整式的乘法与因式分解(教师版)
整式的乘法与因式分解（学生加强版）
一．整式的乘法
【学习目标】
1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．
2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算. 【要点梳理】
要点一、单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合
应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系
数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 要点二、单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即()m a b c ma mb mc ++=++.
要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为
多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，
同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到
最简的结果.
要点三、多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.
要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2
x a x b x a b x ab ++=+++.
【加强版练习题】1
类型一、单项式与单项式相乘
1、 计算：
（1）(
)()1
21232n n x
y xy x z +??
-?-?- ???
（2）3
22
3
25(3)(6)()(4)a b b ab ab ab a -+----．
【答案与解析】 解：（1）(
)()1
21232n n x
y xy x z +??
-?-?- ???
()()()()12
1232n n
x x x y y z +????=-?-?-???? ???????
4
13n n x y z ++=-
（2）3
22
3
25(3)(6)()(4)a b
b ab ab ab a -+----
3222325936()16a b b a b ab ab a =+--
333333334536167a b a b a b a b =--=-．
【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果也应全都有，不能漏掉.注意运算顺
序，有同类项，必须合并.
类型二、单项式与多项式相乘
2、计算：
（1）(2)2(1)3(5)x x x x x x --+-- （2）2
3
2
2(32)3(21)a a a a a a +--+-+
【思路点拨】先单项式乘多项式去掉括号，然后移项、合并进行化简． 【答案与解析】
解：（1）(2)2(1)3(5)x x x x x x --+--
2(2)(2)(2)(3)(3)(5)x x x x x x x x =+-+-+-+-+--
2222222315411x x x x x x x x =----+=-+．
（2）2
3
2
2(32)3(21)a a a a a a +--+-+
2322232(2)(3)(3)2(3)()(3)a a a a a a a a =++-+-+-+--+-
3232326436333a a a a a a a a =+---+-=---．
【总结升华】（1）本题属于混合运算题，计算顺序仍然是先乘除、后加减，先去括号等．混合运算的结果有同类项的需合并，从而得到最简结果．（2）单项式与多项式的每一项都要相
乘，不能漏乘、多乘．（3）在确定积的每一项的符号时，一定要小心． 举一反三：
【变式】化简：x （x ﹣1）+2x （x+1）﹣3x （2x ﹣5）． 【答案】
解：原式=x 2
﹣x+2x 2
+2x ﹣6x 2
+15x
=﹣3x 2
+16x ．
3、先化简，再求值3a （2a 2﹣4a+3）﹣2a 2
（3a+4），其中a=﹣2．
【思路点拨】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可． 【答案与解析】
解：3a （2a 2
﹣4a+3）﹣2a 2
（3a+4）
=6a 3﹣12a 2+9a ﹣6a 3﹣8a 2
=﹣20a 2
+9a ，
当a=﹣2时，原式=﹣20×4﹣9×2=﹣98． 【总结升华】本题考查了单项式乘以多项式以及整式的化简求值．整式的化简求值实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点． 举一反三：
【变式】若20x y +=，求3
3
2()4x xy x y y +++的值． 【答案】
解：3
3
2()4x xy x y y +++
3223224x x y xy y =+++ 22(2)2(2)x x y y x y =+++，
当20x y +=时，原式＝220020x y +=．
类型三、多项式与多项式相乘
4、若多项式21ax bx ++与2231x x -+的积不含3
x 项，也不含x 项，求a 和b 的值． 【思路点拨】缺项就是多项式中此项的系数为零，此题中不含3x 和x 项，也就是3
x 和x 项的系数为0，由此得方程组求解． 【答案与解析】
解：2
2
(1)(231)ax bx x x ++-+
4323222323231ax ax ax bx bx bx x x =-++-++-+ 4322(32)(32)(3)1ax a b x a b x b x =+-++-++-+
∵ 乘积中不含3
x 和x 项．
∴ 32030a b b -+=??
-=?，解得2
3
a b =??=?．
【总结升华】解此类问题的常规思路是：将两个多项式乘法依据乘法法则展开，合并同类项，
再根据题意由某些项的系数为零，通过解方程（组）求解． 举一反三：
【变式】在()()
22231x ax b x x ++-- 的积中，3x 项的系数是－5，2
x 项的系数是－6，求a 、b ．
【答案】
解：()()
22231x ax b x x ++--
因为3x 项的系数是－5，2
x 项的系数是－6，
所以235a -=-，2316b a --=-，解得14a b =-=-，.
二．因式分解（加强学习）
1.提公因式法
【学习目标】
1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；
2． 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式. 【要点梳理】
要点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，
而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒
等变形，而整式乘法是一种运算.
要点二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数
的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
要点三、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式
m ，另一个因式是
，即，而正好是
除以m 所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即
.
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的
第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和
为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
【加强版练习题】2
类型一、因式分解的概念
1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由．
（1）()a x y ax ay +=+；
（2）2
2
21(2)(1)(1)x xy y x x y y y ++-=+++-； （3）24(2)(2)ax a a x x -=+-； （4）
2211
22
ab a b =； （5）2
22112a a a a ??++=+ ???
．
【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断. 【答案与解析】
解：因为(1)(2)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；
(4)的左边不是多项式而是一个单项式，
(5)中的
21a 、1a
都不是整式，所以(4)(5)也不是因式分解， 只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解． 【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式． 举一反三：
【变式】下列变形是因式分解的是 ( )
A.2
43(2)(2)3a a a a a -+=-++ B.2
2
44(2)x x x ++=+ C. 11(1)x x x
+=+ D.2
(1)(1)1x x x +-=- 【答案】B ；
类型二、提公因式法分解因式
2、下列因式分解变形中，正确的是（ ）
A ．()()()()1ab a b a b a a b a b ---=--+
B ．()()()()2
62231m n m n m n m n +-+=+++ C ．()()()()232332y x x y y x y x -+-=--+ D ．()()()()2
2
32x x y x y x y x y +-+=++
【答案】A ； 【解析】
解：A.()()()()1ab a b a b a a b a b ---=--+，正确；
B.()()()()2622331m n m n m n m n +-+=++-，故本选项错误；
C.()()()()232332y x x y y x y x -+-=---，故本选项错误；
D.()()()()
22
3331x x y x y x y x xy +-+=++-，故本选项错误．
【总结升华】解题的关键是正确找出公因式，提取公因式后注意符号的变化．找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 举一反三：
【变式】下列分解因式结果正确的是（ ）
A.a 2
b+7ab ﹣b=b （a 2
+7a ） B.3x 2
y ﹣3xy+6y=3y （x 2
﹣x ﹣2） C.8xyz ﹣6x 2
y 2
=2xyz （4﹣3xy ） D.﹣2a 2
+4ab ﹣6ac=﹣2a （a ﹣2b+3c ） 【答案】D.
解：A 、原式=b （a 2+7a+1），错误；
B 、原式=3y （x 2﹣x+2），错误；
C 、原式=2xy （4z ﹣3xy ），错误；
D 、原式=﹣2a （a ﹣2b+3c ），正确． 故选D ．
类型三、提公因式法分解因式的应用
3、若a 、b 、c 为ABC ?的三边长，且()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-，则ABC ?按边分类，应是什么三角形？ 【答案与解析】
解：∵()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-
∴()()()()a b b a a b a c a b c a ---=---
()()()()a b b a c a a b --=--
当a b =时，等式成立，
当a b ≠时，原式变为a b a c -=-，得出b c =， ∴a b b c ==或
∴ABC ?是等腰三角形.
【总结升华】将原式分解因式，就可以得出三边之间的关系，从而判定三角形的类型. 4、对任意自然数n （n ＞0），422n n +-是30的倍数，请你判定一下这个说法的正确性，并说说理由. 【答案与解析】
解：()
44422222221152n n n n n n +-=?-=-=?
∵n 为大于0的自然数，
∴2n
为偶数，15×2n
为30的倍数， 即42
2n n +-是30的倍数.
【总结升华】判断4
2
2n n +-是否为30的倍数，只需要把422n n +-分解因式，看分解后有没
有能够整除30的因式. 举一反三： 【变式】说明200
199198343103-?+?能被7整除.
【答案】 解：200
1991983
43103-?+?
()1982198
33431073
=-?+=?
所以200
1991983
43103-?+?能被7整除.
5、已知xy=﹣3，满足x+y=2，求代数式x 2
y+xy 2
的值．
【思路点拨】将原式提取公因式xy ，进而将已知代入求出结果即可． 【答案与解析】
解：∵xy=—3，x+y=2，
∴x 2
y+xy 2
=xy （x+y ）=﹣3×2=﹣6．
【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
2.完全平方公式
【学习目标】
1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.
2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】
要点一、公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即()2
2
2
2a ab b a b ++=+，()2
2
2
2a ab b a b -+=-.
形如222a ab b ++，22
2a ab b -+的式子叫做完全平方式.
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或
减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以
是单项式或多项式.
要点二、因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【加强版练习题】3
类型一、公式法——完全平方公式 1、分解因式：
（1）2
2
363ax axy ay -+-； （2）4224
2a a b b -+；
（3）22222
16(4)x y x y -+； （4）4224
816a a b b -+．
【答案与解析】
解：（1）2
2
2
2
2
3633(2)3()ax axy ay a x xy y a x y -+-=--+=--．
（2）4
22
4
2
22
2
2
2
2()[()()]()()a a b b a b a b a b a b a b -+=-=+-=+-． （3）2
2
2
22
16(4)x y x y -+
22222222(4)(4)(44)(44)xy x y xy x y xy x y =-+=++-- 22222(2)[(44)](2)(2)x y x xy y x y x y =+--+=-+-．
（4）4
22
4
2
22
2
2
2
816(4)[(2)(2)](2)(2)a a b b a b a b a b a b a b -+=-=+-=+-．
【总结升华】（1）提公因式法是因式分解的首选法．多项式中各项若有公因式，一定要先提公因式，常用思路是：①提公因式法；②运用公式法．（2）因式分解要分解到每一个因式不能再分解为止． 举一反三：
【变式】分解因式：
（1）2
2
4()12()()9()x a x a x b x b ++++++． （2）2
2
2
2
4()4()()x y x y x y +--+-． 【答案】
解：（1）原式2
2
[2()]22()3()[3()]x a x a x b x b =++?+?+++
22[2()3()](523)x a x b x a b =+++=++．
（2）原式2
2
[2()]22()()()x y x y x y x y =+-?+?-+-
22[2()()](3)x y x y x y =+--=+．
2、分解因式：2
2
(33)(35)1x x x x +++++．
【思路点拨】若将括号完全展开，所含的项太多，很难找到恰当的因式分解的方法，通过观察发现：将相同的部分2
3x x +作为一个整体，展开后再进行分解就容易了． 【答案与解析】
解：2
2(33)(35)1x x x x +++++ 2
2
[(3)3][(3)5]1x x x x =+++++
222(3)8(3)16x x x x =++++ 22(34)x x =++．
【总结升华】在因式分解中要注意整体思想的应用，对于式子较复杂的题目不要轻易去括号． 举一反三：
【变式】若x ，y 是整数，求证：()()()()4
234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方
数. 【答案】
解：()()()()4
234x y x y x y x y y +++++
()()()()4
423x y x y x y x y y =+++++????????
22224(54)(56)x xy y x xy y y =+++++
令2
2
54x xy y u ++=
∴上式2422222
(2)()(55)u u y y u y x xy y ++=+=++ 即()()()()4222234(55)x y x y x y x y y x xy y +++++=++ 类型二、配方法分解因式
3、用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题，如：
()()()()()()
222
282118 19 1313 24x x x x x x x x x --=-+--=--=-+--=+-
那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？
我们先考虑二次项系数为1的情况：如2
x bx +添上什么就可以成为完全平方式？
22
22()2222b b b x bx x x x ????
++=+??+=+ ? ?????
因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.
那么二次项系数不是1的呢？当然是转化为二次项系数为1了.分解因式：2
352x x +-. 【思路点拨】提出二次项的系数3，转化为二次项系数为1来解决.
【答案与解析】
解：如2
2
52352333x x x x ??+-=+
- ??
?
22
2555233663x x ??
????=++--?? ? ?????????
2
5493636x ????=+-?? ???????
22
57366x ??????=+-?? ? ?????????
575736666x x ?
???=+++- ???????
()1323x x ?
?=+- ??
?
【总结升华】配方法，二次项系数为1的时候，添加的项应为一次项系数的一半的平方. 二
次项系数不是1的时候，转化为二次项系数为1来解决. 类型三、完全平方公式的应用
4、先仔细阅读材料，再尝试解决问题：
完全平方公式x 2
±2xy+y 2
=（x±y）2
及（x±y）2
的值恒为非负数的特点在数学学习中
有着广泛的应用，比如探求多项式2x 2
+12x ﹣4的最大（小）值时，我们可以这样处理：
解：原式=2（x 2
+6x ﹣2）
=2（x 2
+6x+9﹣9﹣2）
=2[（x+3）2
﹣11]
=2（x+3）2
﹣22
因为无论x 取什么数，都有（x+3）2
的值为非负数
所以（x+3）2
的最小值为0，此时x=﹣3
进而2（x+3）2
﹣22
的最小值是2×0﹣22=﹣22
所以当x=﹣3时，原多项式的最小值是﹣22. 解决问题：
请根据上面的解题思路，探求多项式3x 2
﹣6x+12的最小值是多少，并写出对应的x 的取值．
【答案与解析】
解：原式=3（x 2
﹣2x+4）
=3（x 2
﹣2x+1﹣1+4）
=3（x ﹣1）2
+9，
∵无论x 取什么数，都有（x ﹣1）2
的值为非负数，
∴（x ﹣1）2
的最小值为0，此时x=1，
∴3（x ﹣1）2
+9的最小值为：3×0+9=9， 则当x=1时，原多项式的最小值是9．
【总结升华】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，以及配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 举一反三：
【变式1】若△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ,且满足2
2
2
166100a b c ab bc --++=， 求证：2a c b +=. 【答案】
解：2
2
2
16610a b c ab bc --++
()()()
222222
69251035a ab b b bc c a b b c =++--+=+--
所以()()2
2
350a b b c +--=
()
()2
2
35a b b c +=-
所以3(5)a b b c +=±-
所以28a c b b c a +==-或
因为△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，c a b -<， 所以8b c a b =-<，矛盾，舍去.
所以2a c b +=.
4.平方差公式
【学习目标】
1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.
2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】
要点一、公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
()()22a b a b a b -=+-
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边
是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以
是单项式或多项式.
要点二、因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【加强版练习题】4
类型一、公式法——平方差公式 1、分解因式：
（1）2()4x y +-； （2）2
2
16()25()a b a b --+； （3）22
(2)(21)x x +--．
【思路点拨】（1）把x y +看做整体，变形为22()2x y +-后分解．（2）2
16()a b -可写成
2[4()]a b -，225()a b +可写成2[5()]a b +，4()a b -和5()a b +分别相当于公式里的a 和
b ．
（3）把(2)x +、(21)x -看作一个整体进行分解． 【答案与解析】
解：（1）2
2
2
()4()2(2)(2)x y x y x y x y +-=+-=+++-． （2）2
2
2
2
16()25()[4()][5()]a b a b a b a b --+=--+
[4()5()][4()5()]a b a b a b a b =-++--+
(9)(9)a b a b =+-- (9)(9)a b a b =-++．
（3）2
2
(2)(21)[(2)(21)][(2)(21)]x x x x x x +--=++-+--
(31)(3)x x =+-．
【总结升华】注意套用公式时要注意字母的广泛意义，可以是字母，也可以是单项式或多项式. 举一反三：
【变式】将下列各式分解因式：
（1）()()2
2
259a b a b +--； （2）()2
2
234x y x --
（3）33x y xy -+； （4）32
436x xy -；
【答案】
解：（1）原式()()()()5353a b a b a b a b =++-+--????????
()()()()
8228444a b a b a b a b =++=++
（2）原式＝()()232232x y x x y x -+-- ＝()343y x y --
（3）原式()
()()22xy x y xy x y x y =--=-+- （4）原式()
()()2249433x x y x x y x y =-=+- 2、分解因式： （1）2
128
x -
+； （2）33a b ab -； （3）516x x -； （4）2(1)(1)a b a -+- 【答案与解析】 解：（1）22111
2(16)(4)(4)888
x x x x -
+=--=-+-． （2）3
3
2
2
()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-．
（3）5
4
2
2
2
16(16)(4)(4)(4)(2)(2)x x x x x x x x x x x -=-=+-=++-． （4）2
2
2
(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a a b a a b a b b -+-=---=--=-+-． 【总结升华】（1）如果多项式的各项中含有公因式，那么先提取公因式，再运用平方差公式
分解．（2）因式分解必须进行到每一个多项式的因式都不能分解为止．
举一反三：
【变式】先化简，再求值：（2a+3b）2﹣（2a﹣3b）2，其中a=．
【答案】
解：原式=（2a+3b+2a﹣3b）（2a+3b﹣2a+3b）
=4a×6b=24ab，
当a=，即ab=时，
原式=24ab=4．
类型二、平方差公式的应用
3、阅读下面的计算过程：
（2+1）（22+1）（24+1）
=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）
=（22﹣1）（22+1）（24+1）
=（24﹣1）（24+1）
=（28﹣1）．
根据上式的计算方法，请计算：
（1）
（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣．
【思路点拨】（1）原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果．
【答案与解析】
解：（1）原式=2（1﹣）（1+）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）（1+）…（1+）
=2（1﹣）（1+）…（1+）
=2（1﹣）
=；
（2）原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣
=（32﹣1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣
=（364﹣1）﹣
=﹣．
【总结升华】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
5.十字相乘法及分组分解法
【学习目标】
1. 熟练掌握首项系数为1的形如pq x q p x +++)(2
型的二次三项式的因式分解. 2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解. 3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度) 4. 掌握好简单的分组分解法. 【要点梳理】
要点一、十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式2
x bx c ++，若存在pq c p q b
=??
+=? ，则()()2
x bx c x p x q ++=++
要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，
则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号
（2）若2
x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考
虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对
为止.
要点二、首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式2
ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即
12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2
ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与
22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.
要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”
（2）二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号
里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
要点三、分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
要点诠释：
分组分解法分解因式常用的思路有： 方法
分类
分组方法
特点
分组分解法
四项
二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项
先完全平方公式后平方差公式 五项
三项、二项 各组之间有公因式 六项
三项、三项
二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项
可化为二次三项式
要点四、添、拆项法
把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.
【加强版练习题】5
类型一、十字相乘法
1、分解因式： 2
2
(1)(6136)x a x a a ++--+ 【答案与解析】
解：原式＝()()()2
12332x a x a a ++---
()()()()
23322332x a x a x a x a =--+-????????=-++-
【总结升华】将a 视作常数，就以x 为主元十字相乘可解决.
举一反三：
【变式】分解因式：2
3345xy y x y ++-- 【答案】
解：原式2
(34)35(35)(1)y x y x y x y =+-+-=+-+
2、分解因式：
【思路点拨】该题可以先将()
2a a -看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘.
【答案与解析】 解： 因为
()()()22221214a a a a a a ----=--
所以：原式＝[
－2][
－12]
＝22(2)(12)a a a a ----
＝()()()()1234a a a a +-+-
【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握. 举一反三：
【变式】分解因式：2
2
2
(3)2(3)8x x x x ----； 【答案】
解：原式()()22
34
32x x x
x =---+
()()()()4112x x x x =-+-- 3、分解下列因式
(1)2
2
(1)(2)12x x x x ++++- (2)2
2
(33)(34)8x x x x +-++- 【答案与解析】
解：（1）令2
1x x t ++=，
则原式2
2
2
(1)1212(4)(3)(5)(2)t t t t t t x x x x =+-=+-=+-=+++- 2(2)(1)(5)x x x x =+-++
（2）令2
3x x m +=，
原式2
(3)(4)820(5)(4)m m m m m m =-+-=+-=+- 2
2
2
(35)(34)(4)(1)(35)x x x x x x x x =+++-=+-++
【总结升华】此两道小题结构都非常有特点，欲分解都必须先拆开，再仔细观察每个式子中都存在大量相同的因式→整体性想法.整体性思路又称换元法，这与我们生活中搬家有些类似，要先将一些碎东西找包，会省许多事. 类型二、分组分解法
4、分解因式：22
2332x xy y x y -++-+
【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学，一看见该式，首先想到的肯定是式子中前三项恰好构成2
()x y -，第4、5项→3()x y -. 【答案与解析】
解：原式2
()3()2x y x y =-+-+(1)(2)x y x y =-+-+
【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前面练习中无论公式、配方、十字相乘一般都只涉及单一字母，其实代数式学习是一个结构的学习，其中任一个字母均可被一个复杂代数式来替代，故有时要有一些整体性认识的想法. 举一反三：
【变式1】分解因式：（1）22
a b ac bc -++
（2）22
5533a b a b --+ （3）2
3345xy y x y ++--
【答案】
解：（1）原式()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+；
（2）原式()
()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-； （3）原式2
33453(1)(1)(5)(1)(35)xy x y y x y y y y x y =++--=+++-=++-. 【变式2】因式分解：a 2
﹣b 2
﹣2a+1． 【答案】
解：a 2
﹣b 2
﹣2a+1
=a 2﹣2a+1﹣b 2
=（a ﹣1）2﹣b 2
=（a ﹣1+b ）（a ﹣1﹣b ）．
类型三、拆项或添项分解因式
5、阅读理解：对于二次三项式x 2
+2ax+a 2
可以直接用公式法分解为（x+a ）2
的形式，但对于
二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2，就不能直接用公式法了．我们可以在二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2
中先
加上一项a 2，使其成为完全平方式，再减去a 2
这项，使整个式子的值不变，于是又： x 2+2ax ﹣8a 2 =x 2+2ax ﹣8a 2+a 2﹣a 2
=（x 2+2ax+a 2）﹣8a 2﹣a 2
=（x+a ）2﹣9a 2
=[（x+a ）+3a][（x+a ）﹣3] =（x+4a ）（x ﹣2a ）
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
（1）请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式：x 2
+2ax ﹣3a 2
分解因式．
（2）直接填空：请用上述的添项法将方程的x2﹣4xy+3y2=0化为（x﹣）?（x﹣）=0并直接写出y与x的关系式．（满足xy≠0，且x≠y）
（3）先化简﹣﹣，再利用（2）中y与x的关系式求值．
【答案与解析】
解：（1）x2+2ax﹣3a2
=x2+2ax+a2﹣4a2
=（x+a）2﹣4a2
=（x+a+2a）（x+a﹣2a）
=（x+3a）（x﹣a）；
（2）x2﹣4xy+3y2
=x2﹣4xy+4y2﹣y2
=（x﹣2y）2﹣y2
=（x﹣2y+y）（x﹣2y﹣y）
=（x﹣y）（x﹣3y）；
x=y或x=3y；
故答案为：y；3y
（3）原式=
=
=﹣，
若x=y，原式=﹣2；
若x=3y，原式=﹣2
3
．
【总结升华】此题考查了因式分解﹣添（拆）项法，正确地添（拆）项是解本题的关键．