七年级上册上海园南中学数学期末试卷章末练习卷(Word版 含解析)

七年级上册上海园南中学数学期末试卷章末练习卷（Word版含解

析）

一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）

1．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F

（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为________；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD?∠AEM＝90°；

（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数．

【答案】（1）∠PFD＋∠AEM=90°

（2）过点P作PG∥AB

∵AB∥CD，

∴PG∥AB∥CD，

∴∠AEM=∠MPG，∠PFD=∠NPG

∵∠MPN=90°

∴∠NPG－∠MPG=90°

∴∠PFD－∠AEM=90°；

（3）设AB与PN交于点H

∵∠P=90°，∠PEB＝15°

∴∠PHE=180°－∠P－∠PEB＝75°

∵AB∥CD，

∴∠PFO=∠PHE=75°

∴∠N=∠PFO－∠DON=45°．

【解析】【解答】（1）过点P作PH∥AB

∵AB∥CD，

∴PH∥AB∥CD，

∴∠AEM=∠MPH，∠PFD=∠NPH

∵∠MPN=90°

∴∠MPH＋∠NPH=90°

∴∠PFD＋∠AEM=90°

故答案为：∠PFD＋∠AEM=90°；

【分析】（1）过点P作PH∥AB，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得PH∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠AEM=∠MPH，∠PFD=∠NPH，然后根据∠MPH＋∠NPH=90°和等量代换即可得出结论；（2）过点P作PG∥AB，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得PG∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠AEM=∠MPG，∠PFD=∠NPG，然后根据∠NPG－∠MPG=90°和等量代换即可证出结论；（3）设AB与PN 交于点H，根据三角形的内角和定理即可求出∠PHE，然后根据平行线的性质可得∠PFO=∠PHE，然后根据三角形外角的性质即可求出结论．

2．如图1，已知∠MON=140°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分∠MOB，

（1）在图1中，若∠AOC=40°，则∠BOC=°，∠NOB=°.

（2）在图1中，设∠AOC=α，∠NOB=β，请探究α与β之间的数量关系（必须写出推理的主要过程，但每一步后面不必写出理由）；

（3）在已知条件不变的前提下，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图2的位置，此时α与β之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时α与β之间的数量关系.

【答案】（1）解：如图1，

∵∠AOC与∠BOC互余，

∴∠AOC+∠BOC=90°，

∵∠AOC=40°，

∴∠BOC=50°，

∵OC平分∠MOB，

∴∠MOC=∠BOC=50°，

∴∠BOM=100°，

∵∠MON=40°，

∴∠BON=∠MON-∠BOM=140°-100°=40°，

（2）解：β=2α-40°，理由是：

如图1，∵∠AOC=α，

∴∠BOC=90°-α，

∵OC平分∠MOB，

∴∠MOB=2∠BOC=2（90°-α）=180°-2α，

又∵∠MON=∠BOM+∠BON，

∴140°=180°-2α+β，即β=2α-40°；

（3）解：不成立，此时此时α与β之间的数量关系为：2α+β=40°，理由是：如图2，

∵∠AOC=α，∠NOB=β，

∴∠BOC=90°-α，

∵OC平分∠MOB，

∴∠MOB=2∠BOC=2（90°-α）=180°-2α，

∵∠BOM=∠MON+∠BON，

∴180°-2α=140°+β，即2α+β=40°，

答：不成立，此时此时α与β之间的数量关系为：2α+β=40.

【解析】【分析】（1）先根据余角的定义计算∠BOC=50°，再由角平分线的定义计算∠BOM=100°，根据角的差可得∠BON的度数；（2）同理先计算∠MOB=2∠BOC=2（90°-α）=180°-2α，再根据∠BON=∠MON-∠BOM列等式即可；（3）同理可得∠MOB=180°-2α，再根据∠BON+∠MON=∠BOM列等式即可.

3．已知：O是直线AB上的一点，是直角，OE平分．

（1）如图1．若．求的度数；

（2）在图1中，，直接写出的度数（用含a的代数式表示）；

（3）

将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由．

【答案】（1）解：∵是直角，，

，

，

∵OE平分，

，

．

（2）解：是直角，，

，

，

∵OE平分，

，

（3）解：，

理由是：，OE平分，

，

，

，

，

即

【解析】【分析】（1）根据平角的定义得出∠BOD，∠COB的度数，根据角平分线的定义

得出∠BOE=∠BOC=75°，根据角的和差，由∠DOE=∠BOE?∠BOD即可算出答案；

（2）根据平角的定义得出∠BOD90°?a ，∠COB180°?a ，根据角平分线的定义得出

∠BOE=∠BOC=90°?a，根据角的和差，由∠DOE=∠BOE?∠BOD即可算出答案；

（3）∠AOC=2∠DOE ，根据平角的定义得出∠B OC=180°?∠AOC，根据角平分线的定义得

出∠BOE=∠BOC=90°?∠AOC ，根据角的和差得出∠BOD=90°?∠BOC=90°?(180°?∠AOC)=∠AOC?90° ，∠DOE=∠BOD+∠BOE，再整体替换即可得出答案。

4．已知，∠AOB=∠COD=90°，射线OE，FO分别平分∠AOC和∠BOD．

（1）当OB和OC重合时，如图（1），求∠EOF的度数；

（2）当∠AOB绕点O逆时针旋转至图（2）的位置（0°＜∠BOC＜90°）时，求∠EOF的度数．

【答案】（1）解：当OB和OC重合时，∠AOD=∠AOC+∠BOD=180°，

又∵射线OE，FO分别平分∠AOC和∠BOD，

∴∠COE= ∠AOC，∠BOF= ∠BOD，

∴∠EOF=∠COF+∠BOF= （∠AOC+∠BOD）= ×180°=90°

（2）解：∵∠AOB=∠COD=90°，∠COE= ∠AOC，∠BOF= ∠BOD，

∴∠EOF=∠COE+∠BOF﹣∠BOC

= ∠AOC+ ∠BOD﹣∠BOC

= （∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC

= （∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC）﹣∠BOC

= （180°+2∠BOC）﹣∠BOC

=90°+∠BOC﹣∠BOC

=90°

【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可得∠COE=∠AOC，∠BOF=∠BOD；由平角的定义可得∠AOC+∠BOD=180°，由角的构成可得∠EOF=∠COE+∠BOF，代入计算即可求解；（2）同理可求解。

5．如图①②所示，将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起，像图①②那样放置．

（1）若∠BOC=60°，如图①，猜想∠AOD的度数；

（2）若∠BOC=70°，如图②，猜想∠AOD的度数；

（3）猜想∠AOD和∠BOC的关系，并写出理由．

【答案】（1）解：因为，，所以

，又因为，所以

（2）解：因为，，，，所以

（3）解：由（1）知，由（2）知

，故由（1），（2）可猜想：

【解析】【分析】（1）由题意可得∠BOC+∠AOC=，则∠AOC=-∠BOC，由角的构成可得∠AOD=+∠AOC即可求解；

（2）由图知，∠COD+∠BOC+∠AOB+∠AOD=，把∠COD、∠BOC、∠AOB代入计算即可求解；

（3）由（1）和（2）中求得的∠AOD和∠BOC的值即可计算求解。

6．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这

个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图1，若∠COD= ∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．

（1）如图1，已知∠AOB=70°，∠AOC=25°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD=________．

（2）如图2，已知∠AOB=60°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度口(0

（3）已知∠AOB=30°，把一块含有30°角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点O以3度／秒的速度按顺时针方向旋转(如图4)，问：在旋转一周的过程中，射线OA，OB，OC，OD 能否构成内半角，若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由．

【答案】（1）10°

（2）解：∵∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度口(0

∴∠AOB=∠COD=60°

∴∠AOC=∠BOD=a

∴a+∠COB=60°

∵∠COB是∠AOD的内半角

∴∠COB=∠AOD

∴2∠COB=∠COB+2a

∴∠COB=2a

∴a+2a=60°

解之：a=20°

即当旋转的角度a为20°时，∠COB是∠AOD的内半角。

（3）解：在旋转一周的过程中，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角，

理由：设按顺时针方向旋转一个角度α，旋转的时间为t

如图1

∵∠BOC是∠AOD的内半角，∠AOC=∠BOD=α

∴∠AOD=30°+α，∠BOC=∠AOD=30°-α

∴（30°+α）=30°-α

解之：α=10°

∴t=s；

如图2

∵∠BOC是∠AOD的内半角，∠AOC=∠BOD=α

∴∠AOD=30°+α，∠BOC=∠AOD=α-30°

∴（30°+α）=α-30°

解之：α=90°

∴t==30s；

如图3

∵∠AOD是∠BOC的内半角，∠AOC=∠BOD=360°-α

∴∠BOC=360°+30°-α，∠AOD=∠BOC=360°-α-30°

∴（360°+30°-α）=360°-α-30°

解之：α=330°

∴t==110s；

如图4

∵∠AOD是∠BOC的内半角，∠AOC=∠BOD=360°-α

∴∠BOC=360°+30°-α，

∴（360°+30°-α）=30°+30°-（360°+30°-α）

解之：α=350°

∴t=s；

综上所述，当旋转的时间为s或30s或110s或s时，射线OA，OB，OC，OD能构成内半角。

【解析】【解答】解：（1）∵∠AOB=70°，∠AOC=25°

∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=70°-25°=45°，

∵∠COD是∠AOB的内半角，

∴∠COD=∠AOB=×70°=35°

∴∠BOD=∠COB-∠COD=45°-35°=10°

故答案为：10°

【分析】（1）由题意可求出∠BOC的度数，再根据∠COD是∠AOB的内半角，就可求出∠COD的度数，然后利用∠BOD=∠COB-∠COD，可求解。

（2）利用旋转的性质，可证得∠AOC=∠BOD=a，再由∠COB是∠AOD的内半角，可得到

∠COB=∠AOD，就可得到∠COB=2a，然后根据a+∠COB=60°，就可求出旋转角的度数。（3）分情况讨论，分别画出图形，设按顺时针方向旋转一个角度α，旋转的时间为t，根据图1可得到∠AOC=∠BOD=α，根据内半角的定义，可得到∠AOD=30°+α，

∠BOC=∠AOD=30°-α，再建立关于α的方程，就可求出α和t的值；由图2由

∠BOC=∠AOD=α-30°及∠AOD=30°+α，建立方程求出α和t的值即可；根据图3，利用内

半角的定义，可知∠AOD是∠BOC的内半角，∠BOC=360°+30°-α，∠AOD=∠BOC=360°-α-30°，建立关于α的方程，求出α和t的值；如图4，利用内半角的定义，建立关于α的方程，求出α的值，再求出t的值即可。

7．如图，，，，把绕O点以每秒的速度顺时针方向旋转，同时绕O点以每秒的速度逆时针方向旋转设旋转后的两个角分别记为、，旋转时间为t秒 .

（1）当秒时， ________ ；

（2）若射线与重合时，求t的值；

（3）若射线恰好平分时，求t的值；

（4）在整个旋转过程中，有________秒小于或等于？直接写出结论

【答案】（1）

（2）解：当射线与重合时，得方程

解得

故旋转时间为10秒时，射线与重合.

（3）解：当射线恰好平分时，即、两个角重合部分为

得方程

即 ,

故时间t为秒时，射线恰好平分

（4）

【解析】【解答】解：（1）由题意知，

当时，

故答案为 .

（ 4 ）当时，分与重合前与与重合后两个时刻，即

① 与重合前，，则

得

② 与重合后，，则

得

在旋转过程中，当时，，即

故整个旋转过程中，有秒小于或等于 .

【分析】（1）根据题意可知，代入t的值即可求解；（2）该情况相当于行程问题中的相遇问题，射线与重合时，与旋转的角度之和等于，得方程，解方程即可；③ ，当射线恰好平分时，也就是两个角旋转重合部分为，所以得方程

，解方程即可；（4）求两个临界点的时间差即可，即时的时间t，与重合前，与重合后，两个时间差之内，小于或等于 .

8．将一副直角三角板按如图1摆放在直线AD上直角三角板OBC和直角三角板MON，，，，，保持三角板OBC不动，

将三角板MON绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转t秒

（1）如图2， ________度用含t的式子表示；

（2）在旋转的过程中，是否存在t的值，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.

（3）直线AD的位置不变，若在三角板MON开始顺时针旋转的同时，另一个三角板OBC 也绕点O以每秒的速度顺时针旋转.

①当 ________秒时，；

②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系关系式中不能含

.________

【答案】（1）90﹣8t.

（2）解：当MO在∠BOC内部时，即t 时，根据题意得：

90﹣8t=4（45﹣8t）

解得：t ；

当MO在∠BOC外部时，即t 时，根据题意得：

90﹣8t=4（8t﹣45）

解得：t .

综上所述：t 或t .

（3）5或10；解：∵∠NOD=90﹣8t，∠BOM=6t，∴3∠NOD+4∠BOM=3（90﹣8t）+4×6t=270°. 即3∠NOD+4∠BOM=270°.

【解析】【解答】解:（1）∠NOD一开始为90°，然后每秒减少8°，因此∠NOD=90﹣8t.

故答案为：90﹣8t.

（ 3 ）①当MO在∠BOC内部时，即t 时，根据题意得：

8t﹣2t=30

解得：t=5；

当MO在∠BOC外部时，即t 时，根据题意得：

8t﹣2t=60

解得：t=10.

故答案为：5或10.

【分析】（1）把旋转前∠NOD的大小减去旋转的度数就是旋转后的∠NOD的大小.（2）相对MO与CO的位置有两种情况，所以要分类讨论，然后根据∠NOD=4∠COM建立关于t 的方程即可.（3）①其实是一个追赶问题，分MO没有追上CO与MO超过CO两种情况，然后分别列方程即可.

②分别用t的代数式表示∠NOD和∠BOM，然后消去t即可得出它们的关系.

9．已知，如图1，∠AOB和∠COD共顶点O，OB和OD重合，OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB＝α，∠COD＝β.

（1）如图2，若α＝90°，β＝30°，则∠MON＝________；

（2）若将∠COD绕O逆时针旋转至图3的位置，求∠MON；(用α，β表示)

（3）如图4，若α＝2β，∠COD绕O逆时针旋转，转速为3°/秒，∠AOB绕O同时逆时针旋转，转速为1°/秒(转到OC与OA共线时停止运动)，且OE平分∠BOD，请判断∠COE与∠AOD的数量关系并说明理由.

【答案】（1）60°

（2）解：设∠BOD＝γ，

∵∠MOD＝＝，∠NOB＝＝，

∴∠MON＝∠MOD＋∠NOB－∠DOB＝＋－γ＝

（3）解：为定值 .

设运动时间为t秒，则∠DOB＝3t－t＝2t，∠DOE＝∠DOB＝t，

∴∠COE＝β＋t，∠AOD＝α＋2t，

又∵α＝2β，

∴∠AOD＝2β＋2t＝2(β＋t)，

∴＝

【解析】【解答】（1）解：∵OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB=α，∠COD=β，α=90゜，β=30゜，

∴∠MON= α+ β=60°，

故答案为：60°

【分析】（1）利用角平分线的性质即可得出∠MON= ∠AOD+ ∠BOC，进而求出即可；

（2）设∠BOD=γ，而∠MOD= = ，∠NOB= = ，进而得出即可；（3）利用已知表示出∠COE和∠AOD，进而得出答案.

10．如图，EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，点在AC边上，且∠1=∠2= ．

（1）求证：EF∥CD；

（2）若∠AGD=65°，试求∠DCG的度数.

【答案】（1）证明：∵EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，

∴∠BFE=∠BDC=90°，

∴EF∥CD.

（2）解：∵EF∥CD，

∴∠2=∠DCE=50°，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠DCE,

∴DG∥BC，

∴∠AGD=∠ACB=65°，

∴∠DCG=

【解析】【分析】（1）由垂直的定义，可求得∠BFE=∠CDF=90°，可证明EF∥CD；

（2）利用（1）的结论，结合条件可证明DG∥BC，利用平行线的性质可得∠AGD=∠ACB= ，则∠DCG=∠ACB-∠2即可求得．

11．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方.

（1）将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图，使一边在的内部，且恰好平分，问：此时直线是否平分？请直接写出结论：直线 ________（平分或不平分） .

（2）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为________.（直接写出结果）

（3）将图1中的三角板绕点顺时针旋转，请探究：当始终在的内部时（如图3），与的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明.

【答案】（1）平分

（2）或49

（3）解：不变，设，

，，

【解析】【解答】（1）直线平分；（2）或

【分析】（1）根据图形得到直线ON平分∠AOC ；（2）由三角板绕点 O 以每秒 5 °的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，求出t的值；（3）根据题意得到∠AON=50°?y，∠AOM?∠NOC=x?y=40°.

12．如图1， .如图2，点分别是上的点，且， .

（1）求证： F；

（2）若的角平分线与的角平分线交于点，请补全图形并直接写出与之间的关系为________.

【答案】（1）证明：如图,延长EH，交CD的延长线与M，

（2）∠BFE=2∠P.

【解析】【解答】解:（2）结论：∠BFE=2∠P，理由如下：

如图，设∠B=∠HEF=y.∠BFE=x

=

，

故答案为：∠BFE=2∠P.

【分析】（1）延长EH，交CD的延长线与M，根据平行线的性质及等量代换即可证明；

（2）设∠B=∠HEF=y，∠BFE=x，根据平行的性质结合三角形的内角和定理得出

∠BFE=2∠P.

13．如图1，点是第二象限内一点, 轴于，且是轴正半轴上一点，是x轴负半轴上一点，且 .

（1）（________），（________）

（2）如图2，设为线段上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点 ,求的度数: (注: 三角形三个内角的和为 )

（3）如图3,当点在线段上运动时，作交于的平分线交于 ,当点在运动的过程中，的大小是否变化?若不变，求出其值;若变化，请说明理由.

【答案】（1）-2,0；0,3

（2）解：如图，作DM∥x轴

根据题意，设∠ADP=∠OAP=x，∠EAF=∠CAF=∠OAP=y，

∵∠CAD=90°，

∴∠CAE+∠OAD=90°，

∴2y+∠OAD=90°，

∴∠OAD=90°-2y，

∵DM∥x轴，

∴∠OAD+∠ADM=180°，

∴90-2y+2x+90°=180°，

∴x=y，

∴∠APD=180°-(∠PAD+∠ADP)=180°-(y+90°-2y+x)=180°-90°=90°

（3）解：∠N的大小不变，∠N=45°

理由：如图，过D作DE∥BC，过N作NF∥BC.

∵BC∥x轴，

∴DE∥BC∥x轴，NF∥BC∥x轴，

∴∠EDM=∠BMD，∠EDA=∠OAD，

∵DM⊥AD，

∴∠ADM=90°，

∴∠BMD+∠OAD=∠EDM+∠EDA=∠ADM=90°，

∵MN平分∠BMD，AN平分∠DAO，

∴∠BMN= ∠BMD，∠OAN= ∠OAD，

∴∠ANM=∠BMN+∠OAN= ∠BMD+ ∠OAD

= ×90°=45°.

【解析】【解答】解：（1）由，可得和，

解得

∴A的坐标是（-2,0）、B的坐标是（0,3）；

故答案为：-2,0；0,3；

【分析】（1）利用非负数的和为零，各项分别为零，求出a，b的值；

（2）如图，作DM∥x轴，结合题意可设∠ADP=∠OAP=x，∠EAF=∠CAF=∠OAP=y，根据平角的定义可知∠OAD=90°-2y，由平行线的性质可得∠OAD+∠ADM=180°，即90-2y+2x+90°=180°，进而可得出x=y，再结合图形即可得出∠APD的度数；

（3）∠N的大小不变，∠N=45°，如图，过D作DE∥BC，过N作NF∥BC，根据平行线的性质可知∠BMD+∠OAD=∠ADM=90°，然后根据角平分线的定义和平行线的性质，可得

∠ANM= ∠BMD+ ∠OAD，据此即可得到结论.

14．如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°.

（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，在（1）的结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD.当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；（3）如图3，在（1）的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时（点C除外），∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？直接写出结论，其数量关系为________.

【答案】（1）解：AB∥CD；理由如下：

∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，

∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，

∵∠EAC＋∠ACE＝90°，

∴∠BAC＋∠ACD＝180°，

∴AB∥CD

（2）解：∠BAE＋∠MCD＝90°；理由如下：

过E作EF∥AB，如图2所示：

∵AB∥CD，

∴EF∥AB∥CD，

∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，

∵∠AEC＝90°，

∴∠BAE＋∠ECD＝90°，

∵∠MCE＝∠ECD

∴∠ECD＝∠MCD

∴∠BAE＋∠MCD＝90°