2019-2020学年湖南省张家界市民族中学高一下学期第一次月考数学试题(解析版)

2019-2020学年湖南省张家界市民族中学高一下学期第一次

月考数学试题

一、单选题

1．在三角形ABC 中，5,3,7AB AC BC ===，则BAC ∠的大小为（ ） A ．

23

π B ．

56

π C ．

34

π D ．

3

π 【答案】A

【解析】【详解】试题分析：2229254912

cos 223323

b c a A A bc π+-+-===-∴=??，选

A

【考点】余弦定理

2．已知2t a b =+，21s a b =++，则t 和s 的大小关系为 A ．t s > B ．t s ≥ C ．t s < D ．t s ≤

【答案】D

【解析】试题分析：化简s ﹣t 的结果到完全平方的形式 （b ﹣1）2，判断符号后得出结论．

解：s ﹣t=a+b 2+1﹣a ﹣2b=b 2﹣2b+1=（b ﹣1）2≥0， 故有 s≥t ， 故选D ．

点评：本题考查完全平方公式的应用，用比较法证明不等式的方法，作差﹣﹣变形﹣﹣判断符号﹣﹣得出结论．

3．设集合{}{

}

2

|5,|4210,S x x T x x x =<=+-<则S T ?=( ) A ．{}|75x x -<<- B ．{}|35x x << C ．{}|53x x -<<

D ．{}|75x x -<<

【答案】C 【解析】【详解】 由题

，故(5,3)S T ?=-选择C ．

4．等差数列{}n a 的公差0d <，且2412a a =，158a a +=，则{}n a 的通项公式是（ ） A ．22n a n =- B ．24n a n =+ C ．210n a n =-+ D ．212n a n =-+

【答案】C

【解析】由于数列{}n a 为等差数列，所以15248a a a a +=+=，再由2412a a =可得

24a a ，可以看成一元二次方程28120x x -+=的两个根，由0d <可知24a a >，所以246,2a a ==，从而可求出1,a d ，可得到通项公式.

【详解】

解：因为数列{}n a 为等差数列，所以15248a a a a +=+=，

因为2412a a =，所以24a a ，可以看成一元二次方程28120x x -+=的两个根， 因为0d <，所以246,2a a ==， 所以11632a d a d +=??

+=?，解得12

8

d a =-??=?，

所以82(1)210n a n n =--=-+ 故选：C 【点睛】

此题考查的是等差数列的通项公式和性质，属于基础题.

5．等比数列{a n }中，a 1，a 99为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则205080a a a ??的值为( ) A ．32 B ．±64

C ．256

D ．64

【答案】B

【解析】由题可知19916a a ?=，然后利用等比中项的性质求出50a ，进而可求出

205080a a a ??.

【详解】

因为a 1，a 99为方程x 2－10x ＋16＝0的两根， 所以19916a a ?=，

所以504a ==±，

所以205080a a a ??=1995064a a a ??=±.

故选：B . 【点睛】

本题主要考查了等比中项的应用，难度不大.

6．等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，则其前八项之和等于（ ） A ．15 B ．21

C ．19

D ．17

【答案】D 【解析】根据

()41234567812341234a a a a a a a a a a a a a a a a q +++++++=+++++++，代入条

件计算即可. 【详解】

解：由已知得12341a a a a +++=， 则12345678a a a a a a a a +++++++

()412341234a a a a a a a a q =+++++++

41217=+=.

故选：D. 【点睛】

本题考查等比数列求和的整体运算，是基础题. 7．在△ABC 中，cos cos cos a b c

A B C

==,则△ABC 一定是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形

C ．等腰三角形

D ．等边三角形

【答案】D

【解析】由题意首先利用正弦定理边化角，然后结合正切函数的性质即可确定△ABC 的形状. 【详解】 由

cos cos cos a b c A B C

==结合正弦定理可得：sin sin sin cos cos cos A B C

A B C ==，

即tan tan tan A B C ==，

结合正切函数的性质可知：A B C ==， 则△ABC 是等边三角形. 故选D. 【点睛】

本题主要考查正弦定理的应用，三角形形状的确定等知识，意在考查学生的转化能力和

计算求解能力.

8．各项不为零的等差数列{a n }中，有2

7a ＝2(a 3＋a 11)，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则68b b ＝ ( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16

【答案】D

【解析】先利用等差数列的性质结合27a ＝2(a 3＋a 11)，求得7a ，再利用等比数列的性质，由226877b b b a ==求解.

【详解】

由等差数列的性质得：

731124a a a =+，

又因为2

7a ＝2(a 3＋a 11)， 所以2774a a =， 解得74a =， 所以b 7＝74a =， 因为数列{b n }是等比数列，

所以2

68716b b b ==.

故选：D 【点睛】

本题主要考查等差数列的性质和等比数列的性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

9．已知等差数列{a n }中p a q =，q a p =，p q a += ( ) A ．2 B ．p q +

C ．0

D ．p q -

【答案】C

【解析】先根据p a q =，q a p =求出数列的公差d ，然后利用公式直接求p q a +即可. 【详解】

设等差数列{a n }的公差为d ， 则1p q a a q p

d p q

p q

--=

=

=---，

所以0

p q p

a a qd q q

+

=+=-=.

故选：C.

【点睛】

本题考查了等差数列通项公式的应用，属于简单题.

10．若

01

02

21

x

y

y x

≤≤

?

?

≤≤

?

?-≥

?

，则z＝2y－2x＋4的最小值为( )

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【解析】画出可行域，数形结合，由224

z y x

=-+，则2

2

z

y x

=-+，即直线

:l2

2

z

y x

=-+，

则l与可行域有公共点，且在y轴的截距最小时，z最小.

【详解】

画出可行域如图所示：

由224

z y x

=-+，则2

2

z

y x

=-+，根据直线:l2

2

z

y x

=-+，

当l平移到A时，在y轴的截距最小，z最小，

又

1

210

x

x y

=

?

?

-+=

?

，得1,1

x y

==，即(1,1)

A

则min21214

z=?-?+4

=.

故选：C

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

11．已知△ABC的周长为2，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足

sin sin

sin

A B

C

+

=3c，则c等于( )

A ．

32

B ．

23

C ．1或

23

D ．1

【答案】B

【解析】利用正弦定理，把

sin sin 3sin A B

c C

+=化简成23a b c +=，再利用

232a b c c c ++=+=，即可求解.

【详解】

由题意可知，△ABC 的周长为2，即2a b c ++=，又由

sin sin 3sin A B

c C

+=，可得

3a b

c c

+=，化简得，23a b c +=，所以，232a b c c c ++=+=，解得(1)(32)0c c +-=，又由0c >可得，23

c =

故选：B 【点睛】

本题考查利用正弦定理边角互化的应用，属于基础题. 12．在数列{}n x 中，

11211(2)n n n n x x x -+=+≥，且223x =，425

x =，则10x =（ ） A ．

2

11 B ．

16

C ．

112

D ．

15

【答案】A

【解析】试题分析：∵根据等差中项的定义可知，数列

是等差数列，

，∴，，所以，所以

，故选项为A.

【考点】等差中项.

二、填空题

13．在等差数列{a n }中，a 3+a 7=37，则a 2+a 4+a 6+a 8= ． 【答案】74

【解析】试题分析：根据等差数列的性质所有下标之和相同的两项之和相等，看出第三

项与第七项的和等于第四项与第六项的和等于第二项与第八项的和，得到结果． 解：等差数列{a n }中，a 3+a 7=37， ∵a 3+a 7=a 2+a 8=a 4+a 6=37 ∴a 2+a 4+a 6+a 8=37+37=74， 故答案为74

点评：本题考查等差数列的性质，这是经常用到的一个性质的应用，注意解题要灵活，不要出现数字运算的错误是一个送分题目．

14．已知数列{a n }满足a 1＝1，12n

n n a a +-=，则a n ＝________.

【答案】21n -.

【解析】利用累加法和等比数列的前n 项和公式直接求通项即可. 【详解】

a 1＝1，12n

n n a a +-=，

112n n n a a --∴-=， 2122n n n a a ----=，

……

2322a a -=，

212a a -=，

上述1n -项累加得，12

1

12(12)222

2212

n n n n a a ----=++

==--，

所以21n

n a =-.

故答案为：21n -. 【点睛】

本题主要考查了累加法求数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，属于中档题. 15．等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若10100100,10S S ==，则110S =__________. 【答案】110-

【解析】利用等差数列的前n 项和公式，列出方程组，求得1,a d 的值，再利用前n 项和公式，即可求解. 【详解】

由题意，设等差数列的公差为d ，因为10100100,10S S ==，

所以11

109101002

1009910010

2a d a d ??+=?????+=??

，解得1109911,10050a d ==-， 所以1101110109109911010911

1101101102100250

S a d ??=+=?-?=-. 【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

三、双空题

16．已知数列1，1，2，1，2，3，1，2，3，4，…，1，2，3，4，5…，n …，则15a =_________，

2020a =________.

【答案】5 4

【解析】先将数列按第n 行排n 个数进行排列，则前n 行共有

(1)

2

n n +个数，因此找出15a 和2020a 分别是哪一行的第几个数，即可得出答案.

【详解】

将题中数列排列如下： 1， 1，2， 1，2，3， 1，2，3，4， ……

则前n 行共有(1)

1232

n n n ++++

+=

个数， 故前5行共有15个数，所以15a 是第5行的第5个数，所以155a =， 又前63行共有

6364

20162

?=个数，所以2020a 是第64行的第4个数，所以20204a =. 故答案为：5；4. 【点睛】

本题主要考查根据数列的规律确定数列中的项，需要学生灵活运用解题方法，难度不大.

四、解答题

17．已知等差数列{a n}中，a1=1，a3=﹣3．

（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{a n}的前k项和S k=﹣35，求k的值．

【答案】（Ⅰ）a n=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n（Ⅱ）k=7

【解析】试题分析：（I）设出等差数列的公差为d，然后根据首项为1和第3项等于﹣3，利用等差数列的通项公式即可得到关于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的值，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；

（II）根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前k项和的公式，当其等于﹣35得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k为正整数得到满足题意的k的值．

解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d

由a1=1，a3=﹣3，可得1+2d=﹣3，解得d=﹣2，

从而，a n=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n；

（II）由（I）可知a n=3﹣2n，

所以S n==2n﹣n2，

进而由S k=﹣35，可得2k﹣k2=﹣35，

即k2﹣2k﹣35=0，解得k=7或k=﹣5，

又k∈N+，故k=7为所求．

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．

18．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60?方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．

（1）求渔船甲的速度；

（2）求sin α的值．

【答案】（1）14海里/小时； （2）.

【解析】【详解】

（1）12,20,120AB AC BAC ?==∠=,

∴

∴,

∴V 甲海里/小时 ； （2）在中，

由正弦定理得

∴

∴.

点评：主要是考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题.

19．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0. （1）求角B 的大小；

（2）若13b =，4a c +=，求△ABC 的面积.

【答案】（1）

23π；

（2）33

4

. 【解析】(1)利用余弦定理变形化简(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，可得角B 的大小（2）利用余弦定理求解ac 的值，即可求解ABC 的面积. 【详解】

解：(1)由余弦定理得，222

cos 2a c b B ac

+-=

,222cos 2a b c C ac +-=, 将上式代入()2cos cos 0a c B b C ++=，

整理得222a c b ac +-=-,

2221

cos 222

a c

b a

c B ac ac +--∴===-,

角B 为ABC 的内角，

2

3

B ∴=π.

(2)

将b = ，2

3

B π=

，4a c += 代入2222cos b a c ac B =+-， 即()2

222cos b a c ac ac B =+--,

21134212ac ??

∴=-- ???

，

3ac ∴=，

ABC

的面积为112sin 3sin 223ac B π=??=

. 【点睛】

本题主要考查了应用余弦定理求三角形的内角和面积，同时考查恒等变形能力和运算求解能力；属于中档题.

20．若不等式()

()2

2

23310m m x m x -----<对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取

值范围.

【答案】1(,3]5

-.

【解析】当2230m m --=时，不等式是一次不等式，检验m 的值是否符合题意，当

1m ≠-，且3m ≠时，不等式是二次不等式，不等式恒成立需满足

()()

222

23034230

m m m m m ?--

??=-+--

注意到方程2230m m --=的两根分别为－1和3，于是讨论如下.

当1m =-时，原不等式变为410x -<，显然对任意x R ∈不会恒成立，所以1m =-不适合题意.

当3m =时，原不等式变为10-<，显然对任意x R ∈恒成立，所以3m =适合题意.

当1m ≠-，且3m ≠时，依题意知应满足()()

2

22

23034230m m m m m ?--

??=-+--

13

131535m m m -<

??-<

综上知，所求实数m 的取值范围是1,35??- ???

.

【点睛】

本题主要考查了分类讨论的思想，二次不等式恒成立问题，属于中档题. 21．在数列{}n a 中，11a =，并且对于任意*n N ∈，都有121

n

n n a a a +=

+.

（1）证明：数列1n a ??

?

???

为等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）设数列{}1n n a a +的前n 项和为n T ，求n T . 【答案】（1）证明过程见详解，1

21n a n =

-；（2）21

n n T n =

+. 【解析】（1）根据121

n n n a a a +=+，得到

111

2n n a a +-=，即可证明数列为等差数列，从而可求出通项公式；

（2）先由（1）得111122121n n a a n n +??=- ?-+??

，根据裂项求和的方法，即可求出结果.

【详解】 （1）因为121

n n n a a a +=

+，所以12111

2n n n n a a a a ++==+， 因此

1112n n

a a +-=，所以数列1n a ??

????

是以2为公差的等差数列； 又11a =，所以

1

12(1)21n n n a =+-=-，因此121

n a n =-； （2）由（1）得111111212122121n n a a n n n n +??

=

?=- ?-+-+??

， 所以111111111...2323522121n T n n ??????=

-+-++- ? ? ?-+??????

1111111...23352121n n ??=-+-++- ?-+??

11122121

n n n ??=-= ?

++??. 【点睛】

本题主要考查由递推关系证明等差数列，以及裂项相消法求数列的前n 项和，属于常考题型.

22．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n∈N)，等差数列{b n }中，b n ＞0(n∈N)，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列． (1)求数列{a n }、{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .

【答案】(1)a n ＝3n －1(n∈N),b n ＝2n ＋1(n∈N)． (2)T n ＝n·

3n . 【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项的递推关系式：a n ＋1＝3a n ，再根据等比数列定义以及通项公式求数列{a n }的通项公式；利用待定系数法求等差数列{b n }中首项与公差，再根据等差数列通项公式得{b n }的通项公式；（2）利用错位相减法求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 利用错位相减法求和时，注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以1q - 试题解析：解 (1)∵a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n∈N)， ∴a n ＝2S n －1＋1(n∈N，n ＞1)， ∴a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)，

即a n ＋1－a n ＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n (n∈N，n ＞1)． 而a 2＝2a 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1.

∴数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴a n ＝3

n －1

(n∈N)．

∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，

在等差数列{b n }中，∵b 1＋b 2＋b 3＝15，∴b 2＝5.

又∵a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列，设等差数列{b n }的公差为d ，则有(a 1＋b 1)(a 3＋b 3)＝(a 2＋b 2)2.

∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d ＝－10或d ＝2， ∵b n ＞0(n∈N)，∴舍去d ＝－10，取d ＝2， ∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1(n∈N)．

(2)由(1)知T n ＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n －1)·3n －2

＋(2n ＋1)3

n －1

，①

∴3T n ＝3×3＋5×32

＋7×33

＋…＋(2n －1)3

n －1

＋(2n ＋1)3n

，②

∴①－②得－2T n ＝3×1＋2×3＋2×32

＋2×33

＋…＋2×3n －1

－(2n ＋1)3n ＝3＋2(3＋3

2

＋33

＋…＋3

n －1

)－(2n ＋1)3n

＝3＋2×

－(2n ＋1)3n ＝3n

－(2n ＋1)3n

＝－2n·

3n .∴T n ＝n·3n . 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.