人教版高中数学必修4知识点总结归纳

高中数学必修4知识点

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正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角

2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．

第一象限角的集合为{}

36036090,k k k αα?<

第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<

终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z

3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z

4、已知α是第几象限角，确定

()*

n n

α

∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为

n

α

终边所落在的区域． 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l

r

α=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π

=

，180157.3π??=≈ ???

． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，

则l r α=，2C r l =+，211

22

S lr r α==．

9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()

0r r =>，则sin y r α=

，cos x r α=，()tan 0y

x x

α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=

()2

222sin

1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()

sin 2tan cos α

αα

= sin sin tan cos ,cos tan αααααα?

?== ??

?．

13、三角函数的诱导公式：

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

()5sin cos 2π

αα??-=

???，cos sin 2παα??

-= ???

． ()6sin cos 2π

αα??+=

???，cos sin 2παα??

+=- ???

． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移?个单位长度，得到函数

()sin y x ?=+的图象；再将函数()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不

变），得到函数()sin y x ω?=A +的图象．

函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1

ω

倍（纵坐标不变），得到函数

sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移

?

ω

个单位长度，得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数

()sin y x ω?=A +的图象．

函数()()sin 0,0y x ω?ω=A +A >>的性质：

①振幅：A ；②周期：2π

ω

T =

；③频率：12f ω

π

=

=

T ；④相位：x ω?+；⑤初相：?．

函数()sin y x ω?=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =

-，()

max min 12y y B =+，()21122

x x x x T

=-<． 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

sin y x =

cos y x = tan y x =

图象

定义域 R R

,2x x k k ππ??≠+∈Z ????

值域

[]1,1- []1,1-

R

函

数 性

质

最值当2

2

x k

π

π

=+()

k∈Z

时，

max

1

y=；当

2

2

x k

π

π

=-

()

k∈Z时，

min

1

y=-．

当()

2

x k k

π

=∈Z时，

max

1

y=；当2

x kππ

=+

()

k∈Z时，

min

1

y=-．

既无最大值也无最小

值

周

期

性

2π2ππ

奇

偶

性

奇函数偶函数奇函数

单调性在2,2

22

k k

ππ

ππ

??

-+

??

??

()

k∈Z上是增函数；在

3

2,2

22

k k

ππ

ππ

??

++

??

??

()

k∈Z上是减函数．

在[]()

2,2

k k k

πππ

-∈Z

上是增函数；在

[]

2,2

k k

πππ

+

()

k∈Z上是减函数．

在,

22

k k

ππ

ππ

??

-+

?

??

()

k∈Z上是增函数．

对称性对称中心

()()

,0

k k

π∈Z

对称轴

()

2

x k k

π

π

=+∈Z

对称中心

()

,0

2

k k

π

π

??

+∈Z

?

??

对称轴()

x k k

π

=∈Z

对称中心

()

,0

2

k

k

π

??

∈Z

?

??

无对称轴

16、向量：既有大小，又有方向的量．

数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度．

零向量：长度为0的向量．

单位向量：长度等于1个单位的向量．

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．

相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶

三角形不等式：

a b a b a b -≤+≤+．

⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()

a b c a b c ++=++；③

00a a a +=+=．

⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算：

⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①

a a λλ=；

②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当

0λ=时，0a λ=．

⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()

a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．

20、向量共线定理：向量()

0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．

设()11,a x y =，()22,b x y =，

其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()

0b b ≠共线．

21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面的两个不共线向量，那么对于这一平面的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面所有向量的一组基底）

b

a

C

B

A

a b C C -=A -AB =B

22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ

λ++??

?++??． 23、平面向量的数量积：

⑴()cos 0,0,0180

a b a b a b θθ?=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??=．②当a 与b 同向时，

a b a b ?=；当a 与b 反向时，a b a b ?=-；2

2

a a a a ?==或a a a =?．③a

b a b ?≤． ⑶运算律：①a b b a ?=?；②()()()

a b a b a b λλλ?=?=?；③()

a b c a c b c +?=?+?． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ?=+． 若(),a x y =，则2

2

2

a x y =+，或2a x y =

+

设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥?+=． 设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，

θ是a 与b 的夹角，则

12

1

cos a b a b

x θ?=

=

+．

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

--=

+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；

⑹()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

++=

-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=． ⑵

2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα

=-=-=-（

2cos 21

cos 2

αα+=

，