线性代数化三角法

1 化三角法

用行列式的性质将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式，是计算三阶及三阶以上行列式基本方法和重要方法之一。

例1计算n阶行列式

解：含字母的行列式若直接化三角，会产生复杂的分数，庞大的计算量会造成解题困难甚至无法计算出结果。这种主对角线元素相同，其余元素相同的题型，可将第2行直至最后一行加到第一行，再化三角

2 降阶法

用行列式的性质使某行或某列零元素充分多，再按该行该列展开。

例2 计算行列式

化三角和降阶法是计算行列式的重要方法，甚至是有的高职学生仅会的方法，这显然是不够的。

3 加边法

有时为了计算行列式，在保值的前提下特意把原行列式加上一行一列使之更容易计算，这种计算行列式的方法称为加边法。加边法适用于所加边的元素与原行列式中的元素有相等或倍数关系等，或原行列式中有”大片”元素相同的行列式。

4 拆项法

由行列式拆项性质，将已知行列式拆成若干个行列式之和，计算各个行列式的值后再计算原式之值为拆项法。

5 递推法

用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式(比如，n与n-1阶)的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式(比如二阶或一阶行列式)的值，便可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。使用递推法计算行列式，一般分三个步骤，首先找出递推关系式，然后算出结果，最后用数学归纳法证明结果正确。

6 数学归纳法

一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。

通过上述例题的计算也可以看到计算一个行列式的值不仅局限一种方法，甚至有时要综合用到多种方法才能求出其值。因此，计算行列式时，要针对行列式的结构特点，选取恰当的方法，才能较快地算出行列式。

7 利用软件Matlable软件计算

在软件Matlable中，数据是以矩阵形式贮存和运算的，在输入行列式矩阵后，用函数det求职。

用该软件计算行列式虽然方便简单，但是不能起到锻炼学生的计算能力和思维能力的作用，不作为主要方法介绍，仅供参考。

参考文献：

[1]朱长坤.应用高等数学基础.上海交通大学出版社.2005.189.

线性代数作业

普通高等教育“十五”国家级规划教材线性代数 标准化作业 山东理工大学数学中心 2011.2

学院班级姓名学号 第一章行列式作业 1、按自然数从小到大为标准次序，求下列排列的逆序数： （1）1 3…（2n-1）2 4…(2n); （2）1 3…（2n-1）(2n) （2n-2）…4 2. 2、填空题 （1）排列52341的逆序数是________,它是________排列； （2）排列54321的逆序数是________,它是________排列； （3）1~9这九数的排列1274i56j9为偶排列，则i=______ ，j=_______； （4）四阶行列式中含有因子a11a23的项为________________； （5）一个n阶行列式D中的各行元素之和为零，则D=__________. 3、计算行列式212 111 321 10 x x x x x x - 展开式中x4与x3的系数. 4、计算下列各行列式的值： （1） 2116 4150 1205 1422 D - - = -- -- ；（2） 111 1 222 111 1 222 111 1 222 111 1 222 D=；

（3） 1 12 23 3 100 110 011 0011 b b b D b b b -- = -- -- ；（4） 222 b c c a a b D a b c a b c +++ =； （5） 1111 1111 1111 1111 a a D b b + - = + - ；

（6）10 2 20030 2004D = . 5、用克拉默法则解方程组 1231231 23241,52,4 3. x x x x x x x x x +-=?? ++=??-++=? 7、已知齐次线性方程组有非零解，求λ。 1231231 23230,220,50. x x x x x x x x x λ++=?? +-=??-+=?

地大《线性代数》在线作业一_答案

免费免费免费免费 地大《线性代数》在线作业一 1. A. A B. B C. C D. D 正确答案：B 满分：4 分得分：4 2. A. A B. B C. C D. D 正确答案：D 满分：4 分得分：4 3. A. A B. B C. C D. D 正确答案：D 满分：4 分得分：4 4. A. A B. B C. C D. D 正确答案：C 满分：4 分得分：4 5. A. A B. B C. C D. D 正确答案：C 满分：4 分得分：4 6. A. A B. B C. C D. D 正确答案：C 满分：4 分得分：4 7. A. A B. B C. C D. D

正确答案：A 满分：4 分得分：4 8. A. A B. B C. C D. D 正确答案：C 满分：4 分得分：4 9. A. A B. B C. C D. D 正确答案：C 满分：4 分得分：4 10. A. A B. B C. C D. D 正确答案：D 满分：4 分得分：4 11. A. A B. B C. C D. D 正确答案：D 满分：4 分得分：4 12. A. A B. B C. C D. D 正确答案：B 满分：4 分得分：4 13. A. A B. B C. C D. D 正确答案：A 满分：4 分得分：4 14. A. A B. B C. C D. D 正确答案：C 满分：4 分得分：4 15.

B. B C. C D. D 正确答案：A 满分：4 分得分：4 16. A. A B. B C. C D. D 正确答案：A 满分：4 分得分：4 17. A. A B. B C. C D. D 正确答案：D 满分：4 分得分：4 18. A. A B. B C. C D. D 正确答案：B 满分：4 分得分：4 19. A. A B. B C. C D. D 正确答案：C 满分：4 分得分：4 20. A. A B. B C. C D. D 正确答案：B 满分：4 分得分：4 21. A. A B. B C. C D. D 正确答案：C 满分：4 分得分：4 22. A. A B. B

三角法测距

三角法红外测距原理介绍 工作原理: Sharp的红外传感器都是基于一个原理，三角测量原理。红外发射器按照一定的角度发射红外光束，当遇到物体以后，光束会反射回来，如图1所示。反射回来的红外光线被CCD检测器检测到以后，会获得一 个偏移值L,利用三角关系，在知道了发射角度a，偏移距L,中心矩X，以及滤镜的焦距f以后，传感器 到物体的距离D就可以通过几何关系计算岀来了。 OCD检测器 滤镜 X 红外线发射器 图1:三角测量原理 可以看到，当D的距离足够近的时候，L值会相当大，超过CCD的探测范围，这时，虽然物体很近，但

是传感器反而看不到了。当物体距离D很大时，L值就会很小。这时CCD检测器能否分辨得岀这个很小 的L值成为关键，也就是说CCD的分辨率决定能不能获得足够精确的L值。要检测越是远的物体，CCD

的分辨率要求就越高。 非线性输岀: Sharp GS2XX 系列的传感器的输出是非线性的。没个型号的输出曲线都不同。所以，在实际使用前，最 好能对所使用的传感器进行一下校正。对每个型号的传感器创建一张曲线图，以便在实际使用中获得真实 有效的测量数据。下图是典型的 Sharp GP2D12的输出曲线图。 从上图中，可以看到，当被探测物体的距离小于 10cm 的时候， 输岀电压急剧下降，也就是说从电压读数来看，物体的距离应该是 越来越远了。但是实际上并不是这样的， 想象一下，你的机器人本 来正在慢慢的靠近障碍物，突然发现障碍物消失了， 一般来说，你 的控制程序会让你的机器人以全速移动，结果就是， "砰"的一声。 当然了，解决这个方法也不是没有， 这里有个小技巧。只需要改变 一下传感器的安装位置，使它到机器人的外围的距离大于最小探测 距离就可以了。如图3所示： 图2: Sharp GP2D12输出曲线 0.6 Q.2 価M 5ft 轴SO 帕M 90 DI MIMC 屯 to obiect leml 3.2.2.2.1 .uk V 1 Hr ￡ fly >m 冷"3 雷-<

实用标准化问题详解-北京大学2016年春季学期线性代数作业

2016年春季学期线性代数作业 一、选择题（每题2分，共36分） 1.（教材§1.1）行列式错误!未找到引用源。（B）。 A.6 B.5 C.10 D.7 2.（教材§1.1）行列式错误!未找到引用源。（A）。 A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.0 D.错误!未找到引用源。 3.（教材§1.2）行列式错误!未找到引用源。（D）。 A.40 B.-40 C.10 D.-10 4.（教材§1.3）下列对行列式做的变换中，（A）会改变行列式的值。 A.将行列式的某一行乘以3 B.对行列式取转置 C.将行列式的某一行加到另外一行 D.将行列式的某一行乘以3后加到另外一行 5.（教材§1.3）行列式错误!未找到引用源。（2/9）。 (提示：参考教材P32例1.3.3) A.2/9 B.2/3 C.2/9 D. 3/4 6.（教材§1.4）若线性方程组错误!未找到引用源。有唯一解，那么错误!未找到引用源。（B）。 A.2/3 B.1 C.-2/3 D.1/3

7.（教材§2.2）矩阵 2110 2311 3441 1132 ?? ?? ?? ?? ?? - ?? 的秩是（D）。 A.1 B.2 C.3 D.4 8.（教材§2.2）若线性方程组错误!未找到引用源。无解，则a的值为（C）。 A.-1 B.-2 C.-3 D.0 9.（教材§3.1）已知向量错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。，则向量错误!未找到引用源。（B）。 A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 10.（教材§3.3）已知向量组错误!未找到引用源。线性相关，下面说确的是（C）。 A.如果错误!未找到引用源。，则必有错误!未找到引用源。; B.矩阵错误!未找到引用源。的秩等于向量的个数错误!未找到引用源。； C.错误!未找到引用源。元齐次线性方程组错误!未找到引用源。有非零解； D.向量组A中任何一个向量都不能由其余的错误!未找到引用源。个向量线性表示。 11.（教材§3.3）下列向量组中，线性无关的是（C）。 A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 12.（教材§3.3）下列向量组中，线性相关的是（D）。 A.错误!未找到引用源。

三角法与向量法解平面几何题(正)

第27讲 三角法与向量法解平面几何题 相关知识 在ABC ?中,R 为外接圆半径,r 为内切圆半径,2 a b c p ++=,则 1,正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===, 2,余弦定理:2 2 2 2cos a b c bc A =+-,2 2 2 2cos b a c ac B =+-,2 2 2 2cos c a b ab C =+-. 3,射影定理:cos cos a b C c B =+,cos cos b a C c A =+,cos cos c a B b A =+. 4,面积:211sin 2sin sin sin 224a abc S ah ab C rp R A B C R = ==== = (sin sin sin )rR A B C ++ 2 221(cot cot cot )4 a A b B c C = ++. A 类例题 例1．在ΔABC 中，已知b =asinC ,c =asin (900 -B )，试判断ΔABC 的形状。 分析 条件中有边、角关系, 应利用正、余弦定理, 把条件统一转化为边或者是角的关系, 从而判定三角形的形状。 解 由条件c = asin (900 - B ) = acosB = c b c a ac b c a a 222 22222-+=-+ 2 2222c b c a =-+? 是直角A b c a ?+=?2 22 1sin sin sin =?=A A C c A a 是直角?? ?C a c C c a sin sin =?=?. Q C a b sin =?=? c b ΔABC 是等腰直角三角形。 例2．（1）在△ABC 中，已知cosA =13 5，sinB =53 ，则cosC 的值为（ ） A ．6516 B ．6556 C ．65566516或 D ． 65 16- 解 ∵C = π - (A + B ),∴cosC = - cos (A + B ),又∵A ∈(0, π),∴sinA = 13 12,而sinB =53 显然sinA > sinB ,∴A > B , ∵A 为锐角, ∴B 必为锐角, ∴ cosB = 5 4 ∴cosC = - cos (A + B ) = sinAsinB - cosAcosB =65 1654135531312=?-?.选A . 说明 △ABC 中,sinA > sinB ?A > B . 根据这一充要条件可判定B 必为锐角。 （2）在Rt △ABC 中，C ＝90°，A ＝θ，外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，

线性代数标准化作业

普通高等教育“十一五”国家级规划教材经济管理数学基础系列 线性代数 标准化作业 (C) 吉林大学数学中心 2012年9月

学院班级姓名学号 第一章作业 （行列式） 1、计算下列各行列式的值： （1） 2116 4150 1205 1422 D - - = -- -- ； （2） 111 1 222 111 1 222 111 1 222 111 1 222 D=；

（3）112 2 33 100 1100110 1 1b b b D b b b --= ----； （4）222 b c c a a b D a b c a b c +++=； （5）3333 3333 33333333a a D b b +-= +-；

（6） 1 1 () 1 1 n D αβαβ αβαβ αβ αβ αβ αβαβ αβ + + + =≠ + + ； （7） 10 2 2012 02013 D =. 2、设4阶行列式的第2列元素依次为2、m、k、1，第2列元素的余子式依次为1、-1、1、-1，第4列元素的代数余子式依次为 3、1、 4、5，且行列式的值为2，求m、k的值.

3、设a ,b ,c ,d 是不全为零的实数,证明线性方程组 1234123412341234 0,0,0,0 ax bx cx dx bx ax dx cx cx dx ax bx dx cx bx ax +++=??-+-=?? --+=??+--=? 仅有零解. 4、已知齐次线性方程组1231231 23230,220,50 x x x x x x x x x λ++=?? +-=??-+=?有非零解，求λ的值.

西南交《线性代数》离线作业-2014春季学期(优.选)

西南交《线性代数》离线作业1 一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题) 1. 下列矩阵中， B 不是初等矩阵。 (A) (B) (C) (D) 2. 则D。 (A) (B) (C) (D) 3. A、B为 n阶方阵,且A、B等价,| A |=0 ，则R(B) A 。 (A) 小于n (B) 等于n (C) 小于等于n (D) 大于等于n 4. 若A为5阶方阵且|A|=2，则|－2A|= C 。 (A) 4 (B) －4 (C) －64 (D) 64

16.行列式| 1 2 3 12, 4 1 2 5 | = 4 。 17. 则t= 3 18. |AB|=0 19. λ=-3 20. k= 3 21. λ= 3 22. (2,3,1)T - 23. 答：题目等价为讨论 123 ,, βββ线性无关的条件。

1122331312123230()()()0 k k k k k k k k k βββλαλαλα++=?+++++= 因为13123213 2=0,,=0=0 k k k k k k λαααλλ+?? +??+?线性无关，所以 123,,βββ是Ax=0的一个基础解系，则齐次方程组132132=0 =0=0 k k k k k k λλλ+?? +??+?只有零解，故系数行列式不为零。 31 01 001+0-101 λλ λλλ ≠?≠?≠ 所以，-1λ ≠时，123,,βββ是Ax=0的一个基础解系 24. 设A 是反对称矩阵,E+A 是可逆矩阵。 是正交矩阵。 证明：因为A T =-A,故 [(E-A)(E+A)-1]T [(E-A)(E+A)-1]=(E+A T )-1（E-A ）T （E-A)(E+A) -1 =(E-A)-1（E+A ）（E-A)(E+A) -1 （E+A ）与（E-A)可交 =(E-A)-1（E+A ） (E+A)-1 （E-A)=E 所以，(E?A) (E+A) ?1是正交矩阵。 25. 已知3阶方阵A 可逆且 求A 的伴随矩阵的逆矩阵.

机械制图三视图的第三角法和第一角如何区分

三视图的第三角法和第一角法划分： 一、第一角投影法 1.凡将物体置於第一象限内，以「视点(观察者)」→「物体」→「投影面」关系而投影视图的画法，即称为第一角法。亦称第一象限法 2.第一角投影箱之展开方向，以观察者而言，为由近而远之方向翻转展开。 3.第一角法展开后之视图排列如下，以常用之三视图(前视、俯视、右侧视图)而言，其右侧视图位於前视图之左侧，俯视固则位於前视图之正下方。 二.、第三角投影法 1.凡将物体置於第三象限内，以「视点(观察者)」→「投影面」→「物体」关系而投影视图的画法，即称为第三角法。亦称第三象限法。

2.第三角投影箱之展开方向，以观察者而言，为由远而近之方向翻转展开。 3．第三角法展开后之六个视固排列如下，以常用之三视图而言，其右侧视图位於前视图之右侧，而俯视图则位於前视图之正上方。 CNS 相关规定 CNS中国国家标准之象限投影符号，系将一截头圆锥之前视图与左侧视图，依投影之排列而得。主要之区别为第一角法符号(左侧视图排在右边)，而第三角法符号(左侧视图位在左边)。 对於正投影方法之使用，CNS规定第一角法或第三角法同等适用。但在同一张图纸上不可混合使用，且须在标题概内或其他明显处绘制符号或加注「第一角法」或「第三角法」字样。以作为读图之识别。 由於第二象限投影与第四象限投影因水平投影面旋转后与直立投影面重叠，致使投影视图线条混淆不清，增加绘固及识图不便，故不予采用。 欧洲各国盛行第一角法投影制，所以第一角法投影亦有「欧式投影制」之称呼。例如德国(DIN)、瑞士(VSM)、法国(NF).挪威(NS)等国家使用之。 美国采用第三角投影制，故有「美式投影制」之称呼。除美国(ANSI)外，尚盛行於美洲地区。而中华民国(CNS)、国际标准化机构(ISO)与日本[JIS]则采第一角法及第三角两制并行。 视图之排列，应依投影原理上下左右对齐排列，不得任意更换或未依据投影方式排置。 六种视图中最常用之三视图组合为:前视图、上视圆及右侧视图，一般均以L字形或逆向L字形之方式排列於图纸上。 我们国内用的是第一角画法，国外用第三角画法的比较多 第一角画法和第三角画法的区别是视图放的位置 第一角画法：左视图放右边，右视图放左边，上视图放下面，依此类推 第三角画法：左视图放左边，右视图放右边，上视图放上面，依此类推 在我们国家有关制图方面的国家标准中规定，我国采用第一角投影法。但有些国家（如美国、日本）则采用第三角投影法。伴随着我国的对外开放和WTO的加入及对外贸易和国际间技术交流的日趋增多，我们会越来越多的接触到采用第三角投影法绘制的图纸。为了更好地进行国际间的技术交流和发展国际贸易的需要，我们应该了解和掌握第三角投影法。 如图

《线性代数》课程标准

课程标准 课程名称：线性代数 适用专业：经济、管理类 新疆财经大学应用数学学院 基础数学教研室

目录 第一部分课程性质 (3) 第二部分课程目标 (3) 第三部分教学内容与基本要求 (3) 第四部分教学方案 (8) 第五部分课程作业与考核评价 (9) 第六部分教材与教学参考书 (10)

第一部分课程性质 一、课程性质 线性代数是高等院校经济类、管理类专业的一门重要的基础课，是为培养适应四个现代化需要的本科层次的经济、管理类专业人员而设的一门必修课，通过该课程的学习，不仅使学生了解有关线性代数的基本概念，掌握线性代数的基本计算方法，培养学生的抽象思维、逻辑推理能力，而且使学生会应用线性代数知识分析、解决实际问题，并为后续课程作好必要的准备。 二、课程基本情况 课程名称：线性代数 适用专业：财经。管理类各专业 总学时数：54学时 修课方式：必修 三、课程说明 本课程共六章，由于我校线性代数课实行普通班与快班分级教学，根据教学计划（每周3课时），因此，第一至四章为必学内容，主要掌握矩阵、线性方程组理论、n维向量空间、矩阵的特征值、特征向量及其有关的基本知识，第五章为快班必学内容，普通班为选学内容，第六章为普通班和快班选学内容。 第二部分课程目标 通过本课程的教学，使学生系统地掌握矩阵及线性方程组理论，n维向量空间、矩阵的特征值、特征向量，二次型理论知识，并能解决一些实际问题，培养学生独特的代数思维模式及逻辑推理能力，并为进一步学习后继课程和现代化科学技术打下坚实的数学基础。 第三部分教学内容与基本要求 第一章行列式（8学时） 【教学内容】 §1.1 阶行列式的定义 二、三阶行列式的定义、排列的逆序数、n阶行列式的定义。

《线性代数(理)》第1阶段在线作业

?A) 矩阵A存在一个阶子式不等于零； ?B) 矩阵A的所有r 1阶子式全等于零 ?C) 矩阵A存在r个列向量线性无关 ?D) 矩阵A存在m-r个行向量线性无关 ?A) A与B等价的充要条件是rank(A)=rank(B) ?B) 若A与B等价，则|A|=|B| ?C) A与B等价的充要条件是存在可逆阵P、Q ，使A=PBQ ?D) A可逆的充要条件是A等价于E n

?A) 若n阶线性方程组Ax=b的系数矩阵行列式|A|≠0，则该方程组存在唯一解；?B) 若n阶线性方程组Ax=0的系数矩阵行列式|A|≠0，则该方程组只有零解；?C) 一个行列式交换两列，行列式值不变； ?D) 若一个行列式的一列全为零，则该行列式的值为零 ?A) 若干个初等阵的乘积必是可逆阵 ?B) 可逆阵之和未必是可逆阵 ?C) 两个初等阵的乘积仍是初等阵 ?D)

可逆阵必是有限个初等阵的乘积 ?A) ACB=E ?B) CBA=E ?C) BAC=E ?D) BCA=E ?A) A与B相似的充要条件是存在可逆阵P，使得A=P-1BP ?B) 若A是反对称矩阵，则A T=-A

若A可逆，则A可以表示成若干个初等矩阵的乘积?D) 若A是正交矩阵，则|A|=1 ?A) PA=B ?B) AP=B ?C) PB=A ?D) BP=A

矩阵A中必有一列元素等于0 ?B) 矩阵A中必有两列元素对应成比例 ?C) 矩阵A中必有一列向量是其余列向量的线性组合?D) 矩阵A中任一列向量是其余列向量的线性组合 ?A) r>t ?B) r<="" div="" style="box-sizing: border-box;"> ?C) r=t ?D) r与t的关系不定 参考答案：C 收起解析 解析： 无 10(10.0分)

第一角与第角投影法

第一角投影法,,与第三角投影法 一、第一角投影法 1.凡将物体置於第一象限内，以「视点(观察者)」→「物体」→「投影面」关系 而投影视图的画法，即称为第一角法。亦称第一象限法。， 2.第一角投影箱之展开方向，以观察者而言，为由近而远之方向翻转展开。 3.第一角法展开后之视图排列如下，以常用之三视图(前视、俯视、右侧视图)而 言，其右侧视图位於前视图之左侧，俯视固则位於前视图之正下方。 二、第三角投影法 1.凡将物体置於第三象限内，以「视点(观察者)」→「投影面」→「物体」关系 而投影视图的画法，即称为第三角法。亦称第三象限法。 2.第三角投影箱之展开方向，以观察者而言，为由远而近之方向翻转展开。 3．第三角法展开后之六个视固排列如下，以常用之三视图而言，其右侧视图位於前视图之右侧，而俯视图则位於前视图之正上方。 在工程图的配置文件修改,如图示： 附件 2005-5-15 20:52

06.jpg(22.62 KB) 自改革开放以来，我引进了不少国外设备、图纸和其它技术资料，有不少发达国家的机械图样投影方法与我国所采用的投影方法不同。为了更好地学习发达国家的先进技术，故快速看懂国外机械图纸很有必要。 1 概述 当今世界上，ISO国际标准规定，第一角和第三角投影同等有效。各国根据国情均有所侧重，其中俄罗斯、乌克兰、德国、罗马尼亚、捷克、斯洛伐克以及东欧等国均主要用第一角投影，而美国、日本、法国、英国、加拿大、瑞士、澳大利业、荷兰和墨西哥等国均主要用第三角投影。解放前我国也采用第三角投影，新中国成立后改用第一角投影。在引进的国外机械图样和科技书刊中经常会遇到第三角投影。ISO 国际标准规定了第一角和第三角的投影标记（图1和图2）。在标题栏中，画有标记符号，根据些符号可识别图样画法，但有的图纸无投影标记。

线性代数(本)习题册行列式-习题详解(修改)(加批注)

||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： || 第 1 页 共 18 页 行列式的概念 一、选择题 1． 下列选项中错误的是( ) (A) b a d c d c b a - = ； (B) a c b d d c b a = ； (C) d c b a d c d b c a = ++33； (D) d c b a d c b a ----- =. 答案：D 2．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（ ）． (A)保持不变； (B)可以变成任何值； (C)保持不为零； (D)保持相同的正负号． 答案：C 二、填空题 1. a b b a log 1 1 log = . 解析： 0111log log log 1 1log =-=-=a b a b b a b a . 2. 6 cos 3sin 6sin 3 cos π π ππ = . 解析： 02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6 cos 3 sin 6sin 3 cos ==-=πππππππ π π 3.函数x x x x x f 1213 1 2)(-=中，3x 的系数为 ； x x x x x x g 2 1 1 12)(---=中，3x 的系数为 . 答案：-2；-2.

||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： || 第 2 页 共 18 页 阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案：1. 5. 三阶行列式11342 3 2 1-中第2行第1列元素的代数余子式 等于 . 答案：5. 6.若 02 1 8 2=x ，则x = . 答案：2. 7.在 n 阶行列式ij a D =中，当i

线性代数课程标准

《线性代数》课程（项目）标准 （一）课程性质与任务 线性代数是园艺专业的一门必修的重要专业基础课。通过线性代数的学习，能使学生获得应用科学中常用的矩阵、线性方程组等理论及其有关基本知识，并具有较熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实际问题的能力。概率统计是研究随机现象客观规律的数学学科，它的应用非常广泛，并具有独特的思维和方法。通过概率论的学习能使学生了解概率与数理统计的基本概念和基本理论，初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。通过本课程的学习，能够为学生学习后继课程及进一步提高打下必要的数学基础。 （二）课程教学目标 1．知识目标 通过线性代数的学习，能使学生获得应用科学中常用的矩阵、线性方程组等理论及其有关基本知识，并具有较熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实际问题的能力。概率统计是研究随机现象客观规律的数学学科，它的应用非常广泛，并具有独特的思维和方法。通过概率论的学习能使学生了解概率与数理统计的基本概念和基本理论，初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 2．能力目标 线性代数以其理论上的严谨性、方法上的灵活多样性以及与其它学科之间的渗透性,使得它在自然科学、社会科学及工程技术等许多领域都有广泛的应用。并且线性代数对学生逻辑思维能力、抽象思维能力及对事物认知能力的培养也是至关重要的。另外线性代数也是学习其它许多课程不可缺少的基本工具。 3．素质目标 线性代数中有很多符号、下标，不同的符号及下标代表不同的涵义，注重培养学生对待科学的严谨态度。 （三）参考学时:64学时 （四）课程学分：4学分 （五）课程内容和要求

三角法测距

三角法红外测距原理介绍 Sharp的红外传感器都是基于一个原理，三角测量原理。红外发射器按照一定的角度发射红外光束，当遇到物体以后，光束会反射回来，如图1所示。反射回来的红外光线被CCD检测器检测到以后，会获得一个偏移值L，利用三角关系，在知道了发射角度a，偏移距L，中心矩X，以及滤镜的焦距f以后，传感器到物体的距离D就可以通过几何关系计算出来了。 图1：三角测量原理 可以看到，当D的距离足够近的时候，L值会相当大，超过CCD的探测范围，这时，虽然物体很近，但是传感器反而看不到了。当物体距离D很大时，L值就会很小。这时CCD检测器能否分辨得出这个很小的L值成为关键，也就是说CCD的分辨率决定能不能获得足够精确的L值。要检测越是远的物体，CCD

的分辨率要求就越高。 Sharp GS2XX系列的传感器的输出是非线性的。没个型号的输出曲线都不同。所以，在实际使用前，最好能对所使用的传感器进行一下校正。对每个型号的传感器创建一张曲线图，以便在实际使用中获得真实有效的测量数据。下图是典型的Sharp GP2D12的输出曲线图。 从上图中，可以看到，当被探测物体的距离小于10cm的时候， 输出电压急剧下降，也就是说从电压读数来看，物体的距离应该是 越来越远了。但是实际上并不是这样的，想象一下，你的机器人本 来正在慢慢的靠近障碍物，突然发现障碍物消失了，一般来说，你 的控制程序会让你的机器人以全速移动，结果就是，"砰"的一声。 当然了，解决这个方法也不是没有，这里有个小技巧。只需要改变 一下传感器的安装位置，使它到机器人的外围的距离大于最小探测 距离就可以了。如图3所示: 图2：Sharp GP2D12输出曲线

线性代数课后作业及参考问题详解

《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…

第一角和第三角视图

第五章第五章正投影 § 5一2 第一角投影與第三角投影與 一、第一角投影法 1.凡將物體置於第一象限內，以「視點(觀察者)」→「物體」→「投 影面」關係而投影視圖的畫法，即稱為第一角法。如圖5一3所示。 亦稱第一象限法。， 2.第一角投影箱之展開方向，以觀察者而言，為由近而遠之方向翻轉展 開。如圖5一4所示。 3.第一角法展開後之視圖排列如下，以常用之三視圖(前視、俯視、右 側視圖)而言，其右側視圖位於前視圖之左側，俯視固則位於前視圖之正下方。如圖5-5所示。 圖5一3 第一角投影箱圖5一4 第一角投影箱之展開 圖5-5 第一角法視圖之排列位置 二.、第三角投影法 1.凡將物體置於第三象限內，以「視點(觀察者)」→「投影面」→ 「物體」關係而投影視圖的畫法，即稱為第三角法。如固5一6所示。亦稱第三象限法。

圖5一6 第三角投影箱圖5一7 第三角投影箱之展開 2.第三角投影箱之展開方向，以觀察者而言，為由遠而近之方向翻轉展 開。如圖5一7所示。3〃第三角法展開後之六個視固排列如下，以常用之三視圖 而言，其右側視圖位於前視圖之右側，而俯視圖則位於前視圖之正上方。 如圖5一8所示。 圖5-8 第三角法視圖之排列位置 CNS 相關規定 CNS中國國家標準之象限投影符號，係將一截頭圓錐之前視圖與左側視 圖，依投影之排列而得。如圖5一9所示。主要之區別為第一角法符號(左側視圖排在右邊)，而第三角法符號(左側視圖位在左邊)。 (a)截頭圓錐 (b)第一角法投影符號 (c)第三角法投影符號

圖5一9 投影符號之規定 對於正投影方法之使用，CNS規定第一角法或第三角法同等適用。但在 如前節所述:由於第二象限投影與第四象限投影因水平投影面旋轉後與直 立投影面重疊，致使投影視圖線條混淆不清，增加繪固及識圖不便，故不予採用。 歐洲各國盛行第一角法投影制，所以第一角法投影亦有「歐式投影制」之 稱呼。例如德國(DIN)、瑞士(VSM)、法國(NF).挪威(NS)等國家使用之。 美國採用第三角投影制，故有「美式投影制」之稱呼。除美國(ANSI)外， 尚盛行於美洲地區。而中華民國(CNS)、國際標準化機構(ISO)與日本[JIS] 則採第一角法及第三角兩制並行。 視圖之排列，應依投影原理上下左右對齊排列，不得任意更換或未依據 投影方式排置。 六種視圖中最常用之三視圖組合為:前視圖、上視圓及右側視圖，一般均 以L字形或逆向L字形之方式排列於圖紙上。

第三角法和第一角法

第三角法和第一角法 第三角法和第一角法划分： 一、第一角投影法 1.凡将物体置于第一象限内，以「视点(观察者)」→「物体」→「投影面」关系而投影视图的画法，即称为第一角法。亦称第一象限法。 2.第一角投影箱之展开方向，以观察者而言，为由近而远之方向翻转展开。 3.第一角法展开后之视图排列如下，以常用之三视图(前视、俯视、右侧视图)而言，其右侧视图位于前视图之左侧，俯视固则位于前视图之正下方。 二.、第三角投影法 1.凡将物体置于第三象限内，以「视点(观察者)」→「投影面」→「物体」关系而投影视图的画法，即称为第三角法。亦称第三象限法。 2.第三角投影箱之展开方向，以观察者而言，为由远而近之方向翻转展开。 3．第三角法展开后之视固排列如下，以常用之三视图而言，其右侧视图位于前视图之右侧，而俯视图则位于前视图之正上方。

CNS 相关规定 CNS中国国家标准之象限投影符号，系将一截头圆锥之前视图与左侧视图，依投影之排列而得。主要之区别为第一角法符号(左侧视图排在右边)，而第三角法符号(左侧视图位在左边)。 对于正投影方法之使用，CNS规定第一角法或第三角法同等适用。但在同一张图纸上不可混合使用，且须在标题概内或其它明显处绘制符号或加注「第一角法」或「第三角法」字样。以作为读图之识别。 由于第二象限投影与第四象限投影因水平投影面旋转后与直立投影面重叠，致使投影视图线条混淆不清，增加绘固及识图不便，故不予采用。 欧洲各国盛行第一角法投影制，所以第一角法投影亦有「欧式投影制」之称呼。例如德国(DIN)、瑞士(VSM)、法国(NF).挪威(NS)等国家使用之。 美国采用第三角投影制，故有「美式投影制」之称呼。除美国(ANSI)外，尚盛行于美洲地区。而中华民国(CNS)、国际标准化机构(ISO)与日本[JIS]则采第一角法及第三角两制并行。 视图之排列，应依投影原理上下左右对齐排列，不得任意更换或未依据投影方式排置。六种视图中最常用之三视图组合为:前视图、上视圆及右侧视图，一般均以L字形或逆向L字形之方式排列于图纸上。 我们国内用的是第一角画法，国外用第三角画法的比较多 第一角画法和第三角画法的区别是视图放的位置 第一角画法：左视图放右边，右视图放左边，上视图放下面，依此类推 第三角画法：左视图放左边，右视图放右边，上视图放上面，依此类推 来自https://www.wendangku.net/doc/fa6045045.html,/hiautocad/blog/item/9464e903671ca088d43f7c97.html 第一角法与第三角法的区别 该贴对于那些对于对第一角法与第三角法不很清楚的同行有帮助! 1. 任何物体在空间位置都有八个位置，即所谓视角。因此就产生了不同的投影视图。第一角画法又叫“苏联”画法，也就是先见视图——再见实物。第三角画法又叫“ 美国”画法，其特点就是先见实物——再见视图。就其投影规律来讲第三角画法较为合理，因为它的视图名字就是它的视图位置，正象有的朋友讲的那样画轴侧图好象容易些。其实只要你熟练掌握了投影规律，两种画法都是一样的。目前以美国为代表的画法有日本，德国，加拿大等先进的资本主义国家，但英国除外。以前以苏联为首的东欧前社会主义国家都采用第一角视图画法，我们国家的整个工业体系，在五六十年代是全盘照搬前苏联那一套，当然采用的是第一角画法了。目前台湾翔虹CAD的画法属于美国画法，所以说了如上的话。 2. 简单地说，第一视角就是：图纸－实物－你的眼睛，即实物放在图纸和你的眼睛中间，从眼睛方向投影到图纸上；第三视角就是：实物－图纸－你的眼睛，即图纸放在实物和你的眼睛中间，实物往你的眼睛方向投影到图纸上．还有不能像以上所说的：简单说就是左视图在左边,右视图在右边! 3. 一角法又称投影法，而三角发又称镜象法

华东理工大学本科生线性代数第八册

华东理工大学 线性代数 作业簿（第八册） 1.设矩阵A 与B 合同，则下述选项正确的是 （）. (A) r(A)=r(B) ； ( B) |A|=|B|； (C) tr(A)=tr(B) ； ( D) A 与B 有相同特征值. 解：A.提示：A 与B 合同即存在可逆矩阵C ，使得C T AC=B ， 故 r(A) =r(B). n n 2 .设二次型f(X 1,X 2，…;X n) = X i 2 -(2 X i )2 ,则此二次型的矩 i=1 i=1 交变换标准型为 任课教师 6.1 二次型及其标准型 ,二次型的秩为 ,二次型的正

提示：二次型的秩就是 二次型的矩阵的秩，也 是其标准型中非零项的 个数（注：标准型不唯 一）。因此求二次型 的秩有两种方法，1）直接求二次型的矩阵A 的秩，2）先求A 的 特征值，A 有几个非零特征值（重根按重数计算），二次型的秩就 是几. 3.设实二次型f （x ）=x T Ax,其中A T H A ，则二次型的矩阵为 解：0, -1.提示：A 的特征值为扎1 =1, A 2 = —2，入3 =…== 0， n n 根据送h =tr(A), n "T A 易得. i =1 i 「n -1 -1 ...-1 -1 n —1 ...-1 L- -1 ...n — 1 2 . 丄 2 ny2 +…+ n 标准型为y 12 -2y f ，则A - ，矩阵A 的迹为 秩为2,则参数C 的值为 ,f （X 1，X 2，X 3）=1表示的曲面为 解: 2 ，n-1，nyi + 2 2 2 Z1 +Z2 +…+Zn 」.

解：3,椭圆柱面.提示：二次型的矩阵A3涣的秩为2,故|A|=0 , 由此可求得c =3。再求出A 的特征值为7叭=0, 几2 = 4, /"G = 9 ，即 标 准型为f =4y ；+9yj ，由此知f 区兀^) =1为椭圆柱面。 2 2 2 6.已知二次型 f 区^2必)=2x , + 3x 2 +3X 3 +2ax 2x 3 (a>0)通 正交变换矩阵. A =片兀2兀3即2(9 — a 2 ) = 10 得 1,2,5,故对应这三个特征值的特征向量线性无关。分别求出属于 这三个特征值的特征向量 匕=[0,1,—1]T ,匕2 =[1,0,0]T , J =[0,1,1]T 并把它们单位化，得正交变换矩阵为 Q = 7. 已知二次曲面方程 X 2 + ay 2 +z 2 + 2bxy + 2xz + 2yz =4 可以通过正交变换 过正交变换化成标准型 f = y i 2 2 + 2y 2 +5y 3，求参数a 及所用的 解：二次型的矩阵为 A = a = 2。A 有三个不同的特征值 2 )，由

三角法红外测距原理介绍

三角法红外测距原理介绍 工作原理： Sharp的红外传感器都是基于一个原理，三角测量原理。红外发射器按照一定的角度发射红外光束，当遇到物体以后，光束会反射回来，如图1所示。反射回来的红外光线被CCD检测器检测到以后，会获得一个偏移值L，利用三角关系，在知道了发射角度a，偏移距L，中心矩X，以及滤镜的焦距f以后，传感器到物体的距离D就可以通过几何关系计算出来了。 图1：三角测量原理

可以看到，当D的距离足够近的时候，L值会相当大，超过CCD的探测范围，这时，虽然物体很近，但是传感器反而看不到了。当物体距离D很大时，L值就会很小。这时CCD检测器能否分辨得出这个很小的L 值成为关键，也就是说CCD的分辨率决定能不能获得足够精确的L值。要检测越是远的物体，CCD的分辨率要求就越高。 非线性输出： Sharp GS2XX系列的传感器的输出是非线性的。没个型号的输出曲线都不同。所以，在实际使用前，最好能对所使用的传感器进行一下校正。对每个型号的传感器创建一张曲线图，以便在实际使用中获得真实有效的测量数据。下图是典型的Sharp GP2D12的输出曲线图。 图2：Sharp GP2D12输出曲线 从上图中，可以看到，当被探测物体的距离小于10cm的时候，输出电压急剧下降，也就是说从电压读数来看，物体的距离应该是越来越远了。但是实际上并不是这样的，想象一下，你的机器人本来正在慢慢的靠近障碍物，突然发现障碍物消失了，一般来说，你的控制程序会让你的机器人以全速移动，结果就是，"砰"的一声。当然了，解决这个方法也不是没有，这里有个小技巧。只需要改变一下传感器的安装位置，使它到机器人的外围的距离大于最小探测距离就可以了。如图3所示:

山财自考37线性代数考核作业(已填好答案)

线性代数（经管类)综合试题一 （课程代码 4１84) 一、单项选择题（本大题共10小题,每小题2分，共2０分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将 其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设D==M≠0,则D1＝= ( B ). A．-2M B.2MＣ.-6Ｍ D.６M 2.设A、B、C为同阶方阵,若由AＢ= AC必能推出B＝C, 则A应满足 ( D)． A. A≠ O B．A=Ｏ C.|A|= 0 D．|A|≠0 3．设A，B均为n阶方阵，则（A)． A.|A+AB|=０,则|Ａ|＝0或|Ｅ+Ｂ｜=０ B.(A+B)2=Ａ2+２ AB+B2 C.当ＡB=O时,有A=O或B=Ｏ D．（AＢ）-1=B－1A-1 4．二阶矩阵Ａ,|Ａ|＝1,则Ａ-1= ( B).

A.Ｂ. C. D. ，则下列说法正确的是( B). Ａ.若两向量组等价,则ｓ＝t . Ｂ.若两向量组等价，则ｒ()＝ｒ() C.若s = t，则两向量组等价. D．若ｒ()=ｒ(),则两向量组等价. 6.向量组线性相关的充分必要条件是 （C )． A.中至少有一个零向量 B.中至少有两个向量对应分量成比例 Ｃ.中至少有一个向量可由其余向量线性表示 Ｄ.可由线性表示 ７.设向量组有两个极大无关组与 ,则下列成立的是( Ｃ). Ａ. r与s未必相等 B. r + s ＝ｍ Ｃ. r = s D. r + s > m ８.对方程组Ａx ＝b与其导出组Ax＝o,下列命题正确的是( Ｄ). A. Ax =o有解时,Ax = b必有解.

Ｂ．Ax＝o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解. C．Ax = b无解时，Ax= o也无解. D．Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解. 9．设方程组有非零解，则ｋ=( D)． A. ２B．3 C. -1 D. 1 １0．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D). A.|A｜>０Ｂ.存在n阶方阵C使A=C T C C.负惯性指标为零 D．各阶顺序主子式均为正数 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.四阶行列式D中第３列元素依次为-1，2,0,1，它们的余子式的值依次为５,3,-7，4，则D= -1５． １２.若方阵A满足A2= A,且A≠Ｅ，则|A|= 0 . 13.若A为3阶方阵,且,则|2A｜= 4． 14.设矩阵的秩为２,则t= -３ . １５.设向量＝(6，８，0），=(4，–3，5),则（，)= 0 . 1６.设n元齐次线性方程组A x= o,r（A)= r＜n,则基础解系含有解向量的个数为ｎ-r个.