数量之间的关系，进而解决问题。几何图形和数量關系是相辅相成的，数量可以在图形上展示出来，也可以用数量关系来表达图形联系。例如：在例1的教学中，直接将数量关系转化成式子不容易，但是教师
数形结合思想解题
一 利用数形结合思想讨论方程的根 例1 (2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12) B ．(1 2，1) C ．(1,2) D ．(2，＋∞) 答案 B 解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示， 当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为1 2 ，故f (x )＝ g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为(1 2，1)． 思维升华 用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数． 设函数f (x )＝? ???? x 2＋bx ＋c ，x ≤0， 2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C 解析 由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2， 解得b ＝4，c ＝2，∴f (x )＝??? ? ? x 2 ＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0.
作出函数f (x )＝? ?? ?? x 2 ＋4x ＋2， x ≤0， 2， x >0与y ＝x 的图象，如图， 由图知交点个数有3个，故选C. 热二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围 例2 (1)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________． (2)若不等式|x －2a |≥1 2 x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 (1)(－1,0)∪(0,1) (2)? ????－∞，12 解析 (1)作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)． (2) 作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤1 2 . 思维升华 求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答． (1)设A ＝{(x ，y )|x 2 ＋(y －1)2 ＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ?B 成立 的实数m 的取值范围是__________． (2)若不等式9－x 2 ≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________. 答案 (1)[2－1，＋∞) (2) 2 解析 (1) 集合A 是一个圆x 2 ＋(y －1)2 ＝1上的点的集合，集合B 是一个不等式x ＋y ＋m ≥0
高中数学数形结合
数形结合 实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式()()x y -+-=21422 一、联想图形的交点 例1. 已知，则方程的实根个数为01<<=a a x x a |||log |() A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个 分析：判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数，画y a y x x a ==|||log |出两个函数图 象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B ）。 例2. 解不等式x x +>2 令，，则不等式的解，就是使的图象 y x y x x x y x 121222= +=+>=+ 在的上方的那段对应的横坐标， y x 2=如下图，不等式的解集为{|} x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。{|}x x -≤<22 练习：设定义域为R 函数?? ?=≠-=1 01 1lg )(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同 实数解的充要条件是（ ） 0,0. 0,0. 0,0. 0,0.=≥=<<>> 8 数学广角——数与形 教学内容： 教材第107页例1和例2及第108页做一做和练习二十二第1~4题。 教学目标： 1.通过数与形的教学，使学生初步学会一种重要的解题方法与策略。促进学生数学思维的发展。 2.借助相关图形的操作与剪拼等情境，实现数与形之间的转化。 3. 通过数与形的训练，让学生感受到数学之美。 重点难点： 通过数与形的教学，使学生初步学会一种重要的解题方法与策略。 教学过程： 一、情景导入 课件出示： 杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下： 杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。 杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地 位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是找规律。 师：今天我们就来一起走进奇妙无穷的数学广角——数与形。 板书：数与形 二新课讲授 1.教学例1。 出示课件： （1）提问：观察一下，上面的图和下边的算式有什么关系？把算式补充完整。 1=()2 1+3=（）2 1+3+5=（）2 生：左边的加数是大正方形右上角的小正方形和其他"L"形图形所包含的小正方形个数之和。 图一：1 图二：1+3 图三：1+3+5 生：右边正好是每行或每列小正方形个数的平方。 1=(1)2 1+3=（2）2 1+3+5=（3）2 （2）尝试练习。 你能利用规律直接写一写吗？如果有困难，可以画图。 《数形结合思想在小学数学教学中的运用》 课题结题报告 《<数形结合思想在小学数学教学中的运用>课题结题报告》 数学以是现实世界的空间形式和数量关系作为自己特定的研究对象，也可以说数学是研究“数”与“形”及其相互关系的一门科学，而在数学教学中把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。可以说，数形结合是小学数学范围里最基本、最重要的思想。源于在数学教学世界越来越重视数学思想的渗透与应用，我们决定以数形结合思想为研究方向，让其成为我们学校提升教师素质和教学行为以及培养学生的数学素养的重要媒介。 一、课题研究背景 “数形结合”可以看成是数学的本质牲特征。“数形结合”是借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，可促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，从这句话中可体现出数形结合对数学教学起着很主要的作用，把数形结合思想贯穿在学习数学过程的始终，是学好数学的关键。在我们的教学实践当中，教师对数形结合不够重视，关于数形结合教学理论缺乏，大部分学生了解数形结合，但未能充分、广泛运用数形结合去解决问题，这是值得我们去研究的问题。 二、课题研究目标 1、促进教师教学意识及行为的转变，使教师们对数形结合思想方法有系统的认识，明确地位、作用。 2、根据不同学段学生的认知规律，形成适合不同学段进行的以数形结合思想方法指导教学的教学策略。 3、帮助学生树立数形结合的观点，善于运用数形结合思想方法观察、分析、解决问题，提高学生分析问题、解决问题的能力。 4、培养学生的数学精神、思想与方法，发展抽象思维和形象思维能力及辨证思维能力，提高对数学的整体认识。 三、课题研究内容 1、全面认识数形结合思想方法，挖掘教材中蕴含数形结合思想方法的内容，分析数形结合思想方法在数学教学中的价值和功能。 2、针对不同的教学问题，探索渗透数形结合思想方法的教学策略。 3、探索让学生更好地理解、掌握数学知识，提高数学能力的同时，也学会运用数形结合分析、解决问题的教学途径。 四、课题研究方法 第课时总课时 数形结合解决问题 【教学内容】： 义务教育课程标准实验教科书青岛版小学数学六年级下册116——117页。 【教学目标】： 在回顾整理的过程中，加深对数形结合思想方法的认识，使学生充分感受数形结合在小学数学学习中的应用。 【教学重点】： 通过一些数形结合的实例，使学生体会数形结合思想的优越性，并能帮助学生建立思路解决问题。【教学过程】; 一、谈话引入。 师：同学们，在我们的数学学习中，除了研究各种数以外，还经常要用到各种各样的图形。利用图形来研究问题，会使问题变得更加简单明了。请同学们回忆所学的知识，你能举一些这样的例子吗？学生思考后举例。 二、自主探究。 1、教师出示某电脑公司2008年各种电脑销售情况的具体数据及条形统计图、扇形统计图和某电脑公司2004-2008最畅销的两种电脑销量折线统计图。 师：仔细观察这些数据和统计图，你有什么发现？ 学生各抒己见，发表自己的看法。 师引导学生总结：图形描述数据更加直观、有效。条形统计图能清楚看出数量的多少，扇形统计图能清楚看出个部分同总数之间的关系，折线统计图能清楚看出数量增长情况。 2、师：图形不仅在描述数据方面有优越性，在其他方面同样能体现出优势。你还能举例说明数形结合在其他方面的应用吗？（生独立思考）下面请同学们以小组为单位交流自己的想法。交流过程中，要注意倾听他人的想法。 集体交流。 教师在学生交流的基础上引导学生发现：画图可以帮助我们理解计算方法、图形可以更加形象的反映成正比例关系的两种量的变化情况、在平面内确定物体的位置也利用了数形结合。 3、小结 师：通过刚才的交流，我们发现实际上许多问题的解决都利用了数形结合，你能谈一谈自己的体会吗? 三、拓展延伸。 师：同学们，我们在解决问题中常常用到的线段图，也是数形结合思想的一个重要应用。例如前面学过的相遇问题、百分数应用题等等。下面我们就做两个题目，体会画线段图解决问题的优越性。 1、育才小学2000年有60台计算机，2006年以达到150台。2006年比2000年增加了百分之几？ 2、有两根蜡烛，一根长8厘米，另一根长6厘米。把两根都燃掉同样长的一部分后，短的一根剩下的长度是长的一根剩下的3/5。每段燃掉多少厘米？ （学生独立解答，体会用线段图解决问题的优越性。） 集体交流，引导学生陈述自己的解题思路。 四、归纳梳理。 师：这节课我们主要研究了利用数形结合的方法来解决问题，你能谈 谈自己的收获吗？ 学生谈自己收获，提出尚存疑惑的问题。 数形结合在高考解题中的应用 摘 要： 数学中两大研究对象“形”与“数”的矛盾统一是数学发展的内在因素。数形结合是推动数学发展的动力。数形结合不应仅仅作为一种解题的方法，而应作为一种基本的，重要的数学思想来学习，研究和掌握运用。数形结合能力的提高，有利于从数与形的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于扎实打好数学的基础，有利于数学素质的提高，同时必然促进数学能力的发展。 数形结合是中学数学中重要的思想方法，每年高考中都有一定量的考题采用此法解决，可起到事半功倍的效果。 在高考试题中，选择题、填空题由于不要求写出解答过程，命题时常对掌握及应用数形结合的思想方法解决问题的能力提出较高的要求，要求考生应用数形结合思想，通过数与形的转化，找到简捷的思路，快速而准确地做出判断，从而得出结果；对于要求完整写出解题过程的解答题，由于包含的知识量大、涉及的概念多，数形结合的思想主要用于思路分析、化简运算及推理的过程，以求快速准确地分析问题、解决问题。 其基本模型有： 1 距离函数 2、 y a x b -- 斜率函数 3、Ax ＋By 截距函数 4、22(cos ,sin )x y 1(cos ,sin )F θθθθ+单位圆＝上的点 5、2 2 a a b b ±+余弦定理 6、 ax b cx d ++ 双曲线 a ．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解， 且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。 b ．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的 对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 如等式()()x y -+-=21422 c ．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域， 数与形 教学内容： 人教版数学六年级上册第八章数学广角——数与形 教学目标： 1、结合具体实例初步理解数与形结合的思想方法。 2、运用数形结合的方法探索规律，帮助计算，解决实际问题。 3、在解决实际问题的过程中，体会数与形之间的密切联系，感受数学知识的奥妙，激发学生学习数学的兴趣。 教学重难点： 1、结合具体实例理解数与形结合的思想方法。 2、运用数形结合的方法探索规律，帮助计算，解决实际问题。 教学方法： 启发法，探讨法。 教具准备： 挂图，教学ppt。 教学过程： 一、导入新课 1、提问：平时在生活和学习中遇到过困难吗？你是怎样解决的呢？ 学生自由谈论自己的解决办法。 教师根据学生的发言小结：说得很好，你们在遇到困难时都能勇敢面对，并且想方设法去解决。那这节课我们就一起来解决问题，看看大家是否能像自己说的那样去做。 2、设疑。 （1）按规律填空： ○1 5 10 15 20 （）○2 1 3 6 10（） ○3 2 3 5 6 9 10 14 15 （）（） （2）计算： 100+101+102+103+…+2018=（） （3）填空：(出示挂图) 小明用吸管和图钉钉三角形形状(如图，线段表示吸管，黑点表示图钉)。 如果小明钉100个三角形，那么又需要_____个图钉和_____根吸管。3、教师小结：以上问题，如果用常规方法，解决起来会很困难和繁琐，但是如果用数形结合的方法就能使问题更简便。今天我们就一起来学习数形结合的方法。 4、板书：数形结合 二、探索新知 （一）学习例题1——数转为图形。 1、计算。 1＋3＝（） 1＋3＋5＝（） 1＋3＋5＋7＝（） 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＝（） 观察这些算式中的加数有什么特点？（连续自然数） 2、观察一下，上面的图和下面的算式有什么关系？把算式补充完整。 龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/f85936170.html, 小学数学与数形结合思想 作者：郭莉莉 来源：《教育·综合视线》2020年第01期 在小学数学学习过程中，有些学生对教材中的许多数学概念往往缺乏直观的理解，无法对抽象的概念建立具体化、形象化模型，从而造成难以正确掌握和理解教材知识内容，对数学知识运用不系统、不灵活的现象。针对这种情况，教师可以采用数形结合的教学方式，把教材中的数学概念以图形的形式表现出来，让学生能够直观地理解数学概念的含义，在思维中能够建立数学概念的关联对象。这样，不仅能够提高课堂教学效率，还能培养学生的数学思维能力。 有助于理解抽象概念 小学阶段数学知识的学习是为高年级数学学习打基础的，这个阶段的学习重点是数学知识概念的正确理解和掌握。如果这些概念的本质没有弄清楚，只知其一不知其二，知其然不知其所以然，那么后面数学知识的拓展和应用就会受到限制。实际上，小学数学教材中有很多数学概念是比较抽象的，学生在学习过程中对这些概念的理解上往往有一定的困难。因此，教师首先需要把教材中的知识点分类整理，找出那些比较抽象的概念，了解哪些概念是学生不容易理解和掌握的。然后，在讲解这些概念时，采用数形结合的方式，把复杂的问题简单化，让学生能够真正理解概念的本质意义，增加对学习数学知识的兴趣。 以苏教版小学数学三年级教材中“分数的认识”为例，对于分数的概念，小学生从字面意思上理解是有一定难度的。对此，教师可以采用数形结合的方式来讲解这个知识点：将一个圆形平均分成10份，在每一份上标记数字分别编号为1到10，那么这个圆就是由10份标有数字的部分组成;其中，10份图形整体就叫作分母，每一份或者几份标数字的图形叫作分子;从这个演示图形中可以看出，分数的本质就是分子数量占分母数量的比例。通过数形结合，引导学生通过观察图形之间的关系，关联教材知识点内容，建立图形化思维，主动思考概念的本质，能够加深对相关知识点的理解。 有助于培养数学思维 小学数学学习不仅需要掌握数字计算技能，还需要具备数学思维能力。数学思维能力是指能够运用学到的数学知识，把实际问题转变为数学问题的能力。也就是说，根据已知问题信息，建立对应的数学知识模型，运用相关数学知识和方法解决问题。教师在授课过程中要着重培养学生的数学思维能力，多与学生互动，多提出问题让学生主动思考，拓展学生的数学思维。 以植树节班级组织学生去植树的应用题为例：某个班参加种植树木的人数占班里总人数的3/4，还有5名学生负责给栽好的树木浇水，班级一共有多少名学生？这道题贴近现实生活， 数形结合的思想方法(1)---讲解篇 一、知识要点概述 数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。 数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。 二、解题方法指导 1．转换数与形的三条途径： ①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。 ②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。 ③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。 2．运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法： ①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。 ②“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。 ③“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式 的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。 三、数形结合的思想方法的应用 (一)解析几何中的数形结合 解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的. 1. 与斜率有关的问题 【例1】已知：有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为P（-1，1），Q（2，2）.若直线l∶x+my+m=0 小学数学六年级下册《数形结合解决问 题》 青岛版小学数学六年级下册《数形结合解决问题》精品教案 【教学内容】： 义务教育课程标准实验教科书青岛版小学数学六年级下册116——117页。【教学目标】： 在回顾整理的过程中，加深对数形结合思想方法的认识，使学生充分感受数形结合在小学数学学习中的应用。 【教学重点】： 通过一些数形结合的实例，使学生体会数形结合思想的优越性，并能帮助学生建立思路解决问题。 【教学过程】; 一、谈话引入。 师：同学们，在我们的数学学习中，除了研究各种数以外，还经常要用到各种各样的图形。利用图形来研究问题，会使问题变得更加简单明了。请同学们回忆所学的知识，你能举一些这样的例子吗？ 学生思考后举例。 【设计意图】教师给学生一定的思考时间，可以使学生对所学过的用图形来研究问题的有关知识进行初步的梳理，从而为本节课的学习做好铺垫。 二、自主探究。 1、教师出示某电脑公司2008年各种电脑销售情况的具体数据及条形统计图、扇形统计图和某电脑公司2004-2008最畅销的两种电脑销量折线统计图。 师：仔细观察这些数据和统计图，你有什么发现？ 学生各抒己见，发表自己的看法。 师引导学生总结：图形描述数据更加直观、有效。条形统计图能清楚看出数量的多少，扇形统计图能清楚看出个部分同总数之间的关系，折线统计图能清楚看出数量增长情况。 【设计意图】将原始数据和统计图同时呈现，可以给学生造成视觉上的冲击。原始数据杂乱无章而统计图简单明了，能够帮助阅读的人有效的提取信息。对于用图形描述数据的优越性，学生一目了然。 2、师：图形不仅在描述数据方面有优越性，在其他方面同样能体现出优势。你还能举例说明数形结合在其他方面的应用吗？（生独立思考）下面请同学们以小组为单位交流自己的想法。交流过程中，要注意倾听他人的想法。 集体交流。 教师在学生交流的基础上引导学生发现：画图可以帮助我们理解计算方法、图形可以更加形象的反映成正比例关系的两种量的变化情况、在平面内确定物体的位置也利用了数形结合。 3、小结 师：通过刚才的交流，我们发现实际上许多问题的解决都利用了数形结合，你能谈一谈自己的体会吗? 【设计意图】学生个人的想法可能是粗浅的、片面的，而通过小组交流，倾听他人的想法和意见，可以进一步完善自己的想法。教师在学生交流的基础上运用多媒体呈现相关的例子，通过这些数形结合的直观的例子，让学生充分感受数形结合在数学学习中的应用。 三、拓展延伸。 1引言 数与形是数学中最古老最基本的研究对象。华罗庚教授说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数与形各有特定的含义、但他们之间相辅相成、相互渗透、相互转化。数形结合思想是重要的解题方法，是每年高考必考的重要内容，数形结合应用解题能力与学生成绩呈显着的正相关。解题时将问题转化为与之等价的图形问题，可以直观的使问题简捷获解。实现数形结合常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义；③以几何元素和几何条件为背景建立起的概念；④函数与图像的对应关系；⑤曲线与方程的对应关系。应用数形结合思想不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算推理，大大简化解题过程，这在解选择、填空题中更为显着，培养这种思想意识能开拓自己的思维视野。 2文献综述 国内外研究现状 数形结合作为高中数学中非常重要的思想方法，很早就引起了许多专家学者的关注。自笛卡尔创造了平面直角坐标系，数形结合的思想得到了突飞猛进的发展。文献[1]中叶立军谈到：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”近些年来，国内外仍有许多学者发表了对数形结合思想的应用研究，文献[2-3]中介绍了数形结合在概率统计和数列中的应用。文献[4-6]通过总结图形结构与数式结构提出了数形结合的两个主要途径。文献[7-10]认为数形结合可以直观快速解决很多问题，但转化时要遵循转化等价原则。不过由于数形结合思想应用范围极其广泛，所以我认为目前对数形结合思想的研究仍有很大的空间。 国内外研究现状评价 文献[11-13]中介绍了许多数形结合的途径和方法，其中研究解决函数各类文章最多，集中于判断两函数图像交点个数及其他函数性质。对于数形结合在高中数学各种问题的研究并不够全面。 提出问题 如今数形结合有着广泛的应用，即把数学与几何图形相结合，化繁为简，化抽象为具体，直观快速地抓住问题的本质与要害，可使解题起到事半功倍的效果。然而一个不争的事实 高中数学数形结合思想经典例题 一、选择题 1．已知函数f (x )＝???? ?3x ，x≤0，log 2 x ，x>0，下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )为奇函数 B ．f (f (14))＝1 9 C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称 D ．函数f (x )在R 上是增函数 2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0) D ．(0，1) 3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( ) 4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ） x <0的解集为( ) A ．(－2，0)∩(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(0，2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－2，0)∪(0，2) 5．实数x ，y 满足不等式组???? ?x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( ) A.215 5 B ．21 C ．20 D ．25 6．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，1 2) B ．(1 2，1) C ．(1，2) D ．(2，＋∞) 7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋y x ＋y 的最小值为( ) A.53 B ．2 C.35 D.12 8．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1 D ．0 六年级数学上册单元教学设计 第八单元 教材分析： 本单元的内容是数与形。数学是研究数量关系、空间形式及其关系的学科，通过数形结合的方法研究问题，可以让数量关系与图形的性质的问题很好地转化，通过几何直观可以帮助学生建立数的概念，可以帮助学生理解数运算的意义，可以使解题思路与过程具体化。数形结合思想可以说涉及数学学科的各个领域，本课内容主要是通过发现规律解决问题帮学生建立数形结合的思想，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维与形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。 教学目标： 1、使学生通过自主探究发现图形中隐藏着的数的规律，并会应用所发现的规律。 2、使学生会利用图形来解决一些有关数的问题。 3、使学生在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本的数学思想。 教学重点： 引导学生探索在数与形之间建立联系发现规律，正确地运用规律进行计算。 教学策略： 1、给学生提供充足的学具，引导学生产生自主应用学具解决问题的意识。 为学生提供丰富的学具，可以有圆片、小正方形、白纸……将问题直接呈 现在学生面前，引导学生对题目的内容进行理解，在明确了题目的要求后，教师把时间还给学生，引导学生自主思考问题。培养学生当面对较复杂的问题时自觉利用手中的直观学具摆一摆、画一画的意识和能力。通过具体形象学具的支撑帮助学生发现规律。 2、利用小组合作学习，在合作交流中通过摆一摆，议一议，借助直观教具发现理解规律。 利用小组合作学习交流的形式，鼓励学生在面对问题或者疑惑时，仅依靠自己的力量无法进行解决，可以自主寻求小组同学的帮助。把自己的想法和困惑在小组内交流，共享思维互相启发甚至发现规律进而解决问题。 单元各课主要学习内容： 数与形 课时分配： 数形结合在小学数学解决问题中的运用 许巷中心小学傅玲玲 [摘要]数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是数学的基本研究对象，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。数形结合是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。它包含“以形助教”、“以数解形”和“数形互译”三个方面。本文将结合小学数学中的教学实例，阐述数形结合思想在解决问题这个方面教学中的运用。 [关键词]数形结合；解决问题；小学数学 数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为自己特定的研究对象，也就是说，数学是研究“数”与“形”及其相互关系的一门科学。数形结合的思想是数学的重要思想之一。［1］ 数形结合就是通过数(数量关系)与形(空间形式)的相互转化、互相作用来解决数学问题的一种思想方法。其实质是将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，使得抽象的数学概念或复杂的数量关系直观化、形象化、简单化。[2] 数形结合是指在数学问题解决过程中，结合问题中各要素间的本质联系，根据实际需要，将数量关系与几何图形相结合，依据数与形的对应关系，通过数与形相互转化的方式使问题得到巧妙解决的一种思想方法。在解决问题中，其策略具体表现为把有关数量关系的问题转化成图形性质的问题进行分析，或者将有关图形性质的问题转化成数量关系的问题加以讨论，最终解决问题。这种思想方法不仅分析问题的代数含义，而且还要揭示其几何意义，把抽象的数学运算和直观的几何图形紧密地联系起来。这种思想方法具备了数的精确性和形的直观性的双重优势，以数精确地分析形，或以形直观地表示数，正如数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。 故而，数形结合是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。它包含“以形助教”、“以数解形”和“数形互译”三个方面。 目录 0 引言 (1) 1 以“数”化“形” (1) 1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 (2) 1.2 利用二次函数的图象求一元二次不等式的解集 (3) 1.3 利用两点间距离公式辅助图形，解决代数综合题 (3) 2 以“形”变“数” (4) 2.1 用解析法解决平面解析几何中的圆锥曲线问题 (4) 3 “形”“数”互变 (6) 3.1 数轴在有理数化简中的应用 (6) 3.2 利用三角函数图象求角度 (7) 3.3 利用数形结合解决平面几何问题 (7) 结论 (9) 致谢 (9) 参考文献 提纲 1 以“数”化“形” 1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 1.2 利用二次函数的图象求一元二次不等式的解集 1.3 利用两点间距离公式辅助图形，解决代数综合题 2 以“形”变“数” 2.1 用解析法解决平面解析几何中的圆锥曲线问题 3 “形”“数”互变 3.1 数轴在有理数化简中的应用 3.2 利用三角函数图象求角度 3.3 利用数形结合解决平面几何问题。 摘要：数形结合法是解决数学问题中最基本、也最常用的思想方法。本文就中学数学中的不等式、集合、函数、解析几何等内容，举例阐述数形结合法在解题中的三点应用。 关键词：数形结合；中学数学；应用；解决问题 引言 做事情，如果想要事半功倍，就必须讲究方法，其实，何止事半功倍，有时方法甚至起到了决定性的作用，缺乏有效的方法，不仅谈不上效率，而且问题不能解决，事情也就根本不能成功，数形结合法对解决某些数学问题就起到了决定性的作用，如果能将数与形巧妙地结合起来，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果。我国著名的数学家华罗庚曾精辟地概括了数形结合法的内涵：数与形，本是相倚依，焉能分作两边分，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合万般好，割离分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！可见，数与形存在着十分密切的联系。其实，在中学数学中，有很多内容就是集“数”“形”于一身的良好载体，例如：函数、解析几何等等，本文试从中学数学中的有理数、不等式、集合、三角函数、函数及其图象、平面几何、解析几何内容方面，举例说明数形结合法在中学数学解题中的三点应用：（1）以“数”化“形”；（2）以“形”变“数”；（3）“形”“数”互变。 1 以“数”化“形” 1 引言 数与形是数学中最古老最基本的研究对象。华罗庚教授说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数与形各有特定的含义、但他们之间相辅相成、相互渗透、相互转化。数形结合思想是重要的解题方法，是每年高考必考的重要内容，数形结合应用解题能力与学生成绩呈显著的正相关。解题时将问题转化为与之等价的图形问题，可以直观的使问题简捷获解。实现数形结合常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系； ②所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义；③以几何元素和几何条件为背景建立起的概念；④函数与图像的对应关系；⑤曲线与方程的对应关系。应用数形结合思想不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算推理，大大简化解题过程，这在解选择、填空题中更为显著，培养这种思想意识能开拓自己的思维视野。 2 文献综述 2.1国内外研究现状 数形结合作为高中数学中非常重要的思想方法，很早就引起了许多专家学者的关注。自笛卡尔创造了平面直角坐标系，数形结合的思想得到了突飞猛进的发展。文献[1]中叶立军谈到：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”近些年来，国内外仍有许多学者发表了对数形结合思想的应用研究，文献[2-3]中介绍了数形结合在概率统计和数列中的应用。文献[4-6]通过总结图形结构与数式结构提出了数形结合的两个主要途径。文献[7-10]认为数形结合可以直观快速解决很多问题，但转化时要遵循转化等价原则。不过由于数形结合思想应用范围极其广泛，所以我认为目前对数形结合思想的研究仍有很大的空间。 2.2国内外研究现状评价 文献[11-13]中介绍了许多数形结合的途径和方法，其中研究解决函数各类文章最多，集中于判断两函数图像交点个数及其他函数性质。对于数形结合在高中数学各种问题的研究并不够全面。 2.3提出问题 如今数形结合有着广泛的应用，即把数学与几何图形相结合，化繁为简，化抽象为具体，直观快速地抓住问题的本质与要害，可使解题起到事半功倍的效果。然而一个不六年级数学上册(数学广角——数与形)教案
《数形结合思想在小学数学教学中的运用》结题报告
数形结合解决问题
数形结合在高考解题中的应用
六年级数学数与形教案
小学数学与数形结合思想
高中数学的数形结合思想方法-全(讲解+例题+巩固+测试)
最新小学数学六年级下册《数形结合解决问题》
用数形结合的方法解题
高中数学数形结合思想经典例题(含解析)
人教版小学数学六年级上册教学设计《数与形》
数形结合在小学数学解决问题中的运用
数形结合法在解题中的应用
用数形结合的方法解题