1.4.3正切函数的性质与图象 教案

§1.4.3正切函数的性质与图象

教学目标：

1、 掌握正切函数的性质；

2、 理解并掌握作正切函数图象的方法；

3、 会利用正切函数的性质与图像解题；

4、体会类比、换元、数形结合等思想方法。

教学重、难点 ：

重点: 正切函数的性质与图象

难点: 熟练运用正切函数的性质与图象分析问题、解决问题

教学内容： 一、复习引入：

问题：正弦线是怎样画的？

二、讲解新课：

(一)正切函数的性质

1．正切函数tan y x =的定义域

利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域；

错误！未找到引用源。 ∴定义域： ????

??∈+≠z k k x x ,2|ππ 学以致用：tan(2)3y x π=-的定义域：5,122k x x k Z ππ??≠+∈????

2．周期性

利用周期函数的定义及诱导公式，推导正切函数的最小正周期； ()tan tan x x

π+= ∴π是tan ,2y x x k k z ππ?

?=≠+

∈ ???的最小正周期周期。 则全部周期为：k π， k z ∈ 学以致用：tan(2)3y x π=-的周期：2π 3.奇偶性 tan 0y x x α=?≠α?的终边不在y 轴上

定义域?

?????

∈+≠z k k x x ,2|ππ

关于原点对称，

且()tan()tan ()f x x x f x -=-=-=-

∴()f x 是奇函数

（二）.正切函数的图象

1.作tan y x =，x ∈??? ?

?-2,2ππ的图象

2.根据周期性，平移得到正切曲线

由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线()2x k k Z ππ=+

∈所隔开的无穷多

支曲线组成的。

3.三点两两线法

“三点”: “两线”: (0,0)1144ππ??-- ???

、（，）、，22

x x ππ==-和

（三）.正切函数的性质二

4.值域

由正切曲线得到：

5.周期性

学以致用：tan(2)3y x π=-的单调区间：5-+,,12212

2k k k Z ππππ??+∈ ???增区间 6.基础梳理

由正切曲线验证正切函数的性质

例1 求函数 的定义域、周期和单调区间.

课堂小结：

（1） 正切函数的图象

R 值域为(,),22k k k ππππ++∈Z 正切函数在开区间-内都是增函数.tan 23y x ππ??=+ ???

正切曲线是由被相互平行的直线()2x k k Z π

π=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。

（2）正切函数的性质： 定义域：

值域：全体实数R

周期性：最小正周期 T=π

全部周期：错误！未找到引用源。

奇偶性：奇函数 单调性：正切函数在开区间 内都是增函数。

课后作业：

课本P46:6、7；课时练P25自主小测。 |,2x x k k Z ππ??≠+∈????,,22k k k Z ππππ??-++∈ ???

正切函数的图像和性质-公开课教案

正切函数的图像和性质-公开课教案

1.4.2 正切函数的性质与图象 考纲要求：能画出y=tanx的图象，了解三角函数的周期性.，理解正切函数在 区间（）的单调性. 教学目的 知识目标：了解利用正切线画出正切函数图象的方法； 了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题； 掌握正切函数的性质。 能力目标：掌握正弦函数的周期性，奇 偶性，单调性，能利用正切 曲线解决简单的问题。 情感目标：在借鉴正弦函数的学习方法研究正切函数图象、性质的过程中体会类比的思想。 教学重点：正切函数的图象形状及其主要性质 教学难点：1、利用正切线得到正切函数的图象 2、对正切函数单调性的理解 教学方法：探究，启发式教学 教学过程 复习导入： 1. 正切函数的定义及几何表 示，正切函数tan 的定义域是什么？ y x 2. 正弦曲线是怎样画的？ 讲授新课： 思考1：能否类比正弦函数图象的作法，画出正切函数的图象呢？

画正切函数选取哪一段好呢? 画多长一段呢? 思考2：正切函数是不是周期函数？若 是，最小正周期是什么？ 思考3. 诱导公式 体 现了正切函数的哪种性质？ （一）作tan y x =，x ∈?? ? ? ?-2 ,2ππ的图象 说明： （1）根据正切函数的周期性，把上述图 象向左、右扩展，得到正切函数 R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ 2 的图象，称“正切曲线”。 tan()tan x x -=-

（2）由图象可以看出，正切曲线是由被相 互平行的直线()2x k k Z ππ=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。 （二）正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：? ?? ? ??∈+≠z k k x x ,2 |ππ； （2）周期性：π=T ； （3）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数； （4）单调性： 思考：正切函数在整个定义域内是增函数

正切函数的图像与性质教案

正切函数的定义、图像与性质 一、教学目标 1、理解并掌握正切函数图像的推导思路及画法，即“正弦函数图像类比推导法” 2、准确写出正切函数的性质，并通过练习体验正切函数基本性质的应用． 3、理解并掌握正切函数的诱导公式。 二、重点与难点 （一）教学重点：正切函数的图象和性质。 1、用类比正弦函数图像类比推导法，单位圆中的正切线作正切函数图象法，引导学生作出正切函数图像，并探索函数性质； 2、学会画正切函数的简图，体会与x轴的交点以及渐近线x=π/2 +kπ，k∈Z在确定图象形状时所起的关键作用。 （二）教学难点：体验正切函数基本性质的应用， 三、教学过程 1、复习引入 （一）复习 练习：画出下列各角的正切线 （二）引入 引出正切函数、正切曲线的概念和正切函数的诱导公式，提出对正切函数性质思考，让学生能清晰的认识本节课的内容：在内容上，是研究一个具体函数的图像和性质. 2、学习新课： 提出如何研究正切函数的性质，启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法。 （一）复习：如何作出正弦函数的图像？ （二）探究：用正切线作正切函数图像

问题：正切函数y=tanx是否是周期函数？ 设f(x)=tanx f(x+π)=tan(x+π)=tanx=f(x) y=tanx是周期函数，π是它的一个周期。 我们先来作一个周期内的图像 根据正切函数的周期性，将上图像向左向右延伸得到正弦函数的图像 （三）研究函数性质（启发学生借助图像进行研究，培养学生数形结合的思想） （四）疑点解析

在每一个开区间 内都是增函数 （五）例题讲解及课内巩固练习 例1、比较下列每组数的大小 （1）tan167与tan173 （2）tan （ ）与tan y=tanx 在（，）上是增函数， 又y=tanx 在（0，）上是增函数 说明：比较两个正切值大小，关键是相应的角化到y=tanx 的同一单调区间内，再利用y=tanx 的单调递增性解决。 例2、 观察正切曲线，写出满足下列条件的x 的值的范围 例3、求 675 tan )60tan(570tan 315tan --+的值。 四、课堂小结 通过本节课的学习，我们认识了正切函数的图象即正切曲线以及通过图象观察总结出正切函数的性质并利用性质解决了一些简单问题，要注意整体思想在其中的应用。 五、课后作业

正切函数的图象与性质

§1.4.3 正切函数的图象与性质 （第二课时） 授课： 徐晓晖 学习目标：使学生能借助正切函数的图象探求其性质.并解决问题并在教学过成中培养学生的 数形结合思想。 学习重点：运用三角函数的图象与性质解题 学习难点：观察图像得正切函数的性质并应用 学习过程： 一、复习、探究 问题1：正切函数图像的作图方法：（1）利用正切线；（2）“三点两线”法，即 )1,4(),1,4(),0,0(ππ-- 和直线2π-=x 及2π =x ，然后向左右两边扩展. 问题2：观察x y tan =的图象，类比x y x y cos ,sin ==的性质，你能得到x y tan =的一些怎样性质？ 二、正切函数的性质 1. 定义域： ? ?????∈+ ≠Z k k x x ,2ππ 2. 值域：R . 当Z k k k x ∈??? ??+ ∈,2,πππ时0yt ，当Z k k k x ∈??? ??-∈,,2πππ时0 y 3. 周期性： π=T 4. 奇偶性：奇函数 对称中心：Z k k ∈?? ? ??,0,2π 渐近线：Z k k x ∈+=,2ππ 5. 单调性：在开区间Z k k k ∈?? ? ??++-,2,2ππππ内，函数单调递增 三、教学精讲 例1.讨论函数?? ? ?? +=4tan πx y 的性质 解析：法一：观察正切函数图像，该图像可通过正切函数图像向左平移 4π单位得到 定义域：? ????? ∈+≠∈z k k x R x x ,4|ππ且值域：R 奇偶性：非奇非偶函数

单调性：在?? ? ?? +-4,43ππππk k 上是增函数 法二：由学生思考或引导学生类比例5完成 变式训练： 1、 根据正切函数图象，写出满足下列条件的x 的范围 ①tan 0x > ②tan 0x = ③tan 0x < ④tan x > 答案：①Z k k k ∈??? ??+,2,πππ, ②,{}z k k x x ∈=,π ③Z k k k ∈?? ? ??-,,2πππ, ④Z k k k ∈?? ? ??++,2,3πππ π 2 、求)4 2tan(π-=x y 的定义域及周期 答案：2},,832|{πππ=∈+≠ T z k k x x 例2 比较tan 27π与tan 107 π的大小 解析：通过诱导公式把角度化为同一单调区间，利用正切函数单调性比较大小 解：tan 107π＝tan 37π ∵0＜27π＜37π＜2π 又∵y ＝tan x 在(0，2 π)上单调递增 ∴tan 27π＜tan 37π，则tan 27π＜tan 107 π 变式训练: 比较)56tan(π与tan (－135π)的大小， 答案：)56tan(π＜ tan (－135 π) 四、巩固练习 1、与函数tan(2)4y x π=+ 的图象不相交的一条直线是（ ）. A ．2π -=x B ．2π =x C ．8π -=x D ． 8π =x 2、函数x y π3tan =的最小正周期是（ ） A 、31 B 、32 C 、π6 D 、π 3 3、函数1tan += x y 的定义域是 . 4、确定函数)23tan(x y -=π 的奇偶性和单调区间. 五、小结：（1）数形结合思想 （2）正切函数的性质

正切函数图像及性质

第14讲 正切函数的性质与图像 第一部分 知识梳理 1. 正切函数的图像 2. 正切函数 的性质 3. 函数tan()y A x ω?=+的周期为T πω = 第二部分 精讲点拨 考点1 正切函数的图像的应用 （1 ） 直线y a =（a 为常数）与正切曲线tan y x =相交的相邻两点间的距离是（ ） .A π .B 2 π .C 2π D 与a 值有关 y

[].1EX 解不等式tan 1x ≥- 考点2 正切函数性质应用 （2）不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小 ①0 tan167与0 tan173； ② 11tan 4π??- ???与13tan 5 π ?? - ??? （3）求函数tan 2y x =的定义域、值域和周期，并且求出它在区间[],ππ-内的图像 考点3 利用整理的思想求函数的单调区间和定义域 【例2】 求函数tan()3 y x π =+的定义域，并讨论它的单调性 [].1EX 求函数3tan(2)4 y x π =-的单调区间

考点4 正切函数综合应用 【例3】试判断函数tan 1 ()lg tan 1 x f x x +=-的奇偶性 【例4】已知3 4 x π π -≤≤ ,2 ()tan 2tan 2f x x x =++,求()f x 的最大值与最小值，并且 求相应x 的值 第三部分 检测达标 一、选择题 1．函数)4 tan(π - =x y 的定义域是 （ ） A.{x R x x 且,|∈}Z k k ∈+ ≠,4 2π π B. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈+≠,43ππ C. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈≠,π D. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈±≠,4 2ππ 2．若 ,2 4 π απ < <则（ ） A ．αααtan cos sin >> B ．αααsin tan cos >> C ．αααcos tan sin >> D ．αααcos sin tan >>

《正切函数的图像与性质》 教案及说明

课题：正切函数的图像与性质 教材：上海教育出版社高中一年级第二学期（试用本）第六章第二节 授课教师： 教学目标 （1）理解正切函数的定义及正切函数的图像特征，研究并掌握正切函数的基本性质． （2）在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯． （3）在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦． 教学重点 掌握正切函数的基本性质． 教学难点 正切函数的单调性及证明． 教学方法 教师启发讲授，学生积极探究． 教学手段 计算机辅助． 教学过程 一、 设置疑问，引入新课 1、正切函数的定义 有同学，类比正弦函数、余弦函数的定义，定义了一个正切函数： 对于任意一个实数x ，都有唯一确定的值tan x 与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为tan y x =，叫做正切函数． 大家认为这个定义是否完善？ 强调：,2 x k k Z π π≠+ ∈．

(设计意图：,2 x k k Z π π≠+∈，是学生容易出错的地方，通过学生之间的自我纠错，理 解不能取,2 k k Z π π+ ∈的理由) 今天我们就要研究正切函数tan y x =（,2 x k k Z π π≠+∈）的图像与性质． 2、作函数图像的常用的方法是什么？ （1）描点法是作函数图像最基本的方法； （2）利用基本初等函数图像的变换作图． 大家认为应该选择哪种方法呢？ 学生的回答会选择（1）． 教师引导：描点应该结合函数的性质，描关键点、特殊点． 所以，首先研究函数的基本性质． 二、 主动探究，解决问题 （一）利用定义，研究函数的性质 学生自主研究探索正切函数的性质 1、 定义域：|,,2x x R x k k Z π π? ?∈≠+∈??? ? ． 学生可以迅速解决． 2、 值域：R 请学生回答，并讲清楚理由，从而引出对正切线的复习． 复习正切线： 正切线是角x 与tanx 关系的直观体现，正切函数的性质融于其中． 3、 奇偶性：奇函数． 学生会利用tan()tan x x -=-迅速做出判断． 问：该函数是偶函数吗？

正切函数图象

正切函数 1.正切函数的图像 (1)根据tan(x+π)=)cos()sin(ππ++x x =x x cos sin --=tanx (其中x ≠k π+2π ,k ∈Z)推出正切函数的周期为π. (2)根据tanx=x x cos sin ,要使tanx 有意义，必须cosx ≠0, 从而正切函数的定义域为{x ｜x ≠k π+2π ,k ∈Z} (3)根据正切函数的定义域和周期，我们取x ∈(-2π,2π ).利用单位圆中的正切线，通 过平移，作出y=tanx,x ∈(-2π,2π)的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,x ≠k π+2π (k ∈Z)的图像，我们称之为正切曲线，如图所示. y=tanx 2.余切函数的图像如下： y=cotx 3.正切函数、余切函数的性质： 正切函数y=tanx 余切函数y=cotx

注：正切函数在每一个开区间(k π-2,k π+2)(k ∈Z)是增函数，但不能说成在整个定 义域是增函数，类似地，余切函数也是如此. 【重点难点解析】 本节重点是正切函数图像的画法及性质的运用.正切函数的图像一般用单位圆中的正切 线作.因y=tanx 定义域是{x ｜x ∈R,x ≠k π+2π,k ∈Z}，所以它的图像被平行线x=k π+2π (k ∈Z)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的. 1.正切函数应注意以下几点： (1)正切函数y=tanx 的定义域是{x ｜x ≠k π+2π ,k ∈Z},而不是R ，这点要特别注意：(2) 正切函数的图像是间断的，不是连续的，但在区间(k π-2π,k π+2π )(k ∈Z)上是连续的；(3) 在每一个区间(k π-2π,k π+2π )(k ∈Z)上都是增函数，但不能说正切函数是增函数. 2.解正切不等式一般有以下两种方法： 图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法则先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函数的定义域)，再用不等式正确表示区域. 例1 作出函数y=｜tanx ｜的图像，并根据图像求其单调区间. 分析：要作出函数y=｜tanx ｜的图像，可先作出y=tanx 的图像，然后将它在x 轴上方的图像保留，而将其在x 轴下方的图像向上翻(即作出关于x 轴对称图像)，就可得到y=｜tanx ｜的图像. 解：由于y=｜tanx ｜= tanx,x ∈Z ［k π,k π+2π ］ -tanx,x ∈(k π-2π ,k π)(k ∈Z) 所以其图像如图所示，单调增区间为［k π,k π+2π)(k ∈Z);单调减区间为(k π-2π ,k π］(k ∈Z).

正切函数的性质和图象

1.4.3正切函数的性质和图象 荥阳市第二高级中学 王青琴 【学习目标】 1.通过预习，能根据正切函数定义，诱导公式，正切线从“数”的角度，推出正切函数性质； 2.通过师生合作,能根据正切函数的性质与正切线，画出正切函数的图象； 3.通过师生合作，能根据正切函数的图象和性质解决相关问题。 【学习重点】 1.正切函数的图象与性质； 2.利用正切函数图象与性质解决问题 【学习难点】 利用正切线研究正切函数的单调性及值域 【学习方法】 自主探究 合作交流 【学习思想】类比、数形结合、整体代换、转化 【学习过程】 一、温故知新 1、正切的定义式是什么？ 即：角a 的终边不能落在 y 轴上 即：使的集合为有意义的角tan αα . 2、正弦，弦函数的相关性质有哪些？ 思考？正切函数y=tanx 是否有这样的性质呢？ 二、新知探究 探究1：根据正切函数定义，诱导公式，正切线推导正切函数的相关性质。 问题1.正切函数的定义域是什么？ 结论：正切函数定义域为： . 问题2、你能根据诱导公式，判断正切函数是不是周期函数吗？ 结论：正切函数的最小正周期为 . 问题3、你能根据诱导公式，判断正切函数的奇偶性吗？ 结论：正切函数为 函数 问题4.你能利用正切线，研究正切函数在一个周期内 的单调性吗？ y =tanx y =tanx ππ(-,)22)0(tan ≠=x x y α

结论： 问题5. 观察正切线：当x 大于2π -且无限接近2π -时，正切值如何变化？ 当x 小于2π且无限接近2π 时, 正切值又如何变化？ 结论：正切函数的值域是___________ 探究2：利用正切线做出正切函数的图象. 问题1. 类比正弦函数图象画法，你能利用正切线，画出y=tanx 在 内的图象吗？ 问题2. 根据正切函数周期性，你能画出在其整个定义域内的图象吗？ 利用正切线作tan y x =，x ∈?? ? ??-2,2ππ的图象 思考？ 正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ 三、利用性质解题 例题1.求函数)3 2tan(ππ+=x y 的定义域、周期和单调区间。 ??? ??-2,2ππ

正切函数的图象与性质(习题)

1 正切函数的图象与性质（习题） ? 例题示范 例1：已知sin33cos55tan35a b c =?=?=?， ，，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >> 思路分析： 观察33°，55°，35°之间的关系，利用三角函数在区间[090]??， 上的单调性，选择合适的公式化简，转化为可比较的函数值． 由诱导公式可得， cos55cos(9035)sin35b =?=?-?=?， ∵sin y x =在区间[090]??，上单调递增，且sin 33a =?， ∴b a >， ∵sin 35tan 35cos35c ?=?= ? ，且0cos351?=， ∴c b a >>，故选C ． 例2：函数23()sin cos 4f x x x =++，2π[0]3 x ∈，的值域是（ ） A ．[12]， B ．[]44-， C ．[1]4 -， D ．[2]4-， 思路分析： 2223()sin cos 4 31cos cos 4 7cos cos 4 f x x x x x x x =++=-++=-++由题意， 设cos t x =，2π[0]3x ∈，，由余弦函数的单调性得，12 1t -≤≤， 则原函数可化为27()4f x t t =-++，12 1t -≤≤， 由二次函数性质得，()[12]f x ∈，，故选A ． ? 巩固练习

A ．2 π B ．π C ．2π D ．4π C ．(1)(0)(1)f f f >>- D ．(0)(1)(1)f f f >-> 4. 下列函数属于奇函数的是（ ） A ．()tan(π)f x x =+ B ．π()sin()2f x x =- C ．()cos(3π)f x x =- D ．π()sin()2f x x =+ 5. 已知函数()tan f x x x =+，2()=cos g x x x +，则（ ） A ．()f x 与()g x 都是奇函数 B ．()f x 与()g x 都是偶函数 C ．()f x 是奇函数，()g x 是偶函数 D ．()f x 是偶函数，()g x 是奇函数 6. 函数sin()2 y x π=+在（ ） A ．[]22 ππ-，上是增函数 B ．[0]π，上是减函数 C ．[0]-π，上是减函数 D ．[]-ππ，上是减函数 7. 函数()cos f x x =的一个单调递减区间是（ ） A ．[]44 ππ-， B ．[]44π3π，

1.4.3正切函数的性质与图象

1.4.3正切函数的性质与图象 教学目的： 知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质； 能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法； 教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象； 教学难点：正切函数的性质。 教学过程： 一、复习引入： 问题：1、正弦曲线是怎样画的？ 2、练习：画出下列各角的正切线： ． 下面我们来作正切函数的图象． 二、讲解新课： 1．正切函数tan y x =的定义域是什么？ ? ?????∈+≠ z k k x x ,2|ππ 2．正切函数是不是周期函数？ ()tan tan ,,2x x x R x k k z πππ?? +=∈≠+∈ ??? 且， ∴π是tan ,,2y x x R x k k z π π? ? =∈≠+ ∈ ?? ? 且的一个周期。 π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。 3．作tan y x =，x ∈??? ? ?-2,2ππ的图象 说明： （1）正切函数的最小正周期不能比π小，正切函数的最小正周期是π； （2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数 R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ ππ 2 的图象，称“正切曲线” 。

（3）正切曲线是由被相互平行的直线()2 x k k Z π=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。 4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：? ?? ? ??∈+≠ z k k x x ,2|ππ ； （2）值域：R 观察：当x 从小于()z k k ∈+2 π π，2 π+π?→?k x 时，tan x ?? →+∞ 当x 从大于()z k k ∈+ππ 2 ，ππ k x +?→? 2 时，-∞?→? x tan 。 （3）周期性：π=T ； （4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数； （5）单调性：在开区间z k k k ∈?? ? ??++-ππππ2,2内，函数单调递增。 5.讲解范例： 例1比较??? ??- 413tan π与?? ? ??-517tan π的大小解：tan 413tan -=??? ??- π 4π，52tan 5 17tan ππ-=??? ??- ，?? ? ??=<<2,0tan ,5240πππ在x y 内单 调递增， ??->??? ??-->-∴<∴ππππππ 517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan 4tan 即 例2：求下列函数的周期： （1）3tan 5y x π? ? =+ ?? ? 答：T π=。 （2）tan 36y x π?? =- ?? ? 答：3 T π = 。 说明：函数()() tan 0,0y A x A ω?ω=+≠≠的周期T πω = ． 例3：求函数??? ? ? - =33tan πx y 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性， 解：1、由233πππ+≠-k x 得1853ππ+≠k x ，所求定义域为? ?? ???∈+≠ ∈z k k x R x x ,1853,|ππ且 y

高一数学：正切函数的性质和图象

高一数学：正切函数的性质和图象 1．函数tan()3y x π =+的定义域（ ）. A ．|,6x R x k k Z ππ??∈≠+∈???? B ．|,6x R x k k Z π π??∈≠-∈???? C ．|2,6x R x k k Z ππ??∈≠+∈???? D ．|2,6x R x k k Z π π??∈≠-∈???? 2．函数y=5tan(2x+1)的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2π C ．π D ．2π 3．tan (,)2y x x k k Z π π=≠+∈在定义域上的单调性为（ ）. A ．在整个定义域上为增函数 B ．在整个定义域上为减函数 C ．在每一个开区间(,)()22k k k Z ππ ππ-++∈上为增函数 D ．在每一个开区间(2,2)()22k k k Z ππ ππ-++∈上为增函数 4．当22x ππ -<<时，函数y=tan |x|的图象（ ） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．不是对称图形 5．下列各式正确的是（ ）. A ．13 17 tan()tan()45ππ-<- B ．1317 tan()tan()45ππ->- C ．13 17 tan()tan()45ππ-=- D ．大小关系不确定 6．函数1 tan y x =（44x π π -≤≤且x ≠0）的值域是（ ） A ．[―1，] B ．（―∞，－1]∪[1，+∞） C ．（－∞，1] D ．[－1，+∞） 7．已知函数y=tan （x+?）的图象过点,012π ?? ???，则?可以是（ ）

A ．6π - B ．6π C ．12 π- D ．12π 8．下列函数中同时满足：①在0,2π?? ???上是增函数；②奇函数；③以π为最小正 周期的函数的是（ ） A ．y=tan x B ．y=cos x C ．tan 2x y = D ．y=|sin x| 9．函数5tan 3x y ??=- ??? 的最小正周期是________。 10．已知tan 2)ααπ= <<，那么α所有可能的值是 。 11. 函数 y=sinx 与 y=tanx 的图象在区间[0，2π]上交点的个数是 ． 12. 函数y=tan(2x+π4 )的单调递增区间是__________． 13. 比较下列各数大小： （1）tan2与tan9； （2）tan1与cot4.

正弦、余弦、正切函数的图像与性质

正弦、余弦、正切函数的图像与性质 一、选择题： 1．函数y ＝sin x 2＋cos x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数 2．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°＜cos10°＜sin168° B ．sin168°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin168°＜cos10° D ．sin168°＜cos10°＜sin11° 3．已知函数f (x )＝sin ????x －π 2(x ∈R )，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间????0，π 2上是增函数 C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )的奇函数 4．设a ＝12log sin81o ，b ＝12log sin 25o ，c ＝12 log cos25°，则它们的大小关系为( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c 5．函数y ＝ lncos x ????－π2＜x ＜π 2的图像是( ) A ． B C ． D. 6．当－π2＜x ＜π 2时，函数y ＝tan|x |的图像( ) A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．不是对称图形 7．函数y ＝tan(sin x )的值域为( ) D ．以上均不对

8．若直线y ＝3与函数y ＝tan ωx (ω＞0)的图像相交，则相邻两交点的距离是( ) A ．π 二、填空题 9．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的范围是__________． 10．函数y ＝1＋2sin x 的最大值是__________，此时自变量x 的取值集合是__________． 11．函数y ＝sin 2x －cos x 的值域是__________． 12．函数y ＝3sin ????2x ＋π6的单调递减区间是__________． 13．已知f (n )＝sin n π4(n ∈Z )，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝__________. 14．若关于x 的方程cos 2x －sin x ＋a ＝0有解，则a 的取值范围是__________． 15．如果函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有三个不同的交点，那么k 的取值范围是__________． 16．关于三角函数的图像，有下列命题： ①y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图像关于y 轴对称； ②y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图像相同； ③y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图像关于x 轴对称； ④y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图像关于y 轴对称． 其中正确命题的序号是__________． 三、解答题： 17．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝sin ????2x ＋3π2； (2)f (x )＝sin x 1－sin x 1－sin x 18．作出下列函数的图像： (1)y ＝tan|x |； (2)y ＝|tan x |. 19、求函数f (x )＝13log tan ??? ?2x ＋π3的单调递减区间．

正切函数的图像和性质 公开课教案

1.4.2 正切函数的性质与图象 考纲要求：能画出y=tanx 的图象，了解三角函数的周期性.，理解正切函数在区间 （）的单调性. 教学目的 知识目标： 了解利用正切线画出正切函数图象的方法； 了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题； 掌握正切函数的性质。 能力目标： 掌握正弦函数的周期性，奇偶性，单调性，能利用正切曲线解决简单的 问题。 情感目标： 在借鉴正弦函数的学习方法研究正切函数图象、性质的过程中体 会类比的思想。 教学重点：正切函数的图象形状及其主要性质 教学难点：1、利用正切线得到正切函数的图象 2、对正切函数单调性的理解 教学方法：探究，启发式教学 教学过程 复习导入： 1. 正切函数的定义及几何表示，正切函数tan y x =的定义域是什么？ 2. 正弦曲线是怎样画的？ 讲授新课： 思考1：能否类比正弦函数图象的作法，画出正切函数的图象呢？ 画正切函数选取哪一段好呢?画多长一段呢? 思考2：正切函数是不是周期函数？若是，最小正周期是什么？ 思考3. 诱导公式 体现了正切函数的哪种性质？ （一）作tan y x =，x ∈??? ? ?- 2,2ππ的图象 tan()tan x x -=-

说明： （1）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数 R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ ππ 2 的图象，称“正切曲线” 。 （2）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线()2 x k k Z π π=+∈所隔开的 无穷多支曲线组成的。 （二）正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：? ?? ? ??∈+≠ z k k x x ,2|ππ ； （2）周期性：π=T ； （3）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数； （4）单调性： 思考：正切函数在整个定义域内是增函数吗？ 引导学生观察正切曲线，小组讨论的形式。 师举例说明：

正切函数的性质与图象课后反思.docx

《正切函数的性质与图象》课后反思 三角函数是函数这个系统中的一个小分支，而正切函数是三角函数这个小分支中的一个内容节点，让学生能清晰的认识所研究的内容与方法：在内容上主要研究函数的性质一一定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性；在方法选择上，数形结合应是对其性质研究的主要途径。在此也向学生进一步说明“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会数的美无处不在，数学无处不美。 在本节课中我采用“类比一一探究一一讨论”教学法。在学习了正弦函数图像与性质，平移正弦线得到正弦函数图像的方法类比作正切函数图象。设计问题让学生进一步探究正切函数的性质与图象，学生通过对这些“有结构”的材料进行探究，获得对止切函数的感性认识和形成止切函数图象的了解。通过创设问题情境，引发认知冲突，较好地调动了学生的积极性和主动性，符合新课程理念的精神. 通过多媒体显示得出函数图像。引导学生在有限的时间内完成正切函数性质的归纳和总结，让学生思考、动手画图、课堂交流、亲身实践。通过互相交流、启发、补充、争论，使学生对正切函数图像与性质的认识从感性的认识上升到理性认识，获得一定水平层次的科学概念。这节课主要是教给学生“动手做，动脑想；多训练，勤钻研。”的学习方法。这样做，增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径；思考问题的方法。使学生真正成为教学的主体。学生才会逐步感到数学美，会产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣。 在课堂教学屮注重学生的学，让学生自己思考得到问题的答案，以至于后半段课堂吋间仓促，课堂练习只能变成课后练习。在以后的教学中会注意调节好学牛的研究时间。 一、指导思想与理论依据 贝塔朗菲强调，任何系统都是一个有机的整体,它不是各个部分的机械组合或简单相加, 而

正切函数的图象与性质

《正切函数的图象与性质》教学设计 【课标解读】高中数学课程标准在本部分内容的要求和解读： 1.数学教材要自然、生动、要激发学生的兴趣和美感，引发学生的学习激情；要引导学 生提问，要强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用. 2.具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性 的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观. 3.关注三角函数本质(起源于圆周运动的周期函数），使学生获得研究周期函数的基本思 想方法. 4.关注数学内容的内在联系(数形结合)：三角函数——关于圆与三角形的解析几何 5.关注研究方法——类比、推广、特殊化（化归）； 【教学内容解析】 (一）本节教材的地位和作用： 《正切函数的图象和性质》是《普通高中课程标准实验教科书》（人教版B）高一数学的必修4第1.3.2节的内容，它是紧接着正弦和余弦函数的图象和性质后的又一通过图象来研究性质的三角函数。正切函数的图象和性质也是三角函数的重要内容之一，本节课既是对前面正余弦函数知识的延展，也是为学习已知三角函数值求角的问题,对必修二中直线的斜率和选修2-2中导数求切线方程的斜率问题都有联系。 为后续知识作了铺垫。因此掌握好正切函数的图象和性质，意义非常重要。同时，这节课也是进一步培养高一学生的类比、观察和数形结合能力的重要内容. (二)教材分析处理 1.本节课是在学习了正余弦函数的基础上，利用单位圆中的正切线画出正切函数的图象，通过图象系统的研究正切函数的性质。三角函数的图象和性质贯穿了全章教材，它不仅是继续学习三角知识不可缺少的基本知识和基本工具，也是科学研究、生产实践中的重要工具之一，通过学习本节课，培养学生的数形结合能力，形象思维能力和想象能力；同时培养学生观察、发现、独立思考、总结归纳的能力. 2.在内容上主要研究函数的性质——定义域、值域、对称性、周期性、单调性、奇偶性；在方法选择上，数形结合应是对其性质研究的主要途径。但也要让学生明白，作为正切函

正切函数的性质与图像教案

1．4．3 正切函数的性质和图像 一、教学目标 1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象； 2.用正切函数图象解决函数有关的性质； 二、课时 1课时 三、教学重点 正切函数的性质与图象的简单应用. 四、教学难点 正切函数性质的深刻理解及其简单应用. 五、教具 多媒体、实物投影仪 六、教学过程 导入新课 思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课. 思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法. 推进新课 新知探究 提出问题 ①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？ 你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？ 活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性. (1)周期性 由诱导公式tan(x+π)=tanx,x ∈R ,x≠2 π+kπ,k ∈Z 可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性. (2)奇偶性 由诱导公式 tan(-x)=-tanx,x ∈R ,x≠2 π+kπ,k ∈Z 可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(2 πk ,0)k ∈Z . (3)单调性 通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(2π-,2π)内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(2π -+kπ,2 π+kπ),k ∈Z 内都是增函数.

正切函数的图象与性质

1.4.3正切函数的图象与性质 【自主学习】 【学习目标】 1、理解并掌握利用正切线作正切函数图象的方法 2、掌握正切函数定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性和对称性 3、掌握正切函数性质的简单应用 【教材导析】 一、情景导入 回顾单位圆中的在切线，如下图，角x 分别在第一、二、三、四象限时，其正切值用用有向线段AT （即角x 的正切线）表示：tan x AT = . 二、教材导读 由于我们前面已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，我们完全可以把它迁移到对正切函数的研究之中.因此，我们对本节课的学习就变得很容易了. 我们将教材顺序调整一下，先认识正切函数的图象，再看图说话认识正切函数的性质. 1.正切函数的图象 （1）x y tan =)2 ,2((π π- ∈x ）的图像 我们可仿照正弦曲线的平移法获得: 利用单位圆中的正切线进行平移：把角度为α的正切线平移至坐标平面内直线α=x 上，保持正切线的起点在x 轴上，则正切线终点的轨迹图像就是x y t an =)2 ,2((π π-∈x 的图像（如右 图）. （2）正切函数x y tan =2 ,(π π+ ≠∈k x R x ，)Z k ∈的图像： 由诱导公式x x tan )tan(=+π知，只需将x y tan =)2 ,2((π π- ∈x 的图像向左、右扩展（每次向左、右平移π个单位），就得到正切函数x y tan =2 ,(π π+≠∈k x R x ，)Z k ∈的图像——正切曲线(如 图). 2.正切函数的性质

观察正切函数x y tan =的图象，我们根据数形结合思想“看图说话”，归纳正切函数x y tan =以下性质： （1）定义域：{|,}2 x R x k k Z π π∈≠ +∈.其中,2 x k k Z π π= +∈是正切曲线的渐近线，可 以无限接近但不能到达. （2）值域:R.x y tan =在定义域上既无最大值也无最小值. （3）奇偶性与对称性：图象关于原点对称，是奇函数. 事实上，根据诱导公式：tan()tan x x -=-正切函数x y tan =奇函数. 从图象可知，正切函数x y tan =的图象无对称轴，但是中心对称图象，对称中心有点(0,0),( ,0),(,0)2 π π……，等，所以，其对称中心为( ,0)()2 k k Z π ∈ （4）单调性：在每一个区间()(, )2 2 k k k Z π π ππ- ++∈内都是增函数. （5）周期性：最小正周期T π=. 事实上，由诱导公式tan()tan x x π+=知正切函数x y tan =是以(,0)k k Z k π∈≠为周期的周期函数，最小正周期π. （6）零点：x y tan =的零点为()x k k Z π=∈. 3.正切函数图象与性质的应用 教材例6中，采用了与正、余弦函数的图象与性质的应用中类似的换元法，这种方法在解决三种类型的函数sin()y A x ω?=+、cos()y A x ω?=+或tan()y A x ω?=+ （其中 ,,A ω?均为常数）的定义域、值域、单调性等问题时均有非常重要的作用，我们要熟练的 掌握和运用这种方法. 【课堂点金】 【重难点突破】 1.利用正切函数的图象求解零点问题与不等式问题 例1. （教材45P 《习题1.4》第9题（1）改编）设()tan 1f x x =+. （1）求()f x 的零点. （2）根据正切函数图象，写出满足()0f x ≥的x 的集合. 【解析】（1）()f x 的零点就是方程()tan 10f x x =+=即tan 1x =-的根. 在(,)22ππ - 使tan 1x =-的4x π =-，故由t a n y x =的周期性知tan 1x =-的根为 ,4 x k k Z ππ=- +∈，故()f x 的零点为,4 x k k Z π π=-+∈.

正切函数的图像与性质说课稿

《正切函数图象与性质》说课稿 各位评委老师好！ 今天我说课的课题是《正切函数的图象和性质》，下面我将从教材分析、教学策略、学情分析、教学程序四个方面进行说课，不足的地方希望老师能给予指出。 一．教材分析 1、教材的地位和作用 本节课是在学生学习了正弦余弦函数图像及基本性质的基础上对又一个具体三角函数的学习，其研究方法与前面正余弦函数图像与性质的研究方法类似，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习函数规律的总结和探索。正确理解和熟练掌握正切函数的图像和性质也是之后学好《已知三角函数求值》的关键。 2、教学目标 （一）知识和技能目标： 1、理解并掌握正切函数图像的推导思路及画法，即“正弦函数图像类比推导法” 2、准确写出正切函数的性质，并通过练习体验正切函数基本性质的应用． （二）过程与方法目标： 1、通过学生自己动手作图，调动学生的积极性和情感投入，培养学生数形结合的思想方法； 2、培养学生类比、归纳的数学思想； 3、培养学生发现数学规律，实践第一的观点，增强学习数学的兴趣。 3.重点、难点与疑点 （一）、教学重点：正切函数的图象和性质。 1、我打算用类比正弦函数图像类比推导法，单位圆中的正切线作正切函数图象法，引导学生作出正切函数图，并探索函数性质； 2、学会画正切函数的简图，体会与x轴的交点以及渐近线x=π/2 +kπ，k∈Z在确定图象形状时所起的关键作用。 （二）、教学难点：体验正切函数基本性质的应用， （三）、教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，但由于定义域的不连续性并非整个定义域内的增函数； 二．教学策略 在本节课中，我以“矛盾冲突”为主线撞击学生的思维，比如： 1、在得到正切函数的概念之后，提出如何研究这一具体函数的性质，启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法； 2、在得到正切函数的部分性质之后，提出如何能“丰满”正切函数的性质，启发学生可以借助图像进行研究，让学生感受“数缺形少直观，形缺少数难入微”的精妙. 三．学情分析 本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，对又一具体三角函数的学习。学生已经掌握了角的正切，正切线和与正切有关的诱导公式，对三角函数性质的讨论方法已经有了一个比较清晰的认识，这为本节课的学习提供了知识的保障． 四．教学程序 1、复习引入 （一）、复习 问题:1、什么是正切？正切有关的诱导公式？