湖南师大附中2010届高三第七次月考试卷
文科数学
命题:吴锦坤 廖民先 贺仁亮 纪爱萍 张天平 刘继承 审题:朱海棠 杨希
本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共21个小题,考试时间120分钟,试卷满分150分.
一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z a i =+(0,a i >是虚单位),
若||5
z =,则1
z
的虛部是 ( D ) A. 13-
B. 13i -
C. 15
i - D. 15-
【解析】由||z =
,即2a =±.又0a >,则2z i =+.
所以112212555i i z i -===-+,其虚部为15
-,故选D.
2.已知命题p :2
1,04
x R x x ?∈-+≥ ,则命题
p
的否定p ?是
( A )
A. 2
1,04x R x x ?∈-+
< B. 21,04x R x x ?∈-+≤ C. 21,04x R x x ?∈-+<
D. 2
1,04
x R x x ?∈-+≥
【解析】全称命题的否定是特称命题,同时否定结论,故选A.
3.
某几何体的三视图如下,则该几何体的体是
( B )
A. 12
B. 16
C. 48
D. 64
【解析】该几何体在四棱锥P -ABCD ,其中底面ABCD 是矩形,PA ⊥底面ABCD ,且AD =4,AB =3,PA =4,
如图.1434163
V =???=,故选B.
4.已知两定点A (1,1),B (-1,-1),动点P 满足2
2
x PA PB ?= ,则点P 的轨迹是 ( B )
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 拋物线
【解析】设点P (x ,y ),则(1,1)PA x y =-- ,(1,1)PB x y =----
.
正视图 侧视图 俯视图 4 4 3 P A
B
C
D
所以22(1)(1)(1)(1)2PA PB x x y y x y ?=---+---=+-
.
由已知22
2
22x x y +-=,即
22
142
x y +=,所以点P 的轨迹为椭圆,故选B.
5.在△ABC 中,BD 为∠ABC 的平分线,AB =3,BC =2,AC sin ∠ABD = ( A )
A.
12 【解析】由余弦定理,得9471
cos 2322
ABC +-∠==??,则∠ABC =60°,从而∠ABD =30°,
sin ∠ABD =
1
2
,故选A. 6.从甲、乙两台机床生产的零件中各随机抽取15个进行检验,得某项指标的检验结果为: 甲:534,517,528,522,513,516,527,526,520,508,533,524,518,522,512乙:512,520,523,516,530,510,518,521,528,532,507,516,524,526,514画出上述数据的茎叶图: 甲 乙 8 50 7
8 7 6 3 2 51 0 2 4 6 6 8 8 7 6 4 2 2 0 52 0 1 3 4 6 8
4 3 53 0 2
则下列结论正确的是 ( D )
A .甲、乙两台机床生产的零件的指标分布均不对称.
B .甲、乙两台机床生产的零件的指标平均分在510左右.
C .甲、乙两台机床生产的零件的指标众数分别是520和516.
D .甲、乙两台机床生产的零件的指标中位数分别是522和520. 【解析】甲、乙两台机床生产的零件的指标中位数按从小到大是第8个数,分别是522和520,故选D.
7.已知点F 为抛物线y 2=-8x 的焦点,O 为原点,点P 是抛物线准线上一动点,点A 在抛物
线上,且|AF |=4,则|PA |+|PO |的最小值为 ( C )
A. 6
B. 2+
C.
D.4+【解析】抛物线的准线方程为x =2,因为|AF |=4,由抛物线定义可得,点A 的横坐标为-2,取点A (-2,4).因为原点O 关于准线的对称点为B (4,0),则
|PA |+|PO |=|PA |+|PB |≥|AB |=选C.
8.已知函数()f x 对任意自然数,x y 均满足:22
()()2[()]f x y f x f y +=+,且(1)0f ≠,则
(2010)f =
( C )
A .2010
B .2009
C . 1005
D . 1004 【解析】取x =y =0,得f (0)=0. 取x =0,y =1,得f (1)=f (0)+2[f (1)]2,即f (1)=2[f (1)]2. 因为(1)0f ≠,则1(1)2
f =
.取,1x n y ==,得2
1(1)()2[(1)]()2f n f n f f n +=+=+.
即1(1)()2f n f n +-=
,所以()2
n
f n =,从而(2010)1005f =,故选C. 二.填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分,把答案填在题中横线上.
9.不等式
223
1
x x x x --≥-的解集为 [-3,1) . 【解析】不等式化为
223
01
x x x x ---≥-,即301x x +≤-,所以31x -≤<. 10.阅读下面的流程图,若输入的数a =10,b =32,c =70则输出的数a ,b ,c 的值分别
的值域是 [2,+∞) .【解析】因为当(,2]x ∈-∞时,()2f x =;当(2,)x ∈+∞时,()222f x x =->,故()f x 的值域是[2,+∞).
12.已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=,直线l 的极坐标方程为cos 2sin 70ρθρθ-+=,
则圆心C 到直线l . 【解析】圆C 的直角坐标方程是2
2
20x y x +-=,直线l 的直角坐标方程是270x y -+=. 所以圆心C (1,0)到直线l 的距离5d =
=. 13.设不等式组260
302x y x y y +-≤??
+-≥??≤?
表示的平面区域为M ,若函数1)1(++=x k y 的图象经过区域
M ,则实数k 的取值范围是11[,]42
-
.
【解析】作可行域,如图.
因为函数1)1(++=x k y 的图象是过点P (-1,1),且斜率为k 的直线l ,由图知,当直线l 过点A (1,2)时,k 取最大值
12,当直线l 过点B (3,0)时,k 取最小值14-,故11[,]42
k ∈-. 14.已知()f x 是定义在R 上的偶函数,(1)1f =,且对任意x ∈R 都有(4)()f x f x +=,则
(119)f = 1_ .
【解析】由(4)()f x f x +=知,()f x 是周期为4的周期函数.
所以(119)(2943)(3)(41)(1)(1)1f f f f f f =?+==-=-==.
15.对于等差数列{n a },有如下一个真命题:“若{n a }是等差数列,且1a =0,s 、t 是互不相等的正整数,则(1)(1)0t s s a t a ---=”.类比此命题,对于等比数列{n b },有如下一个真命题:
若{n b }是等比数列,且1b = 1 ,s 、t 是互不相等的正整数,则111
=--t s s t b b .
【解析】设等比数列{n b }的公比为q ,若1b =1,则111
111()1()
s t s t t s t s b q b q ------==.
三.解答题:本大题共6小题,共计75分,解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤。 16.(本题满分12分)
设锐角△ABC 的三内角A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,向量
m (1,sin )A A = ,n 3
(sin ,)2
A = ,已知m 与n 共线. (Ⅰ)求角A 的大小;
(Ⅱ)若2a =
,c B =,且△ABC
B 的取值范围.
【解】(Ⅰ)因为m ∥n
,则3sin (sin )2A
A A +=
,即2
3sin cos 2
A A
A +=.(2分)
所以
1cos 232222A A -+=
,即1
2cos 2122
A A -=,即sin(2)16A π-=. (5
分)
A 是锐角,则26
2
A π
π
-
=
,所以3
A π
=
. (6
(Ⅱ)因为2a =
,c B =,则
1sin 2ABC S ac B =
21
22
B =?
?2B =
1cos 22
B
-=
B =. (8
分)
由已知,B ,即1
cos 22
B >. (10分)
因为B 是锐角,所以023
B π
<<
,即06B π
<<
,故角B 的取值范围是(0,)6
π . (12
分)
17.(本题满分12分)
2009年底,某商业集团根据相关评分标准,对所属100家商业连锁店进行了年度考核评估,并依据考核评估得分(最低分60分,最高分100分)将这些连锁店分别评定为A 、B 、C 、D
考核评估后,对各连锁店的评估分数进行统计分析,得其频率分布直方图如下:
(Ⅰ)估计该商业集团各连锁店评估得分的中位数;
(Ⅱ)假设该商业集团所有商业连锁店的评估得分互不相同,
将所有A 类型连锁店按评估得分从高到低依次编号为 A 1,A 2,A 3,…;所有D 类型连锁店按评估得分从高
到低依次编号为D 1,D 2,D 3,…,现从A 、D 两类型 连锁店中各随机抽取1家对各项评估指标进行比较分 析,记被抽取的两家连锁店分别为A i ,D j ,求i +j ≥35 的概率. 【解】(Ⅰ)因为0.015100.15?=,0.04100.4?=,在频率分布直方图中,中位数左边和右边的面积相等,所以中位数在区间[70,80)内. (2分)
设中位数为70+x ,则
0.50.15100.4
x -=,解得x =8.75. (4分)
估计该商业集团各连锁店评估得分的中位数是78.75分. (5分) (Ⅱ)由直方图可知,A 类型连锁店的频数是0.025×10×100=25,D 类型连锁店的频数是 0.015×10×100=15,所以该商业集团A 类型连锁店共有
25家,D 类型连锁店共有15家. 所以i ∈{1,2,3,…,25},j ∈{1,2,3,…,15}. (7
若i +j ≥35,则20≤i ≤25,j ≤15.
当i =20时,j =15,有1种抽取方法; 当i =21时,j =14,15,有2种抽取方法; 当i =22时,j =13,14,15,有3种抽取方法; 当i =23时,j =12,13,14,15,有4种抽取方法; 当i =24时,j =11,12,13,14,15,有5种抽取方法;
当i =25时,j =10,11,12,13,14,15,有6种抽取方法.
记“i +j ≥35”为事件A ,则事件A 包含的基本事件数为1+2+3+4+5+6=21. (10分)
又从A ,D 两类型连锁店中各随机抽取1家的方法总数为25×15=375. 所以217()375125P A =
=,故i +j ≥35的概率是7
125
. (12分)
18.(本题满分12分)
如图,在四面体ABCD 中,AB ⊥平面ACD ,BC =BD =5,AC =4,CD
=(Ⅰ)求该四面体的体积;
(Ⅱ)求二面角A -BC -D 大小的正弦值.
【解析】(Ⅰ)因为AB ⊥平面ACD ,则AB ⊥AC ,AB ⊥AD. 又BC =BD =5,则Rt △BAC ≌Rt △BAD.
所以AD =AC =4,从而AB =3.
(3分)
因为CD =△ACD 为直角三角形,AC ⊥AD. (4分)
所以V ABCD =V B-ACD =
13S △ACD ×AB =13×1
2
×4×4×3=8,故该四面体的体积为8. (6分)
(Ⅱ)如图,作AO ⊥平面BCD ,垂足为O ,过点O 作OE ⊥BC ,垂足为E , 连结AE ,易得AE ⊥BC ,所以∠AEO 为二面角A -BC -D 的平面角. (8
分)
在Rt △BAC 中,AB =3,AC =4,BC =5,AE ⊥BC ,则 AE =12
5AB AC BC ?=. (9分)
又BC =BD =5,CD =
BCD S ?=1
2?= (10
分)
A
B
C
D
A
B C D
O
E
因为V A-BCD =8,则13S △BCD ×AO =8,所以AO
=BCD 24S ?==. (11分)
在Rt △AOE 中,sin ∠AEO
=17
AO AE ==
故二面角A -BC -D 的正弦值为34
. (12
分)
19.(本题满分13分)
某化工厂打算投入一条新的生产线生产某种化工产品,但需要经过环保部门审批同意后方可投入生产.已知该生产线连续生产n 个月的累积产量为1
()(1)(21)2
f n n n n =
+-吨,但如果月产量超过96吨,就会给周边环境造成污染,环保部门将责令停产一段时间,再进入下一个生产周期.
(Ⅰ)请你代表环保部门给该生产线拟定一个最长的生产周期;
(Ⅱ)按环保管理条例,该生产线每月需要缴纳a 万元的环保费.已知这种化工产品每吨的售
价为0.6万元,第n 个月的生产成本为282
()155
g n n n =
--万元.当环保费用a 在什么范围内时,该生产线在最长的生产周期内每月都有盈利?
【解】(Ⅰ)设第n 个月的产量为n a 吨,则1(1)1a f ==. (1分)
当2n ≥时,2()(1)32n a f n f n n n =--=-. (3分)
又11a =满足上式,所以232(*)n a n n n N =-∈. (4分)
令2
32960n n --≤,得16
63
n -
≤≤.又n N *∈,则1,2,3,4,5,6n =. 故最长生产周期是6个月. (6分)
(Ⅱ)由2
2
382(32)(1)05
5
5n n n n a ----->,得214
155
a n n <-+. (8分)
设214
()155n n n ?=-+,据题意,当1,2,3,4,5,6n =时,()a n ?<恒成立,则min ()a n ?<. 因为22
1411()1(2)5555n n n n ?=-+=-+,则当n =2时,min 1()5
n ?=. (12
分)
故当环保费用1
(0,)5
a ∈时,该生产线在最长的生产周期内每月都有盈利. (13分)
20.(本题满分13分)
已知双曲线的中心在原点,焦点在x 轴上,其渐近线与圆2210200x y x +-+=相切. 过点(4,0)P -
的直线l ,交双曲线左支于A ,B 两点,交y 轴于点C ,且满足2||||||PA PB PC ?=.
(Ⅰ)求双曲线的标准方程;
(Ⅱ)设点M 为双曲线上一动点,点N 为圆x y 2
2
21
4
+-=()上一动点,求|MN |的取值范围.
【解】(Ⅰ)设双曲线的渐近线方程为y kx =,因为渐近线与圆22(5)5x y -+=相切,则
=12k =±,所以双曲线的渐近线方程为1
2y x =±. (2
分)
设双曲线方程为2
2
4x y m -=
,将(4)4
y x =
+代入双曲线方程,整理得 235611240x x m +++=. (4
分)
所以561124, 33
A B A B m x x x x ++=-=. (5分)
因为2
||||||PA PB PC ?=,点P ,A ,B ,C 共线,且点P 在线段AB 上,则
2()()()P A B P P C x x x x x x --=-,即(4)(4)16B A x x +--=.
所以4()320A B A B x x x x +++=. (7分) 于是5611244()32033
m +?-
++=,解得4m =. (8
分)
故双曲线方程是2
2
44x y -=,即2
214
x y -=. (9分)
(Ⅱ)设点M (x ,y ),圆x y 2
2
21
4
+-=
()的圆心为D ,则x y 2244-=,点D (0,2). 所以222222
223636||(2)44(2)5485()555
MD x y y y y y y =+-=++-=-+=-+
≥. (11分)
所以||MD ≥
1||||2MN MD ≥-≥.
故|MN |的取值范围是)+∞. (13分)
21.(本题满分13分)
已知函数3211()(,)32
a f x x x bx a a
b +=
-++∈R ,其导函数()f x '的图象过原点. (Ⅰ)当1a =时,求函数()f x 的图象在3x =处的切线方程; (Ⅱ)若存在0x <,使得()9f x '=-,求a 的最大值; (Ⅲ)当0a >时,确定函数()f x 的零点个数.
【解】(Ⅰ)因为2()(1)f x x a x b '=-++,由已知,(0)0f '=,则0b =.
所以()(1)f x x x a '=--. (2分)
当1a =时,3
21()13
f x x x =-+,()(2)f x x x '=-,则(3)1f =,(3)3f '=. (3分)
故函数()f x 的图象在3x =处的切线方程为13(3)y x -=-,即380x y --=. (4分)
(Ⅱ) 由()9f x '=-,得(1)9x x a --=-. (5分)
当0x <时,991()())6a x x x x --=--
=-+-≥=,所以7a ≤-. (7分)
当且仅当3x =-时,7.a =-故a 的最大值为7-. (8
分)
(Ⅲ) 当0a >时,,(),()x f x f x '的变化情况如下表:
因为()f x 的极大值(0)0f a =>,
()f x 的极小值3
321111(1)(1)[3()]06624
f a a a a a +=-+=-+-+<, (11
分) 因为213()[(1)]32f x x x a a =-++,则3((1))02f a a +=>.又14
(2)03
f a -=--<. (12分)
所以函数()f x 在区间3
(2,0),(0,1),(1,(1))2
a a a -+++内各有一个零点.
故函数()f x 共有三个零点. (13分)
(10分)