质因数和分解质因数的特征

质因数和分解质因数的特征

质因数和分解质因数的特征

质因数是数学中一个重要而基础的概念，质因数分解则是数论中一个重要的方法和思想。质因数与分解质因数的特征可以说明它们的重要性和应用价值。本文将从质因数和分解质因数的定义、性质和应用等方面来阐述它们的特征。

一、质因数

1.定义：为了说明质因数，我们先定义因子的概念。某一数 a 能够被另一个数 b 整除，则称 b 是 a 的因子，而 a 是 b 的倍数，如24 = 2 × 2 × 2 × 3 。其中，2 和 3 就是因子，24 是倍数。质因数又称素数，指在自然数中，只有 1 和它本身两个因数的自然数叫做质数。例如，2、3、5、7、11、13、17、19等都是质数。其中，1 既不是质数也不是合数。

2.性质：质因数具有以下几个性质：（1）只有质数才有质因数，合数不是质因数。（2）任何一个数都可以被唯一分解成若干个质因子之积。（3）如果一个数 a 的某一个因子 d 是质数，则称该质数 d 是 a 的质因数。

二、分解质因数

1.定义：在数论中，质因数分解（prime factorization）、因数分解（factorization）或唯一分解定理（unique factorization theorem）是指将一个正整数分解成若干个质因数的积的过程，也称作素因数和分解。

2.性质：分解质因数具有以下几个性质：（1）若

a 是质数，则 a 的质因数分解是 a 本身。（2）若 a 是合数，则 a 的质因数分解可以由其所有质因数的乘积得到，此时每个质因数只取一次，即唯一分解定理。

（3）分解质因数的意义在于，能帮助我们找到一个数分解的质因数，从而更好地了解其性质、特征和规律。

三、应用

1.在数学中，质因数和分解质因数有着广泛而重要的应用。它们能帮助我们：（1）解决一些有趣和重要的数论问题，如哥德巴赫猜想和费马大定理等。（2）分解出多个数的公因数和最小公倍数，例如：若

a = 2 × 2 × 5 × 7 × 11，

b = 2 × 5 × 5 × 7 × 13，

c = 3 × 3 × 7 × 11 × 13 则

gcd(a,b,c) = 5 × 7。（3）破解密码和数据加密，目前的所有加密算法都是基于质数的加密算法。（4）在算法和数据结构中也有着广泛的应用，例如欧几里得算法和图论中的连通性等。

2.在实际生活中，质因数和分解质因数也有着许多应用。（1）求出一些经济和商业问题中的最小公倍数和最大公约数，例如制造业中的生产线调度等；（2）将不规则的汽车和火车定员问题转化为整数划分和背包问题，从而更好地解决了交通运输的问题；（3）在计算机领域，分解税收、财产评估等复杂的数据，能在很快的时间内得到结果。

综上所述，质因数和分解质因数都是数论中重要而基础的概念，具有着广泛而重要的应用。其主要特征在于能够分解出一个数的所有质因子，从而更好地了解其性质、特征和规律。而在实际生活中，质因数和分解质因数也有着许多应用，能够解决一些现实生活中的问题。

分解质因数

172.质数、质因数和互质数有什么区别？ 质数、质因数和互质数这三个术语的概念极易混淆，因为它们都有“质”和“数”两个字。正确地区分这几个概念，对掌握数的整除性这部分基础知识，有着极其重要的意义。 （1）质数：一个自然数，如果只有1和它本身两个约数，这个数叫做质数（也称素数）。 例如： 1的约数有：1； 2的约数有：1，2； 3的约数有：1，3； 4的约数有：1，2，4； 6的约数有：1，2，3，6； 7的约数有：1，7； 12的约数有：1，2，3，4，6，12； …… 从上面各数的约数个数中可以看到：一个自然数的约数个数有三种情况： ①只有一个约数的，如1。因此，1不是质数，也不是合数。 ②只有两个约数的（1和它本身），如2，3，7…… ③有两个以上约数的，如4，6，12…… 属于第②种情况的，叫做质数。属于第③种情况的，即：除了1和本身以外，还有别的约数，这样的数叫做合数。 （2）质因数：一般地说，一个数的因数是质数，就叫做这个数的质因数。 例如：18=2×3×3 这里的2、3、3都是18的因数，而2和3本身又都是质数，于是我们就把2、3、3叫做18的质因数。这里需要注意的是：18也可以写成3与6的乘积，即：18=3×6，无疑3和6都是18的因数，但3本身是质数，可以称做18的质因数，而6是合数，则不能称做18的质因数。

（3）互质数：两个或几个自然数，当它们的最大公约数是1的时候，这两个或几个数，就叫做互质数（也叫互素数）。 例如：5和7，4和11，8和9，7、11和15，12、20和35……。 上述这几组数，它们的最大公约数都是1，因此，它们都是互质数。在以上两个互质数中，如7、11和15这三个数，7和11是互质数，11和15是互质数，7和15也是互质数。这类情况，我们就叫做这三个数“两两互质”。但12、20和35这组数中，虽然它们也是互质数，但不是两两互质，因为12和35是互质数，至于12和20、20和35都不是互质数。 需要注意的是：不管两个数互质或者两个的数以上互质，这些数本身却不一定是质数，如5和7是互质数，它们本身都是质数；4和11是互质数，其中4并不是质数；8和9是互质数，但8和9本身都不是质数。 总之，质数是指一个数。譬如说：“2是质数，11是质数”等等。质因数虽然也是指一个数，但是它是针对另一个数而说的。譬如说：“5是35的质因数。”如果离开35，孤立地说：“5是质因数。”则是不妥当的。因此，质因数具有双重身份：第一必须是个质数；第二必须是另一个数的因数。 互质数同质数、质因数都不同，它不是指一个数，而是指除了1以外，再没有其他公约数的两个或两个以上的数。 由此可见：掌握质数、质因数和互质数这几个术语的概念，其中质数是基础，这三者之间既有联系，又有区别，要透彻理解和正确区分，才能防止混淆。 小学应用题解题方法之三十一---分解质因数法 一、分解质因数法 通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数，来解答应用题的解题方法叫做分解质因数法。 分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。 例1 一块正方体木块，体积是1331立方厘米。这块正方体木块的棱长是多少厘米？（适于六年级程度） 解：把1331分解质因数： 1331=11×11×11 答：这块正方体木块的棱长是11厘米。

五年级 第2讲 分解质因数(教师版)【修订版1.0】

第2讲 分解质因数 一、教学目标 1.掌握质因数及分解定义． 2.学习短除法分解质因数． 3.利用分解质因数解决实际问题． 二、知识要点 1.定义： 质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数． 互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数． 2.分解质因数： 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数． 例如：30235=??．其中2、3、5叫做30的质因数．又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数．分解质因数往往是解数论题目的突破口，可以帮助我们分析数字的特征． 3.短除法： 短除符号与除式倒过来的符号十分相似，待分解的数放在被除数位置，除数位置放能整除待分解数的一个质数，一直除到商是质数为止．格式如图： ↓被除数待分解 2 24 2 12 2 6 3 2 36 2 18 3 9 3

4.特殊数分解 =?；10101371337 =???． =??；1000173137 =?；100171113 111337 2017=______×______；2018=______×______； 2019=______×______×______×______． 三、例题精选 【例1】对以下数进行质因数分解． （1）51=_______×_______ （2）87=_______×_______ （3）3528=______×______×______×______×______×______×______ 【★★★★★】 【解析】51=3×17，87=3×29，3528=2×2×2×3×3×7×7． 【巩固1】对以下数进行质因数分解． （1）57=_______×_______ （2）91=_______×_______ （3）1764=______×______×______×______×______×______ 【★★★★★】 【解析】57=3×19，91=7×13，1764=2×2×3×3×7×7． 【例2】如果两个自然数的和与差的积是23，那么这两个自然数分别是多少？【★★★★★】 【解析】11和12．因为23是一个质数，23=1×23，故这连个自然数的和应为23，差应为1。利用和差问题可得这两个数分别为11和12。 【巩固2】两个连续奇数的乘积是111555，这两个奇数之和是多少？ 【★★★★★】 【解析】668．将111555分解，可得：111555=3×3×5×37×67=（3×3×37）×（5×67）=333×335，则两奇数和为333+335=668． 【例3】大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大2岁，他们四个人年龄的乘积是48384．问他们四个人的年龄各是几岁？ 【★★★★★】 【解析】12岁、14岁、16岁、18岁． 因为四个数一个比一个大2，并且积是偶数，所以四个数都是偶数，又 48384个位数不是0，故这四个数中没有个位是0的数，所以四个数的

质数合数分解质因数

(七)质数合数分解质因数 闵识要点］ 若a能被b養除，b就是a的约数。 1. 质数与合数 自然数按其约数的个数可以分成三类： ⑴单位1:只含有1这一个约数的自然数。 ⑵质数(也称为素数)：只含有1与它本身这两个约数的自然数。 (质数有无穷多个，不存在最大的质数，但有最小的质数2,而且2履质数中唯一的偶数。100之内有25个质数。) (3)合数：含有三个或三个以上约数的自然数。 2. 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 如：12 = 2X2X3；70 = 2X5X7; 126 = 2X3X3X7; ............................ 若校大的自然数要进行分解质因数往往用短除法。 练习：把21六、107八、504()写成质因数连乘的形式： 例 1 ：a、b、c 是质数，c 是一名数，且aXb+c=1993o 那么a+b+c=( ) 。 例2:用一.二、3、4、五、六、7、八、9这九个数字组成质数, 若是每一个数字都要用到，而且只能用一次，那么这九个数字最多能1

组成多少个质数? 例3: 1500的约数有（）个。这些约数的和是（）。 例4:有8个不同约数的自然数中，最小的一个是（）。 例5: 504乘以一个自然数a,取得一个平方数，求a的最小值和这个平方数。 练习： 1.36（）的约数有 __ 个，这些约数的和是________ 。 2.找出1992所有不同的的质因数，它们的和是 ______ o 3.若a、b、c、d是四个互不相等的自然数，且aXbXcXd= 1988, 那么a+b+c+d的最大值是 ______ 。 2

第二节 质数、合数和分解(1)

第二节质数、合数和分解质因数 第1课时 教学内容：质数、合数和分解质因数 教学目标：1、掌握质数、合数和分解质因数的基本知识，会判断一个数是质数还是合数； 2、能对一个合数进行质因数分解并用标准式表示； 3、能解决一些实际问题。 教学重难点：质数的判定方法和解决实际问题。 教学过程： 一、基本概念和知识 1.质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 判断一个数是质数还是合数的常用方法： 对于一个自然数N，先找到一个自然数 A，使得A2略大于或等于N，再用A以内的所有质数去试除N，若有质数能整除N，则N是合数；若没有质数能整除N，则N是质数。 要特别记住：1不是质数，也不是合数。 2.质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例：把30分解质因数。 分解质因数的方法可用短除法或直接法分解。 30＝2×3×5。 其中2、3、5叫做30的质因数。 又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。 在分解质因数时把相同的质因数相乘用乘方的形式写出来，这种书写形式叫做分解质因数的标准式。 如12=22×3就是把12分解质因数的标准式。 二、例题讲解 例1：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 解：∵210=2×3×5×7 ∴可知这三个数是5、6和7。

例2：两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17+23=11＋29=3+37。 ∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。 ∴所求的最大值是391。 答：这两个质数的最大乘积是391。 例3：连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？ 解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。 如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数。这样，至多另4个奇数都是质数。 综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。 例4：写出10个连续的自然数，个个都是合数。 解：设a=2×3×4×…×10×11，则2～11的任意自然数都能整除a，根据整除的和差性质，a＋2, a＋3, a＋4,…, a＋11能分别被2、3、4、…、11整除。即a＋2, a＋3, a＋4,…, a＋11为10个连续自然数，且个个是合数。 三、练习 1、边长为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有多少种？ 2、两个质数的和是99，求这两个质数的乘积是多少？ 3、如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是多少？ 4、找出1992所有的不同质因数,它们的和是多少？

质因数与分解质因数

一、基本知识 1.质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。 将一个合数分解为若干质数的乘积称为分解质因数，此时分解式中因数称质因数。 例如：24=2×2×2×3，75=3×5×5。 二、第一组例题与练习 例题1把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。一共有多少种不同的分法？ 分析先把18分解质因数：18=2×3×3，可以看出：18的约数是1、2、3、6、9、18，除去1和18，还有4个约数，所以，一共有4种不同的分法。 练习一 1.有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多于15人。有哪几种分法？ 2.195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，共有几种排法？ 3.甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙两数分别是多少。 例题2有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。共有多少种分法？ 分析先把168分解质因数，168=2×2×2×3×7，由于每份不得少于10颗，也不能多于50颗，所以，每份有2×2×3=12颗，2×7=14颗，3×7=21颗， 2×2×2×3=24颗，2×3×7=42颗，共有5种分法。 练习二 1.把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组，每小组人数在10至25人之间，求每组的人数及分成的组数。 2.四个连续奇数的和是19305，这个四奇数分别是多少？

3.把1、2、3、4、5、6、7、8、9九张卡片分给甲、乙、丙三人，每人各3张。甲说：“我的三个数的积是48。”乙说：“我的三个数的和是16。”丙说：“我的三个数的积是63。”甲、乙、丙各拿了哪几张卡片？ 例题3将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。 2、5、14、24、27、55、56、99 分析 14=2×755=5×11 24=2×2×2×356=2×2×2×7 27=3×3×399=3×3×11 可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个3，二个5，二个7和二个11。因为要把这八个数分成两组，且积相等，所以，每组数中应含有四个2，三个3，一个5，一个7和一个11。经排列为（5、99、24、14）和（55、27、56、2）。 练习三 1.下面四张小纸片各盖住一个数字，如果这四个数字是连续的偶数，请写出这个完整的算式。 □□×□□=1288 2.有三个自然数a、b、c，已知a×b=30，b×c=35，c×a=42，求a×b×c的积是多少？ 3.把40、45、63、65、78、99、105这八个数平分成两组，使两组四个数的乘积相等。 例题4王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组。如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？ 分析根据每人植树棵数×人数=539棵，把539分解质因数。539=7×7×11，如果每人植7棵，这个班就有7×11－1=76人；如果每人植树11棵，这个班共有7×7－1=48人。 练习四 1.3月12日是植树节，李老师带领同学们排成两路人数相等的纵队去植树。已知李老师和同学们每人植树的棵数相等，一共植了111棵树，求有多少个学生。

第二讲 质数、合数和分解质因数

第二讲质数、合数和分解质因数 一．基本概念和知识 1．质数和合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 要特别记住：1不是质数，也不是合数。 2．质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 二．例题 例1：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。 ∵210=2×3×5×7 ∴可知这三个数是5、6、7。 例2：两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17＋23=11＋29=3＋37

∵17×23==391＞11×29=319＞3×37=111， ∴所求的最大值是391。 例3：自然数123456789是质数，还是合数？为什么？ 解：123456789是合数。 因为它除了约数1和它本身，至少还有约数3，所以它是一个合数。 例4：连续9个自然数中至多有几个质数？为什么？ 解：如果这连续九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1~9中有4个质数2、3、5、7）。 如果这连续的九个自然数中最小的不小于13，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个。这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数。这样，至多另4个奇数都是质数。 综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。 例5：把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 解：∵5=5，7=7，6=2×3，14=2×7，15=3×5。 这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14（=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（=3

质因数和分解质因数的特征

质因数和分解质因数的特征 质因数和分解质因数的特征 质因数是数学中一个重要而基础的概念，质因数分解则是数论中一个重要的方法和思想。质因数与分解质因数的特征可以说明它们的重要性和应用价值。本文将从质因数和分解质因数的定义、性质和应用等方面来阐述它们的特征。 一、质因数 1.定义：为了说明质因数，我们先定义因子的概念。某一数 a 能够被另一个数 b 整除，则称 b 是 a 的因子，而 a 是 b 的倍数，如24 = 2 × 2 × 2 × 3 。其中，2 和 3 就是因子，24 是倍数。质因数又称素数，指在自然数中，只有 1 和它本身两个因数的自然数叫做质数。例如，2、3、5、7、11、13、17、19等都是质数。其中，1 既不是质数也不是合数。 2.性质：质因数具有以下几个性质：（1）只有质数才有质因数，合数不是质因数。（2）任何一个数都可以被唯一分解成若干个质因子之积。（3）如果一个数 a 的某一个因子 d 是质数，则称该质数 d 是 a 的质因数。 二、分解质因数

1.定义：在数论中，质因数分解（prime factorization）、因数分解（factorization）或唯一分解定理（unique factorization theorem）是指将一个正整数分解成若干个质因数的积的过程，也称作素因数和分解。 2.性质：分解质因数具有以下几个性质：（1）若 a 是质数，则 a 的质因数分解是 a 本身。（2）若 a 是合数，则 a 的质因数分解可以由其所有质因数的乘积得到，此时每个质因数只取一次，即唯一分解定理。 （3）分解质因数的意义在于，能帮助我们找到一个数分解的质因数，从而更好地了解其性质、特征和规律。 三、应用 1.在数学中，质因数和分解质因数有着广泛而重要的应用。它们能帮助我们：（1）解决一些有趣和重要的数论问题，如哥德巴赫猜想和费马大定理等。（2）分解出多个数的公因数和最小公倍数，例如：若 a = 2 × 2 × 5 × 7 × 11， b = 2 × 5 × 5 × 7 × 13， c = 3 × 3 × 7 × 11 × 13 则 gcd(a,b,c) = 5 × 7。（3）破解密码和数据加密，目前的所有加密算法都是基于质数的加密算法。（4）在算法和数据结构中也有着广泛的应用，例如欧几里得算法和图论中的连通性等。

质因数的性质

质因数的性质 什么是分解质因数 任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的分解质因数。分解质因数只针对合数。 分解质因数的方法 1、相乘法：写成几个质数相乘的形式（这些不重复的质数即为质因数），实际运算时可采用逐步分解的方式。如：36=2*2*3*3，运算时可逐步分解写成36=4*9=2*2*3*3或3*12=3*2*2*3。 2、短除法：从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。分解质因数的算式的叫短除法。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。如30=2×3×5。分解质因数只针对合数。 把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。 分解质因数只针对合数。（分解质因数也称分解素因数）求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。分解质因数的算式叫短除法，和除法的性质相似，还可以用来求多个数的公因式。 定理 不存在最大质数的证明：（使用反证法）

假设存在最大的质数为N，则所有的质数序列为：N1，N2，N3……N 设M=（N1×N2×N3×N4×……N）+1， 可以证明M不能被任何质数整除，得出M也是一个质数。 而M>N，与假设矛盾，故可证明不存在最大的质数。 什么是质因数 质数就是除去他自己和1不能被其他的数整除。合数与质数恰恰相反。如果两个数只有公约数1那么这两个数就是互质数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫做分解质因数。两个数相乘这两个数就是它们的积的因数一个数能够被另一数整除这个数就是另一数的倍数。

小学数学——分解质因数

小学数学——分解质因数 在自然数中，一个数除1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数．例如2，3，5，7，11，……都是质数．一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数．例如4，6，8，9，12，……都是合数． 1既不是质数，也不是合数．这样，自然数在按约数个数分类，可以分成：质数、合数和1． 偶数中只有2是质数，而且是所有质数中最小的一个．除2以外所有的偶数都是合数，除2以外所有的质数都是奇数． 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数．例如，因为70=2×5×7，所以2，5，7是70的质因数． 把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．例如， 60=2×2×3×5=22×3×5，把60这个合数用2×2×3×5或22×3×5的形式来表示，就是把60分解质因数． 例1两个质数的积是46，求这两个质数的和． 分析：两个质数的积是46，46是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，因此很容易得出另外的质数，从而问题得以解决．

解：因为46是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，另一质数46÷2=23，所以2与23的和为25． 例2用2，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？ 分析：首先考虑个位数字是几，如果个位数字是2或4，这样的三位数必能被2 整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是5，这样的三位数必能被5整除，这样的三位数也不会是质数，所以个位数字只能是3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是3的三位数为：243，423，253，523，453，543，最后根据质数的判断方法，得到所求的质数． 解：如果组成的三位数的个位数字是2、4、5时，这个数必能被2或5整除，因此个位数字只能是3，而个位数字是3的三位数有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，所以只有523是质数． 质数的判断方法是，当一个数比较小时，用定义直接判断，但这个数比较大时，通常采用查质数表，最好记住100以内的所有质数．在没有质数表的情况下，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除．如果能被其中某一个质数整除，就说明这个数是合数，如果除到商已比试除的质数小，还不能被这些质数中的任何一个整除，那么这个数一定是质数．

质因数与分解质因数

质因数与分解质因数 教学内容： 苏教版义务教育教科书《数学》五年级下册第38页例7、例8和“练一练”“你知道吗’’，第39～40页练习六第4～8题和“你知道吗”。 教学目标： 1．使学生认识质因数，知道合数能写成质因数相乘的形式，能把合数分解质因数；了解可以用短除法分解质因数。 2．使学生经历探索分解质因数的过程，理解分解质因数的方法，掌握分解质因数的技能，发展分析、推理等思维能力，进一步提升数感。 3．使学生主动参加探究活动，在探索分解质因数的过程中获得成功，相信自己能学会数学，产生学好数学的信心。 教学重点： 学会分解质因数。 教学难点： 认识分解质因数的过程。． 教学过程： 一、认识质因数 1．写出算式。 要求：你能把5和28分别写成两个数相乘的形式吗？自己写一写。 交流：你是怎样写的？(板书：5=1×528-1×2828=2×1428=4×7) 2．认识质因数。 引导：在这些算式中，哪些数是5的因数？哪些数是28的因数?5和28的这几个因数中，分别有哪些是质数？同桌互相说一说。 交流：能把你们的意见和大家分享吗？ 明确：在积是5的乘法算式中，1和5是5的因数，其中5是质数；在积是28的算式中，1和28、2和14，4和7都是28的因数，其中2和7是质数。像这样一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。（板书：质因数——一个数里是质数的因数） 3．强化认识。 追问：上面算式里，哪个数是哪个数的质因数？1为什么不是5的质因数?1、28、14和4为什么不是28的质因数？

强调：一个数的质因数要符合两个条件：它是这个数的因数；它又是质数。这时它就是这个数的质因数。比如5是5的因数，又是质数，所以5是5的质因数；2是28的因数，又是质数，所以2是28的质因数。 4．做练习六第4题。 让学生阅读习题，独立思考。 交流：你能回答这里两道题的问题吗？说说你的答案。追问：怎样的数才可以称作一个数的质因数？ 二、分解质因数 1．引入课题。 谈话：我们认识了质因数，就可以学习新的知识，学会新的本领，这就是分解质因数。（板书课题） 2．分解质因数。 出示例8，明确把30用质数相乘的形式表示出来。 让学生在课本上尝试表示，把30写成质数相乘的结果。 交流：把30写成质数相乘的形式可以怎样做？（根据交流板书，写成质数相乘的形式） 说明：把30写成质数相乘的形式，先写成质数2乘15；15是合数，把它写成质数3乘5，这时乘数全部是质数；就把30写成这几个质数相乘的形式：30-2×3×5。可见，要写成质数相乘的形式，可以把合数先写成质数和另一个数相乘的形式；如果另一个数是合数，再把这个合数写成质数和另一个数相乘的形式，直到分解成全部是质数相乘为止。像这样把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。（板书：分解质因数——把合数用质数相乘的形式表示）3．阅读“你知道吗”。 我们在上面是用逐次相乘的形式分解质因数的，人们在分解质因数时，经常用短除法。大家阅读“你知道吗”，看看你能不能明白短除法是怎样分解质因数的。 交流：能说说短除法是怎样分解质因数的吗？ 结合交流说明方法：每次用质数做除数，除到商是质数为止，再把每个除数和商写成连乘的形式。 说明：我们上面分解时，每次用质数乘一个数，直到所有乘数都是质数为止、，和用短除法的思考方法是相同的，只是用短除法分解质因数过程简便一些。

分解质因数的概念

分解质因数的概念 质因数分解，又称因式分解，是以某个自然数的乘积表达式等于该自 然数的分解过程，也可以称之为“根因数分解”。它是把一个自然数分 解成多个不同的质数的乘积，一般质因数分解的结果称之为“因式分解式”，也有人称其为“质数分解”。 一、什么是质因数分解？ 质因数分解，是把一个大的数字分解成多个小的数字的相乘结果，也 就是把一个大的数由它等于它的因数乘积来表示。它是把一个自然数 分解成多个不同的质数的乘积，如把35分解为：5＊7=35，5和7都是 质数，因此叫质因数分解。 二、质因数分解的好处 1、便于解决各种算术问题。把一个大的数字分解成多个小的数字，有 助于我们从数学角度对问题进行研究，甚至为算术问题提供解决方案。 2、降低难度。质因数分解可以把抽象的大数字转化为可操作的小数字，可以帮助我们减少算术的困难度，同时也有助于我们更加快速的计算 出正确的结果。

3、节省时间。质因数分解可以大大提高计算效率，比如对35进行质 因数分解，当然我们可以逐位相乘，但是根据惯例识别出质素5和7， 然后乘起来明显比逐位相乘要快得多。 4、培养思维。质因数分解可以锻炼我们的智力能力，比较分析数的类型及分解数，可以帮助培养孩子的辩证思维能力和空间思维能力。 三、如何快速进行质因数分解？ 1、从大到小，把每一位数都乘一遍，乘出正确的结果及时止步。 2、观察每一位数，发现有数字可以分出质数，分解质数，继续乘下去。 3、若有比较大的数，就分解位数最大的质数，绳进行逐步分解。 4、经验一：任何一个自然数除以2和3以外的质数都可以分解成质因数； 5、经验二：任何一个自然数都可以分解成小于等于它平方根的质因数 的乘积。 总之，质因数分解是一个智力活动，不要急躁，分析数字，仔细思考，就可以得出结果。虽然有经验，但是也要谨记这些经验，把它与自己 的实际操作结合起来，才能形成有用的思路，从而高效的解决问题， 而不会失误。

质因数和分解质因数的区别

姓名： 家长签字： 【学习目标】 1．理解质因数和分解质因数的意义。 2．掌握分解质因数的方法。 学习重点、难点 ∶ 【学习重点】理解质因数和分解质因数的意义。 【学习难点】掌握分解质因数的方法。 【课前自学 课中交流】 知识点一 质因数和分解质因数的意义。 例题导入：观察下面算式，你发现合数与质数之间可能存在什么样的关系？ 4=2×2 15=3×5 30=2×3×5 思路点拨 1、分析算式，理解意义。 2、质数、质因数与分解质因数的区别。 归纳总结 1、质因数：每个合数都是可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的质因数。 2、分解质因数：把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例题导入你能把30写成几个质因数连乘的形式？ 思路点拨 方法二用短除分解法。 2 30 --2是30的质因数，用2去除30，商是15。 3 15 --3是15的质因数，用3去除15，商是5。 5 --5是质数，分解结束。 哪种方法简单些啊？ 温馨小贴士：分解质因数时不能把质因数相乘写在等号左边，把合数写在右边。分解时除数和商都不能是1，因为1不是质数。

1、把下面各数分解质因数（分解质因数的方法）。 45 36 91 60 2、判断题（质数、合数、质因数、分解质因数的意义） （1）合数都是偶数，质数都是奇数。-------------------（）（2）两个质数相乘，积一定是合数。-------------------（）（3）7是质因数。------------------------------------（）（4）一个自然数，不是质数，就是合数。----------------（）（5）把24分解质因数是24=1×2×2×2×3.--------------（） 【课堂检测】 基础题 1、把下面各数填入相应的圈内。（质数、合数的意义） 1 97 26 79 48 245 1001 0 55 2 9876 奇数偶数质数合数

第35讲分解质因数

第35讲分解质因数 【培训提示】 1．知道分解质因数的一般方法。 2．会运用分解质因数的有关知识分析解答简单的相关问题。 运用分解质因数的有关知识解答数学问题，有着广泛的应用，我们常常把一些已知数分解质因数，以便于我们研究已知数与未知数之间的关系。另外我们要记住下面几点： (1)一个合数的约数个数，等于这个合数分解质因数后不同质因数的个数加1的连乘积。 (2)平方数分解质因数后，不同质因数的个数都是2的倍数；立方数分解质因数后，不同质因数的个数都是3的倍数。 【培训示例】 例1 两个数的和是l07，它们的乘积是1992，这两个数分别是多少? 例2小明是个中学生，他说：“这次考试(百分制)，我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数，结果是2910。”你能算出小明的名次、年龄与他的考试分数吗? 例3求1584的约数的个数。 例4 四个连续奇数的最小公倍数是6435，这四个数中最大的一个数是多少? 例5下面算式里，四张小纸片各盖住了一个数字，如果这四个数字互不相同，求这四个数字之和。

注：解题时，一定要审题清楚。如本题中35与57的积也是1995，但因为35的个位数与57的十位数相同，所以此解要舍去。 例6 1512乘以非零自然数a得到一个平方数，求a的最小值。 注：任何一个平方数，分解质因数后一定可以分成完全一样的两部分。即任何一个平方数分解质因数后，各个不同质因数的个数都是偶数。利用这种规律可以判断一个自然数是不是一个平方数。 例7 自然数30240的约数中有许多两位数，其中最大的一个是多少? 注：求30240的最大的两位数约数，直接去找难以下手，但可以反过来，从最大的两位数开始，通过对质因数的分析，逐一排除，最终找到符合要求的约数。 例8分别很久的两位老朋友相遇，其中一个说：他有三个孩子，他们的年龄的积是36，而他们的年龄和是相遇地点所在房子的窗户数；第二人说，他不能确定这几个孩子的年龄；于是第一人补充说他的第二、第三个孩子是双胞胎；第二人立刻说出了孩子的年龄，试问这三个孩子的年龄各是多少? 【培训检测】 练习三十五 1．相邻两个自然数的积是756，这两个自然数各是多少?

质因数与分解质数

质因数与分解质数

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质因数与分解质因数 教学内容：青岛版小学数学五年级上册第109页 教学目标： 1.在理解质数、合数、因数意义的基础上，理解质因数和分解质因数的意义。 2.会用塔式分解法和短除法把一个合数分解质因数。 3.在探究中培养学生观察、分析、比较、抽象、概括的能力，渗透由特殊到一般的数学思想。 4.通过数学活动，激起学生学习数学的兴趣，增强学习数学的自信心。 教学重难点 教学重点：理解质因数和分解质因数的意义 教学难点：掌握分解质因数的方法 教具、学具 教师准备：多媒体课件 教学过程 一、创设情境，提出问题 故事引入 1643年，来自欧洲的殖民者在美洲大陆田纳地区经历了一场恐怖：大量的蝉达到每公顷百万只，仿佛一夜之间从地底冒出，几个星期之后，又销声匿迹，事隔17年，这一现象再次出现，直到1991年，共出现22次，周期非常准确。科学家发现蝉的生命周期大都为质数，比如在北美洲北部地区周期为17年，而在北美洲南部地区周期为13年，为什么时17和13，而不是其他数字呢？科学家解释说，蝉进化的过程中选择质数为生命的周期，可以大大降低与天敌遭遇的概率。比如它的生命周期是12年，则与那些生命周期为1年、2年、3年、4年、6年、12年的天敌都可能遭遇，而使得种群生存受威胁。这是一个我们将要研究的原理，引出课题——质因数与分解质因数。 二、自主学习，小组探究 1. 游戏：我们先玩一个游戏，玩游戏之前要交代几条游戏规则： （1）把一个数写成两个数相乘或连乘的形式，连乘的因数越多得分越高； （2）只能用非零自然数； （3）不能用1。

小学数学六年级知识点：质数与合数(含答案)

小学数学六年级知识点：质数与合数 1.质数与合数 一个数除了l 和它本身，不再有别的约数，那么这个数叫做质数．比如2，3，7，37，…．一个数除了1和它本身，还有别的约数，那么这个数是合数．比如4，8，14，48，…．特别的：1既不是质数也不是合数． １００以内的质数有２５个：２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、 ２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、 ８３、８９、９７ ． 注意：两个质数中差为1的只有3-2 ；除2外，任何两个质数的差都是偶数。 2.质因数与分解质因数（算术基本定理） 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数．把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．比如：把42分解质因数应该是42=2×3×7，其中2，3，7是42的质因数．又如：35423=⨯ ，其中2和3都是54的质因数． 3.利用分解质因数求约数的个数 一般地，如果分解质因数有下列形式： 其中都是质因数，而是指数，即对应A 包含各个质因数的个数． ①那么A 的所有约数的个数为 比如：， 那么300的所有约数共有(2+1)(1+1)(2+1)=18个． ②那么A 的所有约数的和为()[],,ab a b a b = ③N 的约数的和为： ) ......1(.....)......1()...1(223222213121121k a k k k a a p p p p p p p p p p p ++++⨯⨯+++++⨯+++++ 4.质数，合数有下面常用的性质： ①1不是质数，也不是合数；2是惟一的偶质数． ②若质数p │ab ，则必有p │a 或p │b ． ③若正整a 、b 的积是质数p ，则必有a=p 或b=p ． ④算术基本定理：任意一个大于l 的整数N 能分解成K 个质因数的乘积，若不考虑质因数之间的顺序，则这种分解是惟一的，从而N 可以写成标准分解形式： k k p p p N α αα 2121= 其中k p p p <<21，i p 为质数，i a 为非负整数，(i ＝1，2，…k)．

因数与倍数重要知识点

因数及倍数"Ml识“ 这个合数质因数。 1.因数、倍数概念：如果a X b = c （ a、 b、c都是不为0整数）我们就说a和b都是c 因数c是a倍数也是b倍数。倍数租因数是相互依存。 2.一个数因数个数是有限，最小因数是1 , 最大因数是它本身。一个数倍数个数是无限, 最小倍数是它本身，没有最大倍数。 3.2、3、5倍数特征。 （1）2倍数特征：个位上是0、2、4、 6、8数，都是2倍数，是2倍数数叫做偶 数；不是2倍数数叫做奇数。 （2 ）3倍数特征：一个数各位数上和是3 借数这个数是3倍数。 （3）个位上是0、5数都是5倍数。 4.质数和合数。 （1）一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样数叫做质数（素数）。最小质数是2。 （2 ）一个数，除了1和它本身还有别因数，这样因数叫做合数。最小合数是4 ,合数至少有三个因数。 （3） I既不是质数，也不是合数。5.质因数和分解质因数。 （1）每个合数都可以写成儿个质数相乘形（2）把一个合数用质因数相乘形式表示出来，叫做分解质因数。例：3 0 =Z * 3 X； § 6.最大公因数和最小公倍数。 （1）儿个数公有因数，叫做这儿个数公因数，其中最大一个，叫做这儿个数最大公因数。（2 ）儿个数公有倍数，叫做这儿个数公倍数，其中最小一个，叫做这儿个数最小公倍数。7.互质数：公因数只有1两个数，叫做互质数。 8.100 以内质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、41、43、47、53、59、61、 67、71、73、79、83、89、93、97 9.13 倍数:26、39、52、65、78、91、104、117 17 倍数:34、51、68、85、102、119> 136、153