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集合-高考文科数学专题练习

一、填空题

1.已知集合U={0,1,2,3,4},M={0,4},N={2,4},则?U(M∪N)=________. 解析:由题意得M∪N={0,2,4},所以?U(M∪N)={1,3}.

答案:{1,3}

2.已知集合A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若A?B,则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c=________.

解析:由log2x≤2得0

∵A?B,借助于数轴知a>4,∴c=4.

答案:4

3.已知集合A={x|y=log2 (-x2+x+2),x∈R},B={x|y=1-x2,x∈R},则A∩B=________.

解析:由-x2+x+2>0得-1

由1-x2≥0得-1≤x≤1,∴B=[-1,1],

∴A∩B=(-1,1].

答案:(-1,1]

4.设全集U=R,A={x|2x(x-2)<1},B={x|y=ln(1-x)},则

右图中阴影部分表示的集合为________.

解析:A=(0,2),B=(-∞,1),图中阴影部分表示的集合为A∩?U B=[1,2).答案:[1,2)

5.已知全集U=A∪B中有m个元素,(?U A)∪(?U B)中有n个元素,若A∩B非空,则A∩B中的元素的个数为________.

解析:如图,由U=A∪B可得A∩B中的元素为A∪B中的元

素除去(?U A)∪(?U B)中的元素,所以A∩B中的元素个数为m-

n.

答案:m-n

6.集合M={x|x=sin nπ

3,n∈Z},N={x|x=cos

2,n∈Z},则M∩N=________.

解析:由nπ

3与

2的终边位置知M={-

3

2,0,

3

2},N={-1,0,1},M∩N={0}.

答案:{ 0}

7.(2015·江西七校联考)若集合P ={x |3

于是??? 2a +1<3a -5,

2a +1>3,

3a -5≤22,

解得6

答案:(6,9] 8.设全集U =R ,M ={m |方程mx 2-x -1=0有实数根},N ={n |方程x 2-x +n =0有实数根},则(?U M )∩N =________.

解析:当m =0时,x =-1,即0∈M ;

当m ≠0时,Δ=1+4m ≥0,

即m ≥-14,且m ≠0,

∴m ≥-14,

∴?U M ={m |m <-14},

而对于N ,Δ=1-4n ≥0,即n ≤14,

N ={n |n ≤14},∴(?U M )∩N ={x |x <-14}.

答案:{x |x <-14}

9.设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x ,y ∈S ,都有x +y ,x -y ,xy ∈S ,则称S 为封闭集.下列命题:①集合S ={a +b i|a ,b 为整数,i 为虚数单位}为封闭集;②若S 为封闭集,则一定有0∈S ;③封闭集一定是无限集;④若S 为封闭集,则满足S ?T ?C 的任意集合T 也是封闭集.

其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号)

解析:由题意,①S ={a +b i|a ,b 为整数,i 为虚数单位},S 为复数集,若x 、y ∈S ,则x +y , x -y 及xy 仍为复数,故①正确.

②若S 为封闭集,且存在元素x ∈S ,那么必有x -x =0∈S ,即一定有0∈S ,故②正确.

③因为{0}是封闭集,且是有限集,故③错误.

④举特例,若S ={0},T ={0,i ,-i},显然,T 中i·(-i)=1?T ,∴T 不是封闭集,故④错误.

答案:①②

二、解答题

10.已知集合A ={x |6x +1

≥1,x ∈R},B ={x |x 2-2x -m <0}, (1)当m =3时,求A ∩(?R B );

(2)若A ∩B ={x |-1

解析:由6x +1≥1,得x -5x +1

≤0.∴-1

(1)当m =3时,B ={x |-1

则?R B ={x |x ≤-1或x ≥3},

∴A ∩(?R B )={x |3≤x ≤5}.

(2)∵A ={x |-1

∴有42-2×4-m =0,解得m =8.

此时B ={x |-2

11.设集合A ={(x ,y )|y =2x -1,x ∈N *},B ={(x ,y )|y =ax 2-ax +a ,x ∈N *},问是否存在非零整数a ,使A ∩B ≠??若存在,请求出a 的值;若不存在,说明理由.

解析:假设A ∩B ≠?,则方程组???

y =2x -1y =ax 2-ax +a

有正整数解,消去y ,得ax 2-(a +2)x +a +1=0(*).

由Δ≥0,有(a +2)2-4a (a +1)≥0,解得-233≤a ≤233.∵a 为非零整数,

∴a =±1,

当a =-1时,代入(*),解得x =0或x =-1,而x ∈N *.故a ≠-1.

当a =1时,代入(*),解得x =1或x =2,符合题意.

故存在a =1,使得A ∩B ≠?,

此时A ∩B ={(1,1),(2,3)}.

12.对于函数f (x ),若f (x )=x ,则称x 为f (x )的“不动点”,若f (f (x ))=x ,则称x 为f (x )的“稳定点”,函数f (x )的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ,即A ={x |f (x )=x },B ={x |f (f (x ))=x }.

(1)求证:A ?B .

(2)若f (x )=ax 2-1(a ∈R ,x ∈R),且A =B ≠?,求实数a 的取值范围. 解析:(1)证明:若A =?,则A ?B 显然成立;

若A ≠?,设t ∈A ,则f (t )=t ,f (f (t ))=f (t )=t ,

即t ∈B ,从而A ?B .

(2)A 中元素是方程f (x )=x ,即ax 2-1=x 的实根.

由A ≠?,知a =0或??? a ≠0,Δ=1+4a ≥0

即a ≥-14, B 中元素是方程a (ax 2-1)2-1=x ,

即a 3x 4-2a 2x 2-x +a -1=0的实根,

由A ?B ,知上述方程左边含有一个因式ax 2-x -1,

即方程可化为(ax 2-x -1)(a 2x 2+ax -a +1)=0.

因此,若要A =B ,即要方程①a 2x 2+ax -a +1=0 要么没有实根,要么实根是方程②ax 2-x -1=0的根.

若①没有实根,则Δ=a 2-4a 2(1-a )<0,由此解得a <34.

若①有实根且①的实根是②的实根,则由②有a 2x 2=ax +a ,代入①有2ax +1=0.

由此解得x =-12a ,再代入②得14a +12a -1=0,

由此解得a =34.

故a 的取值范围是[-14,34].

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